群论四大定理的探讨

本科毕业论文题目群论四大定理的探讨

专业数学与应用数学

作者姓名庄静

学号**********

单位聊城大学数学科学学院

指导教师李令强

2014 年 05 月

教务处编

原创性声明

本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。本人承担本声明的相应责任。

学位论文作者签名：日期：

指导教师签名:日期：

目录

1.引言 (1)

2.群同态与同构基本定理 (2)

2.1 群同态与同构 (2)

2.2 群同态基本定理 (6)

2.3 群同构基本定理 (7)

2.4 群同态与同构的意义 (10)

3.有限群理论重要定理 (11)

3.1 Sylow定理 (11)

3.2 有限交换群的基本定理 (16)

4.定理的应用 (22)

4.1 群同态与同构定理的应用 (22)

4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23)

5.小结 (27)

6.参考文献 (28)

7.致谢 (29)

摘要

在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性.

关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理

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Abstract

On the basis of the understanding about the basic definition of group theory to grasp the four theorems of group theory: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group, understand the profound meaning and master theorem. Group of homomorphism fundamental theorem and the basic theorem mainly discussed about the group structure, the number and contact problem.To solve this problem is to rely on basic theorem group homomorphism and isomorphism theorems, in the study of these two theorems, starting from the known group, to the research of the group, step by step slowly extended, further to study the connection between the various groups, tens of thousands of, seem to be the group are classified, then study the internal structure each group. A finite group is a very worthy of study groups in group theory. This paper first introduce Sylow lemma theorem of Sylow, step by step on three theorems of the logic process of proof. Followed by a further discussion group important another special and -- finite abelian groups, study of this group is to decompose into the group, we know some class of groups, for research and application. In the last of the four theorems are discussed some applications ,to show its importance.

Key words: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group.

1.引言

群论有着悠久的历史，现在已发展成一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位.对于映射的同态与同构已有所了解，而近世代数很少考察一般的映射,近世代数的研究对象是代数系统.其中群是最简单的代数系统，因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.群的同构与同态在研究中有着它的重要作用，随着现代数学的高度抽象化和广泛应用，群的同构和同态的研究也越来越受到人们的重视.所以本文将对群论中的同态与同构进行一定的深入研究，了解其中的含义及内在意义.群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构.在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的代数系统去研究它们.有一种特殊的群——有限群，是值得我们深入研究的，这就要求我们必须认真把握与其有关的两大定理.