数理统计之样本容量的选择
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布
(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()24.55,0.108XN ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100XN μ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100XN μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495〔单位：g1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量〔单位：g 〕.由题意知()2500,XN σ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解 由题意知，()23.25,XN σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年. 5.某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？ 解 由题意知()2,0.048XN μ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=. ②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
研究生-数理统计课后答案参考
, i 1, 2, , n
解
由已知条件得： Yi ~ B(1, p) ，其中 p 1 FX ( ) .
因为 X i 互相独立，所以 Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
Y ~ B(n, p) ， p 1 F
i 1 i
n
X
( ) .
9 设 X1 ,, X n 是来自总体 X 的样本，试求 EX , DX , ES 2 。假设总体的分布为： 1） X ~ B( N , p); 2) X ~ P( ); 3) X ~ U [a, b]; 4) X ~ N ( ,1);
解
n 2 2 2 E Xi X E (n 1) S (n 1) ES i 1 (n 1) DX (n 1) 2
2 (n 1) S 2 n 2 4 D X i X D ( n 1) S D 2 i 1
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形. 解
图 1.2 数据直方图
它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即 N (172,5.64) . 4 设总体 X 的方差为 4，均值为 ，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得 满足 P( X k ) 0.9 .
2）对总体 X ~ P( )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5 ) P( X i xi )
i 1 i 1 n 5
x
i
xi !
e
5xBiblioteka x !i 1 i5
e 5
其中： x
第八章 数理统计基础
分院 专业 班级 姓名 学号封 装 线一：填空题1、来自正态总体()20~σ，N X 的一个简单随机样本为n X X X ,21 ，，，则样本的样本容量为_______， =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 11______，=⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i X n D 11_________。
2、已知()22,50~N X ，X 为样本均值，样本容量为9，则()=<48X P 。
（用标准正态分布()Φ表示）3、设n X X X ,21 ，，，是总体()2~σμ，N X 的样本，X ，2S 分别是样本平均值和样本方差，则nX σμ-服从_____________分布4、设总体X 的分布中含有未知参数θ，2,1∧∧θθ，是由n X X X ,21 ，，样本所确定的两个统计量,对于给定的()10<<αα有αθθθ-=⎪⎭⎫⎝⎛<<∧∧121P ，则随机区间__________ 为θ的置信水平为__________的置信区间. 5、设n X X X ,21 ，，是总体()2~σμ，N X 的样本，当2σ为已知时，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 。
6、设n X X X ,21 ，，来自总体X 简单随机样本，则n X X X ,21 ，，满足（1），（2）。
二、计算题1、n X X X ,21 ，，来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的矩估计量。
2、已知()25~，μN X ，随机抽取容量为16的样本，求得样本平均值为65=x ，则μ的置信度为0.95的置信区间()96.1025.0=Z ，3、设n X X X ,21 ，，是总体()21~σ，N X 的一个样本,且()2σ=X D ,求2σ的矩估计量2ˆσ。
4、体X 其中()10<<θθ为未知参数。
试求θ的矩估计量5、设n X X X ,21 ，，为总体X 的一个样本，总体X 的概率密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=-其他,010,1x x x f θθ， 其中0>θ为未知参数。
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
概率论与数理统计A第6章
几个常见统计量
样本平均值
样本方差
它反映了总体 方差的信息
X
1 n
n i1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
S2n11in1(Xi X)2
n1 1i n1Xi2nX2
样本标准差 S n1 1i n1(Xi X)2
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i1
Xik
k=1,2,…
样本k阶中心矩
Mk
1 n n i1
(1)
(n1)S2
2
~2(n1)
(2) X与S2独立 .
n取不同值时 (n 1)S 2
2
的分布
推论1 (样本均值的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(,2)
的样本, X和S2 分别为样本均值和样本方差,
则有
X ~t(n1)
Sn
证由定 1、 2理 t,分布的定义可得
X~N(0,1), n
X ~ N(,2) n
即 X~N(0,1) n
X ~ N(,2) X ~ N(0,1) n n
请注意 : 在已知总体，2时， 可用本定理计算样 本均值X.
n取不同值时样本
均值 X 的分布
定理 5 (样本方差的分布)
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N(,2)的样本,
X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有
的 点 t ( n ) 为 t ( n ) 分 布 的 上 分 位 数 。 如 图 所 示 .
t ( n )
t分布的上分位点的性质： t1(n)t(n)
t分 布 的 左 侧 分 位 点 t(n)可 查 表 求 得 ， 例 t0.975(15)6.262.
