多元函数微积分学
多元函数的微积分全篇
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
14
3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是微积分学中的一个重要分支，它研究的是多个变量之间的关系。
与一元函数的微积分不同，多元函数的微积分需要考虑多个自变量对因变量的影响，因此在计算过程中需要运用到一系列的技巧和方法。
在多元函数的微积分中，我们首先要了解的是偏导数的概念。
偏导数是指在多元函数中，对于其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
通过偏导数，我们可以得到函数在某个点上关于某个自变量的变化率。
在计算偏导数时，我们可以通过使用极限的概念，将多元函数转化为一元函数进行求导。
除了偏导数，多元函数的微积分还涉及到多元函数的极值问题。
在一元函数的微积分中，我们可以通过求导来判断函数在某个点上的极值，而在多元函数中，我们需要使用偏导数来进行判断。
具体而言，我们可以通过计算函数的偏导数，并令其等于零，来求解函数的临界点。
通过判断二阶偏导数的正负，我们可以得到函数在临界点上的极值情况。
多元函数的微积分还涉及到多元积分的计算。
多元积分是对多元函数在一个区域上的求和或求平均的操作。
与一元函数的定积分类似，多元积分需要将函数分割成无穷小的小块，并对每个小块进行求和。
在多元积分中，我们可以使用重积分或累次积分的方法进行计算。
除了上述基本概念和技巧外，多元函数的微积分还涉及到一些高级的内容，如隐函数求导、参数方程求导、向量微积分等。
这些内容在工程、物理、经济等领域中都有广泛的应用。
总结起来，多元函数的微积分是研究多个变量之间的关系的数学工具，它包括了偏导数、极值问题和多元积分等内容。
通过学习多元函数的微积分，我们可以更深入地理解多元函数的性质，并应用于实际问题的求解中。
多元函数的微积分在现代科学和工程领域中具有重要的地位，它为我们研究和解决复杂的问题提供了强有力的工具。
多元函数微积分
z z R
M
O
y Q
y
组 x, y, z 一一对应，称
x
P
x, y, z 为点 M 的坐标，记为 M x, y, z .
将 x, y, z 分别称为点 M 在x, y, z 轴上的坐标。
规律：
原点 (0,0,0) ， x 轴上 x,0,0 ， y 轴上 0, y,0 ， z 轴上 0,0, z ；
由图： P1 P2 P1 A AB BP2 根据平面上两点间的距离 公式可知：
2
2
2
z
P2 P1 A B
P y2 y1 , 1 A x2 x1 , AB
2 2
2
2
BP2
2Байду номын сангаас
z 2 z1
2
y
从而有：
P1 P2
x2 x1
2
y 2 y1 z 2 z1
大学数学基础教程
第5章 多元函数微积分
主要内容: 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数的极值 六、二重积分
一、空间几何简介
1、空间直角坐标系
定义 5.1 过空间一定点 O 作三条相互垂直刻度 相同的数轴，称点 O 为坐标原点，三条轴分别 称为 x, y, z 或(横、纵、竖)轴．任意两条坐标轴 都可以确定一个平面， 称为坐标面.通常把 x 轴 和 y 轴确定的平面 xOy 放在水平位置上，则 z 轴是铅直线，三条坐标轴的正方向符合右手规 则， 这样的三条坐标轴构成了空间直角坐标系.
x x0 y y0 z z0 R 2 方程为：
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第6节多元函数的极值与最值
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z;, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) h( x, y, z) .
f x ( x, y, z) gx ( x, y, z) hx ( x, y, z) 0
令
f f
y ( x, z( x,
y, y,
z) z)
gy ( x, gz ( x,
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
12
定理2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
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二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题.
