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《二次函数的应用》专题练习

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二次函数的应用(解决实际问题)带答案)

二次函数的应用(解决实际问题)带答案)

二次函数的应用1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A ．60m 2 B ．63m 2 C ．64m 2 D ．66m 2【答案】C ．考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B ．考点：二次函数的应用． 3．如图，正三角形ABC 的边长为，在三角形中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、E 、F在边CB 上，点P 、N 分别在边CA 、AB 上，设两个正方形的边长分别为m ，n ，则这两个正方形的面积和的最小值为A．B．C．3 D．【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋，利用含30°的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m＋m＋n＋n＝3＋，所以n＝3－m，S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，接着确定m的取值范围，然后根据二次函数的性质求出S的最小值.【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝60°，AB＝3＋，在Rt△ADN中，BD＝DN＝m，在Rt△BPF中，CF＝PF＝n，∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，∴m＋m＋n＋n＝3＋，∴m＋n＝3，∴n＝3－m，∴S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，当点M落在AC上，则正方形PHEC的边长最小，正方形DNME的边长最大，如图，在Rt△ADN中，BD＝DN，CM＝DN，∴DN＋DN＝3＋，解得DN＝3－3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3－3）＋3－3＋EF＋PF＝3＋，解得PF＝6－9，∴6－9≤m≤3－3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为，故答案选D.4．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( ) A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h＝v0t－gt2，求出h的值，然后加2即可.【详解】把t=2.1代入h＝v0t－gt2得，h＝10×2.1－×10×2.12=-1.05（米），-1.05+2=0.95（米）.故选C.5．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当为的三等分点时，最小B．当是的中点时，最大C．当为的三等分点时，最大D．当是的中点时，最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断．【详解】设AC=x，则CB=1-x，S=x2+（1-x）2，即S=x2-x+=（x-）2+，∵a=>0，∴当x=时，S最小，此时，C是AB的中点，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键．6.抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________． 【答案】223y x x =--. 【解析】试题分析：由题意可得，抛物线y ＝x 2＋2x ＋1和直线y ＝2x ＋2的交点坐标就是点A 、C′的坐标，把y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2联立组成方程组，解得方程组的解即可的得A （—1,0）、C′（1，4）.又因y=ax 2+bx+c 的顶点为C 与C′关于x 轴对称，所以C （1,-4）. y=ax 2+bx+c 的顶点为C （1, —4）且过点A （—1,0）.可设抛物线的解析式为y=a （x —1）2 —4，把点A （—1,0）代入即可求得a=1，所以y=（x —1）2 —4，即223y x x =--.考点：阅读理解题；求函数的交点坐标；求函数的解析式.学科网7. 某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）6005y x =-；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：y =600﹣5x （0≤x ＜120）；（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，则w =（600﹣5x ）（100+x ）=25(10)60500x --+ 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 考点：二次函数的应用．8.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m （30＜m ≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．【答案】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩；（2）30＜m ≤75．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x ≤30，30＜x ≤m ，m ＜x ≤100分别求出y 与x 的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，30＜x ≤m 时，2150y x x =-+，根据二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，当30＜x ≤m 时，22150(75)5625y x x x =-+=--+，∵a =﹣1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤75．考点：二次函数的应用；分段函数；最值问题；二次函数的最值9. 某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）（180≤x ≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：x （元） 180 260 280 300 y （间） 100 60 50 40（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出） 【答案】（1）11902y x =-+（180≤x ≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【分析】（1）设一次函数表达式为y =kx +b （k ≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：18010016060k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12190kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y与x之间的函数表达式为11902y x=-+（180≤x≤300）．（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=（12-x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（12-x+190）]=21210136002x x-+-=21(210)84502x--+，∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450．答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．10.小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元试题解析：（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）依题意可得：y=（x-60）×（-2x + 400= -2x2 + 520x – 24000= -2（x-130）2 + 9800当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元考点：二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（6分）（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（6分） 【答案】（1）(10)(50020)y x x =+-，不能；（2）5．试题解析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得：215(10)(50020)20()61252y x x x =+-=--+ ∴a =﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x =7.5时，y 最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元． （2）当y =6000时，6000(10)(50020)x x =+-，解得：110x =，25x =， ∵要使顾客得到实惠，∴x =5． 答：每千克应涨价为5元． 考点：二次函数的应用．12.技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A 距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A 的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．【答案】（1）23315y x x =-++；（2）能，理由见试题解析． 【解析】试题分析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），用顶点式即可求出二次函数的解析式； （2）当4x =时代入二次函数可得点B 的坐标在抛物线上．试题解析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），设二次函数解析式为：2519()24y a x =-+， 把A （0，1）代入得：2519144a =+，解得：35a =-，∴23519()524y x =--+，即23315y x x =-++；（2）能成功表演．理由是：当4x =时，234341 3.45y =-⨯+⨯+=．即点B （4，3.4）在抛物线23315y x x =-++上，因此，能表演成功．考点：二次函数的应用．13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？ （4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）2105006000y x x =-++；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元． 【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x 元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以5x =，代入即可月销售量和销售利润； （3）令10000y =，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可． 试题解析：（1）∵每个书包涨价x 元，∴2(4030)(60010)105006000y x x x x =-+-=-++， 答：y 与x 的函数关系式为：2105006000y x x =-++；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-10×5=550（件），销售利润=2105500560008250y =-⨯+⨯+=（元）；考点：二次函数的应用．14.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）201600y x =-+；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）440． 【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．考点：二次函数的应用．15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部款20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y 轴为抛物线的对称轴，x 轴在地面上．求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB -BC -CD （其中B 、C 两点在抛物线上，A ．D 两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？ （3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB 不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【答案】（1）211010y x =-+；（2）够用；（3）不能．试题解析：（1）设2y ax c =+，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则100010a c c +=⎧⎨=⎩，解得：11010a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故抛物线的解析式为211010y x =-+； （2）设点C 的坐标为（m ，n ），则所需材料长度=2221112222()210210(5)251055m n m m m m m +=+⨯-+⨯=-++=--+， ∵105-<，∴当m =5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当5n =时，2110510m -+=，解得52m =， ∵5224<⨯，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的应用．学科网。

第5章 二次函数(压轴必刷30题2种题型专项训练)(原卷版)

第5章 二次函数(压轴必刷30题2种题型专项训练)(原卷版)

第5章二次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）一．二次函数的应用（共3小题）1．（2023•建湖县三模）秀夫初中全校师生为学校修建植物园群策群力．九年级设计小组为更合理地利用空间，将计划种植各种树木的矩形空地一边靠墙（可利用的墙长不超过18米），另外三边由36米长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y米2，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160米2，求x；（3）若学校用8600元购买了甲、乙、丙三种树木共400棵（每种树木的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种树木最多可以购买多少棵？此时，这批树木可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（米2/棵）0.410.42．（2023•海安市模拟）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？3．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？二．二次函数综合题（共27小题）4．（2023秋•太仓市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（2，0）两点，且与y轴交于点C（0，6）．连接AC，BC，P为抛物线在第二象限内一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接P A、PC，抛物线上是否存在点P，使得S△P AC：S四边形ABCP＝1：3？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接P A、PB，过点P作PD∥BC交AC于点D，连接BD．若，求点P坐标．5．（2023•崇川区校级四模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P 与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OP A＝∠OBP，求t的最小值．6．（2023•鼓楼区校级三模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+4m的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连结AC、CP、P A，P A与直线BC 交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当tan∠P AB＝1时，判断CP与AB的数最关系，并说明理由；（3）设△CDP的面积为S1，△CDA的面积为S2，求的最大值．7．（2023•兴化市二模）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣m﹣d）（a，m，d均为正数）图象的顶点为P．（1）直接写出二次函数y1的图象与x轴的交点坐标以及点P的坐标（用含a、m、d的字母表示）；（2）一次函数y2＝kx﹣km（k为常数且k≠0），若函数y3＝y1+y2，且y3的图象与x轴有且只有一个交点．①求函数y3的图象与x轴的交点坐标，并探求a、d、k之间的数量关系，说明理由；②将函数y2的图象向下平移d个单位长度，交函数y1图象的对称轴l于点M，点N是点M关于顶点P的对称点，过点N作x轴的平行线交平移后的直线于点Q，当点Q恰好在函数y1的图象上时，求此时k 的整数值．8．（2023•淮安区校级二模）数学兴趣小组同学们对二次函数y＝nx2﹣（n+3）x+3（n为正数）进行如下探究：（1）同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A，请写出A点坐标；（2）有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；（3）若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n 的值．9．（2023•武进区校级模拟）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标．10．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF 为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．11．（2023•天宁区校级二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4（a≠0），图象记为L．（1）如图，a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；（2）在（1）的条件下，将二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x＜0）的图象向右平移2个单位，与二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x≥2）的图象组成一个新的函数图象，记为L′．设L′上的一点P的坐标为（m，n）．①当m满足时，n随m的增大而增大；②当m＞2时，过点P作y轴垂线，分别交L、L′于点M、N．若ON将△OPM的面积分成1：2两部分，求点P坐标；（3）若点（x1，3），（x2，6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4图象上，直接写出a的取值范围．12．（2023•梁溪区一模）如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值，若不存在，请说明理由．13．（2023•灌云县校级模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．①是否存在点P使得S△P AB＝，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB﹣S△AMC的值最大时，求直线BP的表达式．14．（2023•南通二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上的点P（x，y）满足x+y＝a（其中x ≥0，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．（1）若点（2，m）为反比例函数图象的“1级和点”，则m＝，k＝；（2）若2≤a≤4时，直线y＝kx+k+3上有“a级和点”，求k的取值范围；（3）若抛物线的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．15．（2023•建湖县三模）平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点P（，3）是“二倍点”．（1）在点A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍点”的有；（2）若点E为双曲线y＝﹣（x＞0）上任意一点．①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？②若将点E向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点F．求证：点F为“二倍点”．（3）已知“二倍点”M在抛物线y＝x2（x＞0）的图象上，“二倍点”N在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，点G在x轴上，坐标平面内有一点H，若以点M，N，G，H为顶点的四边形是矩形，请直接写出点H的坐标．16．（2023•如东县一模）定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点．例如，函数y＝2x与函数y＝x﹣3为关联函数，点（1，2）和点（1，﹣2）是这两个函数的一对关联点．（1）判断函数y＝x+2与函数y＝﹣是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；（2）若对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2m2+n2﹣6m的取值范围．17．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）也经过点A、点C，并与x轴正半轴交于点B．（1）求抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）设点E（0，），点F在抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上，并使得△AEF的周长最小，过点F任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，试探究的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）适当平移后，得到抛物线y3＝a（x﹣h）2（h＞1），若当1＜x≤m 时，y3≥﹣x恒成立，求m的最大值．18．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．19．（2023•梁溪区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线OP所对应的函数表达式为y＝2x．（1）请直接写出点P的坐标．（2）若△P AB为直角三角形，设直线OP与这个二次函数的图象的另一个交点为Q．①求a、c的值与点Q的坐标；②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围．20．（2023•沭阳县三模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P在第四象限的抛物线上运动，连接AP，BP，CP．（1）求抛物线的表达式；（2）若S△PBC﹣S△APC＝2，求点P的坐标；（3）①如图2，若AP交BC于点E，过点P作x轴的垂线交BC于点F，当EF＝EP，求点P的坐标；②如图3，在①的条件下，连接AP，BP，点M是线段AP上一点，点Q是线段BP上一点，连接MQ，过点M作x轴的垂线交抛物线于点H，过点H作HN∥PB交MQ于点N，当S△MHN＝S△MHQ，直接写出线段MH的长．21．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．22．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当时，一次函数的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．23．（2023春•大丰区月考）如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．24．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．25．（2023•灌云县校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AC，BC，CD．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为抛物线上的点，连接CP，当∠ACO＝∠PCB时，求点P的坐标；（3）若在x轴上总存在一点Q，且点Q的横坐标为m（m＞﹣3），当∠DCB＜∠QCB＜∠CAO时，直接写出m的取值范围．26．（2023•泗洪县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣4）．（1）求该二次函数的解析；（2）若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．27．（2023•兴化市开学）如图，已知抛物线y＝ax2（a＜0）经过点A（2，﹣2），过点A的直线l平行于x 轴，横坐标分别m，s的点B、C（m＜s＜0）在抛物线上，且位于在直线l异侧，连接BC，AC，AB，线段BC与直线l相交于点D．（1）求a的值；（2）若m＝﹣3，s＝﹣1．①求AD的值；②试判断AD是否平分∠CAB，并说明理由；（3）若AD平分∠CAB，试判断tan（∠ABD+∠CAD）的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．28．（2023•昆山市校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．29．（2023•锡山区校级四模）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．30．（2023•工业园区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线AP经过△CBM外接圆的圆心，求点P的横坐标；（3）如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值；（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，请直接求出点Q的坐标．。

