简单几何体的体积
北师大版数学高二课件 4.3.2 简单几何体的体积
梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝
bπ[
a
f(x)]
2dx
.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 简单旋转几何体的体积
例1 求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.
解
Vx＝2πy2dx＝2πx6dx＝
0
0
πx72
7
0
＝1278π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的 体积. 解 x1＝ y，x2＝y2,0≤y≤1，
解析答案
课堂小结 1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成. 2.利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、 下限，要理解其中蕴含的定积分思想.
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本课结束
的几何体.如图所示：
因此 V＝a A(x)dx
－a
＝πab22a (a2－x2)dx＝43πab2. －a
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个 直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个 圆锥体的体积. 解 直角三角形斜边的直线方程为 y＝hrx. 所以所求圆锥体的体积为
第四章 §3 定积分的简单应用
4.3.2 简单几何体的体积
学习 目标
1.通过实例，进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用.
栏目 索引
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知识梳理
自主学习
知识点 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边
定积分的应用--简单几何体的体积
结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V
1
0
x2dx
3
x3
1 0
3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和 直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成，设在区间[a，b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的 体积
学习简单体积计算
学习简单体积计算体积是三维几何中一个重要的概念，它描述了一个物体所占据的空间大小。
在日常生活和学习中，掌握简单的体积计算方法对我们解决各种问题都非常有帮助。
本文将介绍一些常见的简单体积计算方法，并提供一些实际应用的例子，以便读者更好地理解和应用这些知识。
一、立方体的体积计算方法立方体是最简单的几何体之一，其体积计算方法也是最直接的。
立方体的体积等于边长的立方，即V=a³，其中V表示体积，a表示边长。
例如，一个边长为3厘米的立方体的体积为V=3³=27立方厘米。
实际应用：假设我们要购买一个立方形的水缸，它的边长为10厘米，我们可以利用体积计算方法来确定该水缸的容积是否满足我们的需求。
根据前面的公式，我们可以计算出这个水缸的容积为V=10³=1000立方厘米。
二、长方体的体积计算方法长方体是一个更常见的几何体，它有长度、宽度和高度三个参数。
长方体的体积计算方法是长度、宽度和高度相乘，即V=lwh，其中V表示体积，l、w和h分别表示长度、宽度和高度。
例如，一个长方体的长度为5厘米，宽度为3厘米，高度为8厘米，那么它的体积可以计算为V=5*3*8=120立方厘米。
实际应用：假设我们有一个长方形的花盆，它的长度为30厘米，宽度为20厘米，高度为10厘米。
我们可以利用体积计算方法来确定这个花盆能够容纳多少土壤。
根据前面的公式，我们可以计算出这个花盆的体积为V=30*20*10=6000立方厘米，即这个花盆可以容纳6000立方厘米的土壤。
三、圆柱体的体积计算方法圆柱体是一个常见的几何体，它具有一个底面圆和一个高度。