当n45时，对于常 的 用值 的，可用正态近
《数理统计》试题库填空题
数理统计试题库 -----填空题（每题 3 分）第一章1. 设X~N2Y ~ N 2,2相互独立，样本容量分别为 n1, n2，则1,1，2Var X Y。
2. 设X1 , X2, X3, X4是来自正态总体N(0,2 2)的简单随机样本，X a( X12X2)2b(3X 34X 4 ) 2，则 a，b时，统计量 X ~2(2) 。
3．设X1,X,X,X 是来自正态总体 N(02,3的)简单随机样本，23X a( X12X2)2b( X 3X 4 )2，则 a， b时，统计量 X ~2(2) 。
2 k，X ,X,, X n24.设总体 Xn 是取自该总体的一个样本，则X i服从分布，12i1且自由度为。
5.设X1, X2, X3, X4, X5是来自正态总体N (0,1) 的简单随机样本，X a(X12X22) ，则a时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为。
6.设 X1,X2,X3,X4,X5是来自正态总体N (0,1)的简单随机样本，X aX1X 2，则 a时，统计量 X 服从 t 分布，其自由度为。
X32X 42X 527．X服从正态分布，EX1，EX25，X,X,, Xn 是来自总体 X 的一个样本，12则 X 1nX i服从的分布为。
n i 18.设随机变量X 服从正态分布N(0,3 2) ,而X1, X2,, X 9是来自 X 的样本，则统计量 U1X12X 22X 92 服从。
99.设随机变量X和 Y 相互独立且都服从正态分布N (0,32) ,而X1,X2,,X9和Y1 ,Y2 ,,Y9分别是来自X和Y的样本，则统计量U X 1X 2X 9服从。
Y12Y22Y9210.设 X1,X2, , X n是来自总体X 的简单随机样本，已知EX k k (k 1,2,3,4)则当n 充分大时，随机变量Z n1 n X i 2近似服从正态分布，其分布参数为 ____________n i 111. 设X 1,X 2,, X n 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为的指数分布，则n2X i 服从____________分布.i 112.设在总体 N (,2 )中抽取一个容量为16 的样本，这里,2 均为未知，则 DS 2 .=____________13. 设X 1,, X n , X n 1 , , X n m 是 分 布 N ( 0 , 2 )的 容 量 为 n m 的 样 本 ， 统 计 量m nX iY 1i1的概率分布为 __________ 。
数理统计期末练习题
数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(|>-y x P .5.设161,,x x 是来自),(2δμN 的样本,经计算32.5,92==s x ,试求)6.0|(|<-μx P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤<P )|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 =<P )1(X9．设21,x x 是来自),0(2σN 的样本,试求22121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x Y 服从 分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>++-+P k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21σμN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221-+-+-=+m n t s y d x c t md nc ωμμ其中22222,2)1()1(y x yx s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差.12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_2211(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数c 使得1n nc nx x t cs +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。
随机抽样中样本容量的确定
X ~ N ( , 2 ) ，对于给定的显著性水平 ，当假定原假设H0:μ=μ0成立时，因 T X 0 ~ t (n 1) ，选择临界值 t (n 1) ，使得 P T t ( n 1) ， S n X 0 P t (n 1) 1 n
从上面的式子（2）、（4）我们可以看到，对总体平均数进行参数估计或假 设检验时必要样本容量具有以下三个特点： （1）总体方差 2 或样本方差 S 2 越大，必要样本的容量n就越大； （2）最大允许误差△越小，必要样本的容量n就越大； （3）置信水平 1 越高，必要样本的容量n就越大。
参考文献：
Z n 2
2
(2)
2. 在 2 未知条件下的必要样本容量 在 2 未知条件下，我们可以得到总体平均数μ在 1 置信水平下的置信区 间为 ( x
S n t (n 1), x S n t (n 1) ,而在对总体平均数进行假设检验时，由于
即
（3）
（3）式同样回答了两个问题：当原假设H0:μ=μ0成立时，给出了H0的否定 域；二是在μ未知时，给出了总体平均数μ在置信水平 1 时的区间估计
(x S n t (n 1), x S n t (n 1)
同样可以看到，在 2 未知条件下，不论是对总体平均数进行参数估计还是 假设检验，均得到了一个相同的置信区间 ( x
[1]李贤平，沈崇圣，陈子毅.概率论与数理统计[M].复旦大学出版社，2005. [2]邵志芳.心理与教育统计学[M].上海科学普及出版社，2004. [3]耿修林.均值估计时样本容量的确定[J].统计与决策，2007，（10）. [4]刘爱芹.随机抽样中样本容量确定的影响因素分析[J].山东财政学院学 报,2006,(05). [5]陈克明，宁震霖.市场调查中样本容量的确定[J].中国统计，2005，(03).
