湖南省宁乡一中2020年4月高一入学考试数学试卷及答案
2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝sin （x 6π+）﹣1 B ．f （x ）＝2sin （x 6π+）﹣1 C ．f （x ）＝2sin （x 3π+）﹣1D ．f （x ）＝2sin （2x 3π+）+12．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km3．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=42,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π5．已知函数41()x f x e-=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+ 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-7．若，则向量的坐标是（ ）A ．（3，－4）B ．（－3，4）C ．（3，4）D ．（－3，－4）8．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D9．若实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩，则z ＝x +y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖南省宁乡一中、攸县一中2020届高三数学4月联考试题 理(含解析)
宁乡一中、县一中2020年四月高三联考试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合B，再由集合间的交集运算得到结果即可.【详解】由题可知集合，，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于基础题.2.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果.【详解】因为,所以复数的虚部为，选A.【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.3.微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2020年1月至2020年11月期间每月跑步的平均里程（单位：十公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月D. 月至月的月跑步平均里程相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】【分析】根据折线图估计中位数、确定增减性、估计最大值，研究稳定性，即可确定选项.【详解】根据折线图得中位数为月份对应的里程数；月跑步平均里程在1月、月、7月10月减少，月跑步平均里程高峰期大致在月；月至月的月跑步平均里程相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳，所以选D.【点睛】本题考查根据折线图估计相关数据，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知向量，且，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的充要条件计算即可.【详解】易知，，因为，所以，解得：，故选：B【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】设,则，,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判断能力，属基础题.6.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数值舍去B，再根据函数值舍去D，最后根据上单调性确定选A. 【详解】因为,所以舍去B，因为，所以舍去D，因为时，，因此选A.【点睛】本题考查函数图象与函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.7.阅读程序框图，该算法的功能是输出（）A. 数列的第项B. 数列的第项C. 数列的前项的和D. 数列的前项的和【答案】A【解析】【分析】执行循环，根据输出值确定选项.【详解】执行循环，结束循环，输出即为数列的第项，选A.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．9.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先分析得到四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.详解：由题得,∴四边形PMON是正方形，∴|PO|=,∵满足以上条件的点有且只有一个，∴，∴.故选B.点睛：本题的关键是对已知条件的分析转化，首先要分析出四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段、，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足.后人把这个数称为黄金分割，把点称为线段的黄金分割点，图中在中，若点，为线段的两个黄金分割点，在内任取一点，则点落在内的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何概型概率求解.测度为面积.【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.即所求概率为选B.【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则A. B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.12.若关于x的不等式成立，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案．【详解】令，，函数单调递增，，函数单调递减，且时，，绘制函数的图象如图所示，满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，很明显时不合题意，当时，令可得：，故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，令可得：，据此可得：的最小值是．故选：A．【点睛】本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.二项式的展开式中含的项的系数是__________.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，进而确定含的项的系数.【详解】因为，所以令得因此含的项的系数为【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题.14.设，满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.【详解】作可行域，如图，则直线过点A(1.1)时取最小值【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15.中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则_________. 【答案】【解析】【分析】根据正弦定理化边为角，再根据二倍角正弦公式得结果.【详解】因为，所以,因为，所以,,因为，所以【点睛】本题考查正弦定理以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16.我们常用以下方法求形如函数的导数：先两边同取自然对数，再两边同时求导得，于是得到，运用此方法求得函数的单调递减区间是____________.【答案】【解析】【分析】根据题中的方法先求函数导数，再解不等式得减区间.【详解】因为，所以,两边同时求导得,因此，由，得,即单调递减区间是.【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列中，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求公比，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再根据裂项相消法求.【详解】解：（1）设正项等比数列的公比为因为，，成等差数列，所以，得，则，即，又所以.又，故数列的通项公式（2）由（1）知，所以则【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.18.如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面角得△PBE为等腰直角三角形，再取BC的中点O，证得PO⊥平面EBCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】（1）证明：∵AB CD，AB BE，∴CD//EB，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC，又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；（2）由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PB=EB，∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结PO，∵ PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则，，从而,, ，设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，则由得，令得，由得，令得，设二面角D-PE-B的大小为，则，即二面角D-PE-B的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知椭圆的两焦点分别为，，其长轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，若直线与椭圆相交于两点，，且与的斜率之和为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求得，，即得，（2）设，，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得【详解】解：（1）由题意可得，，故，可得椭圆方程为；（2）设，.联立得，，化简，得①②，③将②，③代入上式得，，满足①【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.20.近期，长沙市公交公司推出“湘行一卡通”扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，乘客只需利用手机下载“湘行一卡通”，再通过扫码即可支付乘车费用.相比传统的支付方式，扫码支付方式极为便利，吸引了越来越多的人使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如下表所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下支付方式现金乘车卡扫码比例假设该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.根据给定数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，求一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据：其中：，参考公式：对于一组数据，，…，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据散点图可判断，（2）先取对数，转化为直线方程，再求均值，代入公式可得回归方程，最后代入自变量可得预测值，（3）根据概率与对应支付的费用乘积的和求平均值.【详解】解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得：；设，，，，，，把样本中心点代入，得：，，，关于的回归方程式：；把代入上式：；故活动推出第天使用扫码支付的人数为；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：，，，；，，；，所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）. 【点睛】本题考查散点图、回归方程以及平均值计算，考查基本分析求解能力，属中档题.21.已知函数，.（1）若函数图像在点处的切线斜率为时，求的值，并求此时函数的单调区间；（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）,减区间为，无增区间.（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数几何意义列式解得的值，再求导数，根据导函数符号确定函数单调区间，（2）先取对数化简所证不等式为，再通过极值点条件化简为再转化不等式为，令，转化不等式为，最后根据导数研究函数单调性，即可证明不等式.【详解】（1）解：求得当时，，所以有，令，所以当时，，单调递增：当时，，单调递减，故，所以.则，故的单调减区间为，无增区间.（2）要证：，也即证：，又，所以，为方程的两根，即，即证，而①-②得，即证：，不妨设，，则证：，所以，设，则，在单调递增，，即结论成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知与，的公共点分别为，，，当时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，求得的极坐标方程.先将的参数方程消参得到直角坐标方程，再根据求得的极坐标方程.（2）将代入的极坐标方程，求得的表达式，代入，由此计算出的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即.曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知，，∴，∵，∴，，由，知，当，∴.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程、参数方程转化为极坐标方程的方法，考查利用极坐标的概念求解有关边长比值的问题，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意式成立，求实数的取值范围，【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值定义分离变量，再根据最值得实数的取值范围.【详解】解：（1）当时，原不等式等价于当时，即解；当时，即解；当时，即解；综上，解集为（2）当时，，因此原不等式即在上恒成立，或或【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020年湖南省六校联考数学试卷(4月份)答案解析
