概率及正态分布PPT课件
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概率统计正态分布模型PPT课件
过程进行检查，可见
上述监控生产过程的方法是合理的．
(ii)由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值＝9.97，σ的估计值＝0.212，由样本数据可以看出
有一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需对当天的生产1过程进行检查．
剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为
≈0.09.
0.008
0.008≈0.09.
(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天
内抽取的16个零件中，
出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一
旦发生这种情况，
就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92
9．98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02
9．22 10.04 10.05 9.95
经计算得
，
，
其用1的故9中样概X．～率本x解iB为为：(平1抽60均(，.10取)0抽数02.的0取x60作，2第的6为i一)个．μ个零因的零此件估件的计的尺值尺寸，寸，用在(i样=μ1－本,23,标σ…，,准1μ6＋差．3sσ作)之为内σ的的概估率计为值0.，99利7 4用，估从计而零值件判的断尺是寸否在需(μ对－3当σ，天μ的＋生3σ产)之过外程 进P(X行≥1检)＝查1－．P剔(X除＝0(μ)＝－13－σ0，.9μ9＋7 431σ6≈)1之-0外.95的92数=0据.04，0 8用. 剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 附X的：数若学随期机望变E（量X）Z服＝从16正×0态.0分02布6＝N0(.μ0，41σ62. )，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，
课件3：§7.5 正态分布
( B) A．95.45%
B．99.73%
C．4.55%
D．0.27%
【解析】由 X～N(－2，14)，知 μ＝－2，σ＝21，
∴P(－3.5<X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5<X≤－2＋3×0.5)
＝0.997 3.
3．已知正态分布总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率 和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值 为________． 【解析】区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线 x＝1 对称， 所以均值 μ 为 1. 【答案】1
课堂检测
1．下列函数可以作为正态分布密度函数的是 ( A )
A．f(x)＝
( x1)2
1e 2 2π
B．f(x)＝σ
1
( xu)2
e 2 2
2π
C．f(x)＝
1
e
(
x u )2 2 2
2πσ
D．f(x)＝21π
e
(
xu 2π
)2
2．若 X～N(－2，41)，则 X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是
归纳领悟 1．在正态分布 X～N(μ，σ2)中，μ 就是随机变量 X 的均值，σ2 就是随机变量 X 的方差，它们分别反映 X 取值的平均大小和 稳定程度． 2．正态密度曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
(3)曲线在
x＝μ
处达到峰值 σ
课堂小结 1.知识清单： (1)正态曲线及其特点. (2)正态分布. (3)正态分布的应用，3σ原则. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价.
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概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
7.5正态分布 课件(共24张PPT)-(2024年)高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
正态曲线的性质 ：
(1)曲线位于 x 轴的上方与 x 轴不相交；
(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1；
且对称区域面积相等；
(间高、左右对称的基本特征.
正态曲线的性质 ：
σ=1
μ=0
μ=0
=0.5
μ=-1
μ=1
=1
=2
σ越大，表示总体的分布越分散；
σ越小，表示总体的分布越集中.
标准正态曲线：
1
e
正态函数表示式：f ( x )
2
( x )2
x (,)
2 2
当 μ= 0，σ=1时，可得 标准正态函数表示式：
x2
f ( x)
1 2
e
x (,)
2
标准正态
曲线
y
μ=0
σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
∴考试成绩X位于区间(80,100]内的概率为0.6827．
由共有2000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大
约有2000×0.6827≈1 365(人)．
例2 若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解: 因为X～N(5,1),
故正态密度曲线关于直线 x=5 对称,
1).若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ,μ+σ)内的概率是多少？
22 x (,)
则称随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ，2).