例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx
Ly
10x 20x
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 24
0， 0
解得唯一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 唯一驻点为极大值点，
即为最大值点，
播放 3
极值的求法
定理1（必要条件）
《多元函数的微积分》课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
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多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。
多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。
在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。
偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。
此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。
一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。
记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。
2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。
对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。
对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。
对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。
3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。
二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。
计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。
例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。
例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。
我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。
多元函数
第六讲 多元函数微积分
当温度不变时（等温过程） ，压强 当温度不变时（等温过程） 压强 V 关于体积 P 的变化率就是 ，
RT 当压强不变时（等压过程） ，压强 dV 的变化率就是 当压强不变时（等压过程） 压强 V 关于体积 T 的变化率就是 ， = 2 P dP T =常数
dV R
(x , y ) 注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算， 一般不单独出题 即使出现，也只有两种题型， 不单独出题， 一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是 “直接带入”，一种是变量代换。 直接带入” 一种是变量代换。
第六讲 多元函数微积分
x + y r > 0
x2 + y 2 ≤ R2 即 2 x + y2 > r 2
所以定义域为
D = {( x, y ) | r 2 < x 2 + y 2 ≤ R 2 }
如图，这样的区域俗称环域 如图，这样的区域俗称环域
第六讲 多元函数微积分 3.二元函数的图像 二元函数的图像 由空间解析几何知识可知，对于二元函数 z = f ( x, y )的图 由空间解析几何知识可知， 一般地，它表示一曲面. 形，一般地，它表示一曲面
（R是常数） 1.二元函数的定义 二元函数的定义 设有三个变量 和 如果当变量 在它们的 中任意取定一对值时， 变化范围 中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的 对应规律都有惟一确定的值与其对应，则称 对应规律都有惟一确定的值与其对应， 为变量 二元函数， 称为自变 ，其中 与 称为自变 的二元函数，记为 D 也叫因变量 因变量． 量，函数 也叫因变量．自变量 与 的变化范围 称为函数的定义域 定义域． 称为函数的定义域．
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。
在实际问题中，经常会遇到多个变量同时变化的情况，因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。
2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。
与一元函数不同的是，多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。
通过利用数列的极限概念以及极限运算法则，可以定义多元函数的极限。
3. 多元函数的连续性对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大，保持相对稳定。
通过定义和判定多元函数在某点连续的方法，可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。
4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样，多元函数也存在导数的概念。
对于多元函数而言，导数被称为偏导数。
多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。
全微分是多元函数的一个重要概念，它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。
5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。
通过求解多元函数的偏导数，并进行一定的约束条件，可以确定函数的极值和最值。
求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解，解决实际问题。
6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。
与一元函数的定积分类似，二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。
通过将二重积分问题转化为累次积分问题，可以简化计算过程。
7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念，可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。
多重积分可以通过反复积分的方式进行计算，也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。
8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似，多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
多元函数微积分
注：1、其中 f (0,1) 、
表示
f
对第二个中间变量求导一次， 对第二个中间变量求导一次，
f (0,2) 表示 f
f (1,1)
表示
对第二个中间变量求导两次， 对第二个中间变量求导两次，
对第一、第二个中间变量各求导一次。 f 对第一、第二个中间变量各求导一次。
