2019-2020年高中数学 §1.1 数列的概念教案 北师大版必修5

2019-2020年高中数学§1.1 数列的概念教案北师大版必修5教学目标1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学过程一．揭示课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第三章数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9②我国xx~xx年GDP值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533④正弦函数的图像在轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列数: ……⑤正整数的倒数排成一列数：……⑥某人xx年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100)⑦函数当依次取()时得到一列数：请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．对概念的理解数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？教师提出问题：1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？2： -1，1，-1，1是否为一个数列？遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）2．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法．简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列…为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（板书）（3）通项公式法认识数列的通项公式数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。

对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。

如1100 1100 1100 …… 1100的通项公式为 ()…的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（板书）3．数列与函数的关系认识数列与函数的关系数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？教师：举例。

将序号写在上面，下面的相应位置写上数列的各项。

首先引导学生说出上下两行是两组变量，然后分析这两组变量之间的关系。

学生：联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。

教师：数列的定义域和值域分别是什么？教师引导学生归纳出：数列可以看成是以正整数N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．例：P5课本例题练习：（1）数列的通项公式，则是该数列中的第 16 项．（2）已知数列的通项公式，则= ，= 9 ，65是它的第 11 项；从第 7 项起各项为正；中第 2 项的值最小为（3）中，则值最小的项是第 4或5 项．三．小结1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业略五．板书设计2019-2020年高中数学§1.2 不等关系与不等式教案北师大版必修5教学目标（1）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（2）实数比较大小的方法（3）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．教学重点，难点实数比较大小的方法教学过程提出问题问题1：生活中，在一杯不太甜的糖水中加一点糖，这杯糖水变得更甜了。

请问：能否用数学知识来解释这一生活常识呢一般的人，下半身长与全身长的比值，在0.57~0.60 之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时人的身材就越好.为什么芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起来给人以美的享受？设某人下半身长为a(cm)，全身长为b(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析原因起初糖水的浓度为,加入克糖后的糖水浓度为,只要证明即可,怎么证呢?这是一个不等式的证明问题.或者说，是一个比较两个式子大小的问题.课外小知识古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗塑像都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美之神话.课题：1.2 比较大小对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a = b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．问题2：x -1 与x +1谁大谁小？你是怎样比较的？①赋值法② 函数思想③ 借助一个中间量:这种方法的一般形式是： 若a ＞b ，b>c ，则a >c . 这叫做不等式的传递性.④ 作差比较法：由，故：作差比较法1.用作差比较法判断两个实数大小的原理是：0,0,0<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a2.其依据是不等式的基本性质知识回顾 不等式的基本性质：①如果a>b ，那么 a+c>b+c----加法性质②如果a>b ，c>0 ，那么ac>bc③如果a>b ，c<0 ，那么ac<bc----乘法性质3. 作差比较法的一般步骤：作差→变形→判断符号→确定大小.关键是“变形”.目的：能方便地判断符号；技巧：常要用到通分，配方，因式分解等；变形的最后结果是一般是n 个因式之积，或完全平方式或常数, 便于判定正负.若结果含有无法确定符号的字母，则要进行分类讨论.问题3：比较(x ＋1)(x +5) 与(x ＋3)2的大小．解: ∵ （作差）4)96()56(22-=++-++=x x x x （变形）∴<0 （定符号） （确定大小）注意：常常可以在“变形”后直接判定符号，从而把“定符号”一步省略.思考与交流：P72页练习1、设，，则与的大小关系是（ A ）A ：B ：C ；D ：与有关解：01)1(22)2()(222>+-=+-=---=-x x x x x x b a 故： 练习2、比较与的大小． 解: ∵x x x x x x -=++-++=1)2(122424∴当1-x =0即x =1时, 2242(1)(2)0x x x x +-++=∴当1-x >0即x <1时, 2242(1)(2)0x x x x +-++>∴当1-x <0即x >1时, 2242(1)(2)0x x x x +-++<∴当x =1时,x <1时,x >1时,例：利用不等式的性质证明下列问题（1）当时，函数是增函数、（2）若，则等比数列是递减数列证明：（1）对于任意的，则，根据函数单调性的概念知函数在上是增加的（2）0)1(111111<-=-=---+q q a q a q a a a n n n n n （） 故：等比数列是递减数列例：已知都是正数,且,求证: .证明: ∵()()()b m b b m a a m b a m a a m a++-+-=++ ∵都是正数,且,∴0,0,0,0m m a a a b >+>>->,∴ 故：结论：都是正数,且,则.问题4：这一结论用语言怎样叙述？这一结论能用来解释生活中的现象吗？结论：对于一个正的“真分数”，当分子、分母加上同一个正数时，所得新分数比原分数大。

变式：设0<m < b ＜a ，则 < （用不等号填空）综合得到：设0<m < b ＜a ，有<＜.你会用知识吗？问题5：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。

但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10％，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。

试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了？还是变坏了？请说明理由。

思考交流甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地，所用时间分别为和 ，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，且（1）不妨令路程为1，请同学各自用m ， n 表示出和 ；（2） 与同桌一起比较和的大小，并判断谁先到达B 地.解：（1）nm t n t m t +=⇒=⨯+⨯212121111 （2）0)(2)()(2)(4222221<+--=++-=+-+=-n m mn n m n m mn n m mn mn n m n m t t 故：，即：甲先到达B 地【练习】甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同。