推荐2721 相似三角形的判定同步练习1B

合集下载

人教版九年级数学下册【推荐】27.2.1 相似三角形的判定-同步练习(1)B(含答案)

相似三角形判定练习题1．如图1，（1）若OAOB=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．(1) (2) (3)3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________，•AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）．A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）．A．45° B．60° C．75° D．90°(4) (5) (6)7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，•写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）•和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由．11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，•上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N•与窗户的距离NC ．12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ．13．在Y ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FNNE的值．14．在△ABC 中，M 是AB 上一点，若过M 的直线所截得的三角形与原三角形相似，•试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．15．为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子的距离是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？试加以说明．16．在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=80°，∠B=30°，∠B′=20°．•试分别在△ABC 和△A′B′C′中画一条直线，使分得的两个三角形相似．在下图中分别画出符合条件的直线，并标注有关数据．17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（）．A．△DBE B．△ADE C．△ABD D．△BDC18．如第17题图，已知等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC，•则ADAC的值为（）．A．12B．5151.1.C D-+19．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD•于点E．（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．。

八年级数学相似三角形的识别练习题1-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学

八年级数学相似三角形的识别练习题1-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第2课时相似三角形的识别（一）一．练习巩固1．如图，∠1=∠2，∠F=∠C。

（1）试说明：∠ABC∠∠AEF；（2）若2．如图，在Rt∠ABC和Rt∠AMN中，∠N=60°，∠°，交∠1=∠2，在此图中，你能找出几对相似三角形？一一写出来，并说明你的理由。

二．选择题3．下列叙述中不正确的是（）A．∠C=90°，∠B=20°；中，∠90°，∠=20°，则∠B．35°和100°，45°和35°则两个三角形相似。

C．等腰三角形的底角为50°，等腰三角形的顶角为80°，则D．等腰三角形和等腰三角形都有一个角为25°，则4．图中共有相似三角形（）A．6对B．5对Ｃ．4对Ｄ．3对四．综合题5．如果∠1=∠2，∠D=∠A，∠。

6．如图，∠1=∠2=∠3，写出图中的相似三角形，并说明理由。

五．作业1．下列结论中不正确的是（）A．有一个锐角相等的两直角三角形相似。

B．有一个锐角相等的两等腰三角形相似C．有一个角等于120°的两个等腰三角形相似D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似2．∠∠1＝∠2，∠B＝∠D，写出图中四对相似三角形，并说明相似的理由。

3．将两块完全相同的等腰直角三角形放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似三角形吗？如果有，一一写出，并给予证明。

感谢阅读，欢迎大家下载使用！。

相似三角形的判定与性质练习题(附答案)

相似三角形的判定与性质练习题一、单选题1.如果两个相似三角形的相似比是1:2, 那么这两个相似三角形的面积比是( ) A.2:1 B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A. AD AE BD EC= B. AF DF AE BE= C. AE AF EC FE= D. DE AF BC FE = 3.下列四条线段中，不能组成比例线段的是（）A.3,6,2,4a b c d ====B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C. AD AC AE AB =D. AD AE AB AC= 5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所示,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠︒＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（） A.1个 B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平行四边形ABCD 中, E 为CD 上一点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则:?DE EC = ( ) A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2二、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同一条直线上，ABC △与DCE △都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ≅△△；（2）AG AF GC FE=. 16.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ⋅=⋅.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABC FCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：2.PD PB PC =⋅19.如图，//AB FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ≅△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MN AB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正方形方格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ;(2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的面积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的面积比为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标. 25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直角梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上一个动点,当PC PD +的和最小时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AO CO.28.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=︒,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为__________ 29.已知578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取一点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边1C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（用含n 的式子表示，n 为正整数）33.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FG AG=________.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成比例B 选项，因为1232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成比例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成比例D 选项，因为2252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成比例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两角分别相等的两个三角形相似,可以得出ABC AED ~△△;当AD AC AE AB=时,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D.5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,1 2.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB ∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,5555DF DF BD BD ∴=∴==⨯=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ∆~∆,∴DE EF BC CF=. ∴点E 是边AD 的中点, ∴12AE DE AD ==, ∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ∆中, 90,6,3,:2ABCAB BC AB BC ∠====. A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠∆与ABC ∆不相似,故本选项符合题意; C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; 故选:B.8.答案：C解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三角形点评：该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。

北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质与判定》同步练习(含答案)

