三角形四心”向量表示
三角形“四心“的向量统一形式及证明
三角形“四心“的向量统一形式及证明三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。
以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。
则A、B、C的坐标分别为A(0, 0)B(1, 0)C(k, m)其中k、m为未知数，待求。
重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。
设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。
由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Oxm * Ox + b = Oy解方程可以得到Ox = 1/4 + k/2Oy = m/4 + b垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。
设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。
由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：c1 = 0mc2 + b2 = 0解方程可以得到Hx = 0Hy = -b2/m内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。
设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。
由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：Ix = (k+b2-b1) / (2*m)Iy = m * Ix + b2由以上分析可以得到“四心”的坐标：重心G：(1/3*k, m/3)外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)垂心H：(0, -b2/m)内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。
三角形“四心”的向量表示及运用2
三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心 已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上 的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（ ）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（ ）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（ ） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（ ）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。
高考专题之三角形四心的向量性质
高考专题之三角形“四心”的向量性质四心的概念（1）重心：中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心：高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A BC ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若G A G B G C ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D EF ，，分别为ABC △的边B C A C A ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P图3图2与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。
运用平面向量判断三角形的四心公式
运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。
三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。
下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。
首先，我们需要了解什么是三角形的四心。
在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。
在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来推导三角形的四心公式。
设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。
那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。
该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形四心的向量应用
→
2
3
|AB| |AC| 2
形．故选 D.
→ →
→
→
→
→
→
→
→
7.已知向量OP1，
OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，
求证：△P1P2P3 是正三角形．
证明
→
→
→
→
→
1
由已知条件可得OP1＋OP2＝－OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－ .
2
→
→
→
→
1
同理OP2·OP3＝OP3·OP1＝－ .即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，
O,N,P 依次是△ABC 的
外心 ,
重心 , 垂心 .
解析 由||=||=||知 O 为△ABC 的外心;
由 + + =0 知 N 为△ABC 的重心;
因为·=·,所以(-)·=0,
所以·=0,所以⊥,即 CA⊥PB,
同理 AP⊥BC,CP⊥AB,所以 P 为△ABC 的垂心.
角形各顶点(1)O是△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0；
→ → → → → →
(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
→
→
→
→
→
→
(3)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC2)；
→
→
→
→
→
||
+
||
,即=λ
||
+
分别表示平行于和的单位向量,故
||
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
高中数学：向量中的三角形“四心”
高中数学：向量中的三角形“四心”
向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得，即，所以。
同理可证。
故O为
△ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得
，所以。
同理可证。
容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得。
设BC边中点为M，则，所以，即点G在中线AM 上。
设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。
结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得
，得。
由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为
△ABC的内心。
证明：由于，可得。
设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。
因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。
由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上。
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得由题意得，所以
，得。
故点O为△ABC的外心。
高中数学：三角形四心与向量