若X ~ N ( , 2 ), 如图所示，
P( X x) S A
P (a X b) S B
若X ~ N ( , 2 ), 则 E ( X ) , D( X ) 2
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
对于二维正态分布的随机变量(X, Y)，X和Y的边缘分布都是一维正 态分布。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布-ppt课件
(14)曲(3线) (的4)对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
布 N (0，1) ， 已 知 p （ ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 即2、考已试知成X绩~N在((08,10),1，00则)间X在的区概间率为0. 内取值的概率等于（ ）
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
课堂练习
1. 右图是当 σ 分别取值 σ1，σ2，σ3 的三种正
(2)
1 , 2 1 (x1)2
(x) 新疆 王新敞 奎屯
e 8 ,x ( , )
22
说明：当0 , 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
例2、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
f(x) 1 e ,,(0)都 是 实 数 A. 说明：当m=0 , s =1时，X 服从标准正态分布 2 样本容量增大时频率分布直方图
随 着 重 复 次 数 ,这的个增频加率 直 方 图 的
会 越 来 越 像 一线 条图钟 2.4形 3曲 .
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或就 近是 似 )下地 列函数:的图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其 中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
1 即即(947)考考7曲2试 试线成成的D.绩绩对在在称((位8800置,,1100由00))μ间间确的的定概概，率率曲为为线00的.. 形状由σ确定，σ越(x大4，1)曲2线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
(课件)概率论与数理统计：正态分布
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
正态分布ppt精品课件
结果解释
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
正态分布的概率计算最新版本ppt课件
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8
变式训练 2 (2010·山东)已知随机变量 ξ 服从正态分
2015
布 N(0，σ2)，若 P(ξ>2)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2) 等于( C ) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
解析 由 ξ～N(0，σ2)，且 P(ξ>2)＝0.023，知 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
∴P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)]
＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)]
＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]
＝12(1－0.954 4)＝0.022 8. 最新编辑ppt
7
探究提高 求服从正态201分5 布的随机变量在某个区 间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所 求问题转化为已知概率的三个区间上．
足 P(a<X≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称 X 的分布为
正态分布，记作 N(u，σ2)
.
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826
ห้องสมุดไป่ตู้
；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544
；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974
.
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5
题型 服从正态分布的概率计算 例 1 设 X～N(1,22)，20试15 求
解析 由正态分布的特征得 P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
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11
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3
概率论第四版课件3.4正态分布
D(X)=σ2
34
正态分布的数学期望与方差
定理3.5说明正态分布中的两个参数μ与σ分别是服从
正态分布的连续型随机变量的数学期望与标准差.因
而若已知数学期望与方差,则完全确定正态分布.
推论 如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即
连续型随机变量X~N(0,1),则其数学期望E(X)=0,方
差D(X)=1
导数
Φ0'(x)=φ0(x)
说明函数Φ0(x)为φ0(x)的一个原函数
9
标准正态分布概率计算
➢由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等
于它的概率密度在该区间上的积分,因而概率
P{a<X<b}=P{a≤X<b}
=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}
b
=a φ0(x)dx
=Φ0(x)| ba
=Φ0(b)-Φ0(a)
43
例9
某批零件长度Xcm是一个连续型随机变量,它服从数
学期望为50cm、方差为0.5625cm2的正态分布,规定
长度在50±1.2cm之间的零件为合格品,从中随机抽
取1个零件,求这个零件为合格品的概率.(函数值
Φ0(1.6)=0.945 2)
解:由题意得到参数
μ=E(X)=50
σ= D(X)= 0.5625=0.75
Φ0(1.16)=0.877 0,则概率P{|X-μ|≤1.16σ}=
.
解:由于连续型随机变量X~N(μ,σ2),从而连续型随机
X−μ
变量Y=
~N(0,1)
σ
38
例6
根据标准正态分布概率的计算公式,并注意到参数
σ>0,因此概率
P{|X-μ|≤1.16σ}
34
正态分布的数学期望与方差
定理3.5说明正态分布中的两个参数μ与σ分别是服从
正态分布的连续型随机变量的数学期望与标准差.因
而若已知数学期望与方差,则完全确定正态分布.