2020年湖南省六校联考数学试卷（4月）答案解析一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝2x﹣1}，，则A∪B＝（）A．（0，4）B．∅C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，∴A∪B＝（﹣2，+∞）．故选：C．2．若复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：因为复数z满足；∴z•i＝（1+i）（2i+1）＝1+2i2+3i＝﹣1+3i；∴z＝＝＝﹣（﹣i+3i2）＝3+i；在复平面内复数z对应的点为（3，1）在第一象限；故选：D．3．已知条件p：k＝1，条件q：直线y＝kx+1与圆相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线y＝kx+1与圆相切，则圆心到直线的距离d＝＝＝，得k2+1＝2，得k2＝1，得k＝±1，即q：k＝±1，则p是q的充分不必要条件，故选：A．4．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：在同一直角坐标系中画出各个函数的图象；①为y＝，②为y＝log3x，③为y＝x；④为y＝x3；故可得ABC的横坐标分别为c，b，a；故c＜b＜a；故选：B．5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝（）A．17B．29C．23D．35【解答】解：由题意可知，数列{a n}是以﹣3为公差的等差数列，因为S9＝9a1+＝207，解可得，a1＝35，则a3＝29，故选：B．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；又，故排除BC；故选：D．7．已知非等向量与满足，且，则△ABC为（）A．等腰非等边三角形B．直角三角形C．等边三角形D．三边均不相等的三角形【解答】解：已知非等向量与满足，利用平行四边形法则：所以取BC的中点D，整理得，所以AD⊥BC，由于，所以：在Rt△ABD中，，整理得得到：．由于AD为△ABC的中垂线，所以．进一步整理得△ABC为等腰三角形．故选：A．8．在正方体内随机放入n个点，恰有m个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设正方体棱长为2，根据题意，棱长为2的正方体，其体积为8，而其内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，则这一点在球内的概率为：＝＝；由题可得：＝⇒π＝；故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输出的数S＝3，那么判断框内可以填写的是（）A．k≥6？B．k≤6？C．k≥7？D．k≤7？【解答】解：因为k＝1时，m＝2；k＝2时，m＝；k＝3时，m＝﹣1；k＝4时，m＝2；三项一个循环，所以S＝3＝2（）是前六项的和．这是一个直到型循环，故填k≥7？故选：C．10．已知函数f（x）＝cos x•|sin x|，给出下列四个说法：①，②函数f（x）的一个周期为2π；③f（x）在区间上单调递减；④f（x）的图象关于点（π，0）中心对称．其中正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．②③【解答】解：f（）＝f（﹣）＝cos（）•|sin（）|＝，①错，A错，f（π）＝cosπ•|sinπ|＝0，所以f（x）的图象关于点（π，0）中心对称，④对，D错，f（2π+x）＝cos（2π+x）•|sin（2π+x）|＝cos x•|sin x|＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为2π，②对，故选：C．11．定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x≤0时，恒有，若g（x）＝x3f（x），则不等式g（2x）＞g（1﹣3x）的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又g（x）＝x3f（x），∴g（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝x3f（x）＝g（x），∴g（x）为R上的偶函数；又当x≤0时，恒有，∴当x≤0时，g′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝3x2（f′（x）+f（x））≥0，∴g（x）在（﹣∞，0]上为增函数，而g（x）为R上的偶函数，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数．∴不等式g（2x）＞g（1﹣3x）⇔|2x|＜|1﹣3x|，两端平方，有5x2﹣6x+1＞0，解得：x＜或x＞1，∴原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞），故选：D．12．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图1，由正、侧视图得：当凳脚所在直线为PC时，过P作P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则∠PDA＝∠PBA＝60°，设∠PCA＝α，则α为PC与底面所成角，∴P A＝，AC＝，PC＝，∴sinα＝，如图2，凳脚的切面为菱形PMEN，∠PCA＝α，∴sin，由题意知EC＝2，∴EP＝＝，∴切面的面积为S菱形PMEN＝＝＝（cm2）．故选：A．二、选择题13．在的展开式中x的系数为﹣85．【解答】解：∵＝（x+）[（2x）7﹣7（2x）6+•（2x）5﹣•（2x）4+•（2x）3﹣•（2x）2+•（2x）﹣1]＝﹣1﹣•4＝﹣85，故答案为：﹣85．14．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*），则a3+a4+a5+a6＝360．【解答】解：依题意，当n≥2时，由a n+1＝2S n+1，可得：a n＝2S n﹣1+1，两式相减，可得：a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1，即a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴S n＝＝．∴a3+a4+a5+a6＝S6﹣S2＝﹣＝360．故答案为：360．15．若实数x，y满足不等式，则的最大值为2．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC及内部），目标函数表示可行域内的点与点（﹣1，0）连线的斜率，⇒C（1，4）数形结合可知当直线经过点C（1，4）时，取最大值：＝2，故答案为：2．16．若点P是曲线C1：y2＝16x上的动点，点Q是曲线C2：（x﹣4）2+y2＝9上的动点，点O为坐标原点，则的最小值是．【解答】解：设P的坐标（x，y），由抛物线的方程y2＝16x，可得焦点F（4，0），恰好为圆：（x﹣4）2+y2＝9的圆心，因为P在抛物线上，所以|OP|＝＝，|PQ|的最小值为P到圆心的距离减半径3，即P到准线的距离减3，所以|PQ|＝x+4﹣3＝x+1，所以＝，设t＝x+1，x＝t﹣1，所以＝＝，令a＝，＝＝当a＝时，最小，且为，所以的最小值为．故答案为：．三、解答题17．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若时，求2b﹣c的取值范围．【解答】解：（1）因为．所以a cos C＝2b cos A﹣c cos A，由正弦定理可得，sin A cos C＝2sin B cos A﹣sin C cos A，所以sin（A+C）＝2sin B cos A＝sin B，所以cos A＝，因为0＜A＜π，故A＝；（2）由正弦定理可得，，所以b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（）＝，∴2b﹣c＝3sin B﹣cos B＝2（）＝2sin（B﹣），因为，∴﹣＜B﹣所以所以．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝CC1＝4，BC＝2，D为棱A1C1上的动点．（1）若D为A1C1的中点，求证：BC1∥平面ADB1；（2）若平面A1ACC1⊥平面ABC，且∠AA1C1＝60°．是否存在点D，使二面角B1﹣AD ﹣C1的平面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：连结A1B，交AB1于O，则O是A1B的中点，连结OD，∵D为A1C1的中点，∴OD∥BC1，∵OD⊂平面ADB1，BC1⊄平面ADB1，∴BC1∥平面ADB1．（2）∵AC＝CC1，∴平行四边形ACC1A1为菱形，即A1C⊥AC1，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，过点C作C1A的平行线CP，即CA1，CP，CB两两垂直，如图，以C为坐标原点，CA1，CP，CB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵∠AA1C1＝60°，∴，故，，假设存在D，使得二面角B1﹣AD﹣C1的平面角的余弦值为，设，∴，易得平面ADC1的一个法向量为，设平面B1AD的一个法向量为，则，可取，由，解得或，∵D在棱A1C1上，∴，即．19．已知圆C：（x+2）2+y2＝32，点D（2，0），点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点A（0，2），M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）∵点Q在线段PD的垂直平分线上，∴|PQ|＝|PD|．又|CP|＝|CQ|+|QP|＝4，∴|CQ|+|QD|＝4＞|CD|＝4．∴Q的轨迹是以坐标原点为中心，C（﹣2，0）和D（2，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．设曲线的方程为＝1，（a＞b＞0）．∵c＝2，a＝2，∴b2＝8﹣4＝4．∴点Q的轨迹的方程为；（2）当直线MN的斜率不存在时，则M（，﹣），N（﹣，﹣），直线MN的方程为y＝﹣，当直线MN斜率存在时，设MN：y＝kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣8＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由AM⊥AN，则＝0，即（1+k2）x1x2+k（t﹣2）（x1+x2）+（t﹣2）2＝0，则（1+k2）×+k（t﹣2）（﹣）+（t﹣2）2＝0，整理得：3t2﹣4t﹣4＝0，解得：t＝2（舍去）或t＝﹣，则直线MN的方程y＝kx﹣，则直线MN恒过点（0，﹣），当直线MN的斜率不存在时，则M（，﹣），N（﹣，﹣），直线MN的方程为y ＝﹣，综上可知：直线MN过点（0，﹣）．20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护．以下是湖南省2020年1月23日一31日这9天的新增确诊人数．日期232425262728293031时间x123456789新增确诊人数y151926314378565557经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒．（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型＝lnx+用于对疫情进行分析．对表中的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：＝5，＝42.2，，＝384，（y i ﹣）＝100.86，2＝60，，ln10＝2.3．根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数．（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X，求X＝k最有可能（即概率最大）的值是多少．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．【解答】解：（1）令u＝lnx，则＝u+，，∴，，∴y关于u的线性回归方程为，故该模型的回归方程为．当x＝10时，，∴预测第10天新增确诊人数为64人．（2）由题意可知，，化简得，，解得，2.6≤k≤3.6，∵k为整数，∴k＝3．故X最有可能的值是3．21．已知函数f（x）＝ae x﹣cos x．（1）证明：当a＝1时，f（x）有最小值，无最大值；（2）若在区间上方程f（x）＝0恰有一个实数根，求a的取值范围，【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝e x﹣cos x，f'（x）＝e x+sin x，f''（x）＝e x+cos x，当﹣＜x≤0，e x，＞0，cos x＞0，则f''（x）＞0；当0＜x，e x，＞1，cos x≥﹣1，则f''（x）＞0；即当﹣＜x，f''（x）＞0；∴f'（x）在﹣＜x时单调递增，∵＜0，f'（0）＝1＞0，存在，使得f'（x0）＝0，则当﹣＜x＜x0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x0＜x，f'（x）＞0，f（x）单调递增；故f（x）有最小值f（x0），无最大值；（2）若在区间上方程f（x）＝0恰有一个实数根，则a＝在区间上恰有一实根，则函数y＝a与g（x）＝在区间上恰有一交点，因为g'（x）＝，x∈，令g'（x）＝0，解之得x＝﹣，或，当x∈（﹣，﹣），（，π）时，g'（x）＞0；当x∈（﹣，）时，g'（x）＜0；则g（x）在（﹣，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，π）上单调递增，即极大值为g（﹣）＝，极小值g（）＝﹣，g（﹣）＝0，g （π）＝﹣，因为函数y＝a与g（x）＝在区间上恰有一交点，∴a∈{﹣}∪[﹣，0]∪{}．22．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t∈R），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（0≤θ≤2π）．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）射线l的极方程为θ＝α（0≤α≤π，ρ≥0），若射线l与曲线C1，C2分别交于异于原点的A，B两点，且|OA|＝4|OB|，求α的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数，t∈R），转换为和直角坐标方程为：x2＝2y，转换为极坐标方程为ρ2cos2θ＝2ρsinθ，整理得．（2）射线l的极方程为θ＝α（0≤α≤π，ρ≥0），若射线l与曲线C1，C2分别交于异于原点的A，B两点，所以，故，同理，故ρB＝2sinα，由于|OA|＝4|OB|，所以，所以4cos2α＝1，所以或．23．若不等式|x+m|+|x+1|≤3的解集非空．（1）求实数m的取值范围；（2）设m的最大值为M，若a、b∈R+，且a+b＝M，求的最小值．【解答】解：（1）∵|x+m|+|x+1|≥|（x+m）﹣（x+1）|＝|m﹣1|，∴|m﹣1|≤3，∴﹣3≤m﹣1≤3，即﹣2≤m≤4，故实数m的取值范围为[﹣2，4]；（2）由（1）知，a+b＝4，又a、b∈R+，∴＝≥a2+b2+2ab＝（a+b）2＝16，∴，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴的最小值为．。
【开学考试】湖南2020年高一新生开学考试复习卷-数学 一(含答案)
2020年高一新生开学考试复习卷-数学一一、选择题1.下列说法正确的有（）①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.一根铁丝正好围成一个长方形,一边长为2a+b,另一边比它长a﹣b,则长方形的周长为( )A.6aB.10a+3bC.10a+2bD.10a+6b4.下列实数中，是无理数的是（）A. B.﹣0.3 C. D.5.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C D.6.如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为α，第二次转过的角度为β，则β等于（）A.αB.90°﹣αC.180°﹣αD.90°+α7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则( )A.40°B.30°C.20°D.10°8.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.40°9.如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心， 2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（）A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定11.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为x m，则可列方程( )A.x(x－10)=375B.x(x+10)=375C.2x(2x－10)=375D.2x(2x+10)=37512.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3＋5，33=7＋9＋11，43=13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（）A.9B.12C.11D.10二、填空题13.如果实数x、y满足方程组，那么x2– y2= ．14.某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
