最优化方法第一次PPT课件
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最优化方法课程PPT
x
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
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二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
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16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
第一次最优化方法
最优化研究什么？
• 有选择的地方就有优化：田忌赛马 • 讨论在众多的方案中什么样的方案
最优以及怎样找出最优方案
➢ 城建规划：如何安排工厂、机关、学
校、商店、医院、住户和其他单位的布 局，方能方便群众，利于城市的房展 ➢食谱问题：保证营养要求条件下最经济
1
课本与教辅材料：
• 陈宝林，最优化理论与算法(第二版)，清华大学 出版社
先修课程：线性代数，高等数学，最好会某种高级语言
15
Chap 1 预备知识
一、最优化问题的一般形式：
minf(x)
xRn
s.t.ci(x)0, i 1,...m, e;
(p)
ci(x)0, i me 1,...m, .
决策变量，目标函数， 约束函数（等式，不等式）。
16
二、可行点与可行域 称满足约束条件的点为可行点 称可行点全体组成的集合为可行域, 记为D
变 量：
的产品数量
6
目标函数： 产量约束： 销量约束： 非负约束：
问题中目标和约束函数都是线性函数, 称此类型的问题为线性规划问题.
7
优化实例2：选址问题(facility location problem) 已知：有n个 市 场 j， 个第 市 场 的 位 (aj,置 bj )为 ,
对 某 种 货 物 的 q需j(j要 1,量 2,是 ,n) 计 划 m 个 建货 立 i个 栈货 ，栈 第 ci(i的 1,2, 容 ,m ).量
n
s.t.
W ijci, i1,2 ,m
j1
m
Wij qj, j1,2,n
i1
货栈的容量 市场的需要量
W i j0 , i 1 ,2 ,m ;j 1 ,2 n
• 有选择的地方就有优化：田忌赛马 • 讨论在众多的方案中什么样的方案
最优以及怎样找出最优方案
➢ 城建规划：如何安排工厂、机关、学
校、商店、医院、住户和其他单位的布 局，方能方便群众，利于城市的房展 ➢食谱问题：保证营养要求条件下最经济
1
课本与教辅材料：
• 陈宝林，最优化理论与算法(第二版)，清华大学 出版社
先修课程：线性代数，高等数学，最好会某种高级语言
15
Chap 1 预备知识
一、最优化问题的一般形式：
minf(x)
xRn
s.t.ci(x)0, i 1,...m, e;
(p)
ci(x)0, i me 1,...m, .
决策变量，目标函数， 约束函数（等式，不等式）。
16
二、可行点与可行域 称满足约束条件的点为可行点 称可行点全体组成的集合为可行域, 记为D
变 量：
的产品数量
6
目标函数： 产量约束： 销量约束： 非负约束：
问题中目标和约束函数都是线性函数, 称此类型的问题为线性规划问题.
7
优化实例2：选址问题(facility location problem) 已知：有n个 市 场 j， 个第 市 场 的 位 (aj,置 bj )为 ,
对 某 种 货 物 的 q需j(j要 1,量 2,是 ,n) 计 划 m 个 建货 立 i个 栈货 ，栈 第 ci(i的 1,2, 容 ,m ).量
n
s.t.