相似三角形的性质与判定一、填空题1.如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B 43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为．2.如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．二、解答题3.已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=4.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+．5.已知：AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线，M 为DE的中点，求证：4321EAD BCFDCBAD CB A22AB BMAC CM=6.已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．7.如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY于P 、Q . ⑴证明：11OP OQ+是定值；⑵求2211OP OQ +的最小值8.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：2BP PE PF =⋅．9.如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和MD MED CBADCBA4321F EDCB A QPYXOAF PEDCBABC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=．10.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ．求证：AC FABC FD=．11.如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=12.如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．PEDCBA321FD E C BAD CB ADOECB A相似三角形的性质与判定答案解析一、填空题1.10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥ ∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．2.3:5;过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．二、解答题3.过C 作CE AD ∥交直线AB 于EHFCBD AE∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BDAE CD=，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． 4.解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB的平行线，由于所给120BAC ∠=︒平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证．解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段CD ADBC BM=和BD ADBC CN=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证．（本题只给出第一种解法的步骤）．【解析】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E . ∵120BAC ∠=︒，BAD CAD ∠=∠，EDCBANMDCBAF 4321EDCB A∴60BAD CAD ∠=∠=︒ ∵DE AB ∥， ∴60ADE BAD ∠=∠=︒ ∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ⇒=∥，AE BDAC BC=∴1DE AE CD BDAB AC BC BC+=+= 等式两边同除以AD ，则有：111AB AC AD +=5.连接AM ，由已知条件可知90DAE ∠=︒，ACM CAD ADC BAD DAC CAM BAM ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠，又∵AMC AMB ∠=∠ ∴AMC BMA ∆∆∽， ∴AB BM AC AM =，AB AMAC CM=∴22AB BM AC CM=． 6.在ABC ∆外作ABE ADB ∠=∠交DA 的延长线于点E ，∵23∠=∠，34∠=∠， ∴24∠=∠，又∵1BDE ∠=∠， ∴AEB ADC ∆∆∽ ∴AE ABAC AD=，即AE AD AB AC ⋅=⋅，① 由AEB ADC ∆∆∽可得：ACD E ∠=∠，又∵ADC BDE ∠=∠， ∴DAC DBE ∆∆∽， ∴DA DE DC DB ⋅=⋅，②-②①得：DA DE AE AD DC DB AB AC ⋅⋅⋅-⋅-=∴()AD DE AD DC DB AB AC -=⋅-⋅，即2AD BD CD AB AC =⋅-⋅ 7.⑴ 方法一：过点A 作OA 的垂线，分别交OX 、OY 于点F 、E ，过点P 作OY 的平行线交EF的延长线于点K .∵XOA YOA ∠=∠，EF OA OE OF ⊥⇒=KP PA KP OY QE AQ ⇒=∥，KP PFOE OF =∴KP PF =，KP PF PAQE QE AQ==∵PA OPXOA YOA AQ OQ∠=∠⇒=∴PF OP PF QEQE OQ OP OQ=⇒=∵1OF OP OF PFOP OP OP --==，1OE OE OQ EQ OQ OQ OQ --== ∴112OF OE OF OEOP OQ OP OQ-=-⇒+= ∴112OP OQ OE+=因为A 点为定点，故E 、F 均为定点，OE 为定值，所以11OP OQ+是定值. 方法二：过A 作AM OY ∥，交OX 于M ，易证得：AM OM =设AM OM a ==，∵AM OY ∥ ∴a PMOQ OP=，即a OP a OQ OP -=，整理得：111OQ OP a+=， KQ FE P YXOAa aYX M PQOA∵已知A 是XOY ∠的平分线上的定点， ∴a 为定值. ∴11OQ OP+为定值. ⑵ 因为222111111()2OP OQ OP OQ OP OQ +=+-⋅，其中11OP OQ+为定值，要使2211OP OQ + 的值最小，则必须使OP OQ ⋅的值最小. 而()()OP OQ OF PF OE EQ ⋅=+⋅-2OE =+()OE EQ PF OE EQ -⋅-⋅ 又PF OPEQ OQ=， ∴()()0OE EQ PF OE EQ OE PF OP EQ OE OQ PF -⋅-⋅=⋅-⋅=-⋅≥ 当且仅当OP OF =，即点P 处于点F 处时OP OQ ⋅有最小值2OE . 此时2211OP OQ +有最小值22OE 本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换. 8.连接CP ，由CF AB ∥， ∴1F ∠=∠，再证明APB APC ∆∆≌可得12∠=∠（也可以由AB AC PB PC ==，，于是ABC ACB PBC PCB ∠=∠∠=∠，，等量减等量便可得12∠=∠）又∵CPE FPC ∠=∠， ∴CPE FPC ∆∆∽， ∴2PC PE PF =⋅，又∵PC PB =， ∴2PB PE PF =⋅．9.过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽，21F P EDC BA∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠，又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．10.∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =， ∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴13∠=∠，又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFD CD=，又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，， ∴ABC ACD ∆∆∽， ∴AD ACCD BC =， ∴AC FABC FD=． 11.过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥，4321MPE D CBA∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．12.∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=，又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OAOA OC =， ∴OD OA OB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥．321ED CBA。