湖南省宁乡一中届高三4月高考模拟数学(理)试题
21. 2. 3. 4. 宁乡县2010年湖南新课标高考仿真试卷（四）、选择题：（本大题共8个小题, 题目要求的•）已知x, y 三R ，是虚数单位，且 A.B. -1数学（理工农医类）时量：120分钟 分值：150分 命题：宁乡一中高三数学备课组每小题 5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 (x-1)i -y = 2 i ，则 i x -y 的值为(C. D. -4如图是一个简单几何体的三视图，其中正视图与侧视图 是边长为的正三角形，俯视图中正方形的边长为，则该 几何体的全面积是（C. 12B.D.执行如图所示程序框图, 若输出的“ —x [1,2] , x 2 _a S 是126，则①处应填写的内容为① 是已知命题： 2 x • 2ax • 2 - a =0” •若命题“且”是真命题，则实数的取值是( A. {a | a w -2或ww 2} B. { a| a 》1} C. {a | -2 ww 1} D. { a | a w -2 或 a = 1} 5 • .ABC 为锐角三角形，若角的终边上一点 sin ： cos ：(sin A -cos B,cos A -sin C)，则 y = |sin o | | cos 。
| C. 3> 0 ”；命题：“ x 0 • R ，使 A.B. -1 的坐标为 tan 二 的值为（ | tan ：| D. -3 6.已知常数a 1，实数 x, y 满足 y -12y _1 _2y _ -2y 的最大值为（A. B. C. D.S=S + 2n第3题图7•在等差数列｛a n ｝中，前项和S n二m ，其中m = n ，则S m r 的值（'ax +by =18.关于x,y的方程组2: 有解，且所有解都是整数，则有序实数对(a,b)所对应的点的个数是X2+y2 =10( )A. 36B. 32C. 28D. 24二、填空题：(本大题共7个小题，每小题5分，共35分.)9•对于单因素单峰函数，在试验区间[2,4]用0.618法选取试点，若第一个试点x,与第二个试点x2比较，X!是好点，且X, >X2，则第三个试点应选取的值是_______________ •10.已知随机变量©~N(2,<r2)，且P(匕< 4) =0.84，则P(© < 0)= _____________311.JJ1 _x|dx = ___________ •12.记等差数列｛a n｝的前项和为S n，利用倒序相加法的求和办法，可将S n表示成首项a,，末项a.与项数的一个关系式，即S n =(a1 an)n；类似地，记等比数列｛b n｝的前项积为T n，且0 0 ( n，N* ),2 ■类比等差数列的求和方法，可将T n表示为首项bl ,末项b n与项数的一个关系式，即公式T n 二 _________ •13.在AABC中，已知AB=2 , AC =4 , O是AABC的外心.AO BC的值为 _______________ •14.已知f (x), g(x)都是定义在上的函数，g(xp-0 , f (x)g (x) f (x)g(x) , f (x)二a x g(x) ( a 0且a^1)，卫对于有穷数列|丄迥! ( n= 1,2，…，10 )，任取正整数k (< k < 10), g1 ()g 2 [g(n)J15则前k项和大于15的概率是 ______________ •16\x=3cos 日①15.已知椭圆.(二为参数)的左、右焦点分别为F1、F2，一直线经过右焦点F2，且与椭圆j y = . 5 sin的长轴垂直，则在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该直线的极坐标方程为；若该直线与该极坐标系中的曲线C: P = 3交于、两点，则AF1AB的面积为__________ •三、解答题：(本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)已知向量m =(sin x,cos x), n =(、、3cos x,cos x)，函数f (x) =m n ( x ：= R, ■ .0)的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是-6(I )求函数f (x)的解析式；(II )若将函数f(x)的图象向右平移1个单位后，再将得到的图象上所有的点横坐标伸长到原来的6倍，纵坐标不变，得到y=g(x)的图象，求函数g(x)在区间［/ ］上的值域.3 317.(本小题满分12分某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如图所示:(I )计算这50天的日平均销售量；(II )若以频率作为概率，且每天的销售量相互独立①求5天中该种商品恰好有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图，AB为圆O的直径，点、在圆O上，且AB // EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且 AB =2 , AD =EF =1 .(I )设FC 的中点为M ，求证OM //平面DAF ； (II )求直线CF 与平面DAF 所成角的大小; (III )求二面角B -CF - E 的余弦值.19. (本小题满分12分)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：① f (x) = p q x ；②f (x)二px 2 • qx • 1 :③f (x)二x(x - q)2 • p .(以上三式中、均为常数，且q • 1)(I )为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(II )若f(0) =4 , f(2) =6，求出所选函数 f(x)的解析式(注：函数定义域是 [0,5].其中x =0表示8月1日，x =1表示9月1日，，，以此类推);(III )为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将 在哪几个月份内价格下跌.20.(本小题满分13分)CDBMEO15已知函数 f(x)=2x 2, g(x)=alnx ( a 0)(I )若直线l 交f (x)的图象C 于、两点，与l 平行的另一直线l 切图象C 于点M ，求证：、M 、三 点横坐标成等差数列；(II )若不等式f (x) > g(x)恒成立，求的取值范围；21 .(本小题满分14分)(III )求证:4 4ln 2 ln 3 + 24 34ln n 4+ — n::-(其中为自然对数的底数)e 已知点、分别是椭圆的2 2；2 b 2 =1( a b 0)的左顶点和上顶点,点是线段AD 上任意一点，点F ,、F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，且PF , PF 2的最大值是，最小值是(I )求椭圆的方程；(II )设椭圆的右顶点为，点 S 是椭圆上位于轴上方的一点，直线 11 534AS 、BS 与直线l : x 分别交于M 、N 两点，求线段 MN 的长度的最小值.X.^X--宁乡县2010年湖南新课新课标高考仿真试卷数学（理工农医类）参考答案注意事项:1 •答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上.2 •考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答 题卡中注意事项的要求答题.3 .本试题卷共4页.4 .考试时间120分钟，满分150分.选择理 本犬题共$个小瓯 每T 邀壬分*共北小 在每小題给出的四个选项中.且有-籬持合題 目要求的- 1. D 工亡 3. 3 4. 3 5. C j A ?. A S. B二 頑空題車朋共：个小題，号1居衣分，共灰禺 把答案略在題申的横蘇上 P. 3.52S m 0.16 1L 4 匚’J （占点）*■ —M" W6515. psin& = 2, A 怎三、聲菩題=本天題蔓甫个小託共飞分，解答应写出文字说服讦明囱盍演直涉廳 16. （本小题蓿分2分）已知向壘耕=©in 少xjx 血）』K = （-T^cos dtx,cos 函^.f （x ）=m n （ x e ； ® > 0 ］册畏窸在y 轴右侧的第一个餵高点閔橫坐标是彳.（13求函数于0）的解析式’（L ）若将函数畑的聽向右平移兰介单位后，再将猖至1的殴髦上所有的点播坐标诩长刮原来的4 6培，纵坐标不变'得到尸琴⑴的聽，求函数烈羞）在因即-彳冷］上的值域. 解：（I ） f （JT ） = -7^sin dtxcos + cos 2iux = ^^sin 2iDx + cos ^^x + 2=sin （2 （PZ-+—） + -6 2由已知当x=-时，2^ + -=-,得少='16 6 2TT J所以■/（£）= sin （2z+—） + -6 2⑴】将畑）鳩裂向右平移光单位后帚至1函数灵⑴=迪（”手）十1的聽-抄U U 2 1 JT I 再将£"）的醱上所有的隹楞坐标长到原来的4爲 纵坐标不变得到函数g （^） =啊（上石--）+ ^ 262的图舉.汕分JI[盲0]Jl Jl3,3]11分12分5035分 6分 ?分S 分9分W 分11分则去的数学期望是5^ = 4x0 04 + 5x0 24-6x0.37+7x0.3+8x0 09 = 6.2 (千元) 设D 月的中点为N,则测黑一CD ・盘0生一CD 、则2 2MNJL AO,则四^X>MNA O 为平行四边形，所以OM 盘 血 3分又AN 匚平面DAF > QM g 平面DAF1二(本小题满分1：分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位’吨)itt 行统计，最近刃天时统计结果如图所示： (I) 计算这刊天的日平均销售量，(II) 若段频率作为概率，且每天的誚售量相互独立， ①求5天中该种商品恰好有2天诺售星为1.5吨的概率；②已知母吨该商品的銷售利润为】千元，X 表示该种商品两天销售利润的和(单位：干元)，求不的 分布列和数学期望. * 解：(I)由条形图可得日平均销售量为 *"'=10 + 1 5x25+2x15 心卄 、八 3： _ ----------------- 二15》吨. 上分 V ................... LI 25(II)①依题意緡，钳售量为1.5吨的频率为— =0 5,如果以频率作为50概率，则随机选取一天错售堇为14吨的慨率为05 3分设5天中该种商品有F 天的销售量为1芍吨，(JiJ F"(5Q5) 4分P©= 2) = C?0 52 (1-0.5)3 = 0.3125②由题意得X 的可能取值4, 5. 6, 7, 8 尸徑二 4) = 0 2— 004F(Z=5) = 2x0.2x0.5 = 0.2= 6) = OS 3 +2x0 2x0 3 = 0.37 P(^ = 7) = 2x0.5x0.3^ 0 3= 8) = 0.32= 0 09 X 的分布列为sin (2x-$) !6 2 2 2即函数g(x)的值域是［与讨IS.(本小题满分1二分)如图，AB 的直径,W E 、F 在圆。
2019-2020学年湖南省长沙市宁乡一中高一下学期选摸底考试数学试题解析版
2019-2020学年湖南省长沙市宁乡一中高一下学期选摸底考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|11B x x =-<≤，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】根据交集运算，直接求解即可. 【详解】因为集合{}1,0,1,2A =-，{}|11B x x =-<≤， 故可得{}0,1A B ⋂=. 故选：A . 【点睛】本题考查集合的交运算，属简单题.2．已知数列{}n a 的通项公式为234(*)n a n n n N =--∈，则4a 等于（ ）A ．1B ．2C ．0D ．3【答案】C【解析】试题分析：．【考点】数列的通项公式3．已知函数()sin 2f x x =，要得到函数()sin 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度8 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】B【解析】根据三角函数的图象变换关系进行转化求解求解． 【详解】因为()sin 2=sin 248g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要得到函数()sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x 的图象，只需将f （x ）＝sin2x 图象向右平移8π个单位即可， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，结合图象变换关系是解决本题的关键． 4．设0.52a =，4log 3b =，3cos 4c π=，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及特殊角的余弦函数值即可判断. 【详解】 0.50221a =>=，由4440log 1log 3log 41=<<=，即01b <<，3cos42c π==-，所以a b c >>. 故选：C 【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较式子的大小，属于基础题. 5．在ABC 中，内角A 、B 所对的边分别为a 、b ，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】B【解析】由余弦定理边角互化思想化简得出()()222220a bab c -+-=，可得出a b=或2220a b c +-=，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos cos a A b B =，22222222b c a a c b a b bc ac+-+-∴⋅=⋅，即()()22222222abc a b a c b +-=+-，即4422220a b b c a c -+-=，整理得()()222220a bab c -+-=，a b ∴=或2220a b c +-=，因此，ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查了余弦定理边角互化思想的应用，属于中等题. 6．若关于x 的不等式210x mx -+<的解集为空集，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(][),22,-∞-+∞B ．()(),22,-∞-+∞C ．[]22-,D ．()2,2-【答案】C【解析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解． 【详解】解：不等式210x mx -+<的解集为空集， 所以0∆≤，即240m -≤， 解得22m -≤≤． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数范围，理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知A 、B 、C 、D 、E 五人分5钱，A 、B 两人所得之和与C 、D 、E 三人所得之和相同，且A 、B 、C 、D 、E 每人所得依次成等差数列、问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，D 得多少钱？（ ） A ．56B ．76C ．43D ．23【答案】A【解析】设出数列的首项与公差，利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设A 为首项1a ，公差为d ，根据题意可得11111123454552a a d a d a d a d a d ++=+++++⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以第四项D 得的钱数为441533326d +=-=.故选：A 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 8．