W ijci, i1,2 ,m
j1
m
Wij qj, j1,2,n
i1
货栈的容量 市场的需要量
W i j0 , i 1 ,2 ,m ;j 1 ,2 n
最优化方法课程PPT
课程简介
三、无约束非线速下降法 最速下降法 3.牛顿法 牛顿法 4.共轭梯度法 共轭梯度法 四、现代最优化方法简介 1. 随机试验法 2. 禁忌搜索算法 3. 模拟退火算法 4. 遗传算法 5. 神经网络算法
课程简介
五、最优化方法的程序实现 1.线性优化问题 线性优化问题 2.非线性优化问题 非线性优化问题 3.最小二乘法优化问题 最小二乘法优化问题 4.非线性方程的优化解 非线性方程的优化解 5.遗传算法的程序实现 遗传算法的程序实现
能源与动力工程学院
College of Energy and Power Engineering
研究生课程《工程数学》 研究生课程《工程数学》之“最优化方法” 最优化方法”
课 程 简 介
王海民 hmwang@
课程简介
一、线性规划 二、非线性规划 1.线性规划问题的基本概念 1.非线性规划的数学模型 线性规划问题的基本概念 非线性规划的数学模型 2.单纯形法 单纯形法 3.对偶理论 对偶理论 2.解非线性规划问题的基本思路 解非线性规划问题的基本思路 3.一维搜索方法 一维搜索方法
5
参考文献
1. 何坚勇 最优化方法，清华大学出版社，2007 何坚勇. 最优化方法，清华大学出版社， 2. 陈宝林 最优化理论与算法，清华大学出版社，2005 陈宝林. 最优化理论与算法，清华大学出版社， 3. 张光澄 非线性最优化计算方法，高等教育出版社，2005 张光澄. 非线性最优化计算方法，高等教育出版社， 4. 邢文训，谢金星 现代优化计算方法，清华大学出版社， 邢文训，谢金星. 现代优化计算方法，清华大学出版社， 1999
最优化 PPT课件
• 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹 学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉 及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此 这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法 也不一致。
• 比较公认的是：“规划论”（包括线性和
非线性规划、整数规划、动态规划、多目
标规划和随机规划等），“组合最优化”，
“对策论”及“最优控制”等等。
j
1, 2,L
,n
(5)
14
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1, i 1, 2,L
,n
s.t.
j 1 n
(5)
xij 1, j 1, 2,L , n
i1
xij
0
或 1 ,i,
j
1, 2,L
,n
(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只
mn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai ,
i 1, , m
j 1
s.t.
m xij bj ,
j 1,2, , n
i 1
xij
0
11
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j1
m
i1
n xij
j1
n m
j1 i1
xij
费的总时间最少？
引入变量 xij ，若分配 i 干 j 工作，则取 xij 1，否则取 xij 0 。上
述指派问题的数学模型为
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1,i 1, 2,L
,n
j1
最优化方法课件 (1)
的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求 宇宙的和谐规律性。 – 17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分 的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植 物生长等均属于数学建模的范畴； – 19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问； – 可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数 学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
10
2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
11
数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简 洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的 本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
10
2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
11
数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简 洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的 本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景
最优化方法课件01.1
2
二、包含的内容
按照优化思想分为经典方法与现代方法。 经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划等 现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火 算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。 我们学习的内容主要是经典的最优化方法。 内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、 约束最优化方法等主要内容。
i 1 j 1
9
m k
数学模型:
注:平衡条件 出现在约束条件中.
作为已知条件并不
10
例1.1.2 生产计划问题
设某工厂有m种资源B1,B2, …,Bm,数量分别为: b1,b2, …, bm,用这些资源产n种产品A1,A2, …, An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi 的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj. 再设Aj的单价为cj. 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该 厂总收入最多?
f x 2x1 2x2 , 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2
T
35
例：求目标函数的梯度和Hesse矩阵。
f ( x) x x x 2 x1 x2 2 x2 x3 3x2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 f f f 又因为： 2, 2, 0 2 x1 x1x2 x1x3
因此,数据拟合问题得数学模型为
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
18
§1.2最优化问题的基本概念
19
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
最优化方法图解法和LP基本定理PPT课件
为非基向量.