二次函数的应用大题专练(七大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)

二次函数的应用大题专练(七大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)

二次函数的应用大题专练(七大类型)题型一:考向分析1类型一、销售问题1(2023·浙江湖州·统考一模)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+900．(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28800元，求该月销售单价的最小值．【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元【解析】(1)解：在y=-3x+900中，令x=160，则y=420，∴政府这个月补贴420×20=8400元；(2)由题意可得：w=-3x+9002+30000，x-100=-3x-200∵a=-3<0，∴当x=200时，w有最大值30000．即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．(3)设每月获得的总收益为w ，由题意可得：w =-3x+9002+36300，=-3x-190x-100+20-3x+900令w =28800，则-3x-1902+36300=28800，解得：x=140或x=240，∵a=-3<0，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=190，∴当140≤x≤240时，w≥28800，∴该月销售单价的最小值为140元．2类型二、图形面积问题2(2023春·湖北武汉·九年级校联考期中)春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【答案】(1)(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)，(2)32m或10m，(3)168000元【解析】(1)解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：40-x20-x=(x2-60x+800)m2，花卉B的面积为：x40-x-10=(-x2+30x)m2，花卉C的面积为：x20-x=(-x2+20x)m2，故答案为：(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)；(2)解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2×x2-60x+800百元和3×-x2+30x百元，∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200×x2-60x+800=300×-x2+30x，∴x2-42x+320=0，解方程得x=32或x=10，∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；(3)解：∵花卉A与B的种植面积之和为：x2-60x+800+-x2+30x=(-30x+800)m2，∴-30x+800≤560，∴x≥8，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴y=2x2-60x+800+3-x2+30x，+4-x2+20x∴y=-5x2+50x+1600，∴y=-5(x-5)2+1725，∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x=8时，y最大，且y=-5(8-5)2+1725=1680(百元)，故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．3类型三、拱桥问题3(2023·安徽黄山·统考一模)如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB 和矩形OABC 构成.矩形OABC 的边OA =34米，OC =9米，以OC 所在的直线为x 轴，以OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D 的坐标为92,245.(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM ，点M 正好在抛物线上，支撑MN ⊥x 轴，ON =7.5米，点E 是OM 上方抛物线上一动点，且点E 的横坐标为m ，过点E 作x 轴的垂线，交OM 于点F .①求EF 的最大值.②某工人师傅站在木板OM 上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.【答案】(1)y =-15x -92 2+245；(2)①当m =72时，EF 有最大值165；②32<m <112.【解析】(1)解：由题意知，抛物线顶点D 的坐标为92,245，设抛物线的表达式为y =a x -92 2+245，将点A 0,34 代入抛物线解析式得34=a 0-92 2+245，解得a =-15，∴抛物线对应的函数的表达式为y =-15x -92 2+245；(2)解：①将x =7.5代入y =-15x -92 2+245中，得y =3，∴点M 152,3 ，∴设直线OM 的解析式为y =kx k ≠0 ，将点M 152,3 代入得152k =3，∴k =25，∴直线OM 的解析式为y =25x ，∴EF =-15m -92 2+245-25m =-15m 2+75m +34=-15m -72 2+165，∵-15<0,∴当m =72时，EF 有最大值，为165；②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125米，∴当EF >125时，他就不能刷到大门顶部，令EF =125，即-15m -72 2+165=125,解得m 1=32,m 2=112，又∵EF 是关于m 的二次函数，且图象开口向下，∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m 的范围是32<m <112．4类型四、投球问题4(2023·浙江丽水·统考一模)某天，小明在足球场上练习“落叶球”(如图1)，足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A 处，正对一门柱CD ，距离AC =12m ，足球运动到B 的正上方，到达最高点2.5m ，此时AB =10m ．球门宽DE =5m ，高CD =2m ．(1)以水平方向为x 轴，A 为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E 处进入球网．若离A 点8m 处有人墙GH ，且GH ∥CF ，人起跳后最大高度为2.2m ，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．【答案】(1)足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5(2)足球不能进球网，理由见解析(3)足球能越过人墙，理由见解析【解析】(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为-10，2.5 ，设抛物线的函数表达式为y =a x +10 2+2.5，将0，0 代入得，0=100a +2.5，解得a =-140，∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5；(2)解：足球不能进球网，理由如下：当x =-12时，y =-140-12+10 2+2.5=2.4，∵2.4>2，∴足球不能进球网．(3)解：足球能越过人墙，理由如下：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点0,0 ，∴设抛物线的函数表达式为y =-140x 2+bx ．如图，由题意知，四边形CDEF 是矩形，则CF =DE =5，在Rt △ACF 中，由勾股定理得AF =AC 2+CF 2=13，∵足球恰好在点E 处进入球网，∴抛物线经过点-13,2 ，将-13,2 代入得，2=-140×-13 2-13b ，解得b =-249520，∴y =-140x 2-249520x ，∵GH ∥CF ，∴△AGH ∽△ACF ，∴AH AF =AG AC ，即AH 13=812，解得AH =263，把x =-263代入得，y =-140×-263 2-249520×-263 =409180，∵409180>2.2，∴足球能越过人墙．5类型五、喷水问题5(2023·山东潍坊·统考一模)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度OH =1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度DE =2米，竖直高度EF =1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l 的距离OD 为d 米．(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC ；(2)求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带(即矩形DEFC 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内)，求d 的取值范围．【答案】(1)6米(2)y=-18x+22+2，2,0(3)2≤d≤22【解析】(1)解：如图，由题意得A2,2是上边缘抛物线的顶点，则设y=a x-22+2．又∵抛物线经过点0,1.5，∴4a+2=1.5，∴a=-18．∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-18x-22+2．当y=0时，-18x-22+2=0，∴x1=6，x2=-2(舍去)．∴喷出水的最大射程OC为6m．(2)法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线x=2，∴点0,1.5的对称点为4,1.5，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴将点C向左平移4m得到点B的坐标为2,0法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，∴可设y=-18x+t-22+2，将点0,1.5代入得t1=4，t2=0(舍去)∴下边缘抛物线的关系式为y=-18x+22+2，∴当y=0时，0=-18x+22+2，解得x1=2，x2=-6(舍去)，∴点B的坐标为2,0；(3)解：如图，先看上边缘抛物线，∵EF=1，∴点F的纵坐标为1．当抛物线恰好经过点F时，-18x-22+2=1．解得x=2±22，∵x>0，∴x=2+22．当x>0时，y随着x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥1，则x≤2+22．∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+22．∵DE=2，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+22-2=22．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB ≤d ，∴d 的最小值为2．综上所述，d 的取值范围是2≤d ≤22．6类型六、几何动点问题1例6．(2023·山东青岛·统考一模)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别是线段CD 和AD 上的动点．点P 以2cm/s 的速度从点D 向点C 运动，同时点Q 以1cm s 的速度从点A 向点D 运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ 沿AD 翻折得到QP ，连接PP 交直线AD 于点E ，连接AC 、BQ ．设运动时间为t s ，回答下列问题：(1)当t 为何值时，PQ ∥AC ？(2)求四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式；(3)是否存在某时刻t ，使点Q 在∠PP D 平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t =409(2)S =35t 2-425t +72(3)存在，t =5【解析】(1)解：过点A 作AK ⊥CD 于点K ，∵∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴由勾股定理得AC =AB 2+BC 2=10，∵AD =10cm ，∴AC =AD ，∴△ACD 是等腰三角形，∴CD =2CK ，又∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =∠AKC =90°，∴四边形ABCK 是矩形，∴CK =AB =8，∴CD =16，若PQ ∥AC ，∴DP DC =DQ DA，由题意得，DP =2t ,AQ =t 则DQ =10-t ，∴2t 16=10-t 10，解得t =409，所以，t =409时，PQ ∥AC ；(2)过点Q 作QT ⊥CD ，交CD 于点T ，交AB 于点H ，∴AK =HT =BC =6，由(1)知CK =DK =8，AD =10，∴cos ∠D =DK AD =45，∴sin ∠D =AK AD=35=QT DQ =QT 10-t ，∴QT =6-35t ，∴QH =6-6-35t =35t ，∵四边形BCPQ 的面积=S ΔABC +S ΔACD -S ΔPQD -S ΔABQ =12⋅AB ⋅BC +12⋅CD ⋅AK -12⋅DP ⋅QT -12⋅AB ⋅QH ∴S =12×8×6+12×16×6-12⋅2t ⋅6-35t -12×8⋅35t ，整理得S =35t 2-425t +72，即四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式为S =35t 2-425t +72；(3)如图，设PP 交AD 于点E ，过点Q 作QF ⊥DP 于点F ，由折叠的性质得∠ADP =∠ADP ，PP ⊥AD ，∵AD 平分∠PDP ，QT ⊥PD ,QF ⊥P D ，∴QT =QF =6-35t ,∵点Q 在∠PP D 平分线上，PP ⊥AD ,QF ⊥P D ，∴QF =QE =6-35t ，∴DE =DQ +EQ =10-t +6-35t =16-85t ，∵cos ∠EDP =DE DP=45，即16-85t 2t =45，解得t =5，经检验t =5是分式方程的解且符合题意，所以t =5时，点Q 在∠PP D 平分线上．7类型七、图形运动问题7(2023·天津·校联考一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形AOBC 是正方形，顶点A -4，0 ，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第二象限，△MON 的顶点M 0，5 ，点N 5，0 ．(1)如图①，求点B ，C 的坐标；(2)将正方形AOBC 沿x 轴向右平移，得到正方形A O B C ，点A ，O ，B ，C 的对应点分别为A ，O ，B ，C ．设OO =t ，正方形A O B C 与△MON 重合部分的面积为S ．①如图②，当1<t ≤4时，正方形A O B C 与△MON 重合部分为五边形，直线B C 分别与y 轴，MN 交于点E ，F ，O B 与MN 交于点H ，试用含t 的式子表示S ；②若平移后重合部分的面积为92，则t 的值是_______(请直接写出结果即可)．【答案】【答案】(1)B 0，4 ，C -4，4(2)①S =-12t 2+5t -12；②5-15或6【解析】(1)解：由A -4,0 ，得AO =4，∵四边形AOBC 正方形，∴OB =BC =4．∴B 0，4 ，C -4，4 ；(2)解：①∵M 0，5 ，N 5，0 ，∠MON =90°，∴OM =ON =5，∠OMN =∠ONM =45°．由平移知，四边形A O B C 是正方形，得B C =4，∠B =∠B O O =90°．∴四边形OO B E 是矩形．∴B E =OO =t ，OE =B O =4，∠B EM =90°．∴∠EFM =45°，∴EF =ME =1，B F =t -1．∵∠B FH =∠EFM =45°，∴∠B HF =45°．∴B H =B F =t -1．当1<t ≤4时，S =OO ⋅OE -12B H ⋅B F =4t -12(t -1)2=-12t 2+5t -12．②当1<t ≤4时，由题意得S =-12t 2+5t -12=92，解得t=5-15或5+15(舍去)；当t=5时，点O 与点N重合，此时S=12×4×4=8>92，∴5<t<9，∴A N=A F=9-t，由题意得129-t2=92，解得t=6或t=12(舍去)；综上，t的值是5-15或6．故答案为：5-15或6．题型二:压轴题速练1一．解答题(共24小题)1(2023•宁波一模)抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)，部分对应值如下表：每件售价(元)91113每天的销售量(件)1059585(1)求y与x的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)13元；(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，(8≤x≤15)，将(9，105)，(11，95)代入得105=9k+b95=11k+b，解得k=-5b=150，∴y=-5x+150，∴y与x的函数关系式为y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)由题意知，利润w=(x-8)(-5x+150)=-5(x-19)2+605，令w=425，则-5(x-19)2+605=425，解得x=13或x=25(不合题意，舍去)，∴每件消毒用品的售价为13元；(3)由(2)知w=-5(x-19)2+605(8≤x≤15)，∵-5<0，∴当8≤x≤15时，w随着x的增大而增大，∴当x=15时，w=525，此时利润最大，∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．2(2023•莱西市一模)某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x(元/件)，周销售量y(件)的三组对应值数据．