推论 如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即
连续型随机变量X~N(0,1),则其数学期望E(X)=0,方
差D(X)=1
导数
Φ0'(x)=φ0(x)
说明函数Φ0(x)为φ0(x)的一个原函数
9
标准正态分布概率计算
➢由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等
于它的概率密度在该区间上的积分,因而概率
P{a<X<b}=P{a≤X<b}
=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}
b
=a φ0(x)dx
=Φ0(x)| ba
=Φ0(b)-Φ0(a)
43
例9
某批零件长度Xcm是一个连续型随机变量,它服从数
学期望为50cm、方差为0.5625cm2的正态分布,规定
长度在50±1.2cm之间的零件为合格品,从中随机抽
取1个零件,求这个零件为合格品的概率.(函数值
Φ0(1.6)=0.945 2)
解:由题意得到参数
μ=E(X)=50
σ= D(X)= 0.5625=0.75
Φ0(1.16)=0.877 0,则概率P{|X-μ|≤1.16σ}=
.
解:由于连续型随机变量X~N(μ,σ2),从而连续型随机
X−μ
变量Y=
~N(0,1)
σ
38
例6
根据标准正态分布概率的计算公式,并注意到参数
σ>0,因此概率
P{|X-μ|≤1.16σ}
第5讲：概率及正态分布
164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172 179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182
模型推导出的总体的次数分布 ➢ 基本随机变量分布： ➢ 抽样分布：样本统计量的分布
概率分布的分类结构图
分布
经验分布——频次分布
理论分布——概率分布
总体分布
抽样分布
离散分布——二项分布
连续分布——正态分布
第二节 正态分布
数学情景
从 某 中 学 男 生 中 随 机 抽 取 出 8 4 名 ， 测 量 身 高 ， 数 据 如 下 （ 单 位 ： cm ):
出正面次数 出正面频率
1
0.25
23
0.46
51
0.51
1061 2048 6019 12012
0.518 0.5069 0.5016 0.5005
试验者
蒲丰 Pearson
概率的统计定义
在一定条件下，进行n次重复试验，当n 充分大时，随机事件A出现的频率稳定在某一 数值P附近摆动。随着试验次数的增多，这种 摆动的幅度越小。我们则定义事件A的概率为 P（A）=P。
模型推导出的总体的次数分布 ➢ 基本随机变量分布： ➢ 抽样分布：样本统计量的分布
概率分布的分类结构图
分布
经验分布——频次分布
理论分布——概率分布
总体分布
抽样分布
离散分布——二项分布
连续分布——正态分布
第二节 正态分布
数学情景
从 某 中 学 男 生 中 随 机 抽 取 出 8 4 名 ， 测 量 身 高 ， 数 据 如 下 （ 单 位 ： cm ):
出正面次数 出正面频率
1
0.25
23
0.46
51
0.51
1061 2048 6019 12012
0.518 0.5069 0.5016 0.5005
试验者
蒲丰 Pearson
概率的统计定义
在一定条件下，进行n次重复试验，当n 充分大时，随机事件A出现的频率稳定在某一 数值P附近摆动。随着试验次数的增多，这种 摆动的幅度越小。我们则定义事件A的概率为 P（A）=P。
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抽出一个白球的概率为3／5,抽出一个黑 球的概率为2／5。
抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先 抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一 个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此：
P32230.48 55 55
四、概率分布类型
概率分布（probability distribution）
是指对随机变量取不同值时的概率的描述， 一般用概率分布函数进行描述。
P(AB) PAPB
（5．5）
P (A 1 A 2 A n ) P A 1 P A 2 P A n （5．6）
例1：某一学生从５个试题中任意抽取 一题，进行口试。如果抽到每一题的概率 为1／5，则抽到试题１或试题２的概率是 多少？ 如果前一个学生把抽过的试题还回 后，后一个学生再抽，则４个学生都抽到 试题1的概率是多少？
二项分布是离散型分布，其概率直方 图是跃阶式。
二项分布的性质
从概率直方图可以看到，二项分布有 如下性质：
①．当p=q时，图形是对称的。 ②．当p≠q时，直方图呈偏态。p＞q 与p＜q时的偏斜方向相反。
4．二项分布的平均数和标准差
如果二项分布满足p＞q且 nq≥5（或者p＜q 且 np≥5时，二项分布接近于正态分布。可用下
⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m n
（5．2）
二．概率的公理系统
1．任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即