圆柱体的体积计算方法是底面圆的面积乘以高度，即V=πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率（约等于3.14），r表示底面圆的半径，h表示高度。
例如，一个圆柱体的底面圆半径为4厘米，高度为10厘米，那么它的体积可以计算为V=3.14*4²*10=502.4立方厘米。
标准体积的计算公式
标准体积的计算公式在物理学和工程学中，我们经常需要计算物体的体积，以便进行各种实际应用。
而对于一些规则的几何体，我们可以使用标准的公式来进行计算。
下面将介绍一些常见几何体的标准体积计算公式。
1. 立方体的体积计算公式。
立方体是最简单的几何体之一，它的体积计算公式为V = a³，其中V表示体积，a表示立方体的边长。
这个公式非常直观和简单，只需要知道立方体的边长就可以计算出它的体积。
2. 长方体的体积计算公式。
长方体也是常见的几何体之一，它的体积计算公式为V = lwh，其中V表示体积，l表示长方体的长度，w表示宽度，h表示高度。
同样，通过这个公式，我们可以轻松地计算出长方体的体积。
3. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个有两个平行且相等的底面的几何体，它的体积计算公式为V =πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示底面半径，h表示高度。
通过这个公式，我们可以计算出圆柱体的体积。
4. 圆锥体的体积计算公式。
圆锥体是一个底面是圆形而侧面是一条直线的几何体，它的体积计算公式为V = 1/3πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示底面半径，h表示高度。
同样，通过这个公式，我们可以计算出圆锥体的体积。
5. 球体的体积计算公式。
球体是一个所有点到球心的距离都相等的几何体，它的体积计算公式为V =4/3πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
利用这个公式，我们可以计算出球体的体积。
以上就是一些常见几何体的标准体积计算公式，通过这些公式，我们可以快速、准确地计算出不同几何体的体积。
当然，在实际应用中，还会遇到更多复杂的几何体，需要根据具体情况来选择合适的计算方法。
希望这些公式能够帮助你更好地理解和应用几何体的体积计算。
7.2简单几何体的体积
4 3 V球 R 3
例题讲解
例1：埃及胡夫金字塔大约建于公元前 2580年，其形状为正四棱锥，金字塔的 高146.6m，底面边长230.4m，问这座 金字塔的侧面积和体积各是多少？ A 分析：关键求出侧面上 的斜高
B
C
课堂练习 练习1 ：一个正三棱锥的底面边长是6，侧
棱长是 15，求其体积。 练习2 ：圆台的高为12，母线长为13， 两底面半径的比为8：3，则体积为( )
棱柱
圆柱
棱锥 圆锥 棱台
圆台
算公式之间的关系。
知识探究(一)：柱体、锥体、台体的体积公式
h r
V柱体=Sh
S为柱体的底面积，h为柱体的高
h
h
r
h
1 V锥体= Sh 3
S为锥体的底面积，h为锥体的高
1 V （S S 2 S S ）h 2 1 13 V圆台 h ( S h S S S )h (r rR R ) 3 R 3 S上、S下分别为台体的上、下底
h 6
15
课堂小结
1、计算柱、锥、台体的体积的难点是求高；
2、在几何体中寻找可以求出高，半径等元 素的直角三角形或等腰、直角梯形等，也 有很多时候把台变锥，用相似解决问题.
行为懒惰穷一代， 思维懒惰穷三代！
作业布置
习题1-7 A组 第 题 B组 第 题
第 题
台体 上 下 上 下
r
面面积，h为高. ) (r、R分别为圆台上底、下底半径
知识探究(一)：柱体、锥体、台体的体积公式
柱、锥、台体积公式间的关系 V锥体= Sh S上=0
S上=S下
V柱体=Sh
知识探究(二)：球的表面积和体积
球表面积公式
体积计算公式
体积计算公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算物体体积的情况。
无论是建筑设计、工程施工，还是简单的数学作业，了解体积的计算公式都是非常重要的。
体积，简单来说，就是一个物体所占空间的大小。
不同形状的物体，其体积的计算方法也各不相同。
下面，我们就来详细了解一下常见几何体的体积计算公式。
首先，我们来看看最简单的几何体——正方体。
正方体的六个面都是全等的正方形，它的体积计算公式为：体积＝边长×边长×边长。
假设一个正方体的边长为 a ，那么它的体积 V 就可以表示为 V ＝ a³。
比如说，一个正方体的边长是 5 厘米，那么它的体积就是 5×5×5 ＝ 125立方厘米。
