中考数学圆的综合(大题培优易错试卷)附答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠． （1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若CD=10，2

tan 3

B =

，求半圆的半径．

【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】

分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；

（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.

详解：（1）证明：如图，连接CO .

∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°.

∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，

∵在Rt △ACB 中，2

tan 3

AC B BC ==, ∴BC =3x

. ∴()()

22

2313AB x x x =

+=.

∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴

AC AO

AB AD

=. ∵1132OA AB x =

=，AD =2x +10, ∴

1

132210

13x

x x =

+. 解得 x =8. ∴13

8413OA =

⨯=. 则半圆的半径为413.

点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.

2．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ． (1)如图(1),求证:AD ∥BC ；

(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ； (3)在(2)的条件下,若DG 平分∠ADC,GE=53,tan ∠ADF=43,求⊙O 的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3129 【解析】

试题分析：(1)连接AC ．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论． （2）延长AD 到N ，使DN =AD ，连接NC ．得到四边形ABED 是平行四边形，从而有AD =BE ，DN =BE ．由圆内接四边形的性质得到∠NDC =∠B ．即可证明ΔABE ≌ΔCND ，得到AE =CN ，再由三角形中位线的性质即可得出结论．

（3）连接BG ，过点A 作AH ⊥BC ，由（2）知∠AEB =∠ANC ，四边形ABED 是平行四边形，得到AB =DE ．再证明ΔCDE 是等边三角形，ΔBGE 是等边三角形，通过解三角形ABE ，得到AB ，HB ， AH ，HE 的长，由EC =DE =AB ，得到HC 的长．在Rt △AHC 中，由勾股定理求出AC 的长．

作直径AP ，连接CP ，通过解△APC 即可得出结论．

试题解析：解：(1)连接AC ．∵AB =CD ，∴弧AB =弧CD ，∴∠DAC =∠ACB ，∴AD ∥BC ．

（2）延长AD 到N ，使DN =AD ，连接NC ．∵AD ∥BC ，DG ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD =BE ，∴DN =BE ．∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠NDC =∠B ．∵AB =CD ，∴ΔABE ≌ΔCND ，∴AE =CN ．∵DN =AD ，AF =FC ，∴DF =

1

2

CN ，∴AE =2DF ．

（3）连接BG ，过点A 作AH ⊥BC ，由（2）知∠AEB =∠ANC ，四边形ABED 是平行四边形，∴AB =DE ．

∵DF ∥CN ，∴∠ADF =∠ANC ，∴∠AEB =∠ADF ，∴tan ∠AEB = tan ∠ADF =3DG 平分∠ADC ，∴∠ADG =∠CDG ．∵AD ∥BC ，∴∠ADG =∠CED ，

∠NDC =∠DCE ．∵∠ABC =∠NDC ，∴∠ABC =∠DCE ．∵AB ∥DG ，∴∠ABC =∠DEC ，∴∠DEC =∠ECD =∠EDC ，∴ΔCDE 是等边三角形，∴AB =DE =CE ．∵∠GBC =∠GDC =60°，∠G =∠DCB =60°，∴ΔBGE 是等边三角形，BE = GE =53．∵tan ∠AEB = tan ∠ADF =43HE =x ，则AH =43x ．∵∠ABE =∠DEC =60°，∴∠BAH =30°，∴BH =4x ，AB =8x ，∴4x +x =53，解得：x 3∴AB 3HB 3 AH =12，EC =DE =AB =3∴HC =HE +EC 383=3Rt △AHC 中，AC 222212(93)AH HC +=+343

作直径AP ，连接CP ，∴∠ACP =90°，∠P =∠ABC =60°，∴sin ∠P =

AC

AP

，

∴

343

2129

sin603

AC AP =

==︒，∴⊙O 的半径是129．

3．如图，在RtΔABC 中，∠ABC=90°，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点（点E 不与点A 、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.

（1

）求证：AE=BF ；

（2）连接EF ，求证：∠FEB=∠GDA ； （3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD 的面积.

【答案】（1）（2）见解析；（3）9 【解析】

分析：（1）连接BD ，由三角形ABC 为等腰直角三角形，求出∠A 与∠C 的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB 为直角，即BD 垂直于AC ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD =DC =BD =

1

2

AC ，进而确定出∠A =∠FBD ，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形AED 与三角形BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接EF ，BG ，由三角形AED 与三角形BFD 全等，得到ED =FD ，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；

（3）由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理求出