3. 基变量: 基向量对应的变量称为基变量，非基向量对应的变
量称为非基变量(自由变量)。
x1 x4
5 1
A
10
6
1 1 0
2
0
1
5 1
B2
10
0 ,
例如：对于基B2而言，x1 , x4是基变量，x2 , x3 , x5是非基变量。
思考：基变量的选取唯一吗？取法有多少种？
第20页/共25页
x1 1.9x2 3.8
第4页/共25页
max z 3x1 5.7 x2
例2. x1 1.9x2 10.2
s.t
.
x1 x1
1.9 x2 1.9 x2
3.8 3.8
x1 1.9x2 3.8
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
max Z
2) xj hj (hj 0) 引入 yj xj hj , 则 yj 0;
3) x j 0 令 yj xj , 则 yj 0;
4)
x
的符号无限制
j
引入
y' j
0,
y'' j
0,
n
令x
n
j
y' j
y'' j
, 代入模型消去x j
5) aij x j bi
aij x j xi' bi , xi' 0
第一节 图解法
➢确定可行域： 画约束直线，确定满足约束条件的半平
面，所有半平面的交集，即为线性规划的 可行域。
➢确定目标函数的等值线及优化方向： 画一条目标函数等值线，并确定目标函数 优化的方向。
最优化方法全套教学课件
其实，a,b aTb a1, a2,
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 , , , ,, 等表示。
向量内积的性质：
ⅰ) , ,（对称性）；
ⅱ) , , , k, k , （线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
向量的长 ,
这个公式与一元函数展开到两项的Taylor公式是相对的。
梯度的性质：当梯度 f x 连续时，
第一，若 f x 0 ，则 f x 必垂直于 f x 过点
x 处的等值面；
第二，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
下面以 f x1, x2 x12 x22 1 为例来解释这个性质。
上图是该函数的等值线图。
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
定理1.2
设 f : Rn R1 在点 x0 处可微，则
f x0
p
f
x0
T
e
其中 e 是非零向量 p 方向上的单位，向量。
f x0
p
f
x0
e
cos
f
x0 , p
f x0
p
f
x0
cos
f
x0 , p
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 , , , ,, 等表示。
向量内积的性质：
ⅰ) , ,（对称性）；
ⅱ) , , , k, k , （线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
向量的长 ,
这个公式与一元函数展开到两项的Taylor公式是相对的。
梯度的性质：当梯度 f x 连续时，
第一，若 f x 0 ，则 f x 必垂直于 f x 过点
x 处的等值面；
第二，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
下面以 f x1, x2 x12 x22 1 为例来解释这个性质。
上图是该函数的等值线图。
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
定理1.2
设 f : Rn R1 在点 x0 处可微，则
f x0
p
f
x0
T
e
其中 e 是非零向量 p 方向上的单位，向量。
f x0
p
f
x0
e
cos
f
x0 , p
f x0
p
f
x0
cos
f
x0 , p
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
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12
本课程对学生的具体要求为： ①理解最优化的基本概念、算法原理和 算法结构； ②熟悉几种常用的经典优化算法，知晓 其优缺点及适用范围； ③了解模拟退火算法和遗传算法的基本 原理； ④能较为熟练地运用Lingo软件求解各种 优化问题。
13
3. 编程要求 基于下列理由，本门课要求学生对2~3个