0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 3．必然事件的概率等于1，即 P（A）= 1
三．概率的加法定理和乘法定理
概率的加法定理
若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生， 这样的两个事件为互不相容事件。
面的方法计算二项分布的平均数和标准差。
二项分布的平均数为
np
二项分布的标准差为
npq
（5．8） （5．9）
5．二项分布的应用
二项分布函数除了用来 求成功事件恰好出现X次的概 率之外，在教育中主要用来 判断试验结果的机遇性与真 实性的界限。
例如，一个学生凭猜测做10个是非题， 平均可以猜对5题。什么情况下可以说他是真 会而不是猜测呢？
基本随机变量分布是随机变量各种不同 取值情况的概率分布，抽样分布是从同一总 体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
五．二项分布
二项分布（bionimal distribution）是一种具有广泛 用途的离散型随机变量的概率 分布，它是由贝努里创始的， 因此又称为贝努里分布。
1．二项试验
满足以下条件的试验称为二项试验： 一次试验只有两种可能的结果，即成功 和失败； 各次试验相互独立，即各次试验之间互 不影响； 各次试验中成功的概率相等，失败的概 率也相等。
例３：从男生占２/５的学校中随机抽取６ 个学生，问正好抽到４个男生的概率是多 少？最多抽到２个男生的概率是多少？
解：将n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入 （6．1）式，则恰好抽到4个男生的概率为
P (4)C 6 4p4q24!6 !2! 5 2 4 5 3 20.1382
最多抽到２个男生的概率，等于１个也 没有抽到、抽到１个和抽到两个男生的概 率之和，即
P ( 0 ) P 1 P 2 C 6 0 p 0 q 6 C 6 1 p q 5 C 6 2 p 2 q 4
3662351522340.5443 5 55 5 5
3．二项分布图
以成功事件出现的次数为横坐标，以 成功事件出现不同次数的概率为纵坐标， 绘制直方图或多边图，即为二项分布图。
这种问题需要用累积概率来算。当做对８ 题或８题以上时，累积概率为0.989，也就是 说，猜对９题或10题的概率不足0.05。
经验分布（empirical distribution）是指根据 观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相 对频率分布。
理论分布（theoretical distribution）是按某 种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率 分布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
E-mail：
第五讲
概率及其正态分布
一、概率的定义
后验概率（或统计概率）
随机事件的频率
W( A)
m n
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在
一个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
PA
m Lim n n条件：
⑴ 试验的所有可能结果是有限的；
两互不相容事件和的概率，等于这两个 事件概率之和，即
P(AB) PAPB
（5．3）
P (A 1 A 2 A n ) P A 1 P A 2 P A n （5．4）
概率的乘法定理
若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生，这 样的两个事件为互相独立事件。
两个互相独立事件积的概率，等于这两个 事件概率的乘积，即
依不同的标准，对概率分布可作不同的分 类。
１、离散型分布与连续型分布
依随机变量的类型，可将概率 分布分为离散型概率分布与连续型 概率分布。心理与教育统计学中最 常用的离散型分布是二项分布，最 常用的连续型分布是正态分布。
２、经验分布与理论分布
依分布函数的来源，可将概率分布分为经验 分布与理论分布。
2．二项分布函数
二项分布是一种离散型随机变量的概率 分布。
用 n 次方的二项展开式来表达在 n 次
二项试验中成功事件出现的不同次数（X＝0， 1…）的概率分布，叫做二项分布函数。
二项展开式的通式（即二项分布函数）：
PXCnXpXqnX X!nn! X!pXqnX
（5．7）
二项展开式的要点：
项数：二项展开式中共有n＋1项。 方次：p的方次，从n→0为降幂；q的方次 从0→n为升幂。每项p与q方次之和等于n。 系数：各项系数是成功事件次数的组合数。
计算
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题 的概率和抽到第二题的概率之和，即
P ABP AP B1 51 55 2
四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第 一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即
P A 1A 2A 3A 41 51 51 51 56125
例2：从30个白球和 20个黑球共50个球中随 机抽取两次（放回抽样）， 问抽出一个黑球和一个白 球的概率是多少？