已知函数()lnexf x e x=-，若实数a ，b 满足2320202021202120212021e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()505a b +，则22a b +的最小值为（ ） A ． B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】观察2320202021202120212021e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，发现202020212021e ee +=， 故先求()()2f x f e x +-=，化简2320202021202120212021e e e e f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得4a b +=，再利用基本不等式可得. 【详解】()2()()lnln ln 2ex e e x f x f e x e e x x-+-=+==-， ∴2320202021202120212021e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20202201910101011()(()202120212021202120212021e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭101022020=⨯=，∴()0052052a b =+，∴4a b +=，222()2162a b ab ab a b =+-=-+，2()42a b ab +≤=， ∴228a b +≥，故选：D. 【点睛】此题的关键是发现()()2f x f e x +-=，思路来源于等差数列求和的倒叙相加法，大家要注意观察，发现规律，即可解决问题.二、多选题9．若a ，b ，R c ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b >C ．a c b c>D ．()()2211a c b c +<+【答案】BD【解析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，由0a b <<，则110a b>>，故A 不正确； 对于B ，由0a b <<，则2ab b >，故B 正确； 对于C ，当0c时，a c b c =，当0c ≠时，a c b c <，故C 不正确；对于D ，由210c +>，0a b <<，所以()()2211a c b c +<+，故D 正确. 故选：BD 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，属于基础题. 10．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．()//2a a b +【答案】AC【解析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=B 错误；2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+， 又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9S D ．n T 的最大值为7T【答案】AD【解析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 12．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()4f x f x =-，()()22f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为4C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12- D ．方程()3log f x x =有10个根 【答案】ABD【解析】利用偶函数的定义判断A ；利用函数周期的定义判断B ；根据对称性以及二次函数的性质可判断C ；利用数形结合的判断D. 【详解】()f x 是定义域为R 的函数，由()()22f x f x +=-，则()()4f x f x =-，即()()4f x f x =-，又()()4f x f x =-，所以()()44f x f x -=-，即()()44f x f x --=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()f x f x -=， 所以函数()f x 是偶函数，故A 正确；由()()4f x f x =-，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B 正确；当02x ≤≤时，()2f x x x =-，函数的最小值为11112424f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 由()()22f x f x +=-，所以2x =为对称轴， 所以当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为14-，故C 不正确； 作出0x >时()y f x =与3log y x =的图像，由图像可知0x >时，函数有5个交点， 又()y f x =与3log y x =为偶函数，由对称性可知方程()3log f x x =有10个根， 故D 正确.故选：ABD 【点睛】本题考查了函数的性质、求方程的根的个数，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、填空题13．已知数列{}n a 满足11a =，()*1n n a a n n N +=+∈，则4a =______________.【答案】7【解析】根据递推关系式即可求解. 【详解】11a =，()*1n n a a n n N +=+∈，当1n =时，2112a a =+=， 当2n =时，322224a a =+=+=， 当3n =时，433437a a =+=+=. 故答案为：7 【点睛】本题考查了递推关系式求数列中的项，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14．已知平面向量a b 、，满足1a b ==，若()20a b b -⋅=，则向量a b 、的夹角为______. 【答案】60︒【解析】由()20a b b -⋅=得到12a b =，然后根据数量积可得夹角的余弦值，进而得到所求夹角的大小． 【详解】∵()20a b b -⋅=，1a b ==， ∴22210a b b a b ⋅-=⋅-=， ∴12a b ⋅=． 设向量a b 、的夹角为θ， 则1cos 2||a b a b θ⋅==⋅，又0180θ︒≤≤︒， ∴60θ=︒． 故答案为60︒． 【点睛】本题考查向量数量积的计算及应用，解题时容易出现的错误是忽视向量夹角的范围，属于容易题．15．已知正数x 、y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为__________. 【答案】8【解析】由已知条件得出211x y +=，将代数式2x y +与21x y+相乘，展开后利用基本不等式可求得2x y +的最小值. 【详解】已知正数x 、y 满足20x y xy +-=，即2x y xy +=，则21x y xy +=，即211x y+=，()21422448x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立， 因此，2x y +的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题.16．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2)-∞【解析】若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，只要保证()f x 在R 上不单调即可. 【详解】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x ， 当12a<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意； 当12a>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意. 故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题以命题的形式考查了分段函数单调性，考查了转化的思想，属于中档题.四、解答题17．已知关于x 的不等式23240x ax -++>. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值. 【答案】（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-.【解析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解. 【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>， 所以23440x x --<， 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得223x -<<， 所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根， 则有243a m -+=--且443m -=-， 解得13m =，112a =-. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.18．已知数列{}n a 满是1310a a +=，245a a +=.（1）若数列{}n a 为等比数列，求通项公式n a ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且其前n 项和为n S ，求7S 的值.【答案】（1）412n n a -=；（2）0.【解析】（1）根据1310a a +=，245a a +=，利用“1,a q ”法求解.（2）根据1310a a +=，245a a +=，利用“1,a d ”法求解.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为1310a a +=，245a a +=.所以211311105a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩， 解得18a =，12q =. 所以数列{}n a 的通项公式为412n n a -=.（2）设数列{}n a 的公差为d ，因为1310a a +=，245a a +=.所以112210245a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得1152a =，52d =-. 所以5102n a n =-， 可得235544n S n n =-. 所以70S =.【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．如图，ABC 是直角三角形，90C =︒，30B =︒，D 为边BC 上一点，且22BD =，75ADC ∠=︒.（1）求AD 的长：（2）求ABC 的面积.【答案】（1）2；（2332. 【解析】（1）根据30B =︒，75ADC ∠=︒，得到45BAD ∠=︒，然后在ABD △中由正弦定理求解.（2）根据（1）利用面积公式分别求得,ABD ADC S S △△，然后由 ABC ABD ADC SS S =+求解.【详解】（1）因为30B =︒，75ADC ∠=︒，所以45BAD ∠=︒，由正弦定理得sin 2sin BD AD B BAD=⋅=∠；（2）由（1）知：1sin 12ABD S BD AD ADB =⋅∠=△， 在Rt ADC 中，cos 2cos75DC AD ADC =∠=︒， 所以111sin 22cos75sin 75sin150222ADC S AD DC ADC =⋅∠=⨯︒︒=︒⨯=△，所以13122ABC S =+=△. 【点睛】本题主要考查三角形面角公式和正弦定理应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录.为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足231P x =-+（其中0x a ≤≤，a 为该公司能够投入的最高促销费用）.已知生产该产品还需投入成本102P +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为204P+件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.【答案】（1）4161y x x =--+（0x a ≤≤）；（2）当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.【解析】（1）列出()204102y P P x P ⎛⎫=+⨯-+- ⎪⎝⎭，将231P x =-+代入化简即可. （2）将原函数变形，应用基本不等式求解，根据等号成立的条件，讨论1a ≥或1a <，再根据函数的单调性确定最值即可.【详解】解：（1）由题意得到()204102y P P x P ⎛⎫=+⨯-+- ⎪⎝⎭， 将231P x =-+代入化简即得4161y x x =--+（0x a ≤≤）. （2）将原函数变形，应用基本不等式，4416171171311y x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪++⎝⎭，当且仅当411x x =++时，即1x =，上式取等号. 根据0x a ≤≤，当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a <时，41711x x y ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭在[]0,a 上单调递增， 所以在x a =时，函数有最大值.促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.综上所述，当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.【点睛】本题考查了常见函数模型的应用、基本不等式求最值，注意等号成立的条件，考查了考生的分问题、解决问题的能力，属于基础题.21．已知函数())1cos cos 2f x x x x =+-. （1）求()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若()12f C =，c =，sin 2sin A B =，求ABC 的周长.【答案】（1）π；单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）6+. 【解析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，将函数化为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再利用周期公式以及正弦函数的性质即可求解.（2）求出3C π=，根据边角互化可得2a b =，再利用余弦定理即可求解. 【详解】解：（1）因为())1cos cos sin 226f x x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭ 所以最小正周期为22T ππ==， 222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）由()12f C =，得3C π=，由sin 2sin A B =，得2a b =，又c =在ABC 中，余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得2b =，4a =，所以周长为6a b c ++=+【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形，属于基础题. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）令3n n n a c na -=（*n N ∈），若对于一切正整数n ，总有80n m c ≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12n n a ；（2）()121n n -⋅+；（3）13m ≥. 【解析】（1）利用n S 与n a 的关系可得12n n a a +=（2n ≥），再利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）知12n n b n -=⋅，根据错位相减法求数列的和即可求解.（3）利用作差求出数列{}n c 中的最大值1380，即求. 【详解】解：（1）由题意，当2n ≥时，有1111n n n n a S a S +-=+⎧⎨=+⎩ 两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=（2n ≥），所以，当2n ≥时{}n a 是等比数列，又22a =，有212a a =， 所以数列{}n a 是等比数列，从而得出12n n a . （2）由（1）知12n n b n -=⋅，()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅， ()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ 所以()()012111222222212112n n n n n nT n n n ---=++++-⋅=-⋅=-⋅--故()121n n T n =-⋅+ （3）由（1）得113232n n n n n a c na n ----==⋅ 则()()111232336212212n n nn n n n n n c c n n n n -+---+--=-=+⋅⋅+⋅， ∵*n N ∈，∴()120nn n +⋅>， 又当4n ≤时，3620n n +->，当5n ≥时，3620n n +-<， ∴当5n =时数列{}n c 有最大值1380. ∴实数m 的取值范围为13m ≥.【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和，求数列中的最大项，考查了计算能力，属于基础题.。