基本优化算法（如一维搜索、梯度法、变尺 度法、模拟退火、基本遗传算法）编制出通 用 程 序 ， 编 程 工 具 建 议 采 用 C++ 、 Matlab 或 Maple。
前面提到的算法是最优化的基本方法， 它们简单易行，对于性态优良的一般函数， 优化效果较好。但这些经典的方法是以传统 微积分为基础的，不可避免地带有某种局限
5
局限性，主要表现为：①大多数传统优化方 法仅能计算目标函数的局部最优点，不能保 证找到全局最优解。对于多峰值函数，这些 方法往往由于过分追求“下降”而陷于局部 最优解；②许多传统优化方法对目标函数的 光滑性、凹凸性等有较高的要求，对于离散 型函数、随机型函数基本上无能为力。
15
③Lingo、Matlab优化工具箱等优化软件 功能的确强大，但它们也不是万能的。首先, 对于某些优化问题，这些工具软件有都求不 出最优解。其次不能保证对任何优化问题都 有现成的工具软件，实际上，许多现代优化 方法都不可能编制成通用软件；
④熟练使用相关科技软件、具有一定的 编程水平是工科研究生所必须具有的素养， 从某种程度上讲，后者更能反映出个人的能
7
二、《最优化方法》课程主要内容 本门课程的主要内容为常用经典优化方
法、现代优化方法中的模拟退火算法和遗传 算法以及运筹优化软件Lingo简介。
经典优化方法包括： 1.常用的一维搜索方法——黄金分割法、 Fibonacci法和解析法； 2. 最速下降法、共轭梯度法； 3. 牛顿法；
8
4. 变尺度法——DFP和BFGS法； 5. 常用约束优化方法——梯度法、罚函 数法、乘子法。 模拟退火算法包括物理背景、算法过程 以及简单应用等内容。 遗传算法包括基本遗传算法、多峰值函 数优化的小生境遗传算法、多目标优化遗传 算法简介。 Lingo软件只介绍基本功能与基本操作。
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三、授课方式与课程要求 1. 授课方式——自学+讨论+讲解
首先由学生按教师要求对下次授课内容 自学，然后在课堂上就有关问题与教师进行 简要讨论、交流，最后由教师对本次授课内 容进行扼要讲解、总结，布置作业。
10
2. 课程要求 希望掌握优化计算这个数学工具的工程
技术人员可以分为下列三个层次： ①不愿意花费精力去了解优化计算的数
16
能力，而编程经验和水平不是凭一朝一夕就 可以提高的，要靠大量的编程实践和不断地 日积月累。
17
4. 参考书目 ①粟塔山，最优化计算原理与算法程序设计， 国防科技大学出版社； ②谢金星，优化建模与Lingo软件，清华大学 出版社； ③周明，遗传算法原理及应用，国防工业出 版社。 信箱：austmathmodeling@ MM：matlabmaple
学原理，只要能熟练使用一些现成的优化数 学软件，如Lingo、Matlab优化工具箱等；
②希望大致明白优化计算的数学原理， 了解各种算法的优缺点及适用范围，对计算 结果有一定的分析判断能力，让自己成为一
11
个有数学素养的优化工具使用者。但也不打 算自己编制算法程序；
③希望透彻地了解最优化计算的数学原 理，详细掌握各种算法的计算步骤，由自己 编制质量较较高的优化计算软件。
最 3
短路、最小费用最大流等；如果可行集是有
限维空间中的一个连续子集，则元素是
依赖时间的决策序列，则归结为 “动态规
划” ；如果可行集是无穷维空间中的连续子
集
，
则
归
结为“最优控制”。
线性规划与非线性规划是最优化方法中
最基本、最重要的两类问题。
4
一般来说，各优化分支有其相应的应用 领域。线性规划、网络规划、动态规划通常 用于管理与决策科学；最优控制常用于控制 工程；非线性规划则更多地用于工程优化设 计。
前言
一、最优化方法简介 最优化方法是一门古老而又年青的学科。
这门学科的源头可以追溯到17世纪法国数学家 拉格朗日关于一个函数在一组等式约束条件下 的极值问题 (求解多元函数极值的 Lagrange 乘 数法 )。19 世纪柯西引入了最速下降法求解非 线性规划问题。 直到 20 世纪三、四十年代最
1
优化理论的研究才出现了重大进展，1939年 前苏联的康托洛维奇提出了解决产品下料和 运输问题的线性规划方法；1947年美国的丹 奇格提出了求解线性规划的单纯形法，极大 地推动了线性规划理论的发展。非线性规划 理论的开创性工作是在1951年由库恩和塔克 完成的，他们给出了非线性规划的最优性条 件。随着计算机技术的发展，各种最优化算 法应运而生。比较著名的有DFP 和 BFGS无
2
约束变尺度法、HP广义乘子法和WHP约束变 尺度法。