数理统计
2012《数理统计》主观题论述题1、从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，243，185，240，228，196，246，200。
（1）写出总体，样本，样本值，样本容量；（2）求样本的均值，方差及二阶原点距。
答：（1）总体为该批机器零件重量ξ，样本为，样本值为230，243，185，240，228，196，246，200，样本容量为n=8；（2）2、若样本观察值的频数分别为，试写出计算平均值和样本方差的公式（这里）。
答：3、设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，是来自总体的简单随机样本。
指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么答： 1521251max,,()i i X X X X X ≤≤+-都是统计量，52,X p +不是统计量，因p 是未知参数。
4、设总体X 服从正态分布，其中已知，未知，是来自总体的简单随机样本。
（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量。
答：（1）因为X 服从正态分布 ，而是取自总体X 的样本，所以有X i 服从，即故样本的联合密度函数为。
（2）都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数，而不是统计量。
主观题论述题1、设总体X服从，是取自总体 X 的简单随机样本，为样本均值，分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量各服从什么分布。
答：由定理知服从自由度为n-1的-分布，由定理的系得服从自由度为n-1的t-分布，由服从，可得服从，服从，由于相互独立因此由-分布的可加性，得服从自由度为n的-分布。
2、设总体X服从，和为样本均值和样本修正方差，又有服从，且与相互独立，试求统计量服从什么分布。
答：由X服从，服从，服从，服从，又由服从自由度为n-1的-分布，注意t分布的定义服从自由度为n-1的t-分布。
由服从，服从，又由服从自由度为n-1的-分布，注意F分布的定义服从自由度为（1，n-1）的F-分布。
北理工《概率论与数理统计》题库复习资料
北理工《概率论与数理统计》FAQ （一）一、【古典概型】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算： （1）无空盒的概率； （2）恰有一个空盒的概率.解：4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果. （1）其中无空盒的结果有A 44种，所求概率P =4444A =323. 答：无空盒的概率是323. （2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有C 14种，选两个球放入一盒有C 24A 13种，其余两球放入两盒有A 22种.故恰有一个空盒的结果数为C 14C 24A 13A 22,所求概率P （A ）=4221324144A A C C =169. 答：恰有一个空盒的概率是169. 二、【条件概型】盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。
解 设Ai 为第 i 次取球时取到白球，则 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =52)(1=A P 73)|(213=A A A P 63)|(12=A A P 84)|(3214=A A A A P求得：3 / 70三、【条件概型＋全概型】市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
解 设B 买到一件次品，A1为买到甲厂一件产品 A2为买到乙厂一件产品 A3为买到丙厂一件产品 可得：)()|()()|()()|(332211A P A B P A P A B P A P A B P ++= ＝ ≈⨯+⨯+⨯2103.04101.04102.00.00225 四、【贝叶斯公式】商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解 设A :从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B 0, B 1, B 2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P (B 0)=0.8, P (B 1)=0.1, P (B 2)=0.11)|(0=B A P 54)|(4204191==C C B A P 1912)|(4204182==C C B A P由Bayes 公式:∑==2111)|()()|()()|(i iiB A P B P B A P B P A B P 0848.019121.0541.018.0541.0≈⨯+⨯+⨯⨯=五、 【伯努利概型】在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利 解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P 5(3)+P 5(4)+P 5(5) =0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P 3(2)+P 3(3) =0.648 甲应选择五局三胜制。