x407090y1809030(1)求第一次每件玩具的进价；(2)求y关于x的函数解析式；(3)售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．【答案】(1)第一次每件玩具的进价为20元(2)y=-3x+300(3)当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800元【解析】解：(1)设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为(1+20%)m元，由题意得，3000 m -3000(1+20%)m=25，解得m=20，经检验m=20是原方程的解且符合题意，答：第一次每件玩具的进价为20元；(2)设y=kx+b，把x=40，y=180；x=70，y=9分别代入得，40k+b=180 70k+b=90，解得k=-3b=300，∴y=-3x+300，即y关于x的函数解析式是y=-3x+300；(3)W=y(x-20)=(-3x+300)(x-20)=-3x2+360x-6000=-3(x-60)2+4800，∵a=-3<0，抛物线开口向下，∴当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800．3(2023•天山区一模)一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x(天)，通过一个月(30天)的试销，该种水果的售价P(元/千克)与销售时间x(天)满足如图所示的函数关系(其中0≤x≤30，且x为整数)．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．(1)直接写出售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式；(2)求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．【解析】解：(1)当0≤x≤20时，设售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式为P=kx+b，把(0，34)，(20，24)代入得20k+b=24b=34，j解得k=-12b=34，∴P=-12x+34；由函数图象可知当20<x≤30时，P=24；综上所述，P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)设第x天的利润为W，∵该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，∴第x天的销售量为60+4(x-1)=(4x+56)千克，当0≤x≤20时，∴W=-12x+34-16(4x+56)=-2x2+72x-28x+1008=-2x2+44x+1008=-2(x-11)2+1250∵-2<0，∴当x=11时，W最大，最大为1250；当20<x≤30时，W=(24-16)(4x+56)=32x+448，∵32>0，∴当x=30时，W最大，最大为32×30+448=1408；∵1408>1250，∴试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．4(2023•武汉模拟)某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s(单位：m)随运动时间x(单位：s)变化的数据，整理得下表．滑行时间x/s01234滑行距离s/m06142436经验证小明离A 处的距离s 与运动时间x 之间是二次函数关系．小明出发的同时，小华在距赛道终点30m 的B 处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s 的速度飞向小明，无人机离A 处的距离y (单位：m )与运动时间x (单位：s )之间是一次函数关系．(1)直接写出s 关于x 的函数解析式和y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？​【答案】(1)s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)小明出发8s 与无人机相遇．【解析】解：(1)设s 关于x 的函数解析式为s =ax 2+bx +c ，将(0，0)，(1，6)，(2，14)代入得：c =0a +b +c =64a +2b +c =14 ，解得a =1b =5c =0，∴s =x 2+5x ；根据题意得y =150-30-2x =-2x +120，∴s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)在s =x 2+5x 中，令s =150得：150=x 2+5x ，解得x =10或x =-15(舍去)，∴小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)由x 2+5x =-2x +120得：x =8或x =-15，∴小明出发8s 与无人机相遇．5(2023•邯郸模拟)将小球(看作一点)以速度v 1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v 1(m/s )与时间t (s )的积，另一部分与时间t (s )的平方成正比．若上升的初始速度v 1=10m/s ，且当t =1s 时，小球达到最大高度．(1)求小球上升的高度y 与时间t 的函数关系式(不必写范围)，并写出小球上升的最大高度；(2)如图，平面直角坐标系中，y 轴表示小球相对于抛出点的高度，x 轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v 2(m/s )，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式与(1)中的解析式相同．①若v 2=5m/s ，当t =32s 时，小球的坐标为　152，154 ，小球上升的最高点坐标为(5，5)；求小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高3536m 的小窗户PQ ，其上沿P 的坐标为6，154，若小球恰好能从窗户中穿过(不包括恰好去中点P ，Q ，墙厚度不计)，请直接写出小球的水平速度v 2的取值范围．【答案】(1)y =-5t 2+10t ，小球上升的最大高度是5m ；(2)①152，154 ；(5，5)；y =-15x 2+2x ；②185<v 2<4．【解析】解：(1)根据题意可设y =at 2+10t ，∵当t =1s 时，小球达到最大高度，∴抛物线y =at 2+10t 的对称轴为直线t =1，即-102a=1，解得a =-5，∴上升的高度y 与时间t 的函数关系式为y =-5t 2+10t ，在y =-5t 2+10t 中，令t =1得y =5，∴小球上升的最大高度是5m ；(2)①当t =32s 时，y =-5×32 2+10×32=154，x =v 2t =5×32=152，∴小球的坐标为152，154；由(1)可知，t =1s 时，取得最大高度，x =v 2t =5×1=5，∴小球上升的最高点坐标为(5，5)；由题意可知，x =v 2t ，∴t =x v 2=x 5，∴y =-5×x 5 2+10×x 5=-15x 2+2x ；∴小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式是y =-15x 2+2x ；故答案为：152，154 ；(5，5)；②∵PQ =3536m ，P 的坐标为6，154 ，∴Q 6，259；当小球刚好击中P 点时，-5t 2+10t =154，解得t =1.5或t =0.5，∵t >1，∴t =1.5，此时v 2=6t=4m/s ，当小球刚好击中Q 点时，-5t 2+10t =259，解得t =53或t =13，∵t >1，∴t =53，此时v 2=6t =185m/s ，∴v 2的取值范围为：185<v 2<4．6(2023•崂山区一模)跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P 处起滑，在助滑道PE 上加速，从跳台E 处起跳，最后落在山坡MN 或者水平地面上．运动员从P 点起滑，沿滑道加速，到达高度OE =42m 的E 点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM =38m ，ON =114m ，设MN 所在直线关系式为y =kx +b ．甲运动员起跳后，与跳台OE 水平距离xm 、竖直高度ym 之间的几组对应数据如下：水平距离x /m 010203040竖直高度y /m4248504842(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；(2)运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE 水平距离为50m ，即得到60分，每比50m 远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m 近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．风速得分：由逆风或者顺风决定．甲运动员动作分、风速加分如下表：距离分动作分风速加分50-2.5请你计算甲运动员本次比赛得分．【答案】(1)y =-150x 2+45x +42；(2)甲运动员本次比赛得分为147.5分．【解析】解：(1)∵抛物线经过点(10，48)，(30，48)，∴对称轴是：直线x =10+302=20，∴顶点坐标为(20，50)，设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =a (x -20)2+50，将(0，42)代入得：a (0-20)2+50=42，∴a =-150，∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =-150(x -20)2+50=-150x 2+45x +42；(2)根据题意可得，当y =0时，即-150(x -20)2+50=0，解得：x 1=70，x 2=-30(舍)，则60+2×(70-50)+50+(-2.5)=147.5，所以甲运动员本次比赛得分为147.5分．7(2023•镇平县模拟)为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED 和矩形ABCD 构成．已知矩形的长BC =12米，宽AB =3米，抛物线最高点E 到地面BC 的距离为6米．(1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED 的解析式；(2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y 轴对称的支撑柱PQ 和NM ，如图②所示．①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN ，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN ，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值，请你帮管理处计算一下．【答案】(1)抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①两根支撑柱之间的水平距离为6米；②“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值为18米．【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =12(米)，∴点A (-6，3)，点D (6，3)，根据题意和图象可得，顶点E 的坐标为(0，6)，∴可设抛物线AED 的解析式为：y =ax 2+6，把点A (-6，3)代入解析式可得：36a +6=3，解得：a =-112，∴抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①当y =5.25时，-112x 2+6=5.25，解得x =±3，3-(-3)=3+3=6(米)，∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；②设N点坐标为m，-112m2+6，则MQ=2m，MN=-112m2+6，∴w=2m+2-112m2+6=-16m2+2m+12=-16(m-6)2+18，∵-16<0，∴当m=6时，w有最大值，最大值为18，∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为18米．8(2023•宝应县一模)科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x(分钟)满足关系y=2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．(1)当x=8时，注意力指数y为84，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的函数关系式是y=-18x2+4x+60；(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟)(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？(精确到1分钟)(参考数据：6≈2.449)【答案】(1)84，y=-18x2+4x+60；(2)在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．【解析】解：(1)根据题意，把x=8代入y=2x+68可得：y=84，由题意可知，抛物线的顶点坐标为(16，92)，∴可设抛物线的解析式为：y=a(x-16)2+92，把(8，84)代入可得：64a+92=84，解得：a=-1 8，∴y=-18(x-16)2+92=-18x2+4x+60，故答案为：84，y=-18x2+4x+60；(2)由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；当8<x≤45是，则-18x2+4x+60≥80，即-18(x-16)2+92≥80，整理得：(x-16)2≤96，解得：8<x≤16+46，∴16+46-6=10+46≈20(分钟)，答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，∵10+46<24，∴0≤t<6，要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则当x=t和当x=t+24时对应的函数值相同，即2t+68=-18(t+24-16)2+92，整理得：(t+16)2=384，解得：t1=86-16，t2=-86-16(舍)，∴t≈4，答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．9(2023•昭阳区一模)新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【答案】(1)y=-2x2+20x+400；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．【解析】解：(1)由题意可得：销售量=(20+2x)套，则y=(20+2x)(140-x-100)=(2x+20)(40-x)=-2x2+60x+800，∴y与x的函数关系式为：y=-2x2+60x+800；(2)由题意可得：当y=1200时，即-2x2+60x+800=1200，解得：x1=10，x2=20，∴140-10=130(元)，140-20=120(元)，答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)由(1)可知：y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250，∵-2<0，∴当x=15时，y有最大值，最大值为1250，此时，售价=140-15=125(元)，答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．10(2023•大丰区一模)比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P(看成一个点)从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d(m)与运动时间t(s)之间的函数表达式是：d=7t，在竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；(2)当t=1时，求小铁球P此时的坐标；(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)(7，39.2)；(3)y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．【解析】解：(1)根据题意可得，OA的高度为44.1m，且竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2，∴当h=44.1时，小铁球落到地面，∴4.9t2=44.1，解得：t1=3，t2=-3(舍)，答：小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)当t=1时，则d=7×1=7，h=4.9×12=4.9，∴y p=44.1-4.9=39.2，∴小铁球P此时的坐标为(7，39.2)；(3)由(1)可知小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒，∴d=7×3=21，∴OB=21(m)，即B(21，0)，根据题意可得，顶点坐标为A(0，44.1)，∴可设抛物线解析式为：y=ax2+44.1，将点B(21，0)代入得：441a+44.1=0，解得：a=-1 10，∴抛物线的函数表达式为：y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．11(2023•南昌模拟)一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m(即DE=2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m(即F到DE的距离为2.5m)，达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．。

