(人教版)高中数学选修2-3课件：1.3.1
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人教A版高中数学选修2-3课件3、1-3-1
[点评] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是这 项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为 零的方法求得常数项．
[例 5] (1)在(x－ 3)10 的展开式中，求 x6 的系数． (2)求(1＋x)2·(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
[解析] (1)(x－ 3)10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10x10－k(－ 3)k. 令 10－k＝6，∴k＝4. 由通项公式可知含 x6 项为第 5 项，即 T4＋1＝C140x10－4(－ 3)4＝9C410x6. ∴x6 的系数应为 9C410.
[解析]
原
式
＝
C
0 n
·2n·10
－
C
1 n
2n
－
1·11
＋
…
＋
(
－
1)k·C
k n
2n
－
k
＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
[点评] 解决这类问题要注意分析其结构特点，a的指 数是从高到低，b的指数是从低到高，且a、b的指数和等于 二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，二项 式中的每一项只有两项的乘积，故需添加“1”凑成二项展 开式的形式．
[例 2] 设 n 为自然数，化简 Cn0·2n－C1n·2n－1＋…＋(－ 1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求 解．
展开．
[解析] 解法 1：(直接法)
3
x＋
1 x
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
2016-2017人教版高中数学选修2-3课件：第一章1.3-1.3.1二项式定理
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
(2) 逆 用 二 项 式 定 理 更 要 注 意 二 项 展 开 式 的 结 构 特 点，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n 的形式．
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[变式训练] (1)二项式(x＋2y)4 的展开式为______； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－… ＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn的结果是________． 解析：(1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
答案：(1)12 (2)－84
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
类型 2 二项式定理的正用、逆用
[典例 2] (1)二项式3 x－ 1x4的展开式为_______．
(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋ 5(x－2)＝________．
解析：(1)3 x－ 1x4＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3－ 1x＋
第二十八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1 ＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
第二十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[类题尝试] 二项式2x2＋1x5的展开式中第 3 项的二 项式系数是____________，第 4 项的系数是________．
(2) 逆 用 二 项 式 定 理 更 要 注 意 二 项 展 开 式 的 结 构 特 点，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n 的形式．
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[变式训练] (1)二项式(x＋2y)4 的展开式为______； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－… ＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn的结果是________． 解析：(1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34 x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
答案：(1)12 (2)－84
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
类型 2 二项式定理的正用、逆用
[典例 2] (1)二项式3 x－ 1x4的展开式为_______．
(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋ 5(x－2)＝________．
解析：(1)3 x－ 1x4＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3－ 1x＋
第二十八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1 ＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
第二十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[类题尝试] 二项式2x2＋1x5的展开式中第 3 项的二 项式系数是____________，第 4 项的系数是________．
(人教版)高中数学选修2-3课件：1.3.1
合作探究 课堂互动
4．求( 3 x＋ 3 2 )100展开所得x的多项式中，系数为有理数
的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
数学 选修2-3
第一章 计数原理
合作探究 课堂互动
即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
数学 选修2-3
第一章 计数原理
二项式通项
Tr＋1＝__C_nr_a_n_－_rb_r_______
数学 选修2-3
第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点 ①通项Tr＋1＝Cnr an－rbr指的是第r＋1项，不是第r项； ②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
人教版高中数学选修2-3全套课件
1． 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座， 每名 同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种类是( A．56 5×6×5×4×3×2 C. 2 B．65 D．6×5×4×3×2 )
• (2)特殊优先，一般在后 • 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般 应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考 虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主 次思想． • (3)分类讨论，数形结合，转化与化归 • 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划 分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计 数问题的基本思想． • 数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象 为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思 想方法，对解决计数问题至关重要．
两个计数原理在解决计数问题中的方法
应用两个计数原理应注意的问题
• 1．分类要做到“不重不漏 ____________”，分类后再 对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求 和，得到总数． 步骤完整 • 2．分步要做到“ ________”——完成了所有步 骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独 立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分 步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘， 得到总数．
• [提示] 分六类，每类又分两步，从一班、二 班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、 三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、 四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从 二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选 法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同 的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋ 7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
这样要求的抛物线的条数可由 a，b，c 的取值来确定： 第一步：确定 a 的值，有 3 种方法； 第二步：确定 b 的值，有 3 种方法； 第三步：确定 c 的值，有 1 种方法. 10 分
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教版高三数学选修2-3全册教学课件
2.1 离散型随机变量及其分布 列
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
2.2 二项分布及其应用
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 服从二项分布的 随机变量取何值时概率最大
人教版高三数学选修2－3全册教 学课件目录
0002页 0090页 0167页 0211页 0276页 0360页 0445页 0487页 0560页 0589页 0660页 0731页
第一章 计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 探究与发现 组合数的两个性质 探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密 复习参考题 2.1 离散型随机变量及其分布列 探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最 2.4 正态分布 小结 第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 小结
人教版高三数学选修2－3全册Fra bibliotek学 课件1.2 排列与组合
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 组合数的两个性 质
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第一章 计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.1 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 子集的个数有多 少
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.3 二项式定理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 “杨辉三角”中的 一些秘密
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
小结
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
复习参考题
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第二章 随机变量及其分布
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
高中人教A版数学选修2-3课件：1-3-1
9－ r
9－3r r r 2 ＝(－2) C9x
，
9－3r 所以 ＝3，r＝1， 2 所以第二项为含 x3 的项：
3 3 T2＝－2C1 x ＝－ 18 x . 9
• 『规律总结』 运用二项式定理的解题策 略 • (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直 接由二项式定理展开，展开时注意二项展 开式的特点：前一个字母是降幂，后一个 字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出 现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先 化简再用二项式定理展开． • (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简 ，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特 点、项数、各项幂指数的规律以及各项的
导学号 51124207
2 2 [解析] (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6(－2)rxr，当 r＝2 时，T3＝C2 ( － 2) x 6
＝60x2，所以 x2 的系数为 60.