2019-2020学年湖南省长沙市宁乡一中高一上学期入学考试数学试题(解析版)
【详解】
(1)
;
(2)∵ ， ，
∴ .
【点睛】
本题考查了完全平方式的几何背景，考查了公式的灵活应用，属于基础题.
21． 直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线 ( )经过点A，交x轴于另一点C，如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
【答案】不公平
【解析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得到哥哥赢的概率，进而求得弟弟赢的概率，比较即可.
【详解】
列树状图得：
共有 种情况，和为偶数的有 种，
所以哥哥赢的概率是 ，那么弟弟赢的概率是 ，
所以该游戏对双方不公平.
故答案为：不公平
【点睛】
本题考查了列举法求基本事件，注意本题是放回实验，解题的关键是求出相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平，属于基础题.
A．30°B．25°C．20°D．15°
【答案】D
【解析】利用两直线平行同位角相等以及三角形的外角等于不相等的两个内角之和即可求解.
【详解】
，
，
又 ，
.
故选：D
【点睛】
本题考查了平行线间的性质以及三角形的性质，属于基础题.
7．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是( )
15．设 ，则 ，则m的取值范围是______
【答案】
【解析】将 的分子、分母分别因式分解、约分后可得 ，再根据 即可确定m的取值范围.
2024年湖南省宁乡县第一高级中学高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析
2024年湖南省宁乡县第一高级中学高三数学第一学期期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 2．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13 C ．23 D ．56 3．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．44．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．736．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞7．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．6 8．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．69．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．7410．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．13211．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）A ．B ．C ．1D ．212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学4.2.2-等差数列的前n项和(精讲)(原卷版)
4.2.2 等差数列的前n 项和考点一 等差数列的基本量【例1】（2020·陕西省安康中学其他（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3242S S S +=，11a =，则7S =（ ） A ．-77 B ．-70C ．-49D ．-42【一隅三反】1．（2020·内蒙古赤峰）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足44a =，410S =，则公差d =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2020·河南信阳·其他（文））正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ） A ．35B ．36C ．45D ．543．（2020·湖北十堰）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足3318,180,270n n S S S -===，则n =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15考点二 前n 项和S n 与等差中项【例2】(1）（2020·云南省云天化中学高一期末）等差数列{}n a 中，3912a a +=，则数列{}n a 前11项和11S =（ ）A ．12B ．60C ．66D ．72（2）．（2020·吉林朝阳·长春外国语学校开学考试）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95SS =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．12【一隅三反】1．（2020·四川成都·二模（文））若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．442．（2020·河北运河·沧州市一中月考）若两个等差数列{}n a {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且满足3122n n S n T n -=+，则66a b =（ ） A ．2B ．74C ．32D ．433．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165D ．51104．（2020·湖南宁乡一中）在等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ）． A ．13B ．26C ．52D ．56考点三 前n 项和S n 的性质【例3】（1）（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．6B ．5C ．4D ．3（2）．（2019·陕西武功·高三月考（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若39S =,627S =，则9S =( ) A ．45B ．54C ．72D ．81（3）（2020·浙江吴兴·湖州中学）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且12010a =-，20112008320112008S S -=，则2011S =（ ） A ．0B ．2011C ．2009D ．2010【一隅三反】1．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）一个等差数列共有3n 项，若前2n 项的和为100，后2n 项的和为200，则中间n 项的和为（ ） A ．75B ．100C ．50D ．1252．（2020·河北运河·沧州市一中月考）n S 是等差数列n a }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 为（ ） A ．310B ．13C ．18D ．193．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若2,,n 且2S 为等差数列； ,为等差数列151051510S S -=，则2020S =（ ） A ．0B ．2018C ．2019-D ．2020考点四 前n 项和S n 的最值【例4】（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列{}n a 中1116,2(*)n n a a a n N +=-=-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 最大时，n 的值为（ ） A ．8 B ．7或8C ．8或9D ．9 【一隅三反】1．（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 100＞0，S 101＜0，则满足a n a n +1＜0的n ＝（ ） A ．50B ．51C ．100D ．1012．（2020·吉林南关·长春市实验中学）已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ）A ．1B ．20C ．10D ．193．（2020·安徽金安·六安一中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，130S <，140S >，则当S 取得最小值时，n 的值为（ ） A ．4B ．6C ．7D ．84．（2020·安徽金安·六安一中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若190S >，200S <，则11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是（ ） A ．88S a B ．99S a C ．110S a D ．1111S a 考点五 含有绝对值的求和【例5】（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）已知两个等差数列{}n a 、{}n b ，其中11a =，16b =，30b =，记{}n a 前n 项和为n T ，222n n nT =+．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ．【一隅三反】1．（2019·浙江吴兴·湖州中学）已知等差数列{}n a 中，257a =-，1712a =-，记n n b a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .（1）求首项1a 和公差d ； （2）求n S 和n T 的表达式2．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且219n S n n =-(*n N ∈).（1）求n S 的最小值；（2）求数列{}n a 的前20项和.3．（2020·商丘市第一高级中学期末）已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
湖南省2020-2021年高一下学期入学考试数学试题
春季高一 入学联考数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线√3x +y +m ＝0（m ∈R ）的倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 2．已知函数f （x ）={lgx ，x ＞0x +11，x ≤0，则f （f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．﹣13．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（ ）A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x ﹣2﹣xD ．y =log 12|x|−1 4．若直线l 1，l 2的斜率是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两根，则直线l 1，l 2的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均不正确5．如图，棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 中点，则直线D 1M 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．√32B ．√55C ．2√55D ．12 6．函数f （x ）＝2x −3x −m 的一个零点在区间（1，3）内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，7）B ．（0，5）C ．（﹣7，1）D ．（1，5）7．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n8．将直线x +2y ＝0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为（ ）A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x ﹣y ﹣1＝0C ．2x +y ﹣1＝0D ．2x ﹣y +1＝09．已知定义在[1﹣a ，2a ﹣5]上的偶函数f （x ）在[0，2a ﹣5]上单调递增，则函数f （x ）的解析式不可能是（ ）A ．f （x ）＝x 2+aB ．f （x ）＝﹣a |x |C ．f （x ）＝x aD ．f （x ）＝log a （|x |+2）10．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x +y ＝0上，则|P A |+|PB |取最小值是（ ）A ．1B ．2√17+√1535C ．√17D ．211．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°12．直线x ﹣y ﹣4＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x +2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．[4，8]C ．[8，16]D ．[16，32]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分。
湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2019-2020学年高一下学期4月入学考试数学试题 Word版含解析
宁乡一中2020年高一入学考试数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
班级__________ 姓名____________
第I 卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分，每小题有且仅有一个正确答案）
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. sin y x =
B. 3y x =-
C. 12
log y x = D. 12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶性和单调性的性质对选项分别判断即可.