二次函数应用题专题(带答案)

二次函数应用题专题(带答案)

二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。

4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。

三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。

2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。

3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。

XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。

2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。

3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。

评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。

练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。

在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。

例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。

二次函数的应用练习题及答案

二次函数的应用练习题及答案

二次函数的应用练习题及答案一：知识点利润问题：总利润=总售价–总成本总利润=每件商品的利润×销售数量二：例题1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．2、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门,问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：房间每天的入住量y关于x的函数关系式．该宾馆每天的房间收费z关于x的函数关系式．该宾馆客房部每天的利润w关于x的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x，日销售量为y．写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；设日销售的毛利润为P，求出毛利润P与销售单价x之间的函数关系式；在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？7、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．O若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？8、为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y与销售单价x之间的函数关系如图所示．求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？9、大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P与销售时间x之间有如下关系：P=-2x+80；又知前20天的销售价格Q1 与销售时间x之间有如下关系：Q1?1x?30 ，后10天的销售价格Q与2销售时间x之间有如下关系：Q2=45．试写出该商店前20天的日销售利润R1和后l0天的日销售利润R2分别与销售时间x之间的函数关系式；请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m 与时间t的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格y1与时间t的函数关系式为y1?t?25，后20天每天的价格y2与时间t的函数关系式为y2??1t?40。

2024-2025学年 第22章 二次函数 专题02 实际应用问题 常考题型汇总(原卷版)

2024-2025学年 第22章 二次函数 专题02 实际应用问题 常考题型汇总(原卷版)

2024-2025学年第22章二次函数专题02 实际应用问题常考题型汇总（原卷版）一．选择题1．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（）A．4m B．5m C．D．第1题第2题2．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m3．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（）A．13米B．14米C．15米D．16米第3题第4题4．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m5．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C 距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（）米．A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.66．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（）A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．50 B．90 C．80 D．708．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论：①x的取值范围为5≤x≤10；②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；③矩形菜园ABCD的面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第8题第9题9．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（）A．10m B．12m C．24m D．48m10．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF长为（）A．米B．16米C．米D．米第10题第11题11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（）A．3 B．6 C．8 D．912．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，第12题第13题13．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（）A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（）A．12m B．11m C．10m D．9m二．填空题（共14小题）15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为．第15题第16题16．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB ＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为．17．如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．第17题第18题19．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m 的取值范围是．第19题第21题20．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣5x+150（10≤x≤30），则利润w和售价x之间的函数关系为，该商品售价定为元/件时，每天销售该商品获利最大．21．如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水半放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的最大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为米．22．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为米．第22题第23题23．某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为米．24．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为．第24题第25题25．如图是某拱桥的截面示意图．已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥面BF∥OA，抛物线最高点E离路面距离EF＝10米，BC＝120米，CD⊥BF，O，D，B三26．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB ＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱最高点到桥面的距离OC为m．27．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系y＝﹣，则小明这次实心球训练的成绩为．28．如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是（填写正确结论序号）．①图1抛物线型拱桥的函数表达式y＝﹣x2．②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．三．解答题29．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求该商品原来的进价；（2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元；（3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并30．电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且50≤x≤100）．部分数据如下表所示：销售单价x（元/个）55 60 70销售量y（个）220 200 160根据以上信息，解答下列问题：（1）求y与x的函数关系式；（2）求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值；（3）电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围．31．某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？（3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？32．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的函数表达式；（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．33．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式＜不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈取1.4）34．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮建立如图的平面直角坐标系．（1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？35．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B 之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．36．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；（3）若d＝2.2米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．37．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，着火点A距离点B的水平距离为10m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）．（1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式．（2）若着火点A高出地面3m，①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值．38．跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手A、B离地面高度都为1米，现以地面为x轴，过点A向地面作的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB＝6米，绳子甩到最高处C点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内．（1）求此时绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离A点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？（3）若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？39．某宾馆有100个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间．（1）用含x的式子表示下列各量．①供游客居住的房间数是间；②每个房间每天的定价是元；③该宾馆每天的总利润w是元；（2）若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时，求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？（3）该宾馆计划接受130吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？40．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y （万件）的对应关系如表：x…20 26 28 31 35 …y…20 14 12 9 5 …（1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．①求2023年该特产的售价；②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？41．掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．42．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线y＝a（x﹣）2+4的一部分，落点B距离喷水柱底端O处3.5米．（1）写出水流到达的最大高度，并求a的值；（2）在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱OA的高度，使水流落在宽（EF）为米，内侧（点E）距点O为4米的环形区域内（含E，F），直接说出喷水柱OA的高度是变大还是变小，并求它变化的高度h（h＞0）（米）的取值范围．43．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.8米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；（3）若d＝3.2米，则灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．44．海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m 的小球．（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m？（2）求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m？（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD＝6m，高DE＝4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围．45．如图①为某悬索桥的示意图，其两座桥塔间的主索的形状近似于抛物线，桥塔与锚锭间的主索形状近似于直线，吊索间距均为2米，桥塔和吊索均与水平桥面垂直．如图②，已知桥塔AD和BC的高度为10米，水平桥长AB为32米，桥塔间的主索最低点P距桥面2米，锚锭E，F到桥塔AD，BC的距离均为16米，E，A，B，F四点共线，以CD为x轴，CD的垂直平分线为y轴（恰好经过点P），建立平面直角坐标系xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）为了满足桥梁的使用安全性，长度不小于4米的吊索需要使用密度更高、抗风性能更好的新型吊索，求这座悬索桥所需新型吊索的数量；（3）对桥梁进行维护检修时，发现需要在桥塔AD左右的主索上各加一条竖直钢索进行加固，要求桥塔AD左右的加固钢索相距8米，则最少需要准备加固钢索多少米？46．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．47．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．48．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，求今年可获得最大毛利润。