(完整word版)数理统计选择题
选择题1。
关系( C )成立，则事件A 与B 为互逆事件。
（A ）φ=AB (B ）Ω=⋃B A （C)φ=AB ,Ω=⋃B A 2。
AB 是两个事件,下列式子正确的是（ D ）。
（A ）)()()(B P A P B A P -=- (B ）)()()(B P A P AB P = （C))()()(B P A P B A P +=⋃ (D ）)(1)(A P A P -= 3。
设E ，F,H 是三个事件，则H F E ⋃⋃表示（ C ). (A)H F E ,,都发生 （B ）H F E ,,都不发生 （C ）H F E ,,至少有一个发生 （D ） H F E ,,不多于一个发生4。
以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其逆事件A 为（ D ）。
（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B ）“甲乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品畅销滞销” （D ）“甲种产品滞销,或乙种产品畅销” 5。
设1()P A p =,2()P B p =，3()P A B p ⋃=，则)(B A P 为（ B ）。
（A ）12p p - (B)32p p - (C ）12(1)p p - （D ）21p p - 6. 设0)(=AB P ，则（ A )。
（A ）A 和B 不相容 （B ）A 和B 独立 （C ）0)(0)(==B P A P 或 （D)A 和B 互逆7。
设A,B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( A ）. （A ）)()(A P B A P =⋃ （B ）)()(A P AB P = （C ）)()(B P A B P = （D ）)()()(A P B P A B P -=-8。
设A, B 为两个任意事件，且B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必成立的是（ B ）. （A ）)()(B A P A P < （B ）)()(B A P A P ≤ （C ）)()(B A P A P > （D))()(B A P A P ≥9. 设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)()(=+B A P B A P ，则（ D ）。
数理统计试卷及答案
课程名称： 概率论与数理统计 以下为可能用到的数据或公式（请注意：计算结果按题目要求保留小数位数）： 0.058=2.306t （），0.059=2.262t （），0.02t (20)=2.528，0.05220=2.086t （），20.058=15.507χ（），20.958=2.733χ（），..χ=2010（1）2706，..χ=2090（1）0016，0.012 2.58u =，0.0521.96u =，X YT -=，w S =2211(||0.5)c r ij ij j i ij O E E χ==--=∑∑ 一、单项选择题（共5小题, 每小题3分, 共15分）.1. 将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为( c). (A) 18 (B) 14 (C) 38 (D) 122. 为了解某中学学生的身体状况，从该中学学生中随机抽取了200名学生的身高进行统计分析。
试问，随机抽取的这200名学生的身高以及数据200分别表示( b ).(A) 总体，样本容量 (B) 从总体中抽取的一个样本，样本容量(C) 个体，样本容量 (D) ,,A B C 都不正确3. 设随机变量X 服从正态分布，其概率密度函数为2(2)21()()x f x x --=-∞<<+∞，则2()E X =( c ).(A) 1 (B)4 (C) 5 (D) 84. 已知随机变量(0,1)X N ，2()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则2X Y n （b ）.(A)(,1)F n (B)(1,)F n (C)()t n (D)(1)t n -5. 设随机变量(5)t t ，且0.0525=2.571t （），则下列等式中正确的是( a ). (A) ( 2.571)0.05P t >= (B) ( 2.571)0.05P t <=(C) ( 2.571)0.05P t >= (D) ( 2.571)0.05P t <-=二、填空题（共5小题, 每小题3分, 共15分）.1. 设()0.5P A =，()0.3P B =，()0.6P A B =，则()P AB =__0.3___.2. 两人约定在下午2点到3点的时间在某地会面，先到的人应等候另一人 15分钟才能离去，问他们两人能会面的概率是_____.3. 若相互独立的事件A 与B 都不发生的概率为49，且()()P A P B =，则()P A =_1/3___4. 在有奖摸彩中，有200个奖品是10元的，20个奖品是30元的，5个奖品是1000元的.假如发行了10000张彩票，并把它们卖出去.