【详解】对选项A ，sin y x =是奇函数，在定义域上不是单调函数，故错误； 对选项B ，3y x =-是奇函数，在定义域上单调递减，故正确；
对选项C ，12
log y x =是非奇非偶函数，故错误； 对选项D ，12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是非奇非偶函数，故错误. 故选：B
【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性，属于简单题.
2.若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ）
A. ()98f x x =+
B. ()32f x x =-
C. ()34f x x =--
D. ()32f x x =+
【答案】D
【解析】
【分析】
令32x t +=，得到2
3t x -=代入条件, 可求出()f x 的解析式即可．。
湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及解析
湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}|1A x x =>，{}|12=-<<B x x ，则A B =（ ）A.{}|12x x -<<B.{}|1x x >-C.{}|11x x -<<D.{}|12x x <<2.下列函数是偶函数的是（ ） A.)lgy x x =B.244y x x =++C.e x y x 2=+D.)2log y x =3.函数f (x )=ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 （ ） A. (3，4)B. (2，e)C. (1，2)D. (0，1)4.国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如表：如果某人在西安要邮寄800 g 的包裹到距西安1 200 km 的某地，那么他应付的邮资是( )A. 5.00元B. 6.00元C. 7.00元D. 无法确定5.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是( )A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1xf x e =-D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.0.914y =，20.5log 4.3y =， 1.5313y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.123y y y >> D.132y y y >>7.若一次函数y ax b =+的图像经过第二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图像只可能是（ ）A. B. C. D.8.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为 A. 392 B. 752 C. 39 D. 601169.设函数221()log (1)()2=+-xf x x ，则使得1()(31)2>-f f x 成立的的取值范围是 A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 11,62⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.111,,632⎛⎫⎡⎫-∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭10.已知函数2226,,(),,x mx x m f x x x m ⎧-+<=⎨≥⎩其中0m <.若存在实数k ，使得函数()()=-g x f x k 有三个零点，则实数m 的取值范围是A. (),3-∞-B. (,-∞C. )3,0⎡--⎣D. ()11.已知函数()[]()()2?1,(02){1,2x x x f x x --≤<==，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n N ∈，定义函数()n f x ：()()1f x f x =， ()()()21f x ff x =， ，()()()()12n n f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有（ ）个 ①y =的定义域为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②设{}0,1,2A =， ()3{|,}B x f x x x A ==∈，则A B =；③201620178813999f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|,0,2}M x f x x x ==∈，则M 中至少含有8个元素． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第II 卷（非选择题）二、解答题12.（1）(4)−12+√(−3)44-√43×213；（2）lg 14-lg25+ln √e ．13.已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}． (1)当x∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)当x∈R 时，若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．14.已知二次函数()()223f x ax b x =+-+，且-1，3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤； （2）若()()223g x f x x =-+，求函数()g x 的值域.15.已知函数()421421x x x xk f x +⋅+=++. （1）若对任意的x ∈R ，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若()f x 的最小值为-2，求实数k 的值.16.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()124xxf x a =+⋅+.（1）当1a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数，请说明理由；（2）若()f x 是(],0-∞上的有界函数，且()f x 的上界为3，求实数a 的取值范围. 17.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率Q 与日产量x （万件）之间满足关系,1,12(12)1,<112x a x Q a x ⎧≤≤⎪-⎪=⎨⎪≤⎪⎩ （其中a 为常数，且<11a x ≤，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如0.1Q =表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.（1）试将生产这种产品每天的盈利额()P x （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润?三、填空题18.已知65x ++，则 ()f x =______ 19.函数f(x)=lg(4−x 2)x的定义域为__________．20.若函数211,12(){ln ,1xx f x x x x -<=≥，则函数1()8y f x =-的零点个数为______________．21.给出下列四个命题：①若函数2()22=++f x x mx 在区间[)1,+∞上单调递增，则1m ≥-；②若2log 13<a（0a >且1a ≠），则a 的取值范围是2(,)3+∞； ③若函数()xf x e =，则对任意的12,x x R ∈，都有1212()()()22++≤x x f x f x f ； ④若()log =a f x x （0a >且1a ≠），在区间(0,)+∞上单调递减，则(3)(2)->+f f a .其中所有正确命题的序号是______________.参考答案1.D【解析】1.利用交集的定义直接求出交集． ∵A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2} ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2} 故选：D ． 2.A【解析】2.结合选项，逐项检验是否满足f （﹣x ）＝f （x ），即可判断．A ：令)()lgy f x x x ==，则有))()lg lg f x x x x x -=-=-由于))lg lg lg10x x +==，即))lg lg x x -=则))()lg lg ()f x x x x x f x -=-=⋅=，所以为偶函数；同理D ：令)2()log y f x x ==，则))22()log log f x x x -==-,为奇函数B ：244y x x =++，只有一条对称轴：x =﹣2，故不是偶函数；C ：()e x y f x x 2==+，则有()e ()x f x x f x -2-=+≠，不是偶函数． 故选：A ． 3.C【解析】3.212()0()1f x f x x x'=+>∴+单调递增 (1)ln 220,(2)ln310f f =-<=->所以零点所在的大致区间是(1，2)，选C. 4.C【解析】4.由题目所给表格中，不同距离的邮费可以直接确定选项.依题意，1000g 以下的1000公理到1500公理以内的邮资是7元，故选C . 5.A【解析】5.试题因为函数g(x)＝4x ＋2x －2在R 上连续，且113()20422g =-=<，1()212102g =+-=>，设函数的g(x)＝4x ＋2x －2的零点为0x ，根据零点存在性定理，有01142x <<，则011044x <-<，所以01144x -<，又因为f (x)＝4x －1的零点为14x =，函数f (x)＝(x －1)2的零点为x=1，f (x)＝e x －1的零点为0x =，f (x)＝ln(x －0．5)的零点为32x =，符合01144x -<为14x =，所以选A ． 6.D【解析】6.利用指数、对数函数的单调性即可得出． ∵0.91441y =>=，20.50.5log 4.3log 10y =<=， 1.503110133y ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则231y y y <<． 故选：D ． 7.C【解析】7.直接利用一次函数图像经过的象限得出a ，b 的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案.由一次函数y ax b =+的图像经过第二、三、四象限，得到00a b <<，， ∴二次函数2y ax bx =+的图像：开口向下，对称轴在y 轴左侧， 故选：C . 8.D【解析】8.根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值. 设下底面的长宽分别为x,y ，有2(x +y)=18,x +y =9.则“刍童”的体积为16×3[2(6+x)+(2x +3)y]=12(30+2xy +y)=12(−2x 2+17x +39),当x =174时，“刍童”的体积取最大值6018，选D.9.B【解析】9.根据题意，分析可得函数()f x 为偶函数且在(0,)+∞上为增函数，进而可以将()1312f f x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭转化为1|||31|2x >-，解可得x 的取值范围，即可得答案．根据题意，函数()()221log 12xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()()221log 12xf x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭=f(-x), 则函数()f x 为偶函数，由题得()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以函数在（-0∞，）上为减函数. 因为()1312f f x ⎛⎫>-⎪⎝⎭， 所以1|||31|2x >-，解之得1162x <<. 故选：B ． 10.B【解析】10.作出函数()f x 的图象，依题意函数()y f x =与直线y k =有三个不同的交点，可得26m -20)m m <<（，解之即可．当0m <时，函数2226,(),x mx x m f x x x m ⎧-+<=⎨⎩的图象如图：x m <时，2()26f x x mx =-+222()66x m m m =-+->-，y ∴要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，必须226(0)m m m -<<， 即23(0)m m ><，解得m <m ∴的取值范围是(,-∞，故选：B ．11.C【解析】11.①()0x f x -≥，当01x ≤<时， []()()20,213x f x x x x ==-≤⇒≥，所以213x ≤<；当12x ≤<时， []()1,1x f x x x ==-≤成立，所以12x ≤<；当2x =时， ()12f x =≤成立，所以213x ≤<；因此定义域为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②()()()10,02,211f f f B===∴∈;()()()02,21,10,0f f f B===∴∈;()()()21,10,02,2f f f B ===∴∈，因此A B =;③因为8221414558,,,99999999f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即5188,499f f T ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此2016201720162017418882888810,999999999f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④由上可知821450,1,2,,,,9999为M 中元素，又2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以M 中至少含有8个元素．综上共有3个正确说法，选C.12.（1）3；（2）−32【解析】12.（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用对数运算性质即可得出． （1）原式=2−2×(−12)+3-223×213=2+3-2=3．（2）原式=lg1425+12=-2+12=−32．13.（1）254；（2）2m <或4m >【解析】13.(1)当x∈Z 时，可得A 中元素的个数，进而可得A 的非空真子集的个数； （2）根据B ⊆A ，可分B=∅，和B≠∅两种情况讨论，即可得出实数m 的取值范围． (1)当x∈Z 时，A ＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254. (2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m<2； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是m<2或m>4.14.