人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定同步练习及答案【新改】

27.2.1 相似三角形的判定（3）一、基础练习1．已知线段AC 、BD 交于O ，如图1，OC ：OB=1：2，OA=6cm ，•OD=•3cm ，•AB=•7cm ，则CD=____．OBACDBA C DGF BACE D M G F(1) (2) (3)2．如图2，△ABC 中，∠C=90°，四边形DEFG 是正方形，点G 、F 分别在AC 、BC 上，DE 在AB 上，则图中相似的三角形共有_______对，它们分别是____________．3．如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，则图中与△ABC 相似的三角形为_________．4．•如图4，•∠1=•∠2=•∠3，•则图中相似三角形共有______•对，•它们分别是_________．BAC 31ED 2BA CE DP(4) (5) (6) 5．如图5，有下列条件：①∠B=∠C ；②∠ADB=∠AEC ；③AD AE AC AB =；④AD AE AB AC =；⑤PE BPPD PC=，•其中一个条件就能使△BPE ∽△CPD 的条件有_______个，它们分别是_________．（填序号就可以）6．如图6，在△ABC 中，AB=24，AC=18，D 是AC 上一的点，AD=12，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为________． 7．如图7，在Rt △ABC 的直角边AC 上有一点P （P 不同于A 、C ），过P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足条件的直线共有_______条，这些直线与△ABC•的边的位置关系分别是______________．B AC ED F(7) (8) (9)8．如图8，在YABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长为__________．9．如图9，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，AP=4cm ，BP=3cm ，CP=5cm ，则DP=______cm ．10．如图，在正方形网格上，请你画两个三角形，使它们不全等且分别与图中的△ABC 相似，其相似比不为1，三角形的顶点都在正方形的顶点上，并注明相应的字母．BAC二、整合练习1．如图，已知△ABC 的高CD 、BE 相交于点F ，求证：CF ·FD=BF ·FE ．BAC E DF2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ABDC AC，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，求证：AB ·DF=AC ·DE ． BA CE DF3．如图，已知正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP=3PC ，Q 是CD 的中点．求证：（1）△ADQ ∽△QCP ；（2）AQ ⊥QP ；（3）AQ=2AQ ；（4）AQ 平分∠DAP ．BA CQD P答案:一、基础练习1．3．5cm 2．6 △ABC 与△GFC △ABC 与△AGD △ABC 与△FBE • •△AGD•与△GFC △AGD 与△FBE △GFC 与△FBE 3．△ADE △GBF △GDM4．4 △ADE 与△ABC △ACD 与△ABC △ACD 与△ADE △DEC 与△CDB 5．4 ①②④⑤6．16或9（△AED ∽△ABC 或△ADE ∽△ABC ）7．3 一条与AB 平行，一条与BC 平行，一条与BC 垂直 8．1．8 9．125（连结AC 、BD ，证明△APC ∽△DPB ） 10．如图B 2C 1A 2C 2B 1A 1B A C二、整合练习1．因为BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD ，△CFE ∽△BFD （两角对应相等，两三角形相似），CF FEBF FD=，即CF ·FD=BF ·FE ． 2．因为BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，可证△BDE ∽△CDF ，得BD DE DC DF =，又BD ABDC AC=，所以AB DE AC DF=，即AB ．DF=AC ．DE ． 3．（1）∠D=∠C=90°，AD DQQC PC==2．（2）证∠AQD+∠PQC=90° （3）由（1）得AQ ADPQ QC==2 （4）•证△ADQ ∽△AQP。

27.2.1_相似三角形的判定(1)(含答案)

27.2.1 相似三角形的判定（1）一、基础练习1．_______相等，_______成比例的三角形，叫做相似三角形，其中______的比k叫做相似比．2．全等三角形是相似比k为______的相似三角形，全等三角形与相似三角形的共同点是它们的________相等，不同点是_________．全等三角形是相似三角形的特例．3．•平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，•所构成的三角形与原三角形________．4、如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A、B、C、D、如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）．5．如下左图，DE∥BC，则图中______∽_______，理由是__________．BACE D BACDO6．如上右图，AB ∥CD ，则图中______∽_______，理由是____________________________． 7．下列图中，公共角所对的边不平行，请你添加一个条件，•使具有公共角的两个三角形相似．(1)BA C E (2)BA CD (3)BA E D添加条件：添加条件：添加条件： _____________ ________________ ____________ 可得____∽_____ 可得_____∽_____ 可得 _____∽______ 8．根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．（1）∠A=100°，AB=5cm ，AC=15cm ，∠A ′=100°，A ′B ′=4cm ，A ′C ′=10cm ．（2）AB=5cm ，BC=6cm ，AC=7cm ；A ′B ′=10cm ，B ′C ′=12cm ，A ′C ′=14cm ．二、整合练习1．如图，已知△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且AC=3cm ，BC=4cm ，AB=5cm ，指出图中各对相似三角形及其相似比．BC2．如图，已知ABCD 中，E 为AD 延长线上的一点，AD=23AE ，BE 交DC 于F ，指出图中各对相似三角形，及其相似比．BCE DF答案:一、基础练习1．对应角对应边对应边2．1 对应角全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例． 3．相似4．（1）对应相等（2）对应成比例夹角（3）对应成比例5．△ADE △ABC 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，•所构成的三角形与原三角形相似．6．△ABO △CDO ，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，则两个三角形相似．（由AB ∥CD ，可证∠B=∠C ，∠A=∠D ，或证∠B=∠C ，∠AOB=∠DOC 等）7．添加一对角相等（如（1）∠B=∠D或∠AED=∠ACB或∠BED=∠BCD）或添加夹公共角A的两边对应成比例（如（1）AE AD AC AB=）（1）△ABC △ADE （2）△ADC △ACB （3）△ADE △ABC8．（1）因为5153,,''4'102'''AB AC AB ACA B A C A B A C===≠，所以△ABC与△A′B′C′不相似（2）因为1'''''2AB BC ACA B B C A C===，所以△ABC∽△A•′B′C′（三边对应成比例，两三角形相似）二、整合练习1．因为AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，A C2+BC2=AB2．由勾股定理逆定理得∠ACB=90°，•又CD⊥AB，∠ADC=∠CDB=90°．因∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°．所以△ABC∽△CBD（两角对应相等，两三角形相似），其相似比为ABCB=54．同理△ABC∽△ACD．其相似比为ABAC=53，又∠ADC=•∠CDB=90°，∠ACD=∠B，所以△ACD∽△CBD，其相似比为ACCB=34．2．因为ABCD中，AE∥BC，所以△DEF∽△CBF（•平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），其相似比为113223AE DE DE AE ADCB AD AD AE-====因为ABCD中，DC∥AB，所以△DEF∽△AEB．（理由同上），其相似比为1133AEDEAE AE==．又△CBF•∽△AEB，其相似比为23CB ADAE AE==．。