4． (浙江高考)设二项式( x－
1 3 x
－10 )5 的展开式中常数项为 A，则 A＝______.
[解析] 通项 x
B．第 9 项 D．第 7 项
5r r 2 10－r 2 r r r Tr＋1＝C10· (x ) · ( ) ＝2 · C10x20－ ，令 2 5r 20－ ＝0 得 r＝8， 2
∴常数项为第 9 项．
60 3．(2016· 北京理，10)在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为______.( 用数字作答)
备注
在二项式定理中，如果令 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝
1 2 2 r r n n 1 ＋ C x ＋ C x ＋…＋ C x ＋…＋ C n n n nx _________________________________( n∈N＋)
9－3r r r 2 ＝(－2) C9x
，
9－3r 所以 ＝3，r＝1， 2 所以第二项为含 x3 的项：
3 3 T2＝－2C1 x ＝－ 18 x . 9
• 『规律总结』 运用二项式定理的解题策 略 • (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直 接由二项式定理展开，展开时注意二项展 开式的特点：前一个字母是降幂，后一个 字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出 现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先 化简再用二项式定理展开． • (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简 ，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特 点、项数、各项幂指数的规律以及各项的
导学号 51124207
2 2 [解析] (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6(－2)rxr，当 r＝2 时，T3＝C2 ( － 2) x 6
＝60x2，所以 x2 的系数为 60.
4． (浙江高考)设二项式( x－
1 3 x
－10 )5 的展开式中常数项为 A，则 A＝______.
[解析] 通项 x
B．第 9 项 D．第 7 项
5r r 2 10－r 2 r r r Tr＋1＝C10· (x ) · ( ) ＝2 · C10x20－ ，令 2 5r 20－ ＝0 得 r＝8， 2
∴常数项为第 9 项．
60 3．(2016· 北京理，10)在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为______.( 用数字作答)
备注
在二项式定理中，如果令 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝
1 2 2 r r n n 1 ＋ C x ＋ C x ＋…＋ C x ＋…＋ C n n n nx _________________________________( n∈N＋)
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
人教a版数学【选修2-3】1.3.1《二项式定理》ppt课件
叫做二项式定理．
第一章 1.3 1.3.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
2．二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点：
(1)它有__________ 项； n＋1 (2) 各项的次数 ( 即 a 与 b 的指数的和 ) 都等于二项式的次数 n ________ ； n 递减到_______ 0 ；字母 (3)字母a按降幂排列，次数由______ 0 递增到______ n b按升幂排列，次数由_____ ；
A．第 10 项 C．第 8 项
[答案] B
[解析] 通项
5r r 2 10－r 2 r r r Tr＋1＝C10· (x ) · ( ) ＝2 · C10x20－ ，令 x 2
20
5r － 2 ＝0 得 r＝8，∴常数项为第 9 项．
第一章
1.3
1.3.1
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第一章
1.3
1.3.1
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15 2．(x－x ) 的展开式中含 x3 项的二项式系数为( A．－10 C．－5
[答案] D
[解析] 1r r 5－r 5－2r Tr＋1＝C5· x (－ ) ＝(－1)rCr · x ， 5 x
k n－k k Cn a b 个．合并同类项后为 _____________________. 因此 (a ＋ b)n ＝ 0 n 1 n－1 r n－r r n－1 n－1 n n C a ＋ C a b ＋„＋ C a b ＋„＋ C ab ＋ C n n n n nb ______________________________________________ 这个公式
新课标高中数学人教版选修2-3精品课件-【数学】1.3.1《二项式定理习题课》课件(新人教A版选修2-3)
(3)Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn
(4)Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
...