最优化问题本质是一个求极值问题，几 乎所有类型的优化问题都可概括为如下模型： 给定一个集合(可行集)和该集合上的一个函数 (目标函数)，要计算此函数在集合上的极值。 通常，人们按照可行集的性质对优化问题分 类：如果可行集中的元素是有限的，则归结 为“组合优化”或“网络规划”，如图论中
二十世纪六、七十年代以来，人们将人 工智能技术和生物进化机理引入最优化方法,
6
逐渐形成了一批完全不同于传统优化方法、 令人耳目一新的现代优化方法。例如模拟退 火、神经网络、进化计算、模糊逻辑等，其 中进化计算中的遗传算法以其良好的全局搜 索性成为现代优化算法中最受关注的算法之 一，已被广泛应用于函数优化、组合优化、 自动控制、生产调度、图像与信号处理、机 器人和人工生命等领域。
①最优化方法是一门实践性特别强的课 程，算法众多。如果对于一个算法仅了解其 数学原理，不将算法编制成高质量的程序，
14
那么就不能保证你已对此算法有了全面、正 确的理解，对此算法的优缺点、适用范围就 缺乏深刻的体会，更无法体验到最优化方法 的精髓；
②在一些大型计算中，可能要求优化计 算是“实时计算”，即优化计算从前一计算 环节获取参数，计算结果后立即传送给后一 环节，所有这些计算都是在内存中进行的。 显然，现成的工具软件对此无能为力；
本课程对学生的具体要求为： ①理解最优化的基本概念、算法原理和 算法结构； ②熟悉几种常用的经典优化算法，知晓 其优缺点及适用范围； ③了解模拟退火算法和遗传算法的基本 原理； ④能较为熟练地运用Lingo软件求解各种 优化问题。
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3. 编程要求 基于下列理由，本门课要求学生对2~3个
基本优化算法（如一维搜索、梯度法、变尺 度法、模拟退火、基本遗传算法）编制出通 用 程 序 ， 编 程 工 具 建 议 采 用 C++ 、 Matlab 或 Maple。
前面提到的算法是最优化的基本方法， 它们简单易行，对于性态优良的一般函数， 优化效果较好。但这些经典的方法是以传统 微积分为基础的，不可避免地带有某种局限
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局限性，主要表现为：①大多数传统优化方 法仅能计算目标函数的局部最优点，不能保 证找到全局最优解。对于多峰值函数，这些 方法往往由于过分追求“下降”而陷于局部 最优解；②许多传统优化方法对目标函数的 光滑性、凹凸性等有较高的要求，对于离散 型函数、随机型函数基本上无能为力。
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③Lingo、Matlab优化工具箱等优化软件 功能的确强大，但它们也不是万能的。首先, 对于某些优化问题，这些工具软件有都求不 出最优解。其次不能保证对任何优化问题都 有现成的工具软件，实际上，许多现代优化 方法都不可能编制成通用软件；
④熟练使用相关科技软件、具有一定的 编程水平是工科研究生所必须具有的素养， 从某种程度上讲，后者更能反映出个人的能
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二、《最优化方法》课程主要内容 本门课程的主要内容为常用经典优化方
法、现代优化方法中的模拟退火算法和遗传 算法以及运筹优化软件Lingo简介。
经典优化方法包括： 1.常用的一维搜索方法——黄金分割法、 Fibonacci法和解析法； 2. 最速下降法、共轭梯度法； 3. 牛顿法；
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4. 变尺度法——DFP和BFGS法； 5. 常用约束优化方法——梯度法、罚函 数法、乘子法。 模拟退火算法包括物理背景、算法过程 以及简单应用等内容。 遗传算法包括基本遗传算法、多峰值函 数优化的小生境遗传算法、多目标优化遗传 算法简介。 Lingo软件只介绍基本功能与基本操作。
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三、授课方式与课程要求 1. 授课方式——自学+讨论+讲解
首先由学生按教师要求对下次授课内容 自学，然后在课堂上就有关问题与教师进行 简要讨论、交流，最后由教师对本次授课内 容进行扼要讲解、总结，布置作业。
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2. 课程要求 希望掌握优化计算这个数学工具的工程
技术人员可以分为下列三个层次： ①不愿意花费精力去了解优化计算的数