相似三角形的判定练习

相似三角形的判定练习在数学的奇妙世界中，相似三角形是一个重要且有趣的概念。

掌握相似三角形的判定方法对于解决各种几何问题至关重要。

接下来，让我们通过一系列的练习来深入理解和熟练运用这些判定方法。

相似三角形的判定方法主要有以下几种：第一种是“两角分别相等的两个三角形相似”。

这是因为三角形的内角和为 180 度，如果两个三角形有两个角分别相等，那么第三个角也必然相等。

例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果角 A 等于角D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。

第二种是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

这里要特别注意，必须是夹角相等。

比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与 A'C'的比值，且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形相似。

第三种是“三边成比例的两个三角形相似”。

假如三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 与三角形 A'B'C'的三条边 A'B'、B'C'、A'C'的比值都相等，那么这两个三角形就相似。

下面我们通过一些具体的例子来进行练习。

例 1：已知在三角形 ABC 中，角 A ＝ 30 度，角 B ＝ 70 度，在三角形 DEF 中，角 D ＝ 30 度，角 E ＝ 70 度。

求证：三角形 ABC 相似于三角形 DEF。

因为角 A ＝角 D ＝ 30 度，角 B ＝角 E ＝ 70 度，所以根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以得出三角形 ABC 相似于三角形DEF。

例 2：在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB ＝ 6，BC ＝ 8，AC ＝ 10，A'B' ＝ 3，B'C' ＝ 4，A'C' ＝ 5。

2721相似三角形的判定同步测控优化训练(含答案)