1 n
1
Cnn
6、（1-2x）6 a0 a1x a2 x2 a3x3 ... a6x6, 则 a0 a1 a2 ... a6 的值为（ ） A.1 B.64 C.243 D.729
⑷“第一盒中恰有三球”的概率。
P A
24 34
16 81
PB
C41 23 34
32 81
PC
C42 22 34
24 81
P
D
C43 34
2
8 81
如何产生［a,b］区间上均匀随机数呢？
利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数
x=RAND,然后利用伸缩和变换，x x1 *(b a) a
7、若(2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 , 则(a0 +a2 +a4 )2 (a1 a3 )2的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.2
8、(2x3
+
1 x2
)n
(n
N
* )的展开式中，若存在
常数项，则n的最小值是（ ）
A.3 B.5 C.8 D.10
i=1
s=0
s=0
i<=100? 否 输出s
结束
i=i+1
是
s=s+i
WHILE i<=100 s=s+i i=i+1
高中数学(人教选修2-3)配套课件第一章 1.3.1 二项式定理与二项展开式
栏 目 链
接
(2)S＝C40(x－1)4＋C41(x－1)3×21＋C42(x－1)2×22＋C34(x－
1)×23＋C4424＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选 D.
答案：(1)1＋4x＋x62＋x43＋x14 (2)D
点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结 构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项 展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．
(1)展开式的第四项的二项式系数为 ＝120.
(2)展开式的第四项的系数为 ·37－323＝－77 760. 点评：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项．
变式 训练
2．(2013·揭阳一模)若二项式x＋21xn 的展开式中，第 4 项与第
7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6 的系数为________(用数字作
基础 梳理
(3)其中各项的系数_____C__rn_(r＝0,1,2，…，n)叫做
_________二__项_式__系__数____．
(4)式中的______________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1
表示．
Crnan－rbr
栏
(5)通项是展开式的第________项．
目
链
2．二项式定理的应用．
10－(2)2 40 .
答案： C
栏 目 链 接
题型一 二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)用二项式定理展开1＋1x4＝________；
(2)设 S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，
根据二项式定理得 S＝( )
接
r＋1 例如：(1)(x＋1)4的展开式中常数项是________．
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第一章 计数原理
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
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第一章 计数原理
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第一章 计数原理
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1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
第一章 计数原理
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[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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2．二项式x－ 1x8的展开式中的第6项为(
)
A．－28x12
B．28x12
C．－56x12
D．56x12
解析： T6＝C58x8－5－ 1x5＝－56x12. 答案： C
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3.x＋21x8的展开式中x2的系数为________．
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即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
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1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C610
B．27C610
C．－9C610
D．9C610
解析： x6的系数为C410·(－ 3)4＝9·C410＝9·C610. 答案： D
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(x－ 2)n展开式的第二项与第四项分别为
T2＝C1nxn－1·(－ 2)＝－ 2·nxn－1，
2分
T4＝C3nxn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
4分
－ 依题意得－2
22nC3n＝12，
6分
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的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
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又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项 为0，公差为6，末项为96的等差数列，
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方法二：3 x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4 ＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4] ＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
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(2)方法一：3
x＋
1 4 x
＝(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2 1x2＋C34(3 x)· 1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
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－
1 2x
＋
1 16x2.
方法二： x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
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[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问 题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较 复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变 形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
【错解】 第三项的系数为C2n，依题意得C2n＝36，化简得
n2－n－72＝0，可得n＝9，设(x－ 6 )9的展开式中x2项为第r＋
1项，则Tr＋1＝C
r 9
x9－r(－
6 )r，由9－r＝2得r＝7，则(x－
6 )9的
展开式中x2项为T8＝C79x2(－ 6)7＝－7 776 6x2.
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[问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的 吗？
[提示2] 因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项
式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选
b，则其余三个都选a，其方法有C
1 4
等于( )
A．(x－2)4
B．(x－1)4
C．x4
D．(x＋1)4
(2)设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝________.