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，经市场调查发现，日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80，当x＝50时，y＝100.（1）求y与x的函数解析式；（2）若该公司销售该原料日获利为w（元），销售单价为x（元），那么当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？2．已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量w（件）与售价x（元）的相关信息如下表（符合一次函数关系）：售价（元/件）100110120130…月销售量（件）200180160140…（1）销售该品牌床单每件的利润是元（用含x的式子表示）．（2）用含x的代数式表示月销量w．（3）设销售该品牌床单的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？3．某商场销售甲、乙两种产品，其中甲商品进价为20元．在销售过程中发现，甲商品每天的销售利润w1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：w1＝－x2＋bx－1260，当x＝30时，w1＝330；乙商品每天的销售利润w2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系w2＝－z2＋102z＋c，当z＝50时，w2＝440．其中x、z均为整数，并且销售单价均高于进价．（1）求b，c的值；（2）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5倍，当两种商品每天获得的利润相同时，甲、乙两种商品销售单价分别为多少；（3）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2倍，当这两种商品每天销售利润的和最大时，请直接写出此时甲的销售单价．4．某网店经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该商品每周的销售量(y件)与销售单价(x元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．（1）请求出y与x的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，①写出w与x的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？5．某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？6．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；（2）请写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？7．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现.在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元.日销售量将减少20千克.（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多.8．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件;如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件。

二次函数的应用测试题(含答案)

二次函数的应用测试题(含答案)

二次函数的应用测试题(含答案)一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2 +10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2 C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P 的坐标是_________．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A． 1米 B．3米 C．5米 D． 6米考点：二次函数的应用．分析：直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．解答：解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A． 30万元 B．40万元 C．45万元 D． 46万元考点：二次函数的应用．分析：首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，∴最大利润为：= =46（万元），故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒考点：二次函数的应用．分析：根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得到关于a，b的关系式，代入到x=﹣中求x的值．解答：解：当x=7时，y=49a+7b；当x=14时，y=196a+14b．根据题意得49a+7b=196a+14b，∴b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．因为10最接近10.5．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A． y= （x+3）2 B．y= （x+3）2 C．y= （x﹣3）2 D． y= （x﹣3）2考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a= ，故右边抛物线的解析式为y= （x﹣3）2．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． 2s B．4s C．6s D． 8s考点：二次函数的应用．分析：礼炮在点火升空到最高点处引爆，故求h的最大值．解答：解：由题意知礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是：，∵＜0∴当t=4s时，h最大为40m，故选B．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．6．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A． 2米 B．5米 C．6米 D． 14米考点：二次函数的应用．分析：把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度．解答：解：h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5（t2﹣4t）﹣14=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14=﹣5（t﹣2）2+6，﹣5＜0，则抛物线的开口向下，有最大值，当t=2时，h有最大值是6米．故选：C．点评：本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键．7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． 3s B．4s C．5s D． 6s考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．解答：解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t=﹣=﹣=4s．故选B．点评：考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A． 40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．解答：解：当刹车距离为5m时，即可得y=5，代入二次函数解析式得：5= x2．解得x=±10，（x=﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般．二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x= ，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．解答：解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为25元．考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解答：解：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P 的坐标是（，5）．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．解答：解：线段AB的解析式是y= x+1（0≤x≤4），此时w=x（x+1）= +x，则x=4时，w最大=8；线段AC的解析式是y= x+1（0≤x≤2），此时w=x（x+1）= +x，此时x=2时，w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），此时w=x（﹣2x+10 ）=﹣2x2+10x，此时x= 时，w最大=12.5 ．综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．点评：此题综合考查了二次函数的一次函数，能够熟练分析二次函数的最值．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米．考点：二次函数的应用．分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．解答：解：∵函数解析式为：，∴y最值= = =2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为（60+x）件（用含x的代数式表示）．考点：二次函数的应用．分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．解答：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，∴，解得：，∴w=﹣x2+3600，设销售量为a，则a（60﹣x）=w，即a（60﹣x）=﹣x2+3600，解得：a=（60+x ），故答案为：（60+x）．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论；（2）由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得32﹣×4=80﹣2x．答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；（2）由题意，得（x﹣20）（80﹣2x）=150，解得：x1=25，x2=35．∵x≤28，∴x=25．答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．点评：本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键．16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．点评：本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x=18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是19 2元．（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．点评：本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？考点：二次函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：（1）由题意可得出：yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000= （0﹣60）2+m，解得：m=100，∴yB= （x﹣60）2+100，当x=40时，yB= ×（40﹣60）2+100，解得：yB=200，yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴yA=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，yB= （44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值．解答：解：（1）设每箱应涨价x元，则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600，整理，得x2﹣15x+50=0，解这个方程，得x1=5，x2=10，∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，答：每箱产品应涨价5元．（2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x），整理得：y=﹣2x2+30x+500，配方得：y=﹣2（x﹣7.5）2+612.5，当x=7.5元，y可以取得最大值，∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．点评：此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量．20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．点评：本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．。