那么一张彩票的合理价格应该是__0.76元.5. 对随机变量X 与Y 进行观测，获得了15对数据，并算得相关数据：121xx l =，101xy l =，225yy l =，则样本相关系数r =_101/165____（保留二位小数）.三、计算与应用题1. 设某批产品是由3个不同厂家生产的.其中一厂、二厂、三厂生产的产品分别占总量的30%、35%、35%，各厂的产品的次品率分别为3%、3%、5%，现从 中任取一件，(1)求取到的是次品的概率；0.037(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是三厂生产的概率.0.492. 设随机变量X 的概率密度为2,11()0,Cx x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它，求常数C 以及随机 变量X 落在1(0,)2内的概率.c=3/2 p=1/16 3. 检查某大学225名健康大学生的血清总蛋白含量(单位：g/dL)，算得样本均数为7.33，样本标准差为0.31.试求该大学的大学生的血清总蛋白含量的95%置信区间（结果保留二位小数）.4. 为判定某新药对治疗病毒性流行感冒的疗效性，对500名患者进行了调查，结果如下：试求：（1）求表格中理论频数E，21E；12e12=232 ,e21=42（2）判断疗效与服药是否有关（结果保留三位小数）？5. 正常人的脉搏平均为每分钟72次.某职业病院测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏（单位：次/min）如下：55 68 69 71 67 79 68 71 66 70假定患者的脉搏次数近似服从正态分布，试问四乙基铅中毒患者和正常人的脉搏次数是否有显著性差异？（0.01α=）6.某公司生产两种品牌的洗发水，现分别对这两种洗发水的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量做抽检，结果如下：甲品牌：n=10 x=3.6 21s =3.38 乙品牌：2n=12 y=2.012s =2.42若洗发水中的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量服从正态分布，并且这两种品牌洗发水中的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量具有方差齐性，试问这两种品牌洗发水中的聚氧乙烯烷基硫酸钠含量有无显著性差异？（0.05α=，结果保留三位小数）？欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
《数理统计》教案——抽样分布
lim
n
Cnk
pk (1
p)nk
k e
k!
注意到：
ke 1
k0 k !
该实数序列可构成一分布列
3. 泊松分布（ The Poisson Distribution ）
若随机变量 X 的概率分布列是
PX k k e , k 0,1, 2,,
k!
则称 X 服从参数为的泊松分布，记为 X ~ P()
盖洛普 预测 51% 59.5% 51% 64% 43% 62% 48.0% 47.0%
实际 得票 55.4% 57.8% 50.1% 61.3% 43.5% 61.8% 50.1% 50.8%
误差 -4.4% +1.7% +0.9% +2.7% -0.5% +0.2% -2.1% -3.8
2）康泰克为什么可以重来
1936年民主党人罗斯福任美国总统第一任满。共和党 人兰登与他竞争总统。《文学摘要》杂志根据有约二百 四十万人参加的民意测验，预测：
兰登的得票率：57% 罗斯福的得票率：43% 样本：240万
1936年盖洛普刚刚设立起他的调查机构，他根据一个约五 万人的样本，预测：
兰登得票率：44%
罗斯福得票率：56%
《文学摘要》杂志选取调查对象的方法有误。尽管他的调 查数据非常多，但有偏差。他选取的样本不能代表总体。
《文学摘要》杂志的调查对象选择了共和党人兰登，而全 体选民却选择了民主党人罗斯福。
尽管盖洛普的样本只有五万人，但他的样本能比较好地代表 总体。盖洛普用的是“定额抽样法” 。
所谓定额抽样法可简单地用下面的例子加以说明。若某地区 有40万选民，其中黑人与白人选民分别有15%与85%。若计 划在该地区调查20个选民，则定额抽样法就要求调查员访问 的20个选民中有3个黑人选民与17个白人选民。调查对象的性 别、收入高低、年龄等有类似的要求。
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的一个置信水平为 1的置信区间： X
S n
t
/
2
(n
1)
.
在总体均值的区间估计时，半置信区间的宽度为：
s
L t (n 1)
2
n
精度要求： L
问题：两个不确定！
可得
n
t2
2 (n 1)s2 2
与样本容量n 有关，与观测值的 样本方差（s）有关。
2020/2/29
0是专家经验估计的 上界。
2020/2/29
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J. TANG
2第.4 五估计章总体参均数值时估，计样本容量的确定
近似逼近方法二、
L
S n
t
/2
(n
1)
n
t2
2 (n 1)s2 2
替换成 n
z2
2
20
2
这里：首 再先 用选 单择 侧容 区量 间为 估m计的的样方本法容求量出； 的置信度为1-的置信上界； 用此上界为 0 .