相似三角形的判定一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列命题中,正确的个数是( )①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似.2 C2.如图27-2-1-1所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D 点,则图中相似三角形有( )对对对对图27-2-1-1 图27-2-1-2 图27-2-1-33.一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________. 二、课中强化(10分钟训练)1.如图27-2-1-2,已知△ADE ∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD== B.BC DEAC AEAB AD==C.BC DE AB AC AEAD == D.BCDEEC AEAB AD==解析：找准对应边是关键.答案：A2.如图27-2-1-3,锐角△ABC 的高BD,CE 交于O 点,则图中与△BOE 相似的三角形的个数是( ).2 C3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD 对角线AC,BD 的交点O 作EF ∥AD,分别交两腰AB,DC 于E,F 两点,则图中的相似三角形共有( ) 对对对对图27-2-1-4 图27-2-1-54.在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( ) A.∠A=∠C′ B.∠A=∠A′ C.C B B A BC AB ''''= D.C A B A AC AB ''''=5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m,长臂端点升高 ( )A.11.25 mB.6.6 mC.8 mD.10.5 m6.如图27-2-1-6,△ABC 内接于⊙O,∠BAC 的平分线交⊙O 于点D,交边BC 于点E,连结BD. (1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形; (2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.图27-2-1-6三、课后巩固(30分钟训练) 1.下列说法正确的个数是( )①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似 .2 C2.如图27-2-1-7,D 为△ABC 的边AB 上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC 的长为_______________.3.在△ABC 中,∠C=90°,D 是边AB 上一点(不与点A,B 重合),过点D 作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( ) 条条条条4.如图27-2-1-8,正方形ABCD 内接于等腰三角形PQR,则PA ∶PQ 等于( )∶2∶2 C.1∶3 ∶3图27-2-1-7 图27-2-1-8 图27-2-1-95.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7 m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.请问图中(1)共有多少个三角形?把它们一一写出来.(2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有,请把它们一一写出来.图27-2-1-107.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=3,BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.(1)求BF的长;(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长.图27-2-1-118.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的顶点A,B,C 在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A 1B 1C 1,使△A 1B 1C 1∽△ABC(相似比不为1),且点A 1,B 1,C 1都在单位正方形的顶点上.图27-2-1-129.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上,这时CD=31AB,为什么?图27-2-1-1310.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE 和BC 是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B 开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?图27-2-1-1411.如图27-2-1-15,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.图27-2-1-15参考答案一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列命题中,正确的个数是( )①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似.2 C解析：两个直角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定成比例,等腰三角形的对应角不一定相等,所以②③不正确,①符合AA,④符合SAS. 答案：B2.如图27-2-1-1所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D 点,则图中相似三角形有( )图27-2-1-1对对对对解析：根据AA 判定法有三对相似. 答案：C3.一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.解析：可求得两个三角形对应边的相似比为2,所以另外两边为4,6. 答案：4 cm,6 cm 二、课中强化(10分钟训练)1.如图27-2-1-2,已知△ADE ∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是( )图27-2-1-2A.BC DE AB AE AC AD == B.BCDEAC AE AB AD ==C.BC DE AB AC AE AD == D.BCDEEC AE AB AD == 解析：找准对应边是关键. 答案：A2.如图27-2-1-3,锐角△ABC 的高BD,CE 交于O 点,则图中与△BOE 相似的三角形的个数是( )图27-2-1-3.2 C 解析：△ADB ∽△AEC ∽△OEB ∽△ODC. 答案：C3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD 对角线AC,BD 的交点O 作EF ∥AD,分别交两腰AB,DC 于E,F 两点,则图中的相似三角形共有( )图27-2-1-4对对对对解析：△ADB ∽△EOB,△ABC ∽△AEO,△ADC ∽△OFC,△DBC ∽△DOF,△AOD ∽△CDB. 答案：C4.在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( )A.∠A=∠C′B.∠A=∠A′C.C B B A BC AB ''''=D.C A B A AC AB ''''=解析：画出草图帮助分析,得D 不满足SAS 判定法. 答案：D5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m,长臂端点升高 ( )A.11.25 mB.6.6 mC.8 mD.10.5 m图27-2-1-5解析：作出如右示意图,由△AOB∽△EOD可求得答案.答案：C6.如图27-2-1-6,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连结BD.图27-2-1-6(1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形;(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.分析：利用同圆或等圆中同弧上所对的圆周角相等,找出等角得相似三角形,如△ADB∽△ACE等.解：(1)△ADB∽△ACE∽△BDE.(2)证:△ADB∽△ACE.∵∠DAB=∠DAC,又∵∠D=∠C,∴△ADB∽△ACE.三、课后巩固(30分钟训练)1.下列说法正确的个数是( )①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似.2 C解析：一个等腰三角形的一个底角等于另一个等腰三角形的顶角.则这两个等腰三角形不相似,所以①错;所有等腰三角形的三个角不一定对应相等,所以③错,②④正确.答案：B2.如图27-2-1-7,D 为△ABC 的边AB 上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC 的长为_______________.图27-2-1-7解析：由△ABC ∽△ACD,得AC 2=AD·AB. 答案：32 cm3.在△ABC 中,∠C=90°,D 是边AB 上一点(不与点A,B 重合),过点D 作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( ) 条条条条解析：如右图所示,有三条直线可满足要求. 答案：C4.如图27-2-1-8,正方形ABCD 内接于等腰三角形PQR,则PA ∶PQ 等于( )∶2 ∶2 C.1∶3 ∶3 解：∵△PAD ∽△PQR, ∴QRADPQ PA . 又∵QR=QB+BC+CR=3AD, ∴C 正确. 答案：C5.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7 m 宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.图27-2-1-9解：∵△BCD ∽△ACE, ∴ECCDAC BC. 又∵AC=+BC, ∴BC=4.答案：4 m6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.图27-2-1-10请问图中(1)共有多少个三角形?把它们一一写出来. (2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有,请把它们一一写出来. 解析：(1)按边过滤找,不要重查或漏查; (2)根据相似三角形的条件:两角对应相等来找.答案：(1)7个,△ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG; (2)有,△ADE ∽△CDA,△BAE ∽△ADE,△ABE ∽△DCA.7.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG 在同一直线上,且AB=3,BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE 于点P,Q,R.图27-2-1-11(1)求BF 的长;(2)求BR 的长;(3)求BQ 的长;(4)求PQ 的长.解：(1)∵△ABC ≌△DCE ≌△FEG,BC=1,AB=3,∴BC=CE=EG=1,EF=FG=AB=3.∴BG=3.∴3331,33===FG EG BG FG ∴FGEG BG FG =. ∵∠G=∠G,∴△BFG ∽△FEG. ∴FG EG BF EF =. ∴313=BF .∴BF=3. (2)∵△ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形,∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG.∴AC ∥DE ∥FG ,DC ∥EF.又∵BG=BF,∴BR=BE=2.(3)∵DC ∥EF,BC=CE,∴BQ=21BF=. (4)∵AC ∥DE,∴BP=BC=1.∴PQ=BQ-BP=.8.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的顶点A,B,C 在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A 1B 1C 1,使△A 1B 1C 1∽△ABC(相似比不为1),且点A 1,B 1,C 1都在单位正方形的顶点上.图27-2-1-12解析：将原三角形的边长扩大2倍.答案：如图所示.9.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上,这时CD=31AB,为什么?图27-2-1-13解：已知BC 与AD 交于点O,OA=3OD,OB=3OC.求证:CO=31AB. 证明:∵OA=3OD,OB=3OC,∴13,13==OC OB OD OA .∴13==OC OB OD OA . 又∵∠COD=∠BOA,∴△COD ∽△BOA.∴31==OA OD AB CD . ∴CD=31AB. 10.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE 和BC 是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B 开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?图27-2-1-14 解：∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE.∴1810=+BD AD AD .∴AD=10. 11.如图27-2-1-15,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.图27-2-1-15解：当△ABP ∽△PDC 时,CD PB PB BD AB =-,得PB=120或PB=20;当△A BP ∽△CDP 时,BPBD PB CD AB -=,BP=85. 答:当BP 分别为120 cm,20 cm,85 cm 时,图中三角形相似.。