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能力，而编程经验和水平不是凭一朝一夕就 可以提高的，要靠大量的编程实践和不断地 日积月累。
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4. 参考书目 ①粟塔山，最优化计算原理与算法程序设计， 国防科技大学出版社； ②谢金星，优化建模与Lingo软件，清华大学 出版社； ③周明，遗传算法原理及应用，国防工业出 版社。 信箱：austmathmodeling@ MM：matlabmaple
学原理，只要能熟练使用一些现成的优化数 学软件，如Lingo、Matlab优化工具箱等；
②希望大致明白优化计算的数学原理， 了解各种算法的优缺点及适用范围，对计算 结果有一定的分析判断能力，让自己成为一
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个有数学素养的优化工具使用者。但也不打 算自己编制算法程序；
③希望透彻地了解最优化计算的数学原 理，详细掌握各种算法的计算步骤，由自己 编制质量较较高的优化计算软件。
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短路、最小费用最大流等；如果可行集是有
限维空间中的一个连续子集，则元素是
依赖时间的决策序列，则归结为 “动态规
划” ；如果可行集是无穷维空间中的连续子
集
，
则
归
结为“最优控制”。
线性规划与非线性规划是最优化方法中
最基本、最重要的两类问题。
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一般来说，各优化分支有其相应的应用 领域。线性规划、网络规划、动态规划通常 用于管理与决策科学；最优控制常用于控制 工程；非线性规划则更多地用于工程优化设 计。
前言
一、最优化方法简介 最优化方法是一门古老而又年青的学科。
这门学科的源头可以追溯到17世纪法国数学家 拉格朗日关于一个函数在一组等式约束条件下 的极值问题 (求解多元函数极值的 Lagrange 乘 数法 )。19 世纪柯西引入了最速下降法求解非 线性规划问题。 直到 20 世纪三、四十年代最
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优化理论的研究才出现了重大进展，1939年 前苏联的康托洛维奇提出了解决产品下料和 运输问题的线性规划方法；1947年美国的丹 奇格提出了求解线性规划的单纯形法，极大 地推动了线性规划理论的发展。非线性规划 理论的开创性工作是在1951年由库恩和塔克 完成的，他们给出了非线性规划的最优性条 件。随着计算机技术的发展，各种最优化算 法应运而生。比较著名的有DFP 和 BFGS无
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约束变尺度法、HP广义乘子法和WHP约束变 尺度法。
最优化问题本质是一个求极值问题，几 乎所有类型的优化问题都可概括为如下模型： 给定一个集合(可行集)和该集合上的一个函数 (目标函数)，要计算此函数在集合上的极值。 通常，人们按照可行集的性质对优化问题分 类：如果可行集中的元素是有限的，则归结 为“组合优化”或“网络规划”，如图论中
二十世纪六、七十年代以来，人们将人 工智能技术和生物进化机理引入最优化方法,
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逐渐形成了一批完全不同于传统优化方法、 令人耳目一新的现代优化方法。例如模拟退 火、神经网络、进化计算、模糊逻辑等，其 中进化计算中的遗传算法以其良好的全局搜 索性成为现代优化算法中最受关注的算法之 一，已被广泛应用于函数优化、组合优化、 自动控制、生产调度、图像与信号处理、机 器人和人工生命等领域。
①最优化方法是一门实践性特别强的课 程，算法众多。如果对于一个算法仅了解其 数学原理，不将算法编制成高质量的程序，
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那么就不能保证你已对此算法有了全面、正 确的理解，对此算法的优缺点、适用范围就 缺乏深刻的体会，更无法体验到最优化方法 的精髓；
②在一些大型计算中，可能要求优化计 算是“实时计算”，即优化计算从前一计算 环节获取参数，计算结果后立即传送给后一 环节，所有这些计算都是在内存中进行的。 显然，现成的工具软件对此无能为力；