2
n
2 2 2
2
1.962 1800000 5002
27.65
28
这家广告公司应抽选28个商店作样本（注意抽取样本 数总是整数，所以n 应圆整成整数）。
2020/2/29
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2第.4 五估计章总体参均数值时估，计样本容量的确定
情形2、方差 2未知的条件下，估计u的区间
第五章 参数估计 第4节 样本容量的确定
需要考虑问题：
➢ (1)要求什么样的精度？即我们想构造多宽的区间？ ➢ (2)对于构造的置信区间来说，想要多大的置信度？
2020/2/29
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J. TANG
2第.4 五估计章总体参均数值时估，计样本容量的确定
情形1、方差 2已知的条件下，估计u的区间
2 如 N m,则此时选取的样本已经满足偏差进度 ；
否则，如N m，则再取N m个样本，并用 X N
S N
t
/
2
(m
1)
作为的置信区间即可。
2020/2/29
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第五章 参数估计
5.3.2 估计总体比例（总体是0-1分布）时， 样本容量的确定
估计总体比例时，允许误差为：
2
1 p(1 p) n
（5－40）
由上式可得出估计总体比例时，确定必要样本容量 的公式。由于总体比率是未知的，因此要用样本比 率代替
n 2 2 p(1 p) 2 2 p(1 p)
2
2
（5－41）
2020/2/29
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总结：样本容量n与总体方差、允许误差、置信度有以下关系：
1.必要样本容量n 与总体方差成正比。 2．在给定的置信水平下，允许误差越大，样本 容量就可以越小。
3.样本容量n与置信度成正比。
2020/2/29
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第五章 参数估计
例子： 估计总体均值时，样本容量的确定
J. TANG
第五章 参数估计
5.3.2 估计总体比例时，样本容量的确定
[例5.9] 一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视
机家庭所占的比例。该公司希望对p 的估计误差不
超过0.05,要求的可靠程度 为95%，应取多大容量的
样本？没有可利用的 估p计值。
解：对于服从二项分布的随机变量，当 p 0.5
时，其方差达到最大值。因此，在无法得到 p
值时，可以用 p 0.5 计算。
已知： 0.05, 0.05, 2 1.96,
由于 p 的估计值未知，可以采用 p 0.5
计算必要的样本容量：
第五章 参数估计
5.3.2 估计总体比例时，样本容量的确定
n
2
2
p(1
是偏差的精度要求。
2020/2/29
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2第.4 五估计章总体参均数值时估，计样本容量的确定
近似逼近方法三：Stein法
L
S n
t
/2
(n
1)
n
t2
2 (n 1)s2 2
这里首求：先出选满择足容N 量t为2 2m(m的样1)本sm2容式量的；最计小算正出整样数本N标. 准差sm ,
Fisher问题！
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2第.4 五估计章总体参均数值时估，计样本容量的确定
方差 2未知的条件下导致的Fisher问题如何解决？
近似逼近
L
S n
t
/2
(n
1)
方法一、
n
t2
2 (n 1)s2
替换成 n
z2
2
20
2
2
这里：是偏差的精度要求；
的一个置信水平为 1的置信区间：
X
n
z
/
2
.
在总体均值的区间估计时，半置信区间的宽度为：
L Z
2
n
精度偏差要求： L
可得
n
Z2 2
2
2
2020/2/29
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第五章 参数估计
2.4 估计总体均值时，样本容量的确定
[例5.8] 一家广告公司想估计某类商店去年所花的 平均广告费有多少。经验表明，总体方差约为1 800 000。如置信度取95%，并要使估计值处在总体平 均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大 的样本？
解：已知 2 1800000, 0.05, 1.96, 500
p)
2
(1.96) 2 (0.5)(1 0.5)
(0.05) 2
385
故为了以95%的可靠度保证估计误差不超过0.05， 应取385户进行调查。