2、求多元函数的偏导数还可以用基本输入模板中的符号 、
1 0
à à
0
-1
@ 8< < 8D
xexydxdy, D: 0 ≤ x ≤1, −1≤ y ≤ 0 ∫∫
D
x* ã
x* y
â y âx
输出
1 ã
例13 计算二重积分 所围成的区域。 所围成的区域。
1 x
解： 例14
!! !! àà
D
0 x2
x ydxdy ，D 是由 y = x, y = x2 ∫∫
D
解:
对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令。 对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令。
本题的Mathematica命令为 命令为 本题的 In[8]:=Integrate[x*y, {x, 2, 4}, {y, 1, x/2}] Out[8]=
9 2
例11 计算
∫ ∫
2. 求下列函数的全微分： (1)z = ex−2 y (3)z = arcsin( ) xy (2)z = x y
(4)z = (x2 + y2 ) ln(x + y)
3. 求二元函数的极值： (1) z = （x − y) − x2 − y2 4 (2) z = x3 − y3 + 3x2 + 3y2 − 9x
一元和多元函数的微积分学
一元和多元函数的微积分学微积分学是数学中的一个重要分支，其理论和方法在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
微积分学包括一元函数微积分学和多元函数微积分学两个部分，下面将对它们进行介绍。
一元函数微积分学一元函数微积分学主要研究的是只涉及一个自变量的函数及其相关概念和方法。
其中最基本的概念是导数和定积分，它们分别对应着函数的局部变化率和全局面积。
导数具有局部性质，可以用来刻画函数的变化趋势和极值点，而定积分则具有全局性质，可以用来求解曲线下的面积、质量、重心等物理量。
在具体的计算中，需要运用导数和定积分的基本性质和公式，如连续性、极限运算法则、积分换元法、分部积分法等等。
通过这些方法，我们可以计算给定函数的导函数和不定积分，从而求出函数的局部极值和定积分的值。
此外，还可以运用微积分学的理论和方法来研究曲线的几何性质，如弧长、曲率半径、切线、法线等等。
在实际应用中，一元函数微积分学常常被用来描述物理、经济、工程等领域中的过程和现象。
例如，在物理中，我们可以用速度函数的积分来求出物体的位移、用牛顿第二定律和微积分方法来研究物体的运动轨迹、用曲率和法线来描述曲线道路等等。
在经济学中，我们可以用边际收益和边际成本的分析方法来研究市场的供求变化、用利润函数和成本函数的微分来研究企业的经营策略等等。
多元函数微积分学多元函数微积分学则研究的是涉及多个自变量的函数及其相关概念和方法。
在多元函数中，函数的取值不仅仅依赖于一个自变量，而是依赖于多个自变量，例如三维空间中的坐标系中的点映射到现实生活中物体的形态或函数的变化。
这就需要我们引入偏导数和重积分的概念。
偏导数对应多元函数在某个自变量上的变化率，而重积分对应多元函数在一定区域内的累积值。
在具体计算中，我们需要运用偏导数和重积分的基本性质和公式，如连续性、极限运算法则、积分换元法、重积分交换积分次序法等等。
在实际应用中，多元函数微积分学同样有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过研究多元函数的偏导数来探索多维空间中的物理规律、用重积分来求解质心、转动惯量等物理量；在经济学中，我们可以将多元函数应用于市场的分析、企业的决策等问题中、运用它来预测消费者对某个产品的接受程度等等。
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第六章 多元函数微积分学§6.1空间解析几何习题 6-11.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2);(2,3,1);(3,3,5);(1,2,3).E F G H ------2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置:(2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D ---3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程.5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？6. 指出下列方程组所表示的曲面222(1)4x y z ++=；7.指出下列方程组所表示的曲线:22225(1)3x y z x ⎧++=⎨=⎩； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=；22(5)1916x y +=；22(6)125yx -=；(7)0y -=；2(8)430y y -+=；2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=.§6.2 多元函数的基本概念习题 6-21.设22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求(,)f x y .2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+.3.求下列各函数的定义域:2(1)ln(21)z y x =-+; (2)z =22(3)z =;(4)z =; (5)ln()z y x =-;(6)u =4.求下列各极限:10(1)y x y →→(,)(0,0)(2)lim x y →; 22()(3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+; 222200(4)lim x y x y x y →→+; 00(5)x y →→;222222001cos()(6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在:2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 100(2)lim(1)x yx y xy +→→+; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性:222(1)(,)2y x f x y y x+=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.7.设22122,0,(,)10,0,x x ye x y f x y y e x y ⎧⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩任意任意，讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性. §6.3 偏 导 数习题6-31.求下列函数的偏导数:3223(1)3z x y x y xy =+-; 22(2)x y z xy+=; (3)z =sin (4)y z x =; (5)(1)y z xy =+; (6)(cos sin )x z e y x y =+; 2(7)sin()cos ()z xy xy =+; (8)ln tanx z y=; 222(9)sin()u x y z =++; (10)zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2.设11x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，证明222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 3.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 4.