三角形四心的向量表示知识点总结奔驰定理：O 为ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=1.重心（1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;说明：若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;（2）P 为ABC 所在平面内的一点，1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 证明 ：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））2．垂心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++;说明：若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan=++（2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;3．外心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的外心⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++;说明：若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++（2）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OCOB OA ==)4．内心（1）O 是ABC ∆内心⇔0OC c OB b OA a =++ 。
三角形的四心的三种向量表示
万方数据
·解题研究·
中。７擞·７（２００９年第４期·高中版）
２５
所在平面内一点，且劢·（蔫＋婴ＩＡＢＩ）＝
一ＢＯ·（篙＋骂Ｉ ＢＣＩ）＝茄·（盖＋熹删Ｄ是
ＡＢＣ的（
）
Ａ．内心
Ｂ．外心
Ｃ．重心Ｄ．垂心
解如图２，丽Ａ两Ｂ衣不－－早化１．１ａＪ萤Ａ廿’，婴ＩＣＡＩ表示
单位向量才，
Ｃ
图２
．．．粤＋望：詹＋才：劢． ＩＡ日Ｉ Ｉ翻１ ．·．ＡＤ为［Ａ的外角平分线， 同理ＣＥ为ＬＣ的外角平分线．
．·．苦缶＋苦岳的方向与￡ＢＡＣ的平分线同向，
即ＡＯ为￡ＢＡＣ的平分线，同理可得ＢＯ为 ＬＡＢＣ的平分线，
．·．０为ＡＡＢＣ的内心，故选Ａ． 点评 由于内心是三角形三内角平分线的交 点，因而要确定内心，必须会用向量表示某一内角平
分线，而丽ａ＋面ｂ龙以口，西为邻边的内角平分线的
最佳表示． 变式４（２００８年黄冈中学模拟）若０为ＡＡＢＣ
心．
图５
．－。ｓ△删。＝｜ｓ△烈口Ｃ，半 一△ＯＡＯ
：一土，鱼：一１３
’ＳＡ槲￡一
２，’从∥瓣 川
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＳＡ＾蝴 ３ Ｓ△＾ｏｃ一２‘
点评这里先确定０点的位置是解题成败的关
键，可见，灵活“用心”也不可忽视． 变式２（２００８年黄冈谲考）在△ＡＢＣ孛，０兔
外心，Ｐ是平面内一点，满足葫＋０－７３＋旋＝历，则Ｐ
解如图３，设Ｄ为
＾
ＢＣ的中点，由向量的加
法法则可得Ａ雪＋ＡＣ＝
Ｃ
２ ＡＤ，依题意知ＡＰ＝
２Ａ ＡＤ，又Ａ Ｅ ０，＋∞）． Ｂ
．。．Ｐ，Ａ，Ｄ三点共线，
图３
又ＡＤ为ＡＡＢＣ的中线，故点Ｐ的轨迹一定通过
三角形“四心”向量表示
三角形 【2 】四心的向量问题三角形重心.垂心.外心.心坎向量情势的充要前提的向量情势 一．常识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是心坎ABC ∆的充要前提是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使前提变得更简练.假如记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则适才O是ABC∆心坎的充要前提可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆心坎的充要前提也可所以0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心坎,则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心坎;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠地点直线过ABC ∆的心坎(是BAC ∠的角等分线地点直线); 二．典范(一)．将平面向量与三角形心坎联合考核 例1．O 是平面上的必定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹必定经由过程ABC ∆的（）（A ）外心（B ）心坎（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 偏向上的单位向量分离为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的根本性质知AP 等分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 等分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新鲜.生疏”,起首AB是什么？没见过！想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简略的根本常识,如向量的加减法.向量的根本定理.菱形的根本性质.角等分线的性质等,若十分熟习,又能敏捷地将它们迁徙到一路,解这道题一点问题也没有.(二)将平面向量与三角形垂心联合考核“垂心定理”例2．H 是△ABC 地点平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 地点平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的（D ） A ．外心B ．心坎C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考核平面向量有关运算,及“数目积为零,则两向量地点直线垂直”.三角形垂心界说等相干常识.将三角形垂心的界说与平面向量有关运算及“数目积为零,则两向量地点直线垂直” 等相干常识奇妙联合.(三)将平面向量与三角形重心联合考核“重心定理” 例4．G 是△ABC 地点平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证实 作图如右,图中GE GC GB =+贯穿连接BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0, 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5．P 是△ABC 地点平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证实CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB.OC 为相邻双方构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE=,同理可证其它双方上的这共性质,所所以重心,选D.点评：本题须要扎实的平面几何常识,平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为21λ=.本题在解题的进程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质等相干常识奇妙联合.(四)．将平面向量与三角形外心联合考核 例7若O 为ABC ∆内一点,OA OB OC==,则O 是ABC ∆ 的（ ）CA ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的界说知O 到ABC ∆的三极点距离相等.故O 是ABC ∆ 的外心 ,选B. 点评：本题将平面向量模的界说与三角形外心的界说及性质等相干常识奇妙联合. (五)将平面向量与三角形四心联合考核例8．已知向量1OP ,2OP ,3OP 知足前提1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1,求证△P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下）,温习参考题五B 组第6题） 证实 由已知1OP +2OP =-3OP ,双方平方得1OP ·2OP =21-,同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-,∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3,从而△P1P 2P 3是正三角形.反之,若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中间,则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 地点平面内一点,1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中间.例9．在△ABC 中,已知Q.G.H 分离是三角形的外心.