接下来是长方体。
长方体是由六个矩形面围成的立体图形。
它的体积计算公式是：体积＝长×宽×高。
如果长方体的长、宽、高分别用 l 、w 、 h 表示，那么体积 V ＝ lwh 。
例如，一个长方体的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，高是 4 厘米，那么它的体积就是 8×6×4 ＝ 192 立方厘米。
圆柱体也是我们常见的几何体之一。
圆柱体是由两个平行且相等的圆面和一个曲面围成的。
圆柱体的体积计算公式为：体积＝底面积×高。
底面积就是圆的面积，圆的面积公式为πr² （其中 r 是圆的半径，π通常取 314 ），高用 h 表示。
所以圆柱体的体积 V ＝πr²h 。
比如，一个圆柱体的底面半径是 3 厘米，高是 10 厘米，那么它的体积就是314×3²×10 ＝ 2826 立方厘米。
圆锥体是与圆柱体相关的另一种几何体。
圆锥体的体积计算公式是：体积＝ 1/3×底面积×高。
同样，底面积是πr² ，高是 h ，所以圆锥体的体积 V ＝1/3πr²h 。
假如一个圆锥体的底面半径是 4 厘米，高是 9 厘米，那么它的体积就是 1/3×314×4²×9 ＝ 15072 立方厘米。
第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)
第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。
小学数学点知识归纳体积的计算方法
小学数学点知识归纳体积的计算方法在小学数学中，体积是一个重要的概念。
体积用来描述一个物体所占据的空间大小。
在日常生活中，我们经常需要计算物体的体积，以便更好地理解和应用数学知识。
本文将从几何体积的计算方法展开，包括常见几何体如长方体、正方体、圆柱体等。
1. 长方体的体积计算方法长方体是最简单的几何体之一，其体积计算公式为：体积 = 长 ×宽×高。
其中，长、宽、高分别代表长方体的三个边长。
例如，一个长方体的长为3cm，宽为4cm，高为5cm，那么它的体积为3 × 4 × 5 = 60cm³。
2. 正方体的体积计算方法正方体是一种特殊的长方体，所有边长相等。
正方体的体积计算公式与长方体相同，即：体积= 边长³。
例如，一个正方体的边长为6cm，那么它的体积为6³ = 6 × 6 × 6 = 216 cm³。
3. 圆柱体的体积计算方法圆柱体是由两个平行且相等的圆面以及连接两个圆面的侧面组成。
圆柱体的体积计算公式为：体积 = 圆面积 ×高。
其中，圆面积可以通过半径的平方乘以π（pi）来计算。
例如，一个圆柱体的底面半径为4cm，高为8cm，那么它的体积为4² × π × 8 = 128π cm³。
4. 球体的体积计算方法球体是一种完全由曲面组成的几何体，其体积计算公式为：体积 = (4/3) × π × 半径³。
其中，半径为球体的半径，π为一个常数，约等于3.14。
例如，一个球体的半径为5cm，那么它的体积为(4/3) × π × 5³ = 523.33π cm³。
5. 锥体的体积计算方法锥体是由一个圆锥面和连接圆锥面与圆心的侧面组成的几何体。
锥体的体积计算公式为：体积 = (1/3) ×圆锥底面积 ×高。
体积的估算与计算
体积的估算与计算体积是描述一个物体占据的空间大小的物理量。
在日常生活和各个领域的工作中，我们经常需要估算和计算物体的体积。
本文将介绍几种常见的方法和原理，来帮助大家更准确地估算和计算体积。
一、几何体的体积计算对于常见的几何体，我们可以直接应用公式来计算其体积。
1. 立方体的体积计算立方体是最简单的几何体之一，其体积计算公式为：V = 边长³其中，V表示体积，边长为立方体的边长。
2. 长方体的体积计算长方体的体积计算与立方体类似，也可以使用公式进行计算：V = 长 ×宽 ×高其中，V表示体积，长、宽和高分别为长方体的三个相邻边的长度。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积计算公式如下：V = π × 半径² ×高其中，V表示体积，π为圆周率，半径为底面圆的半径，高为圆柱体的高度。
4. 球体的体积计算球体的体积计算公式如下：V = (4/3) × π × 半径³其中，V表示体积，π为圆周率，半径为球体的半径。
二、复杂物体的体积估算对于复杂形状的物体，无法直接应用几何体的体积计算公式。
这时，我们可以通过将物体分解为简单的几何体来估算体积。
1. 分割法将物体分割为多个几何体，计算每个几何体的体积，然后将它们加起来得到总体积。
这种方法适用于物体具有规则形状、可分割为几何体的情况。