设2((,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，求(0,0)x f '，(0,0)y f '. 5.曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？6.求下列函数的22z x∂∂，22zy ∂∂和2z x y ∂∂∂: (1)ln()z x x y =+; 2(2)xy z x ye =; (3)x z y =.7.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1)xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .8.设2()3y z xy x ϕ=+，其中函数()u ϕ可导，证明22z zx y xy x y ∂∂+=∂∂. 9.设ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32zx y∂∂∂. §6.4 全微分及其应用习题6-41.求下列函数的全微分:2(1)3xz x yy=+; (2)sin(cos )z x y =; (3)z =(4)yzu x =.2.求函数22ln(2)z x y =++在2,1x y ==时的全微分.3.设(,,)f x y z =d (1,1,1)f . 4.求函数yz x=在2,1,0.1,0.2x y x y ==∆=∆=-时的全增量z ∆和全微分d z . 5.求下列函数在各点的线性化.22(1)(,)1,(1,1)f x y x y =++; (2)(,)cos ,(0,2)x f x y e y π=.6.的近似值.7. 计算 2.98(1.007)的近似值.8.已知边长为6x =m 与8y =m 的矩形，如果x 边增加2cm ，而y 边减少5cm ，问这个矩形的对角线的近似值怎样变化？9.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5m ，宽4m ,高3m ，厚20cm ，求所需材料的近似值与精确值.10.由欧姆定律，电流I ，电压V 及电阻R 有关系VR I=.若测得110V V =，测量的最大绝对误差为2V ，测得20A I =，测量的最大绝对误差为0.5A .问由此计算所得到的的最大绝对误差和最大相对误差是多少？§6.5 复合函数微分法习题6-51.设y z x =，而tx e =，21t y e =-，求d d z t. 2.设2x y z e -=，而sin x t =，3y t =，求d d zt.3.设2ln z u v =，而x u y =，32v x y =-，求z x∂∂，z y ∂∂. 4.设22()xy z x y =+，求z x ∂∂，z y∂∂. 5.设arctan()z xy =，x y e =，求d d z t. 6.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）:22(1)(,)u f x y xy =-; (2),x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (3)(,,)u f x xy xyz =.7.设22()y z f x y =-，其中f 为可导函数，验证211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 8.设函数222(,)u f x y z x y z =++++，其中f 具有二阶连续偏导数，求222222u u uu x y z∂∂∂∆=++∂∂∂.9.设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂. 10.求下列函数的22zx∂∂，2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）. (1)(,)u f xy y =; 2(2),y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.11.设(,)z f x y =二次可微，且cos u x e v =，sin u y e v =，试证:222222222u z z z z e x y u v -⎛⎫∂∂∂∂+=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 12.设()()u x x y y x y ϕφ=+++，其中函数,ϕφ具有二阶连续导数，验证:2222220u u ux x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂. §6.6 隐函数微分法习题7-61.已知arctany x =，求d d y x. 2.设20x y z ++-=,求z x ∂∂，zy∂∂. 3.设函数(,)z x y 由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，证明z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 4.设222z x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，其中f 可导，求z x ∂∂，zy ∂∂.5.设(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定的隐函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 6.设320z xz y -+=，求22z x∂∂，22zy ∂∂.7.设5431z xz yz -+=，求2(0,0)zx y∂∂∂.8.设22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求d d x z ，d d yz . 9.设22300x y z z x y z z ⎧+++=⎨+++=⎩，求d d z x ，d d y x . 10.设sin cos u ux e u v y e u v⎧=-⎨=-⎩，求u x ∂∂，v x ∂∂，u y ∂∂，v y ∂∂. 11.设x yexy +=，证明:222223d [(1)(1)]d (1)y y x y x x y -+-=--.§6.7 多元函数的极值及其求法习题6-71.求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.2.求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值.3.求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值.4.求函数(,)sin cos cos(),0,2f x y x y x y x y π=++-≤≤的极值.5.求由方程222224100x y z x y z ++-+--=确定的函数(,)z f x y =的极值.6.欲围一个面积为602m 的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？7.将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大？8.抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离.9.某工厂生产两种产品A 与B ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品A与生产y 单位的产品B 的总费用是22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）.求取得最大利润时两种产品的产量.10.为了测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚变的方式，得如下表所示的实测数据试根据这组实测数据，建立变量y 和t 之间的经验公式()y f t =.§6.8 二重积分的概念与性质习题6-81.