重心.垂心.求证：Q.G.H 三点共线,且QG:GH=1:2.【证实】：以A 为原点,AB 地点的直线为x 轴,树立如图所示的直角坐标系.设A(0,0).B （x 1,0）.C(x 2,y 2),D.E.F 分离为AB.BC.AC 的中点,则有：212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ,故Q.G.H 三点共线,且QG ：GH =1：2【注】：本例假如用平面几何常识.向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标情势,将向量的运算完整化为代数运算,如许就将“形”和“数”慎密地联合在一路,从而,许多对称.共线.共点.垂直等问题的证实,都可转化为闇练的代数运算的论证.例10．若O.H 分离是△ABC 的外心和垂心. 求证 OC OB OA OH ++=.证实 若△ABC 的垂心为H ,外心为O ,如图. 连BO 并延伸交外接圆于D ,贯穿连接AD ,CD .∴AB AD ⊥,BC CD ⊥.又垂心为H ,BC AH ⊥,AB CH ⊥, ∴AH ∥CD ,CH ∥AD ,∴四边形AHCD 为平行四边形,∴OC DO DC AH +==,故OC OB OA AH OA OH ++=+=.有名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心.重心.垂心的地位关系：（1）三角形的外心.重心.垂心三点共线——“欧拉线”;（2）三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.“欧拉定理”的向量情势显得特殊简略,可简化成如下的向量问题. 例11．设O .G .H 分离是锐角△ABC 的外心.重心.垂心.求证 OHOG 31=证实 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++=由此可得 OHOG 31=.补充演习1．已知A.B.C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 知足OP =31 (21OA +OB21+2OC ),则点P 必定为三角形ABC 的（B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M,则OM OB OA 2=+,由OP =31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=,∴MC MP 32=,即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点,且点P 不过重心,故选B.2．在统一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ知足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB ,则Ｏ为ABC ∆的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个极点A.B.C 及平面内一点P 知足：0PA PB PC ++=,则P 为ABC ∆的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点,A.B.C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足：)(AC AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹必定经由过程△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心4．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的动点,且动点P 知足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=,则P 点为三角形的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心5．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的一点,且点P 知足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=,则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心G A BCMN G图16．在三角形ABC 中,动点P 知足：CP AB CB CA •-=222,则P 点轨迹必定经由过程△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →知足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与知足(||||AB AC AB AC +)·=0,即角A 的等分线垂直于BC,∴ AB=AC,又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12,∠A=3π,所以△ABC 为等边三角形,选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m = 19.点O 是三角形ABC 地点平面内的一点,知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角等分线的交点（B ）三条边的垂直等分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1,已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直 线与AB,AC 双方分离交于M,N 两点,且AM xAB =,AN y AC =,则113x y +=.证 点G 是ABC ∆的重心,知GA GB GC ++=O ,得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ,有1()3AG AB AC =+.又M,N,G 三点共线（A 不在直线MN 上）, 于是消失,λμ,使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且,有AG x AB y AC λμ=+=1()3AB AC +,得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩,于是得113x y +=。
三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明
三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PPP ∆三边) 证明：充分性1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心 若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OP P P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
必要性：O 是123PP P ∆的重心⇒1230OP OP OP ++=如图，延长1PO 交23P P 于P ，则P 为23P P 的中点，由重心的性质得12POOP =. ∵()12323122()2=-=-⨯+=-+OP OP OP OP OP OP ∴1230OP OP OP ++= ②点O是123PP P ∆的垂心⇔122O POP O P O P O PO P⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP PP ⊥,123OP P P ⊥31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅. ③点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OPOP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)P 12PP 3OPABCDO④O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
三角形四心的向量表示
3.（2006陕西）已知非零向量AB与 A满C足
( AB AC ) BC 0且 AB AC 1 ,
| AB | | AC |
| AB | | AC | 2
则△ABC为（ ） D A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
2.在 ABC中，给出 AD 1 AB AC , 2 等于已知AD是 ABC 中 BC边的中线;
3. O是ABC 的重心 OA OB OC 0
4.PG
1 3
(PA
PB
PC)
G
为 ABC 的重心.