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解析： (1)S＝[(x－1)＋1]4＝x4. (2)C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1 ＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n－1) ＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．
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[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用 多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b ＋6a2b2＋4ab3＋b4.
a，－21
看成 x
b，利
用二项式定理展开，也可以先将
x－2
1
4
x
化简后再展开．
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方法一：
x－2
1
x
4＝C
04(
x)4－C14(
x)3·21 x
＋C
2 4
(
x
)2·2
1
x
2－C
3 4
x
·21
x
3＋C
4 4
2
1
x
4＝x2－2x＋
3 2
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1．(1)求2x－23x25的展开式；
(2)求3 x＋ 1x4的展开式．
解析：
(1)方法一：
2x－23x2
5＝C
0 5
(2x)5＋C
1 5
(2x)4·－23x2
＋C25(2x)3－23x22＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)－23x24＋C55－23x25
(2)Tk＋1＝C
k 5
(
x
)5－k
－ 1 3 x
k＝C
k 5
(－1)kx
5 2
－
5k 6
，令
5 2
－
5k 6
＝
0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
答案： (1)A (2)－10
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◎设(x－ 6 )n的展开式中，第三项的系数为36，则x2项的 系数为________．
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3．(1)在
3
2x－
1
2
20的展开式中，系数是有理数的项共有
() A．4项
B．5项
C．6项
D．7项
(2)设二项式
x－ 1 3 x
5的展开式中常数项为A，则A＝
________.
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解析：
(1)Tk＋1＝Ck20(3
2 n
(－2)2＋C3n
(－2)3＋…
＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)原式＝C
0 n
(x＋1)n＋C
1 n
(x＋1)n－1·(－1)＋C
2 n
(x＋1)n－2·(－1)2
＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
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＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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方法二：2x－23x25＝43x32－x1035 ＝321x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－ 243) ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
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1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
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[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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2．二项式x－ 1x8的展开式中的第6项为(
)
A．－28x12
B．28x12
C．－56x12
D．56x12
解析： T6＝C58x8－5－ 1x5＝－56x12. 答案： C
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3.x＋21x8的展开式中x2的系数为________．
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即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
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1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C610
B．27C610
C．－9C610
D．9C610
解析： x6的系数为C410·(－ 3)4＝9·C410＝9·C610. 答案： D
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(x－ 2)n展开式的第二项与第四项分别为
T2＝C1nxn－1·(－ 2)＝－ 2·nxn－1，
2分
T4＝C3nxn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
4分
－ 依题意得－2
22nC3n＝12，
6分
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的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
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又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项 为0，公差为6，末项为96的等差数列，
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方法二：3 x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4 ＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4] ＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
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(2)方法一：3
x＋
1 4 x
＝(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2 1x2＋C34(3 x)· 1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
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－
1 2x
＋
1 16x2.
方法二： x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
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[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问 题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较 复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变 形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
【错解】 第三项的系数为C2n，依题意得C2n＝36，化简得
n2－n－72＝0，可得n＝9，设(x－ 6 )9的展开式中x2项为第r＋
1项，则Tr＋1＝C
r 9
x9－r(－
6 )r，由9－r＝2得r＝7，则(x－
6 )9的
展开式中x2项为T8＝C79x2(－ 6)7＝－7 776 6x2.
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[问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的 吗？
[提示2] 因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项
式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选
b，则其余三个都选a，其方法有C
1 4
等于( )
A．(x－2)4
B．(x－1)4
C．x4
D．(x＋1)4
(2)设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝________.
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解析： (1)S＝[(x－1)＋1]4＝x4. (2)C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1 ＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n－1) ＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．
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[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用 多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b ＋6a2b2＋4ab3＋b4.
a，－21
看成 x
b，利
用二项式定理展开，也可以先将
x－2
1
4
x
化简后再展开．
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方法一：
x－2
1
x
4＝C
04(
x)4－C14(
x)3·21 x
＋C
2 4
(
x
)2·2
1
x
2－C
3 4
x
·21
x
3＋C
4 4
2
1
x
4＝x2－2x＋
3 2
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1．(1)求2x－23x25的展开式；
(2)求3 x＋ 1x4的展开式．
解析：
(1)方法一：
2x－23x2
5＝C
0 5
(2x)5＋C
1 5
(2x)4·－23x2
＋C25(2x)3－23x22＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)－23x24＋C55－23x25
(2)Tk＋1＝C
k 5
(
x
)5－k
－ 1 3 x
k＝C
k 5
(－1)kx
5 2
－
5k 6
，令
5 2
－
5k 6
＝
0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
答案： (1)A (2)－10
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◎设(x－ 6 )n的展开式中，第三项的系数为36，则x2项的 系数为________．
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3．(1)在
3
2x－
1
2
20的展开式中，系数是有理数的项共有
() A．4项
B．5项
C．6项
D．7项
(2)设二项式
x－ 1 3 x
5的展开式中常数项为A，则A＝
________.
数学 选修2-3
第一章 计数原理
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解析：
(1)Tk＋1＝Ck20(3
2 n
(－2)2＋C3n
(－2)3＋…
＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)原式＝C
0 n
(x＋1)n＋C
1 n
(x＋1)n－1·(－1)＋C
2 n
(x＋1)n－2·(－1)2
＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
数学 选修2-3
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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第一章 计数原理
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方法二：2x－23x25＝43x32－x1035 ＝321x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－ 243) ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.