设1221(),D I x y d σ=+⎰⎰其中}{1(,)11,22,D x y x y =-≤≤-≤≤又2222(),D I x y d σ=+⎰⎰}{1(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；试用二重积分几何意义说明1I 与2I 的关系．2.利用二重积分定义证明：(1) Dd σσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积）； (2)(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰（其中k 为常数）； (3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（12D D D =⋃，12,D D为两个无公共内点的闭区域）．3.根据二重积分性质比较下列积分大小： (1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成； (2)2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； (3)()Dln x y d σ+⎰⎰和3()Dln x y d σ+⎰⎰，其中}{(,)D x y x y e =+≥. 4.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)()DI xy x y d σ=+⎰⎰，其中}{(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤；(2)22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中}{(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤； (3)(1)DI x y d σ=++⎰⎰，其中}{(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；(4)22(49)DI xy d σ=++⎰⎰,其中}{22(,)4D x y x y =+≤.§6.9 二重积分的计算(一)习题6-91.计算下列二重积分：(1) 22()Dx y d σ+⎰⎰，其中:1,1D x y ≤≤；(2)(32)D x y d σ+⎰⎰,其中区域D 由坐标轴以及2x y +=围成；(3) 323(3)Dx x y y d σ++⎰⎰,其中D ：01,01x y ≤≤≤≤；(4) cos()Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角区域.2.画出积分区域并计算二重积分：(1)Dσ⎰⎰，其中D是由2,y x y ==(2) 2Dxy d σ⎰⎰,其中D 是圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) 22()Dx y d σ-⎰⎰，其中D ：0sin ,02y x x π≤≤≤≤(4) x y De d σ+⎰⎰,其中D :1x y +≤;(5) 22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由2,y y x ==及2y x =所围成的闭区域；(6) sin Dx d x σ⎰⎰，其中D 由,,22xy x y x ===所围成； (7) 1Dxd y σ+⎰⎰,其中D 由21,2,0y x y x x =+==围成； (8) 22Dx d yσ⎰⎰,其中D 由22,1,2xy y x x ==+=围成；(9) 226Dx y dxdy ⎰⎰， 其中D 由2,,2y x y x y x ==-=-围成的在x 轴上方的区域.3.改变下列二次积分的次序：(1) 1(,)ydy f x y dx ⎰⎰；(2) 2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3)1(,)dy f x y dx ⎰；(4) 212(,)xdx f x y dy -⎰；(5) ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰；(6)sin 0sin2(,)xx dx f x y dy π-⎰⎰；(7)12201()()xxdx f x dy dx f x dy -+⎰⎰⎰⎰.4.证明：211(,)()()yx dy f x y dx e e f x dx =-⎰⎰.5.如果二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的被积函数(,)f x y 是两个函数1()f x 及2()f y 的乘积，即12(,)()()f x y f x f y =⋅，积分区域{}(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，证明此二重积分恰为两个单积分的乘积：1212()()()()b da c Df x f y dxdy f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.6.设(,)f x y 在D 上连续，其中D 是由直线,,()y x y a x b b a ===>围成的区域，证明：(,)(,)bxbbaaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.7.设()f x 在[]0,1上连续，并且10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.8.用二重积分表示由曲面220,1,1z x y z x y =++=+=所围成的立体体积. 9.计算由四个平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体体积.10.求由曲面22222,62z x y z x y =+=--围成的立体体积.§6.10 二重积分的计算（二）习题 6-101.把(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 为:(1)222(0)x y a a +≤>； (2)2222(0)a x y b a b ≤+≤<<；(3)222x y x +≤； (4)01,01y x x ≤≤-≤≤.2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)11(,)dx f x y dy ⎰⎰； (2)20(,)xdx f x y dy ⎰；(3)11(,)xdx f x y dy -⎰； (4) 21(,)x dx f x y dy ⎰⎰.3.化下列积分为极坐标形式并计算积分值：(1)22200)adx x y dy +⎰； (2) 211222()xxdx x y dy -+⎰⎰；(3)220)ady x y dx +⎰.4. 计算下列二重积分：(1) 22x y Ded σ+⎰⎰,其中D 是由224x y +=所围成的闭区域；(2) 22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) arctanDyd xσ⎰⎰,其中D 是由22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ，其中D 是由x a =,y x a =+,y a =,3y a =及x 轴围成；(5)22()x y x yx y dxdy +≤++⎰⎰.5.选用适当坐标计算下列各题：(1)22Dx d yσ⎰⎰,其中D 是由2,,1x y x xy ===所围成的闭区域； (2)Dσ,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴围成的在第一象限的闭区域；(3) 22()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由直线,,3(0)y x y x a y a a ==+=>所围成的闭区域；(4)Dσ，其中D 是由圆环形闭区域：2222a x y b ≤+≤；(5) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D ：2220x y ax +-≤；(6) ()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由22,4,12y x x y x y =+=+=所围成的区域.6.