（1）()223f x x x =-++,{x |x ≤0或x ≥2}（2）(],3-∞【解析】14.（1）求出a ，b 的值，求出f （x ）的解析式，求出不等式的解集即可；（2）根据换元法令2232t x x =-+≥，结合二次函数的性质求出函数的值域即可．（1）由题意得213313b a a -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩，∴14a b =-⎧⎨=⎩，∴()223f x x x =-++.∴2233x x -++≤，即220x x -≥，∴{x |x ≤0或x ≥2}.（2）令()2223122t x x x =-+=-+≥，()()214f t t =--+在[)2,+∞上递减，∴()3f t ≤，∴()g x 的值域为(],3-∞. 15.（1）2k >-（2）8k =-【解析】15.（1）将原题进行转化，找到等价的不等式，分离出参数k 后转化为求函数的最值问题即可； （2）利用换元法，得到等式y ()113k t t-=+≥，分情况讨论求出f （x ）的最小值，令其为﹣2即可求出k 值．（1）∵4x +2x +1＞0，∴f （x ）＞0恒成立，等价于4x +k •2x +1＞0恒成立， 即k ＞﹣2x ﹣2﹣x 恒成立，∵﹣2x ﹣2﹣x ＝﹣（2x +2﹣x ）≤﹣2，当且仅当2x ＝2﹣x 即x ＝0时取等号， ∴k ＞﹣2；（2）()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++， 令12132xx t =++≥，则()113k y t t-=+≥， 当1k >时，21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去； 当1k =时，1y =最小值不是﹣2，舍去； 当1k <时，2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为2283k k +=-⇒=-，综上所述，8k =-.16.（1）值域为()3,+∞，函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数,详见解析（2）51a -≤≤【解析】16.（1）利用函数的单调性得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M ，即函数在x ∈（0，+∞）上不是有界函数．，（2）根据函数f （x ）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x +4x |≤3，换元以后得到关于t 的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a 的范围． （1）当1a =时，()124xxf x =++，因为()f x 在()0,∞+上递增，所以()()03f x f >=，即()f x 在()0,∞+的值域为()3,+∞，故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立， 所以函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数.（2）由已知函数f （x ）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a 2x +4x |≤3设t ＝2x ，所以t ∈（0，1），不等式化为|1+at +t 2|≤3当012a -<＜时，12134a -≥-且2+a ≤3得﹣2<a ＜0 当02a -≤或12a -≥时，即a ≤﹣2或a ≥0时，得﹣5≤a ≤﹣2或0≤a ≤1， 综上有51a -≤≤.17.（1）2454,12(12)(),112x x x a x P x x a x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩；（2）见解析.【解析】17.（1）运用每天的赢利为P （x ）＝日产量（x ）×正品率（1﹣Q ）×2﹣日产量（x ）×次品率（Q ）×1，整理即可得到P （x ）与x 的函数式；（2）当a ＜x ≤11时，求得P （x ）的最大值；当1≤x ≤a 时，设12﹣x ＝t ，利用基本不等式可得x ＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a ＜3时，当x ＝11时，取得最大利润； 3≤a ＜9时，运用复合函数的单调性可得当x ＝a 时取得最大利润；当9≤a ≤11时，当日产量为9万件时，取得最大利润．（1）当1x a ≤≤时，12(12)Q x =-， ∴21454()2(1)212(12)2(12)2(12)x x x P x Q x Qx x x x x ⎡⎤-=--=--==⎢⎥---⎣⎦. 当11a x <≤时，12Q =， ∴111()121222P x x x x ⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 综上，日盈利额()P x （万元）与日产量x （万件）的函数关系式为2454,12(12)(),112x x x a x P x x a x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩，（其中a 为常数，且111a <<）.（2）当11a x <≤时，()2x P x =，其最大值为55万元. 当1x a ≤≤时，2454()2(12)x x P x x -=-，设12t x =-，则1211a t -≤≤， 此时，2245(12)4(12)4513651927()22222t t t t P x t t t t ----+-⎛⎫===-+≤ ⎪⎝⎭， 显然，当且仅当3t =，即=9x 时，()P x 有最大值，为13.5万元. 令2454() 5.52(12)x x P x x -=<-，得214330x x -+>， 解得11x >（舍去）或3x <，则（i ）当13a <<时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元.（ii ）当39a ≤<时，1x a ≤≤时，函数()P x 可看成是由函数5192(1211)21y t a t ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭与12(1)t x x a =-≤≤复合而成的.因为39a ≤<，所以3129a <-≤，故51922y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[12,1?1]a -上为减函数 又12t x =-在[1,]a 上为减函数，所以()P x 在[1,]a 上为增函数故当日产量为a 万件时，可获得最大利润2454()2(12)a a P a a -=-万元. （iii ）当911a ≤<时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元.18.()23f x x x =++【解析】18.方法一： ()()()22121213f x x x +=++++，∴()23f x x x =++， 即函数的解析式为()23f x x x =++。
湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题
宁乡一中2021年上学期高二年级4月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2230B x x x =--<，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1B.{}0,1,2C.{}0,1,2,3D.{}0,1,2,3,4 2.已知复数()211iz i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.南北朝时期的伟大数学家祖在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是火在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平而的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图.夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V 、2V ，被平行于这两个平面的仟意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则命题P ：“1V 、2V 相等”是命题q ：“1S 、2S 总相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量X 的分布列入表，若()2E x =，则()D X =（ ）A.5 B.3 C.4 D.25.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A.()21x f x x =-B.()221x f x x =+C.()221xf x x =- D.()2211x f x x +=-6.已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A.函数()f x 是周期函数 B.6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C.函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD.函数()f x7.“易经“是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符号，用“——”“——”两种“爻”的符号代表阴阳. “——”称为阳爻、“——”称为阴爻.阴阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦.两个八卦叠加而成64卦，比如图中损卦，即为阳爻占据1，5，6三个位置，阴爻占2，3，4位，从64卦中任取1卦，阳爻个数恰为2且互不相邻的概率（ ） A.12 B.38 C.516 D.5328.已知()223,1ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数()12y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.12⎛⎝ B.12⎡⎢⎣ C.1,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.1,2e ⎛ ⎝⎦二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.2019年4月23日.国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A.第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B.第一度居民人均收入为4900元C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元10.已知函数1()sin 0,0,022f x A x A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A.该函数图象的一个对称屮心为(),0πB. ()22sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.该函数的单调递增区间是53,344k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D.把函数()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得函数()f x 的图象11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别棱楼AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的是（ ）A.四面体11ACB D 的体积等于312a B.1BD ⊥平面1ACB C.11//B D 平面EFGD.异面直线EF 与1BD所成角的正切值为212. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ） A.在第9条斜线上，各数之和为55B.在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C.在第n 条斜线上，其有()2114nn +--个数D.在第11条斜线上，最大的数是37C三、填空题（本题共4小题，每小題5分，共20分请把答案填在答题卡相应的位置上.） 13.已知平面向量()4,a m =，()2,1b =-，若()a b b -⊥，则实数m = .14.甲、乙、丙、丁四位冋学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m ，如下表：则 同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关.15.己知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为（2，3），则PA PM +的最小值是 . 16.已知数列{}n a ，令()()112*122n n n P a nN a a n -=+++∈，则称{}n P 为{}n a 的“伴随数列”，若数列{}n a 的件随数列{}n P 的通项公式为()1*2n n P n N +=∈，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 取值范围为 .四、解答题（本题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17.（10分）在ABC △中，已知sin B C =，30A =︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）c 的值； （2）ABC △的面积.条件①：ab =sin 6a B =.注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.18.（12分）记知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且384S =，14a =. （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若0n a >，求数列(){}21nn a -⋅的前n 项和nT.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形.且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PB ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值.20.（12分）某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠话动，全场物制满1000元减300元，即一次购物总金额（未享受优惠前）为x 元，若x <1000.