冀教版九年级数学上学期(第一学期)《相似三角形的判定》同步训练题及答案.docx

冀教新版九年级数学上册《25.4 相似三角形的判定（一）》一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对2．已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．3．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，CD=3，CE=2．则AE的长等于（）A．5 B．6 C．7 D．9二、填空题5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1=∠______时，△ADC∽△ACB，若∠2=∠______时，△ADC∽△ACB．6．如图，如果∠B=∠C，那么______∽______，______∽______．7．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF=______．8．如图AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数有______对．9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=______m．10．如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有______对．三、解答题11．如图，若∠A=∠C，那么△OAB与△OCD相似吗？有OA•OD=OB•OC吗？为什么？12．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．14．如图：AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若∠DAC=∠B，CD=CE．试说明△ACE∽△BAD．四、综合运用题15．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的长．《25.4 相似三角形的判定（一）》答案一、选择题1．C；2．C；3．C；4．C；二、填空题5．B；ACB；6．△BAE；△CAD；△BOD；△COE；7．2.4；8．6；9．5.5；10．4；三、解答题11．12．13．14．四、综合运用题15．。

人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习1 含答案

27.2.1相似三角形的判定（1）1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A 1对B 2对C 3对D 4对4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形AB C 相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？答案1、D E ∥BC2、C3、C4、C5、B6、略7、AD=516cm 8、两种截法（1）新截三角形的三边分别是10cm,25cm,30c m （2）新截三角形的三边分别是12cm,30cm,36cm。

相似三角形的判定知识点及习题精选

相似三角形的判定知识点及习题精选编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形的判定知识点及习题精选）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似三角形的判定知识点及习题精选的全部内容。

知识点：相似三角形1、相似三角形1)定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似.两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）; 2）性质：两个相似三角形中,对应角相等、对应边成比例.3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k.4)判定：①定义法:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．（此定理用的最多)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理：错误!。

相似三角形的判定同步测试

相似三角形的判定同步测试一．判断题：1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，若∠A=∠A 1=450，∠B=270 ∠B 1=1080则这两个三角形相似（）2．两个等腰三角形有一内角等于1000，那么这两个三角形相似（）3．有两边对应成比例，且有一角对应相等的两个三角形相似（）4．在Rt △ABC 和Rt △A 1B 1C 1中，设∠C=∠C 1=900，AB 、A 1B 1边上的中线分别为CD 、C 1D 1，且,1111D C CD C A AC = 则△ABC ∽△A 1B 1C 1 （）二．填空1、如图所示，已知∠ADE=∠C ，则△AED ∽——，理由是————2、在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠B=∠B 1 AB=9，BC=12，B 1C 1=6，则A 1B 1=-----时 ABC ∽△A 1B 1C 1，当A 1B 1=------时，△ABC ∽△C 1B 1A 1。

3．如图已知∠1=∠2，要使△AOC ∽△DOB ，还要增加的条件是------（要求至少写两种）4．如图CD 、BE 是不等边锐角三角形ABC 的两条高，连接DE 则图中相似三角形有------对5．下列命题（1）所有的等腰三角形都相似，（2）所有的等边三角形都相似，（3），所有的等要直角三角形都相似，⑷所有的直角三角形都相似（其中真命题的序号都填上）三．选择6．如图P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于点B 和C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使得截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的条数是（）A 1 B 2 C 3 D 4 7，如图DE ∥FG ∥BC ，图中相似三角形共有（）A 1对 B 2对 C 3对 D 4对8．如图在等边△ABC 中D 、E 分别在AC 、AB 上，且31=AC AD ，AE=BE ，则有（） A △AED ∽△BED B △AED ∽△CBD C △AED ∽△ABD D △BAD ∽△BCD 9 四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP ∽△ECP 的是（）A ∠APB=∠EPCB ∠APE=900C P 是 BC 的中点D BP ：BC=2：310．在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=41BC ，下面得出6个结论（1）△ABF ∽△AEF （2）△ABF ∽△ECF （3）△ABF ∽△ADE （4）△AEF ∽△ECF（5）△AEF ∽△ADE （6）△ECF ∽△ADE 其中正确结论的个数是（）A 1B 3C 4D 6四、证明题：11、△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1080，D 是BC 上一点，且BD=AB ，证明△DAC ∽△ABC 。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《相似三角形判定定理的证明》同步练习题