2. 测量法通过实际测量物体的尺寸，然后应用相应的几何体体积计算公式来估算体积。
这种方法适用于物体难以分割或形状复杂的情况。
三、数字模型的体积计算现代技术使得我们能够使用数字模型来计算物体的体积。
这种方法通常应用于计算机辅助设计（CAD）和三维建模领域。
1. CAD软件计算计算机辅助设计软件可以根据数字模型准确计算物体的体积。
用户只需输入物体的参数或三维模型，软件即可自动计算出准确的体积。
2. 三维扫描技术通过使用激光扫描或其他三维扫描技术，可以将物体转化为数字模型并进行体积计算。
数学体积的计算方法
数学体积的计算方法数学中，体积是一个重要的概念，用于描述物体所占的空间大小。
计算体积的方法有很多种，本文将详细介绍常见的数学体积计算方法。
一、立方体的体积计算方法立方体是最简单的几何体之一，其体积计算公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长。
其中，边长即为立方体的边长值。
例如，一个边长为3cm的立方体的体积计算方法为：体积 = 3cm × 3cm × 3cm = 27cm³。
二、长方体的体积计算方法长方体是由6个矩形面构成的立体图形，其体积计算公式为：体积= 长 ×宽 ×高。
其中，长代表长方体的长度，宽代表长方体的宽度，高代表长方体的高度。
例如，一个长5cm、宽3cm、高10cm的长方体的体积计算方法为：体积 = 5cm × 3cm × 10cm = 150cm³。
三、圆柱体的体积计算方法圆柱体是由两个平行圆面和一个圆柱面构成的立体图形，其体积计算公式为：体积= π × 半径² ×高度。
其中，π代表圆周率，半径代表圆柱体底面圆的半径值，高度代表圆柱体的高度。
例如，一个半径为4cm、高度为8cm的圆柱体的体积计算方法为：体积 = 3.14 × 4cm ×4cm × 8cm = 402.24cm³。
四、球体的体积计算方法球体是由无数个相同半径的圆构成的立体图形，其体积计算公式为：体积= (4/3) × π × 半径³。
例如，一个半径为6cm的球体的体积计算方法为：体积= (4/3) × 3.14 × 6cm × 6cm × 6cm ≈ 904.32cm³。
五、锥体的体积计算方法锥体是由一个圆锥面和一个封闭平面构成的立体图形，其体积计算公式为：体积= (1/3) × π × 半径² ×高度。
简单几何体的表面积和体积 (教师版)
简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD 和CABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。
体积的计算学会计算简单形的体积
体积的计算学会计算简单形的体积体积是物体占据的空间大小的量度，计算体积是数学中的重要内容。
在现实生活中，我们常常需要计算物体的体积，无论是为了购买材料、设计建筑还是解决其他问题，掌握计算简单形的体积是非常有用的。
在本文中，我们将介绍几种常见几何体的体积计算方法。
一、立方体的体积计算立方体是最简单的几何体之一，它的三个边长相等，如边长为a。
立方体的体积计算公式为V = a^3，其中V表示体积。
例如，一个边长为2cm的立方体的体积为V = 2^3 = 8cm³。
二、长方体的体积计算长方体是由三个相互垂直的矩形面所围成的几何体，它的三个边长分别为a、b和c。
长方体的体积计算公式为V = abc，其中V表示体积。
例如，一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，那么它的体积为V = 3 × 4 × 5 = 60cm³。
三、球体的体积计算球体是由一个平面围绕着它上面的圆周旋转一周所形成的几何体，其中半径为r。
球体的体积计算公式为V = (4/3)πr^3，其中V表示体积，π近似地取3.14。
例如，一个半径为2cm的球体的体积为V = (4/3) ×3.14 × 2^3 = 33.49cm³。
四、圆柱体的体积计算圆柱体是由两个平行且底面相等的圆面和一个侧面围成的几何体，其中底面半径为r，高度为h。
圆柱体的体积计算公式为V = πr^2h，其中V表示体积，π近似地取3.14。
例如，一个底面半径为2cm，高度为5cm的圆柱体的体积为V = 3.14 × 2^2 × 5 = 62.8cm³。
五、锥体的体积计算锥体是由一个圆锥面和一个底面相等的圆面所围成的几何体，其中底面半径为r，高度为h。
锥体的体积计算公式为V = (1/3)πr^2h，其中V表示体积，π近似地取3.14。
例如，一个底面半径为3cm，高度为6cm的锥体的体积为V = (1/3) × 3.14 × 3^2 × 6 = 56.52cm³。
