第三章非周期信号的频谱

复习
• 1、周期信号的频谱 • 2、周期信号频谱的特点 • 3、周期信号的功率谱
3.4 非周期信号的频谱
一、傅里叶变换
前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔 趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同 时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些 无穷小量之间仍保持一定的比例关系。
t0
（其中 0)
t0
F(j 2
) f(t)ejtdt
0 etejtdt e e dt t jt
0
1 1
j j
2
j
f (t) 称为 F(j) 的原函数。
简记为 f(t) F(j)
ℱftF j
与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函
数时， F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列
关系：
F (j) F (j)e j( ) R () j( X )
F(j) f(t)ejtdt
f(t)costdtj ftsin tdt
T
FnT
2 T
f(t)ejntdt
2
.
f(t)
n
FnTejnt
1 T
当周期 T 趋近于无限大时， 趋近于无穷小，取其
为
d
，而
1
T 2
将趋近于
0 时，它是离散值，当
d
2
，n 是变量，当
趋近于无限小时，它
就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。
T
于是当 T时，式
成为
FnT
2 T
f(t)ejntdt
图 3.4-3 单边指数函数 e t t 0
例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
解：上图所示的信号可表示为：
或者写为
f(t)et , 0 1
et , f1(t)et ,
t 0 t 0
将 f (t) 代入到式 1
F(j)f(t)ejtdt ，
可得其频谱函数为：
2
f(t)
n
FnTejnt
1 T
F (j ) T l i F m n T f(t)e j td t(1 )
def 1 f(t)
F (j
)ejtd(2)
2
（1）式称为函数 f (t) 的傅里叶变换 。 （2）式称为函数 F( j) 的傅里叶逆变换。
F(j)称为 f (t) 的频谱密度函数或频谱函数.
f(t)21F(j)co s[t()]d 10F(j)co s[t()]d
上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分 量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率 “分
量”。由式可见，Fj d2Fjdf 相当于各
“分所量以”信的号振的幅频，谱它不是能无再穷用小幅量度。表示，而改用密度函 数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数
Fj
(时域越窄,频域越宽)
4
2
0
2
4
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例3.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数.
ett
1
0
t
图 3.4-2 单边指数函数 e t t 0
解: 将单边指数函数的表示式 et t 代入到式
F (j ) f(t)ejtdt中得：
F ( j )
f (t )e jt dt
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F( j)为频谱密度函数。
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式 f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ejntdt可得
F( j) 为负代表相位为 ， 0
F(为j正) 代表相位为 。
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。 对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 ( 1 )
之间的频段为信号的频带宽度。
这样，门函数的带宽 f 1 ，脉冲宽度越窄，
其占有的频带越宽。
e e dt t jt 0
1
j
0
这是一复函数,将它分为模和相角两部分：
F(j ) 1 j
1 2
ejarctan) (
2
F(j)ej()
幅度谱和相位谱分别为：
F(j) 1 2 2
频谱图如下图所示：
Fj
1/
()arctan)(
() / 2
0
(a) 振幅频谱
0
- / 2
(b) 相位频谱
F 1 (j
)0e te jtd t e te jtdt
0
11
j j
2 2 2
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
实偶
其频谱图如下所示 ：
F1(j) 2/
0
F1(j)222
实偶
例3.4-4 求下图所示信号的频谱函数。
f2 (t)
1
e-t
0
t
-et
-1
解: 上图所示的信号可写为 ：
et, f2(t)et,
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶 变换表示式改写成三角函数的形式，即
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
j2 1 F (j)s i n t [( )d ]
0
ft2 1 F (j)co t s( [)d ]
Fj 可看作是单位频率的振幅，称 Fj为频谱密度
函数。
二、 典型信号的傅里叶变换 例3.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号
g (t ) 表示，其宽度为 ，幅度为 1。求其频谱函数。
g t
1
2
0
2
t
解： 如图所示的门函数可表示为 其频谱函数为
g
t
1 ,
0
,
t
2
t
2
F(j ) f(t)ejtdt
221ejtdtej2 j ej 2
2jsin
2
j
sin
2
2
S(a)
2
g
t
Sa
2
g t
1
F jSa 2
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j) 和相位
谱()两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
R() ftcotsdt X() ftsi ntdt
F(j) R2()X2()
()arctaXn() R()
是 的偶函数。
是 的奇函数。
结论： 在f(t)
(1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱 函数F(jω)为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。