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》同步练习题（附答案）1．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF，作点G交AD于点G，下列结论：①CF＝CD，②G是AD中点，③△DCF∽△AGF，④＝，其中结论正确有（）个．A．1B．2C．3D．42．如图矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F 在矩形ABCD的内部，将AF延长后交边BC于点G，且＝，则的值为（）A．B．C．1D．3．如图，在菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（）A．B．C．D．4．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，BE＝5，则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且BC＝2CE，连接DE 交AC于点F．若DF＝2，则EF的长是（）A．2B．C．2D．37．在△ABC中，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且满足DB⊥BA，DC＝AB，则＝（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD、BE相交于点F，且AF＝6，，则AC的长为（）A．B．C．D．9．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（）A．B．C．D．110．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC ，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝2，，则DE的长度为（）A．B．C．D．11．如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD ＝10，则CF＝（）A．2B．3C．4D．612．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝3：1，四边形DBCE的面积为21，求△ADE 的面积．13．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE＝CF；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝．14．已知矩形ABCD的一条边AD＝4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处．（1）如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．15．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点E、D是底边所在直线上的两点，联接AE、AD．若AD2＝DC•DE．求证：（1）∠ABC＝∠DAE；（2）．16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠ADE＝∠C，DE交边AC于点E．（1）求证：＝；（2）若＝，求证：∠ABD＝∠ADB．17．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝3，AC＝2时，求AE的长．18．如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若BC＝9，EC＝3，AE＝2，求AB的长．19．如图，点D在△ABC的边AD上，已知AD＝2，DB＝1，AC＝，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．20．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD、AE，它们相交于点F，且∠BDA＝∠BAE．（1）求证：BE2＝EF•AE；（2）若BE＝4，EF＝2，DF＝9，求AB的长．21．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．22．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC＝45°，BD＝3，CD＝2，求AD的长．23．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．参考答案1．解：如图，作CM⊥DF于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCM＝90°，∴∠ADF＝∠DCM，∵DF⊥AE，CM⊥DF，∴∠AFD＝∠CMD＝90°，∴△DAF≌△CDM，∴CM＝DF，DM＝AF，∵∠ADF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∵BE＝CE，∴AB＝2BE，∴＝，∴DM＝MF，∵CM⊥DF，∴CD＝CF，故①正确，∴∠CDF＝∠CFD，∵∠CDG＝∠CFG＝90°，∴∠GFD＝∠GDF，∴GF＝GD，∵∠GDF+∠DAF＝90°，∠GFD+∠AFG＝90°，∴∠GAF＝∠GF A，∴GF＝GA，∴GD＝GA，∴G是AD中点，故②正确，∵∠AFD＝∠GFC，∴∠AFG＝∠CFD，∠GAF＝∠CDF，∴△DCF∽△AGF，故③正确，设AF＝a，则DF＝2a，AB＝a，BE＝a，∴AE＝a，EF＝a，∴＝，故④正确，故选：D．2．解：如图，连接GE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴CE＝EF，在Rt△ECG与Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG＝FG，∵＝，设CG＝FG＝4a，则BG＝5a，∴AF＝AD＝BC＝9a，∴AG＝13a，∴AB＝＝＝12a，∴，故选：A．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，∴△EAG∽△FBG，∴＝＝，∴＝，∴＝，故选：D．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠EAD＝∠FBA＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGE＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠BF A＝∠AED，在△AED和△BF A中，，∴△AED≌△BF A（AAS），∴AE＝BF，∵AE＝15，BE＝5，∴BF＝15，AB＝20，∴AF＝＝＝25，∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠F AB，∴△AGE∽△ABF，∴＝（）2＝（）2＝，∴△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是：9：（25﹣9）＝9：16，故选：D．5．解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝≠，故A错误；假设＝正确，∴DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠ADE＝∠B，∴△ADE∽△DBF，∴＝＝，∵＝，∴DF＝BF，∵△DBF∽△ABC，∴＝，∴AC＝BC，显然与已知条件不符，∴＝不正确，故B错误；∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝≠，故C错误；∵△ADE∽△DBF，∴＝＝＝，故D正确，故选：D．6．解：如图，过D作DG∥AC交BC于G，∵D是AB的中点，∴BD＝AB，∵DG∥AC，∴△BDG∽△BAC，∴＝＝，∴BC＝2BG，∴BG＝CG，∵BC＝2CE，∴CE＝CG，∵DG∥AC，∴CF是△DEG的中位线，∴EF＝DF＝2，故选：A．7．