中考数学真题《二次函数图象性质与应用》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《二次函数图象性质与应用》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《二次函数图象性质与应用》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（55题）一 、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =--- 下列说法正确的是（ ） A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－32．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x 向右平移3个单位 再向上平移4个单位 得到的抛物线是（ ）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．b 恒大于0B ．a b 同号C ．a b 异号D ．以上说法都不对4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时 函数的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点 下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的对称轴为直线1x =B ．抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．A B 两点之间的距离为5D ．当1x <-时 y 的值随x 值的增大而增大6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，， 其中101x << 下列四个结论：①0abc < ①0a b c ++> ①230b c +< ①不等式22cax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（ ） A ．10B ．12C ．13D ．159．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）关于直线1x =对称．下列五个结论：①0abc > ①20a b += ①420a b c ++> ①2am bm a b +>+ ①30a c +>．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量） 当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a11．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．<0abcB ．420a b c -+<C ．30a c +=D ．20am bm a ++≤（m 为实数）12．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线254y x kx k =-++-与x 轴的一个交点为(,0)A m 若21m -≤≤，则实数k 的取值范围是( ) A ．2114k -≤≤ B ．k ≤214-或1k ≥ C ．5k -≤≤98D ．5k ≤-或k ≥9813．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象与一次函数y x b =-+的图象如图所示，则函数21y x bx k =-+-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示 二次函数2(y ax bx c a b c =++、、为常数 0)a ≠的图象与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -．有下列结论：①0abc > ①若点()12,y -和()20.5,y -均在抛物线上，则12y y < ①50a b c -+= ①40a c +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2023·四川遂宁·统考中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示 对称轴为直线2x =-．下列说法：①0abc < ①30c a -> ①()242a ab at at b -+≥（t 为全体实数） ①若图象上存在点()11,A x y 和点()22,B x y 当123m x x m <<<+时 满足12y y =，则m 的取值范围为52m -<<-．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0 对称轴为直线=1x - 下列四个结论：①<0abc ①420a b c -+< ①30a c += ①当31x -<<时20ax bx c ++< 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数2(31)3(0)y ax a x a =-++≠ 下列说法正确的是( ) A ．点(1,2)在该函数的图象上 B ．当1a =且13x -≤≤时 08y ≤≤ C ．该函数的图象与x 轴一定有交点D ．当0a >时 该函数图象的对称轴一定在直线32x =的左侧 18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线1y mx n =+与抛物线223y ax bx =+-相交于点A B ．结合图象 判断下列结论：①当23x -<<时 12y y > ①3x =是方程230ax bx +-=的一个解①若()11,t - ()24,t 是抛物线上的两点，则12t t < ①对于抛物线 223y ax bx =+- 当23x -<<时 2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A B 与y 轴交于点C 对称轴为直线=1x - 若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（ ）A ．20a b +=B ．420a b c -+>C ．2x =是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点()11,x y ()22,x y 在抛物线上 当121x x >>-时120y y <<20．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m -、 且12m << 有下列结论：①0b < ①0a b +> ①0a c <<- ①若点1225,,,33C y D y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在抛物线上，则12y y >．其中 正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个21．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足(),2k k 我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数 1t ≠-）总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是（ ） A ．1s <- B ．0s < C ．01s << D ．10s -<<22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc > ①20b c +> ①若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y > ①若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2023·湖南·统考中考真题）已知0m n >> 若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（ ） A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<24．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(60)，对称轴为直线2x =．则下列结论正确的有（ ） ①0abc < ①0a b c -+>①方程20cx bx a ++=的两个根为1211,26x x ==-①抛物线上有两点()11,P x y 和()22,Q x y 若122x x <<且124x x +>，则12y y <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =--->是实数)，则（ ） A ．当2k =时 函数y 的最小值为a - B ．当2k =时 函数y 的最小值为2a - C ．当4k =时 函数y 的最小值为a - D ．当4k =时 函数y 的最小值为2a -26．（2023·湖南·统考中考真题）已知()()111222,,,P x y P x y 是抛物线243y ax ax =++（a 是常数 )0a ≠上的点 现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线2x =- ①点()0,3在抛物线上 ①若122x x >>-，则12y y > ①若12y y =，则122x x +=-其中 正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示 图象经过点()0,2 其对称轴为直线=1x -．下列结论：①30a c +> ①若点()14,y - ()23,y 均在二次函数图象上，则12y y > ①关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个相等的实数根 ①满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x -<<．其中正确结论的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．（2023·山东·统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点” 如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点” 在31x -<<的范围内 若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ） A ．114c -≤< B ．43c -≤<-C ．154c -<<D ．45c -≤<29．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线2y ax c =+经过正方形OABC 的三个顶点A B C 点B 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-30．（2023·湖北·统考中考真题）拋物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．下列结论： ①0abc < ①240b ac -> ①320b c += ①若点()()122P m y Q m y -，，，在抛物线上 且12y y <，则1m ≤-．其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0 对称轴为直线1x = 结合图像给出下列结论： ①0abc > ①2b a = ①30a c +=①关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根①若点()1,m y ()22,y m -+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．132．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x = 且过点()1,0- 顶点在第一象限 其部分图象如图所示 给出以下结论：①0ab < ①420a b c ++> ①30a c +>①若()11,A x y ()22,B x y （其中12x x <）是抛物线上的两点 且122x x +>，则12y y > 其中正确的选项是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①33．（2023·山东枣庄·统考中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示 对称轴是直线1x = 下列结论：①0abc < ①方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3 ①若()1230,,,2y y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点 那么12y y < ①1120a c +> ①对于任意实数m 都有()m am b a b +≥+ 其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．234．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点()11,A x y 在直线319y x =+上 点()()2233,,,B x y C x y 在抛物线241y x x =+-上 若123y y y ==且123x x x <<，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．123129x x x -<++<-B ．12386x x x -<++<-C ．12390x x x -<++<D ．12361x x x -<++<35．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-对称轴为直线1x = 下列论中：①0a b c -+= ①若点()()()1233,,2,,4,y y y -均在该二次函数图象上，则123y y y << ①若m 为任意实数，则24am bm c a ++≤- ①方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x 且12x x <，则121,3x x <->．正确结论的序号为（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①36．（2023·四川·统考中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a b c 是常数且a<0）过()1,0-和()0m ,两点 且34m << 下列四个结论：0abc >① 30a c +>② ③若抛物线过点()1,4，则213a -<<- ④关于x 的方程()()13a x x m +-=有实数根，则其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二 多选题37．（2023·湖南·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（ ）A ．0a >B ．0c >C ．240b ac -<D ．930a b c ++=三 填空题38．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =-++> 若点(,3)P m 在该函数的图象上 且0m ≠，则m 的值为________．39．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池 在池中心竖直安装一根水管 水管的顶端安一个喷水头 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高 高度为3m 水柱落地处离池中心3m 水管长度应为____________．40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线26y x x c =-+与x 轴只有一个交点，则c =________．41．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上 且其对称轴左侧的部分是上升的 那么这个二次函数的解析式可以是________．42．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日 C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场 穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘” 是国际民航中高级别的礼仪）．如图① 在一次“水门礼”的预演中 两辆消防车面向飞机喷射水柱 喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图① 当两辆消防车喷水口A B 的水平距离为80米时 两条水柱在物线的顶点H 处相遇 此时相遇点H 距地面20米 喷水口A B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米 两条水柱的形状及喷水口A ' B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．43．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线22(0)y ax ax b a =-+>经过()()1223,,1,A n y B n y +-两点 若,A B 分别位于抛物线对称轴的两侧 且12y y <，则n 的取值范围是___________．44．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线265y x x =-+与x 轴交于点A B 与y 轴交于点C 点()2,D m 在抛物线上 点E 在直线BC 上 若2DEB DCB ∠=∠，则点E 的坐标是____________．45．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数 0c <）经过(1,1),(,0),(,0)m n 三点 且3n ≥．下列四个结论：①0b <①244ac b a -<①当3n =时 若点(2,)t 在该抛物线上，则1t >①若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则103m <≤． 其中正确的是________（填写序号）．46．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()30A -,顶点为()1,M m - 且抛物线与y 轴的交点B 在()02-，和()03-，之间（不含端点），则下列结论：①当31x -≤≤时 0y ≤①当ABM 33 3a = ①当ABM 为直角三角形时 在AOB 内存在唯一点P 使得PA PO PB ++的值最小 最小值的平方为1893+其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）四 解答题47．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =++图象经过点(1,2)A -和(0,5)B -．(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．y≤-时请根据图象直接写出x的取值范围．(2)当248．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中小明从球门正前方8m的A处射门球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时球达到最高点此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m 现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门才能让足球经过点O正上方2.25m处？49．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验 收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以 飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表． 飞行时间/s t 0 2 4 6 8 …飞行水平距离/m x 0 10 20 30 40 …飞行高度/m y 0 22 40 54 64 …探究发现：x 与t y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m 求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ） 求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．50．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题 请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中 一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出 并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分 淇淇恰在点(0)B c ，处接住 然后跳起将沙包回传 其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标 并求a c 的值(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上 且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包 求符合条件的n 的整数值．51．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者 还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析 下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中 点A C 在x 轴上 球网AB 与y 轴的水平距离3m OA = 2m CA = 击球点P 在y 轴上．若选择扣球 羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+ 若选择吊球 羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现 上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近 请通过计算判断应选择哪种击球方式．52．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中中国队包揽了五个项目的冠军成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度将乒乓球向正前方击打到对面球台乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：(1)在平面直角坐标系xOy中描出表格中各组数值所对应的点(),x y并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm①求满足条件的抛物线解析式(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA乒乓球的运行轨迹形状不变那么为了确保乒乓球既能过网又能落在对面球台上需要计算出OA的取值范围以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB为274cm 球网高CD 为15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA 的值约为1.27cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时 击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．53．（2023·浙江台州·统考中考真题）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲 乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水 此时水面高度为30cm 开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度 获得的数据如下表： 流水时间t /min 0 10 20 30 40水面高度h /cm （观察值） 30 29 28.1 27 25.8任务1 分别计算表中每隔10min 水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“0=t 30h =”是初始状态下的准确数据 水面高度值的变化不均匀 但可以用一次函数近似地刻画水面高度h 与流水时间t 的关系．任务2 利用0=t 时 30h = 10t =时 29h =这两组数据求水面高度h 与流水时间t 的函数解析式．【反思优化】经检验 发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式 存在偏差．小组决定优化函数解析式 减少偏差．通过查阅资料后知道：t 为表中数据时 根据解析式求出所对应的函数值 计算这些函数值与对应h 的观察值之差的平方和．．．．．．记为w w 越小 偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w 值．（2）请确定经过()0,30的一次函数解析式 使得w 的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后 综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度 通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．54．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点 交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点P 使得12PBC ABC S S = 若存在 请直接写出点P 的坐标若不存在 请说明理由．55．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构 它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架 上面覆上一层或多层保温塑料膜 这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成 其中3m AB = 4m BC = 取BC 中点O 过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点 BC 所在直线为x 轴 OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E 求抛物线的解析式(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性 该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT SMNR 若0.75m FL NR == 求两个正方形装置的间距GM 的长(3)如图，在某一时刻 太阳光线透过A 点恰好照射到C 点 此时大棚截面的阴影为BK 求BK 的长．参考答案一 单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =--- 下列说法正确的是（ ） A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－3 【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x = 顶点坐标为()2,3-①30-<①二次函数图象开口向下 函数有最大值 为=3y -①A B D 选项错误 C 选项正确故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质 熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．2．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x 向右平移3个单位 再向上平移4个单位 得到的抛物线是（ ）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--【答案】A【分析】根据“左加右减 上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 向右平移3个单位 再向上平移4个单位 得到的抛物线的函数表达式为：2(3)4y x =-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移 熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．b 恒大于0B ．a b 同号C ．a b 异号D ．以上说法都不对【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程 再列不等式 再分a<0 >0a 两种情况讨论即可．【详解】解：①直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴①对称轴为直线>02b x a=-当a<0时，则>0b当>0a 时，则0b <①a b 异号故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质 熟练的利用对称轴在y 轴的右侧列不等式是解本题的关键．4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时 函数的最大值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2【答案】D 【分析】把抛物线221y x x =--化为顶点式 得到对称轴为1x = 当1x =时 函数的最小值为2- 再分别求出0x =和3x =时的函数值 即可得到答案．【详解】解：①()222112y x x x =--=--①对称轴为1x = 当1x =时 函数的最小值为2-当0x =时 2211y x x =--=- 当3x =时 232312y =-⨯-=①当03x ≤≤时 函数的最大值为2故选：D.【点睛】此题考查了二次函数的最值 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点 下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的对称轴为直线1x =B ．抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．A B 两点之间的距离为5D ．当1x <-时 y 的值随x 值的增大而增大【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式 进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：①二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点①0936a =--①1a =①二次函数解析式为26y x x =+-212524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 对称轴为直线12x =- 顶点坐标为125,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故A B 选项不正确 不符合题意①10a => 抛物线开口向上 当1x <-时 y 的值随x 值的增大而减小 故D 选项不正确 不符合题意 当0y =时 260x x +-=即123,2x x =-=①()2,0B①5AB = 故C 选项正确 符合题意故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 抛物线与坐标轴的交点 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向 对称轴判断出a b 的正负情况 再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0 由对称轴b x 02a=-> 得0b >． ①一次函数y x b =+的图象经过第一 二 三象限 不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质 解答本题的关键是求出a b 的正负情况 要掌握它们的性质才能灵活解题 此题难度不大．7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，， 其中101x << 下列四个结论：①0abc < ①0a b c ++> ①230b c +< ①不等式22c ax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据函数图象可得出a b c 的符号即可判断① 当1x =时 0y <即可判断① 根据对称轴为12b x a=-> 0a >可判断① 21y ax bx c =++ 22c y x c =-+数形结合即可判断①． 【详解】解：①抛物线开口向上 对称轴在y 轴右边 与y 轴交于正半轴①000a b c ><>，，①0abc < 故①正确．①当1x =时 0y <①0a b c ++< 故①错误．①抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于两点()()1020x ，，，其中101x << ①2021222b a ++<-< ①3122b a <-< 当322b a -<时 3b a >- 当2x =时 420y a bc =++=122b ac ∴=-- 1232a c a ∴-->- ①20a c ->①()234342220b c a c c a c a c +=--+=-+=--< 故①正确设21y ax bx c =++ 22c y x c =-+ 如图：由图得 12y y <时 02x << 故①正确．综上 正确的有①①① 共3个故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质 根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．8．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．15【答案】B【分析】根据题意 求得对称轴 进而得出1c b =- 求得抛物线解析式 根据抛物线与x 轴有交点得出240b ac ∆=-≥ 进而得出2b =，则1c = 求得,A B 的横坐标 即可求解． 【详解】解：①抛物线22122y x bx b c =-+-+的对称轴为直线1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭①抛物线经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点 ①23412b bc b -++-= 即1c b =- ①22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+- ①抛物线与x 轴有交点①240b ac ∆=-≥ 即()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭即2440b b -+≤ 即()220b -≤①2b = 1211c b =-=-=①23264,418118b b c -=-=-+-=+-=①()()41238412AB b c b =+---=--=故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性 与x 轴交点问题 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）关于直线1x =对称．下列五个结论：①0abc > ①20a b += ①420a b c ++> ①2am bm a b +>+ ①30a c +>．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向 与y 轴交点以及对称轴的位置可判断a b c 的符号 由此可判断①正确 由抛物线的对称轴为1x = 得到12b a-= 即可判断① 可知2x =时和0x =时的y 值相等可判断①正确 由图知1x =时二次函数有最小值 可判断①错误 由抛物线的对称轴为1x =可得2b a =- 因此22y ax ax c =-+ 根据图像可判断①正确．【详解】①①抛物线的开口向上0.a ∴>①抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴上0.c ∴< 由02b a->得 0b < 0abc ∴>故①正确 ①抛物线的对称轴为1x = ∴12b a-= ∴2b a =-∴20a b += 故①正确①由抛物线的对称轴为1x = 可知2x =时和0x =时的y 值相等．由图知0x =时 0y <①2x =时 0y <．即420a b c ++<．故①错误①由图知1x =时二次函数有最小值2a b c am bm c ∴++≤++2a b am bm ∴+≤+(a b m ax b +≤+）故①错误①由抛物线的对称轴为1x =可得12b a-= 2b a ∴=-①22y ax ax c =-+当=1x -时 23y a a c a c =++=+．由图知=1x -时0,y >30.a c ∴+>故①正确．综上所述：正确的是①①① 有3个故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系 二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量） 当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a 【答案】D【分析】首先根据题意求出对称轴212a x a -=-= 然后分两种情况：0a >和a<0 分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】①二次函数223y ax ax =-+①对称轴212a x a-=-= 当0a >时①当03x <<时对应的函数值y 均为正数①此时抛物线与x 轴没有交点①()22430a a ∆=--⨯<①解得0<<3a当a<0时①当03x <<时对应的函数值y 均为正数①当3x =时 9630y a a =-+≥①解得1a ≥-①10a -≤<①综上所述当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为10a -≤<或0<<3a ．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质 解题的关键是分两种情况讨论．11．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．<0abcB ．420a b c -+<C ．30a c +=D ．20am bm a ++≤（m 为实数）【答案】C 【分析】根据开口方向 与y 轴交于负半轴和对称轴为直线1x =可得00a c ><， 20b a =-< 由此即可判断A 根据对称性可得当2x =-时 0y > 当=1x -时 0y = 由此即可判断B C 根据抛物线开口向上 对称轴为直线1x = 可得抛物线的最小值为a c -+ 由此即可判断D ．【详解】解：①抛物线开口向上 与y 轴交于负半轴①00a c ><，①抛物线对称轴为直线1x = ①12b a-= ①20b a =-<。