计算体积如何计算简单形的体积
计算体积如何计算简单形的体积计算体积：如何计算简单形的体积体积是物体所占据的空间大小的量度，用于描述三维物体的容量。
对于简单形状的物体，计算其体积相对容易。
本文将介绍几种简单形状的体积计算方法。
1. 立方体的体积计算方法立方体是最简单的几何体之一，它的六个面都是正方形。
要计算立方体的体积，只需知道其边长即可，体积公式如下：体积 = 边长³例如，当一个立方体的边长为5厘米时，它的体积等于5³ = 125立方厘米。
2. 长方体的体积计算方法长方体是另一种简单形状，其拥有六个面，其中相对的面都是相等的长方形。
要计算长方体的体积，需知道它的长度、宽度和高度，体积公式如下：体积 = 长 ×宽 ×高举个例子，一块长方体的长为8厘米，宽为4厘米，高为6厘米，它的体积等于8 × 4 × 6 = 192立方厘米。
3. 圆柱体的体积计算方法圆柱体由两个平行的圆面和一个连接两个圆面的侧面组成。
要计算圆柱体的体积，需知道它的底面半径和高度，体积公式如下：体积= π × 半径² ×高度举个例子，假设圆柱体的底面半径为3厘米，高度为10厘米，它的体积等于π × 3² × 10 ≈ 282.74立方厘米。
4. 球体的体积计算方法球体是由所有到球心距离相等的点组成的几何体。
要计算球体的体积，只需知道它的半径，体积公式如下：体积= (4/3) × π × 半径³举个例子，假设球体的半径为4厘米，它的体积等于(4/3) × π × 4³ ≈ 268.08立方厘米。
5. 锥体的体积计算方法锥体由一个圆锥底面和一条连接顶点和底面圆心的侧面组成。
要计算锥体的体积，需知道它的底面半径和高度，体积公式如下：体积= (1/3) × π × 半径² ×高度例如，如果锥体的底面半径为6厘米，高度为9厘米，它的体积等于(1/3) × π × 6² × 9 ≈ 339.29立方厘米。
立体几何体积计算公式
立体几何体积计算公式在立体几何中，我们经常需要计算不同形状的物体的体积。
通过使用合适的公式，我们可以准确地计算出各种几何体的体积。
本文将介绍几个常见立体几何体的体积计算公式。
一、长方体体积计算公式长方体是最简单的立体几何体之一，它的体积计算公式为：体积 = 长 ×宽 ×高其中，长、宽和高分别代表长方体的三条边的长度。
通过将这三个值相乘，我们可以得到长方体的体积。
二、正方体体积计算公式正方体是一种具有相等边长的立方体。
它的体积计算公式与长方体类似，可以表示为：体积 = 边长³三、圆柱体体积计算公式圆柱体是具有圆形底面的立体几何体。
它的体积计算公式可以用以下公式表示：体积= π × 半径² ×高其中，半径代表底面圆的半径，高代表圆柱体的高度。
π是一个数学常数，近似为3.14159。
通过将这些值代入公式中，我们可以计算出圆柱体的体积。
四、球体体积计算公式球体是一个完全由曲面构成的立体几何体。
它的体积计算公式为：体积= (4/3) × π × 半径³同样，半径代表球体的半径，π是一个近似为 3.14159的数学常数。
通过将这些值代入公式中，我们可以计算出球体的体积。
五、锥体体积计算公式锥体是一个具有圆锥形底面的立体几何体。
它的体积计算公式可以用以下公式表示：体积= (1/3) × π × 底面半径² ×高其中，底面半径代表底面圆的半径，高代表锥体的高度。
通过将这些值代入公式中，我们可以计算出锥体的体积。
以上是一些常见立体几何体的体积计算公式。
通过使用这些公式，我们可以轻松计算出不同形状的物体的体积。
在实际问题中，了解并熟练运用这些公式将帮助我们更好地理解和解决立体几何问题。
小学数学认识简单的体积计算
小学数学认识简单的体积计算数学是一门抽象而有趣的学科，它涉及到各种数的计算和测量。
在小学阶段，学生接触到的数学概念相对简单，其中之一就是体积计算。
本文将介绍小学数学中简单的体积计算方法，帮助孩子们更好地理解和应用这一概念。
一、什么是体积？体积是物体所占据的空间大小。
我们可以想象一个盒子，它具有长度、宽度和高度三个维度。
这个盒子占据的空间就是它的体积。
二、简单的几何体积计算1. 直方体的体积计算直方体是最简单的几何体之一。
它有六个面，其中相对的两个面相等。
我们可以通过以下公式计算直方体的体积：体积 = 长 ×宽 ×高假设有一个直方体盒子，长为4厘米，宽为3厘米，高为2厘米，那么它的体积可以计算如下：体积 = 4厘米 × 3厘米 × 2厘米 = 24立方厘米2. 圆柱体的体积计算圆柱体是由一个圆的底部和一个与底部平行的圆形盖子组成的。