解：过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，如图，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝180°﹣120°＝60°，设BH＝x，则CH＝x，BC＝2x，设＝t，∵CD＝AB，∴＝t，∵DB⊥BA，CH⊥AH，∴BD∥CH，∴＝＝t，∴AB＝tx＝CD，∴AD＝t2x，∴BD＝＝tx，∵BD∥CH，∴△ABD∽△AHC，∴＝＝，＝，∴（t+1）＝．两边平方得：（t2﹣1）•（t2+2t+1）＝3，∴t4+2t3+t2﹣t2﹣2t﹣4＝0，∴t3（t+2）﹣2（t+2）＝0，∴（t3﹣2）（t+2）＝0，∵t+2＞0，∴t3﹣2＝0，∴t＝．故选：A．8．解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∴∠BAD+∠ABE＝45°，∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt△EFG中，EF＝2，∴FG＝EG＝2，∵AF＝6，∴AG＝AF﹣FG＝4，根据勾股定理得，AE＝，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝45°＝∠AFE，∵∠CAF＝∠F AE，∴△AEF∽△AFC，∴，∴AC＝＝，故选：D．9．解：∵矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，∴BC＝2，∴根据勾股定理得AC＝＝2，∵S△ABC＝×AB×BC＝×AC×BE，∴BE＝＝，根据勾股定理得CE＝＝，∴AE＝AC﹣CE＝，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴CF：AB＝CE：AE，∴CF＝＝1．故选：D．10．解：设BD的长为x，∵，∴DC＝2x，∴BC＝BD+DC＝3x，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝3x，∠B＝∠C＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠CDE＝120°，∵∠CDE+∠DEC＝120°，∴∠ADB＝∠DEC，∴△ABD∽△DCE，∴，∵AD＝2，∴∴DE＝．故选：C．11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，∴△CDF∽△BEF，∴BE：DC＝BF：CF，∵BE：AB＝3：2，DC＝AB，∴BE：DC＝BF：CF＝3：2，∴CF：BF＝2：3，∴CF：BC＝2：5，∵AD＝BC＝10，∴CF：10＝2：5．∴CF＝4．故选：C．12．解：∵AD：DB＝3：1，∴AD＝AB＝AB，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵S ABC＝S△ADE+S四边形DBCE，且S四边形DBCE＝21，∴＝，∴S△ADE＝27，∴△ADE的面积是27．13．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠FDC＝90°，∵DE⊥CF于点G，∴∠CGD＝90°，∴∠ADE＝∠DCF＝90°﹣∠CDE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF．（2）证明：如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵DE⊥CF于点G，∴∠CGD＝90°，∴∠ADE＝∠DCF＝90°﹣∠CDE，∴△ADE∽△DCF，∴＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴∠C＝∠D＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，AB＝CD，由折叠得∠OP A＝∠B＝90°，OP＝OB＝4﹣OC，∴∠COP＝∠DP A＝90°﹣∠CPO，∴△OCP∽△PDA．（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴＝＝，∴＝，∴PC＝AD＝×4＝2，∵OC2+PC2＝OP2，∴OC2+22＝（4﹣OC）2，∴OC＝，∵＝＝，∴PD＝2OC＝2×＝3，∴AB＝CD＝PC+PD＝2+3＝5，∴边AB的长为5．15．证明：（1）∵AD2＝DC•DE，∴，∵∠D为公共角，∴△ADC∽△EDA，∴∠ACD＝∠DAE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD，∴∠ABC＝∠DAE；（2）∵∠ABC＝∠DAE，∠E为公共角，∴△ABE∽△DAE，∴，即AE2＝EB•DE，∴，即．16．（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠EAD＝∠DAC，∴△EAD∽△DAC，∴＝．（2）证明：∵＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ABC，∴∠CED＝∠ABD，∵∠CED＝∠DAC+∠ADE＝∠DAC+∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C，∴∠CED＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB．17．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝3，AC＝2，∴＝，∴AE＝．18．（1）证明：∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC．∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠ABD，又∵∠CED＝∠AEB，∴△AEB∽△CED．（2）解：∵BC＝CD，BC＝9，∴CD＝9，∵△AEB∽△CED，∴＝＝，∴AB＝DC＝6．19．解：如图，作CE⊥AB于点E，∵AD＝2，DB＝1，AC＝，∴AB＝2+1＝3，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴＝＝，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴BC＝CD，∵∠CED＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD，∴CE＝＝CD，∴CD＝CE，∴BC＝×CE＝CE，∴BE＝＝CE，∴∠B＝∠ECB＝45°，∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠BCD＝60°﹣45°＝15°，∴∠BCD的度数是15°．20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA，∵∠BDA＝∠BAE，∴∠DBC＝∠BAE，∵∠BEF＝∠BEA，∴△EBF∽△EAB，∴，∴BE2＝EF•AE；（2）解：∵BE2＝EF•AE，且BE＝4，EF＝2，∴AE＝＝＝8，∴AF＝AE﹣EF＝8﹣2＝6，∵BE∥AD，∴＝，即＝，解得BF＝3，∵△EBF∽△EAB，∴＝，即＝，∴AB＝6．21．（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ECA+∠DCF＝90°，∴∠EAC＝∠DCF，∴△AEC∽△CFD，∴＝＝，∴EC＝2AE＝8，解法一：∴＝＝＝4．解法二：∴＝（）2＝（）2＝4．22．解：如图，过点C作CG⊥AB于G，交AD于O，设BG＝x，∵AD⊥BC，∴∠AGC＝∠ADC＝90°，∵∠AOG＝∠COD，∴∠BAD＝∠BCG，∵∠B＝∠B，∴△BCG∽△BAD，∴＝，∵BD＝3，CD＝2，∴＝，∴AB＝，∵∠BAC＝45°，∴△AGC是等腰直角三角形，∴CG＝AG＝﹣x，由勾股定理得：AD＝＝＝，∵S△ABC＝•BC•AD＝AB•CG，∴5＝•（﹣x），∴﹣+2＝0，设y＝，则原方程可化为：225y2﹣55y+2＝0，（45y﹣2）（5y﹣1）＝0，∴y＝或，当y＝时，AB2＝＝225×＝10，∴AD＝＝＝1（此种情况∠BAC不是锐角，因为边AB＜BC），当y＝时，AB2＝＝45，∴AD＝＝＝6，综上，AD的长为6．23．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE＝∠BAF；（2）∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF•FQ＝AF•BQ．。