进行适当变量代换，化二重积分()Df xy dxdy ⎰⎰为单积分，其中D 为由曲线1,2,,4(0,0)xy xy y x y x x y ====>>所围成的闭区域.7.做适当变量代换证明等式：11()()Df x y dxdy f u du -+=⎰⎰⎰，其中闭区域D ：1x y +≤.总习题六1.求函数(0)z a =>的定义域. 2.求下列极限:21(1)lim 1x x yx y x +→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 22(2)limx y x yx xy y →∞→∞+-+.3.试判断极限24200lim x y x yx y →→+是否存在. 4.讨论二元函数1()cos ,0(,)0,0x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处的连续性. 5.求下列函数的偏导数:20(1)d xyt z e t -=⎰; (2)arctan()z u x y =-.6.设r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.7.求函数u =的全微分.8.求(,,)y z x u x y z x y z =的全微分.9.设arctan22()yxz x y e-=+，求d z ，2zx y∂∂∂.10.设2222222,0(,)0,0x yx y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求(,)x f x y 及(,)y f x y . 11.设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在点(0,0)处的可微性.12.设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处， (1)偏导数是否存在？ (2)偏导数是否连续？(3)是否可微？说明理由.13.设2()1ax e y z u a -=+，sin y a x =，cos z x =，求d d yx.14.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂. 15.设(,,)z f u x y =，yu xe =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2zx y∂∂∂. 16.设()x yu x y x y+=≠-，求m n m n z x y +∂∂∂（m ，n 为自然数）.17.设(,)z z x y =为由方程xyz =z x ∂∂和z y∂∂. 18.设方程,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定了函数(,)z z x y =，求z x ∂∂，z y ∂∂.19.设z 为由方程(,)0f x y y z ++=所确定的函数，求d z ，22zx ∂∂.20.设333z xyz a -=，求2zx y∂∂∂. 21.设222222320z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩，求d d y x ，d d zx . 22.求函数3322(,)ln(1)1154x y f x y x y =+++--的极值.23.将正数a 分成三个正数,,x y z ，使m n p f x y z =最大，其中,,m n p 均为已知数.24.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p 和2p ，销售量分别为1q 和2q ，需求函数分别为11240.2q p =-和22100.05q p =-，总成本函数为123540()C q q =++.试问:厂家如何确定商品在两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？最大总利润为多少？25.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种产品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系有如下的经验公式:221212121514328210R x x x x x x =++---.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略; (2) 若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.26.计算二重积分：(1)(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和()0,1的梯形闭区域；(2)22()Dx y d σ-⎰⎰，其中{}(,)0sin ,0D x y y x x π=≤≤≤≤；(3),Dσ其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；(4)2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰,其中{}222(,)D x y x y R =+≤. 27.交换二次积分的次序：(1)()1440(,)y dy f x y dx -⎰⎰；(2)110(,)dx f x y dy ⎰；(3)123301(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.28.证明：()()0()()()ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰；29.把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域{}(,)1,11D x y x y x =≤≤-≤≤.30.计算二重积分：(1)22D x d yσ⎰⎰，其中D 是由2xy =，21y x =+和2x =所围成的闭区域； (2)226Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由y x =，y x =-和22y x =-所围成的在x 轴上方的闭区域；(3)3Dy d xσ⎰⎰，其中D：221,0x y y +≤≤≤(4)Dσ⎰⎰,其中D 是由圆心在点(,)a a ，半径为a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的闭区域2222(5)(2sin 34).x y a I x x y dxdy +≤=+++⎰⎰31.交换二次积分的次序：(1)2sin(,)xdx f x y dy π⎰⎰； (2)20(,)(0)adx f x y dy a >⎰；. 32.证明： ()()0()()()ayam a x m a x dy ef x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰.33.证明：221()()()()1b x b n n aaa dx x y f y dyb y f y dy n ---=--⎰⎰⎰. 34.证明：()201()()()2xvux f t dt du dv x t f t dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.35. 计算 22[1()]DI x yf x y dxdy =++⎰⎰，其中D 由31,1,x y y x ===围成，f 是连续函数.。