与直方体类似，圆柱体的体积也可以通过公式计算：体积 = 底面积 ×高假设有一个圆柱体容器，底面半径为5厘米，高为8厘米，那么它的体积可以计算如下：体积= π × 5厘米 × 5厘米 × 8厘米≈ 628.32立方厘米（取π近似值为3.14159）三、简单的实际问题求解除了简单的几何体，我们还可以通过实际问题求解体积。
以下是一个例子：例：小明想买一个装满饼干的礼品盒子。
礼品盒子的形状是一个长方体，长为20厘米，宽为15厘米，高为10厘米。
饼干的形状是一个小圆柱体，底面半径为2厘米，高为5厘米。
问这个礼品盒子最多可以装多少块饼干？解析：首先计算礼品盒子的体积：体积 = 20厘米 × 15厘米 × 10厘米 = 3000立方厘米然后计算每块饼干的体积：体积= π × 2厘米 × 2厘米 × 5厘米≈ 62.84立方厘米最后将礼品盒子的体积除以每块饼干的体积，即可求出最多可以装多少块饼干：最多装饼干数 = 3000立方厘米 / 62.84立方厘米≈ 47块饼干因此，答案是这个礼品盒子最多可以装47块饼干。
北师大版选修2《简单几何体的体积》评课稿
北师大版选修2《简单几何体的体积》评课稿一、课程背景与总结1.1 课程背景《简单几何体的体积》是北师大版选修2中的一节课程，主要介绍了几何体的体积计算方法。
在初中数学中，几何体的体积是一个基础而重要的概念，对学生理解空间结构具有重要意义。
本节课的教学目标是使学生掌握简单几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥）的体积计算方法，能够通过公式计算得到准确的体积结果，并能灵活运用所学知识解决实际问题。
1.2 课程总结本节课通过丰富的教学内容和合理的教学安排，使学生对简单几何体的体积有了更深入的理解。
通过学习，学生掌握了几何体体积计算的方法，并能够应用于解决实际问题，培养了学生的空间思维能力和解决问题的能力。
在教学过程中，教师采用了多种教学方法，如讲解、示范、练习和互动等，使学生对课堂内容保持高度的兴趣与参与度。
二、教学设计与分析2.1 教学设计本节课的教学设计分为以下四个环节：热身导入教师通过提问学生关于简单几何体的体积计算的问题，引导学生思考和回顾所学知识，激发学生的学习兴趣。
知识讲解教师通过简明扼要的语言和图示，详细讲解了长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积计算公式。
重点讲解了如何正确理解和运用公式，使学生能够在计算时准确无误地应用公式。
实例演示教师通过实际示范计算几个简单几何体的体积，引导学生跟随计算的过程，巩固和运用所学知识。
练习与反馈教师设计了一系列的练习题，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题，并适时给予反馈与指导。
2.2 教学分析本节课的教学内容紧密结合实际生活和学生的理解能力，使学生能够很快进入学习状态。
通过提供实例和练习，学生在实践中逐渐提高对几何体体积计算方法的掌握和运用能力。
在教师的引导下，学生能够主动思考和解决问题，培养了学生的创新能力和逻辑思维能力。
同时，通过与同学的互动和合作，学生能够相互学习，促进了合作意识和团队精神的培养。
三、教学反思与展望3.1 教学反思在本节课的教学过程中，教师合理运用了多种教学方法，使学生充分发挥了主动性和创造性。
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V=
b
2
( f (x)) dx
b y2dx
a
a
探究2 由y x2, y 0, y 4和y 轴围成的平面图形绕y轴旋转一 周后体积V ?
结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
2.5
2
y x2
1.5
1
0.5
fx = -x2+2x
gx = x2
-2
-1
1
2
3
பைடு நூலகம்
4
-0.5
y x2 2x
-1
-1.5
结论 3
探由y f (x)2 和y g(x)2 所
围成的图形为M，将M绕
x轴旋转一周所得旋转体
的体积V
b
[
f
(x)2
g(x)2 ]dx
a
( f (x) g(x))
四、课堂小结 本节课用定积分解决了
简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
一、复习回顾
• 1、定积分的定义 • 2、定积分的应用 • 3、椭圆的面积
二、旋转体的体积的探究
• 探究1 给定直角边为1的等腰直角三角形， 绕一条直角边旋转一周得到一个圆锥体， 试求它的体积。
y
y
x
o
1
△xi
x
o
1
△xi
结论 1
由y f (x)，x a, x b和x轴围
成的平面图形绕x轴旋转一周，则