例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
a2b1
|
【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
例5.如图,在ABC内求一点P,使得: |AP|2 +|BP|2 +|CP|2 的值最小.
解:设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m-a,CP=m-b.
| AP |2 | BP |2 | CP |2
三角形“四心”的向量表 示
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是AABC 的重心 O OA+OB + OC=0=AAOe = AAOB若0 是AABC 的重心，则“g AAX一故OA+OB + OC = 0；PC = 4-(戸N + RS + OG 为A4BC的心.ABoe △ABC2. 0 是AABC的垂心o OA OB =OB OC = OC・OA ；若0是AABC （非宜角三角形）的垂心，则^ABOC：S MO"S DB = tan A：taii B：taii C 故tan AOA + tan BOB + tan COC= 03. 0 是AABC的外心o lOAimOBITOCI (或dX? =OB^ =OC^)若0 是AABC 的外心则'ABOC：S^OB = sinZBOCtsinZAOC ：slnZAOB = $ln2A ; sIn2B:sln2C故sInZAOA + slnlBOB + sInZCOC =CAI CAI ICBI4. 0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记而,，不的单位向量为引，则刚才0是IBCIAABC 内心的充要条件可以写成OA. (Cj+63)= OB.(e,+€2)= 00.(62+63) = 0AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB+cOC = 0 。
若o是AABC的内心，则S QM； S4WB = 3： bj c故aOA + b 而 + cOC = OsSsInAOA + sInBOT + sInCOC = 0I丽1疙+|5?1莎+1乙5lP5 = 6oP是AABC的内心;向助鴿+ 所在直线过WC的内心（是ZBAC的角平广n分线所在直线）;（一）将平面向量与三角形内心结合考査例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(AB AC —+）,A € [0,4-3）JOO P点的轨迹一定通过M3C的（）A Cl（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4 R解析：因为A"_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又AB "OP-OA = AP,则原式可化为川>=久2|+勺），由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中，AP平分ZBAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”例2. 〃是△磁所在平面内任一点，HA H B^HB HC^HC HA O点〃是△磁的垂心.由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=0 0市益-oo丽丄衣,同理花丄而，HA±^•故〃是△磁的垂心•（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB = PB、PC = P CPA,则P是ZkABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・（PA — PC）=（X即PB・C4 = 0则PB丄（X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”例4. G是△磁所在平面内一点，刃+而+云=0o点G是△磁的重心.线. 证明作图如右，图中^ + GC = GE连结朋和⑦ 则d包，庞曲70 磁F为平行四边形=>e是％的中点，Q为％边上的中将而+云=52代入方+而+炭=0,得^ + ^=0=> ^ = -GE = -2GD,故G是△磁的重心•（反之亦然（证略））例5. P是△磁所在平面内任F G是△磁的重心。
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三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA (OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O是ABC∆内心的充要条件可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））ABCE DO 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0， 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。
本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。
故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-，同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-，∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,(,)22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2xQ y H x y （、,122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x yAH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y 2112212221232122122122122()(,),3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心. 求证OC OB OA OH ++=.证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD . ∴ABAD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BCAH ⊥，AB CH ⊥，∴AH ∥CD ，CH ∥AD ， ∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证OH OG 31=证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++=由此可得 OH OG 31=.补充练习1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则OM OB OA 2=+，由OP=31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=，∴MC MP 32=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC∆的（ D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，则P 为ABC∆的（ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 点为三角形的（ D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心G ABCMN G图15．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P点为三角形的（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA •-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||AB ACAB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB=AC ，又cos A =||||AB ACAB AC ⋅=12，∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 19.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直 线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=。