中考数学总复习《二次函数的实际应用-几何问题》练习题附带答案

中考数学总复习《二次函数的实际应用-几何问题》练习题附带答案

中考数学总复习《二次函数的实际应用-几何问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF△AE交△BCD的外角平分线于F，设BE＝x，△ECF的面积为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE△EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1 B．y=x﹣1C．y=x2﹣x+1D．y=x2﹣x﹣14．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m²A．45B．83C．4D．565．抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m ＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为√34+√2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．如图，在△ABC中，△B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1B．2C．3D．47．如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，连结AC，BC．在x轴上是否存在点N，使以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的所有N点的坐标为（）A．N1(73，0)B．N1(0，0)C．N1(73，0)D．N1(73，0)8．如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 √3，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l△AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l 扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．如图所示，用长10m的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂）．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（）A．50B．50πC．508+πD．50 16+π10．如图，线段AB=10，点C、D在AB上AC=BD=1.已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA 、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.设点P的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为S.则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．在Rt△ABC中，△C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为()．A．S=12a 2−8a B．S=−12a2+8a C．S=a2−16a D．S=−a2+16a12．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．-23B．-12C．-2D．-√23二、填空题(共6题；共6分)13．如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是BC上一点，F是CD上一点，且AE=AF.设S△AEF=y，EC=x.则y与x的函数关系式.14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大.15．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，则无盖底盒的高为cm.16．如图，点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为．17．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ΔACD和ΔBCE，那么DE长的最小值是.18．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是米．三、综合题(共6题；共55分)19．如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，点D在边AB上（不与点B重合），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE．（1）如图2，当BD=2时①求正方形CDEF的边长；②求证：BE=BC；（2）当点D在AB上运动时，求△BDE面积的最大值．20．已知抛物线L1：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）.（1）求抛物线L1的表达式；（2）平移抛物线L1，设平移后的抛物线为L2，抛物线L2的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？21．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD.（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD≤MN，设AD=x米.①若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；②求矩形菜园ABCD面积的最大值；（2）如图2，若a=20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD面积的最大值是米2.22．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x= −1 2．（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．23．在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k−5)x−(k+4)的图象交x轴于点A(x1， 0)、B(x2， 0)且(x1+1)(x2+1)=−8．（1）求二次函数解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．24．如图，抛物线y1=ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2=kx+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为(2，3)，连接AM，BM.（1）a=，c=，k=（直接写出结果）；（2）当y1<y2时，则x的取值范围为（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得ΔABP的面积最大？若存在，求出ΔABP的最大面积及点P坐标.参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】y=−12x2+4x14．【答案】15015．【答案】516．【答案】（2，﹣1）或（2，2）17．【答案】118．【答案】√519．【答案】（1）解：①如图∵AB=8，AC=6∴AB2+AC2=BC2∴△BAC是直角三角形∴∠BAC=90°∵BD=2∴AD=6在Rt△ADC中CD=√AD2+AC2=√62+62=6√2；②由①可知∠ACD=45°∵四边形CDEF是正方形∴∠EDC=90°∴∠EDG=45°∴∠BDE=∠BDC=135°在△EBD 和△CBD 中{ED =CD ∠BDE =∠BDC BD =BD∴△EBD ≌△CBD(SAS)∴BE =BC ．（2）解：过E 作EG ⊥BA 交BA 的延长线于G∵∠EDA +∠CDA =90° ∴∠CDA =∠DEG在△CDA 和△DEG 中{∠CAD =∠DGE ∠CDA =∠DEG ED =DC∴△CDA ≌△DEG(AAS)∴EG =AD设BD 长为x ，则EG =AD =8−xS △BDE =12BD •EG =12x(8−x) =−12(x −4)2+8(0≤x ≤8) ∵−12<0∴当x =4时，S 最大值=8．20．【答案】（1）解：抛物线 L 1 ：y ＝ x 2+bx +c 经过点（2，﹣3），点（0，﹣3）.代入得 {c =−34+2b +c =−3 解得 {b =−2c =−3∴抛物线 L 1 的表达式为：y ＝ x 2−2x −3 ； （2）解：由题意得，M （2，﹣3），N （2，﹣8） ∴MN△y 轴，MN ＝5∵PQ△MN△y 轴∴当PQ ＝MN ＝5时，四边形MNPQ 为平行四边形.设点Q （m ，0），则点P 的坐标为（m ，﹣5）要使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形只需PN ＝MN ＝5∴(m −2)2+(−5+8)2=52解得 m 1 ＝6， m 2 ＝﹣2∴点P 的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）.∵抛物线 L 1 :y ＝ x 2−2x −3 ＝ (x −1)2−4∴抛物线 L 1 的顶点坐标为（1，﹣4）∴①当点P 的坐标为（6，﹣5）时，6﹣5＝1，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线 L 2 ； ②当点P 的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2﹣1＝﹣3，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线 L 2 .21．【答案】（1）①∵AD =xm ，则 AB =12（100−x ）m 根据题意得 x ·12（100−x ）=450 ，解得x 1=90，（不合题意舍去） x 2=10答：AD 的长为10m ；②设AD=xm∴S =12x （100−x ）=−12（x −50）2+1250 当a≥50时，则x=50时，S 的最大值为 1250 ；当0＜a ＜50时，则当0＜x≤a 时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为 50a −12a 2 综上所述，当a≥50时，S 的最大值为1250m 2；当0＜a ＜50时，S 的最大值为 (50a −12a 2)m 2 （2）90022．【答案】（1）解：设抛物线的解析式 y =a(x +12)2+k 把A （2，0）、C （0，3）代入得： {254a +k =014a +k =3 解得： {a =−12k =258∴y =−12(x +12)2+258即 y =−12x 2−12x +3 （2）解：由y=0得 −12(x +12)2+258=0 ∴x 1=2，x 2=﹣3∴B （﹣3，0）①CM=BM 时∵BO=CO=3 即△BOC 是等腰直角三角形∴当M 点在原点O 时，△MBC 是等腰三角形∴M 点坐标（0，0）②如图所示：当BC=BM 时在Rt△BOC 中，BO=CO=3由勾股定理得BC= √OC 2+OB 2∴BC= 3√2∴BM= 3√2∴M 点坐标（ 3√2−3，0)综上所述：M 点坐标为：M 1（ 3√2−3，0) ，M 2（0，0）．23．【答案】（1）解：由已知 x 1 ， x 2 是 x 2+(k −5)x −(k +4)=0 的两根，∴{x 1+x 2=−(k −5)x 1.x 2=−(K +4)又∵(x 1+1)(x 2+1)=−8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0∴−(k +4)−(k −5)+9=0∴k =5∴y =x 2−9 为所求；（2）解：由已知平移后的函数解析式为：y =(x −2)2−9 ，且 x =0 时 y =−5∴C(0， −5)∴S △POC =12×5×2=5 ． 24．【答案】（1）1；-1；1（2）-1＜x＜2（3）解：过点P作y轴的平行线交直线y2=x+1于点Q设点P的坐标为(x，x2−1)(−1<x<2)，则点Q的坐标为(x，x+1)∴PQ=x+1−(x2−1)=−x2+x+2S△ABP=12PQ·(x B−x A)=12×(−x2+x+2)×3=−32x2+32x+3∴S△ABP=−32(x+12)2+278当x=12时，△ABP的面积有最大值为278，此时P点坐标为(12，−34)；。