付改时无优惠：若1000≤x <2000.付款时优惠300元：若2000≤x <3000，付軟时优惠600元……，以此类锥，某机构在该商场门口随机采访了100位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于300元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于3000元的顾客称为“非理性购物者”.（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？（2）设甲、乙两名“非理性购物者"相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额（单位：元）在[)3000,4000的概率分别为12，23，在[)4000,5000的概率分别为12，13.甲、乙两位顾客付款时的优患金额之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.（12）记已知函数()ln ln 2f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()1h x f x =-，求证：()h x 在[)1,+∞上有唯一零点.22.（12分）如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F .过点1F 且与x 轴垂直的直线与圆222:O x y a +=交于点M （点M 在x 轴上方），与椭圆C 交于点N （点N 在x 轴下力，且满足11MF =.（1）若2MNF △的面积为4+，求椭圆C 的标准方程：（2）过点M 作椭圆C 的切线，与直线2NF 交于点(),Q m n ，其中n <0，试判断以线段2QF 为直径的圆是否经过点M ，并说明理由.参考答案1.B2.C3.B4.D5.C6.B7.D 【详解】4个阴爻隔开5个位置，2个阳爻在5个位置上：排列种数为2510C =，故所求概率为：1056432P ==. 8.C 【详解】由题意()12y f x kx =-+有4个零点，即()12f x kx =-有4个零点. 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图. 由图象可知，当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，即12k =时，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点 当12k >时，若函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，则1y x'=，所以1k a =，所以1ln 12a a a+=，解得a =k =()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k e >时，两函数图象至多有两个交点.所以若要使函数()12y f x kx =-+有4个零点，则1,2k e ⎛∈ ⎝⎭.9.ACD 10.AB 11.BD12.BCD 【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，其规律是12n n n a a a +++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21-=34，故A 错误；第1条斜线上的数：00C ，第2条斜线上的数；11C ：第3条斜线上的数：01291C C ， 第4条斜线上的数：01292C C ，第5条斜线上的数：04C ，13C ，22C ，第6条斜线的数；05C ，149C ，23C ，……，依此规律，第n 条斜线上的数为：01n C -，12n C -，23n C -，34n C -，……，1k n k C --，()1k n k C -+，…… 在第11条斜线上的数为010C ，19C ，28C ，37C ，46C ，55C ，最大的数是37C ， 由上面的规律可知：n 为奇数时，第n 条斜线上共有12224n n ++=个数； n 为偶数时，第n 条斜线上共有224n n=个数， 所以第n 条斜线上共()2114nn +--，故C 正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故D 正确. 13.3 14.丁1 16.125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】由题意得1112222n n n a a a n -++++=，所以()()212122122n n n a a a n n --+++=-≥，相减得()112212n n n n a n n -+=--，所以22n a n =+，1n =页满足.因此数列{}n a kn -的前n 项和为()()114226222n S n k n kn n k n kn =-++-=-+-，∴()207692222k k k -<⎧⎪-⎨≤≤⎪-⎩，∴12552k ∴≤≤ 17.【详解】选择条件①ab =（1）由正弦定理可得b =，2ab a a b c==⇒=由余弦定理可得：22222243cos302c c b c a bc++-==-，解得c =（2）由（1）可得b =a =111sin 2222ABC S bc A ===△选择条件②sin 6a B =（1）6sin 6sin a B B a =⇒=由正弦定理可得；2212sin 30sin sin 666a b b b ab ba b B B =⇒===⇒=⇒=︒sin B C b c =⇒=⇒==（2）111sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯=△18.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则211184a a q a q ++=，又14a =，则2200q q +-=，解得q =4或q =-5.故数列{}n a 的通项公式为4nn a =或()145n n a -=⋅-，（2）若0n a >，则4nn a =，所以()()21214n n n a n -⋅=-⋅，所以()123143454214n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，()()23141434234214n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减得()()()212311443424442144221414n nn n n T n n +++--=+⨯+++--⋅=+⨯--⋅-，化简得()16542099n n n T +-=+.19.【详解】（1）连结BD ，∵M ，N 分别是PB ，PD 的中点，∴//MN BD ， ∵MN ⊄平而ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴//MN 平面ABCD ：（2）如图，以点A 为原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()0,0,2P ， (2,0,0)B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,1,1N ，()2,0,2PB =-，()2,2,0PD =-，()2,1,1CN =--， 设平面PBD 的法向量(),,,n x y z =，则0PB n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =，∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =，则21sin cos ,3||CN n CN n CN nθ⋅-⨯====所以CN 与平面PBD 所成角的正弦值是3. 20.【详解】（1）由题可得2K 的观测值()2100402525109009.890 6.6355050653591k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为理性购物者”与性别有关.（2）由题可得，购物总金额在[)3000,4000内，优惠300×3=900元，购物总金额在[)4000,5000内，优惠300×4=1200元，则随机变量X 的所有可能取值为1800，2100，2400，且()1211800233P X ==⨯=， ()11121210023232P X ==⨯+⨯=，()1112400236P X ==⨯=，所以X 的分布列为所以()1800210024002050326E X =⨯+⨯+⨯=.21.【详解】1）由题意，函数()ln ln 2f x x x =，可得()ln 2ln x xf x x x='+，则()1ln 2f '=，又由()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()ln 21y x =-； （2）由()()1ln ln 21h x f x x x =-=-，可得()()2ln 2ln ln 20x x x h x x x x+==>'， 令()0h x '>，可得2ln 20x >，即221x >，解得2x >，所以当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， 则()h x在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，又因为()110h =-<，当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 在[)1,+∞上有唯一零点.22.【详解】（1）设()1,0F c -，则直线1MF的方程为x c =-， 与222x y a +=联立得：(),M c b -，由11MF =得：,N c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∵N 在椭圆C 上，∴2222121b c a b +=，解得：a =，∴2222b a c c =-=，即b c =，∴MN b =+==，又122F F c =，∴a =2b =，∴椭圆C 的标准方程为22184x y +=. （2）由（1）知：椭圆C 的方程为：222212x y b b+=，(),M b b -， 设切线MQ 的方程为()y b k x b -=+，由()222212y b k x b x y b b-=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()()2221241220k x k k bx k k b +++++=，∴()()()22222Δ16181220k k b k k k b =+-++=，解得：0k =或2k =，当0k =时，不满足0n <，不合题意，又2012MF b k b b -==---，∴21MF k k ⋅=-，即 2MQ MF ⊥，∴以线段2QF 为直径的圆经过点M .。
湖南省长沙市宁乡一中等部分中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
湖南省长沙市宁乡一中等部分中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,3B ．{}3,4C ．{}3,5D ．{}4,52．已知3sin()4πα-=，则sin α=( ) A ．34-B ．34C．-D3．已知角α终边上一点()8,6P -，则sin (α= ) A ．45-B ．34-C ．35D ．43-4．三个数70.3，0.37，log 30.7的大小关系是（ ） A ．70.3>log 30.7>0.37 B ．0.37>70.3>log 30.7 C ．70.3>0.37>log 30.7 D ．log 30.7>70.3>0.375．已知2sin 3α=，则cos(2)α-的值为（ ） A． B ．19-C ．19D6．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π=+的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度9．如图所示，在ABC V 中，点D 是边AB 的中点，则向量DC =u u u v（ ）A ．12BA BC +u uu v u u u vB ．12BA BC -u uu v u u u vC ．12BA BC --u uu v u u u vD ．12BA BC -+u uu v u u u v10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π11．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．若函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．15．若1tan 3x =，则sin 2cos 2sin cos x x x x-=+________． 16．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．17．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<．（1）若12a =，求A B I ； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围．18．已知向量(,1)a k =r，(6,7)=--r b k .（1）若a b ⊥rr，求k 的值；（2）若a v ∥b r ，求|2|-rr a b .19．已知函数()3sin 326x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）指出()f x 的周期、振幅、初相、对称轴并写出该函数的单调增区间； （2）说明此函数图象可由sin y x =，x ∈R 上的图象经怎样的变换得到．20．已知向量()sin ,cos a x x =r，)1b =-r ，()f x a b =⋅r r．（1）若[]5,6x ππ∈，求函数()f x 的对称中心；（2）若6f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，求α． 21．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：10天）的数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数：Q =at +b ，Q =at 2+bt +c ，Q =a •b t ，Q =a •log b t 中（其中a ≠0），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 22．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界．已知函数()211122x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）当2a =时，求函数()y f x =在(),0-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()y f x =在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意得{}23M N ⋂=，. 故选A.考点：集合的运算. 2．B 【解析】 【分析】由诱导公式化简即得。