专题02 二次函数的实际应用(30题)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人

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专题第02讲二次函数的实际应用（30题）1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB ＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）求抛物线AC表达式．（2）求点B的坐标．（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直接写出d的取值范围．8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式；（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的销售额＝销售单价×销售量）（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本）16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．（1）学校至多可购买多少个足球？（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝140．B 城生产产品的每件成本为7万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B 两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a （x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据，解答下列问题：①水管的长度是m；②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．则比较d1与d2的大小关系是：d1d2（填“＞”或“＝”或“＜”）19．（2023•罗山县三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．（3）第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1d2．（填“＞”“＜”“＝”）20．（2023•花溪区校级一模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段AB是一段直线滑道，且AB长为米，点A到地面距离OA＝6米，点B到地面距离BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线，最高点为C（8，4）．（1）求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式；（2）当小车（看成点）沿滑道从A运动到D的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点A的水平距离是多少？（3）现在需要对滑道C﹣D部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架CF，PH，PG．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．21．（2022秋•丰都县期末）抛实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．22．（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：566575…销售单价x（元/千克）销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．23．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/个）…5055…月销售量y（个）…10090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？24．（2023•金湖县三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元：购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当12≤x≤18时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1218日销售量y（件）164请写出当12≤x≤18时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•新抚区期末）疫情防控常态化，全国人民同心抗疫．某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，市场调查发现，线下的月销量y（件）与线下售价x（元/件，且12≤x≤16）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（元/件）12131415y（件）1000900800700（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为600件．当x为何值时，线上和线下销售月利润总和W达到最大？最大利润是多少？（3）要使（2）中月利润总和W不低于4400元，请直接写出x的取值范围．26．（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）27．（2023•云梦县校级三模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？28．（2023•卧龙区二模）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数关系式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？29．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？30．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．。

2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版

2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版

二次函数的实际应用(21题)一、单选题1(2024·天津·中考真题)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t20≤t≤6．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令�=0解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把t=2和t=5代入计算即可判断③．【详解】解：令�=0，则30t-5t2=0，解得：t1=0，t2=6，∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确；∵�=30t-5t2=-5x-32+45，∴最大高度为45m，∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确；当t=2时，�=30×2-5×22=40；当t=5时，�=30×5-5×52=25；∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故③错误；故选C．2(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y 与x 分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG 与BC 重合时，及当x ≤4时图象的走势，和当x >4时图象的走势即可得到答案．【详解】解：当HG 与BC 重合时，设AE =x ，由题可得：∴EF =EH =2x ，BE =12-x ，在Rt △EHB 中，由勾股定理可得：BE 2=BH 2+EH 2，∴2x 2+2x 2=12-x 2，∴x =4，∴当0<x ≤4时，y =2x 2=2x 2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG 在BC 下方时，设AE =x ，由题可得：∴EF =2x ，BE =12-x ，∵∠AEF =∠B =45°，∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ，∴AE EF =EO EB ，∴x 2x=EO 12-x ，∴EO =12-x 2，∴当4<x <12时，y =2x ·12-x 2=12-x x =-x 2+12x ，∵-1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A 正确，故选：A ．3(2024·山东烟台·中考真题)如图，水平放置的矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =23cm ，∠E =60°，现将菱形EFGH 以1cm/s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD重叠部分的面积S cm 2 与运动时间t s 之间的函数关系图象大致是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为63，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．【详解】解：如图所示，设EG ,HF 交于点O ，∵菱形EFGH ，∠E =60°，∴HG =GF又∵∠E =60°，∴△HFG 是等边三角形，∵EF =23cm ，∠HEF =60°，∴∠OEF =30°∴EG =2EO =2×EF cos30°=3EF =6∴S 菱形EFG H =12EG ⋅FH =12×6×23=63当0≤x ≤3时，重合部分为△MNG ，如图所示，依题意，△MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则NG =t cos30°=233t ，∴S =12×NG ×NG ×sin60°=34233t 2=33t 2当3<x≤6时，如图所示，依题意，EM=EG-t=6-t，则EK=EMsin60°=6-t32=2336-t∴S△EKJ=12EJ⋅EM=12×2336-t2=336-t2∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6-336-t2=-33t2+43t-123+6∵EG=6<BC∴当6<x≤8时，S=63当8<x≤11时，同理可得，S=6-33t-82当11<x≤14时，同理可得，S=336-t-82=3314-t2综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<x≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6<x≤8时，函数图象为一条线段，当8<x≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11<x≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．二、填空题4(2024·广西·中考真题)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P 处)的高度OP 是74m ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM =m ．【答案】353【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y =a x -5 2+4，把点0,74，代入即可求出解析式；当y =0时，求得x 的值，即为实心球被推出的水平距离OM ．【详解】解：以点O 为坐标原点，射线OM 方向为x 轴正半轴，射线OP 方向为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．设抛物线解析式为：y =a x -5 2+4，把点0,74 代入得：25a +4=74，解得：a =-9100，∴抛物线解析式为：y =-9100x -5 2+4；当y =0时，-9100x -5 2+4=0，解得，x 1=-53(舍去)，x 2=353，即此次实心球被推出的水平距离OM 为353m ．故答案为：3535(2024·甘肃·中考真题)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y (单位：m )与距离停车棚支柱AO 的水平距离x (单位：m )近似满足函数关系y =-0.02x 2+0.3x +1.6的图象，点B 6，2.68 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD =4m ，高DE =1.8m 的矩形，则可判定货车完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x =2时，y 的值，若此时y 的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵CD =4m ，B 6，2.68 ，∴6-4=2，在y =-0.02x 2+0.3x +1.6中，当x =2时，y =-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12，∵2.12>1.8，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．6(2024·四川自贡·中考真题)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．三、解答题7(2024·陕西·中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 1与缆索L 2均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF 为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离OC =100m ，AO =BC =17m ，缆索L 1的最低点P 到FF 的距离PD =2m (桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索L 1所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索L 2上，EF ⊥FF ，且EF =2.6m ，FO <OD ，求FO 的长．【答案】(1)y =3500x -50 2+2；(2)FO 的长为40m ．【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．(1)根据题意设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2，把0,17 代入求解即可；(2)根据轴对称的性质得到缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2，由EF =2.6m ，把y =2.6代入求得x 1=-40，x 2=-60，据此求解即可．【详解】(1)解：由题意得顶点P 的坐标为50,2 ，点A 的坐标为0,17 ，设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2，把0,17 代入得17=a 0-50 2+2，解得a =3500，∴缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =3500x -50 2+2；(2)解：∵缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称，∴缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2，∵EF =2.6，∴把y =2.6代入得，2.6=3500x +50 2+2，解得x 1=-40，x 2=-60，∴FO=40m或FO=60m，∵FO<OD，∴FO的长为40m．8(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为Scm2．(1)求y与x,s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为750cm2，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．【答案】(1)y=80-2x19≤x<40；s=-2x2+80x(2)能，x=25(3)s的最大值为800，此时x=20【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：(1)根据AB+BC+CD=80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；(2)令s=750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．【详解】(1)解：∵篱笆长80m，∴AB+BC+CD=80，∵AB=CD=x,BC=y,∴x+y+x=80,∴y=80-2x∵墙长42m，∴0<80-2x≤42，解得，19≤x<40，∴y=80-2x19≤x<40；又矩形面积s=BC⋅AB=y⋅x=80-2xx=-2x2+80x；(2)解：令s=750，则-2x2+80x=750，整理得：x2-40x+375=0，此时，Δ=b 2-4ac =-40 2-4×375=1600-1500=100>0，所以，一元二次方程x 2-40x +375=0有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为750cm 2；∴x =--40 ±1002,∴x 1=25,x 2=15,∵19≤x <40，∴x =25；(3)解：s =-2x 2+80x =-2x -20 2+800∵-2<0,∴s 有最大值，又19≤x <40，∴当x =20时，s 取得最大值，此时s =800，即当x =20时，s 的最大值为8009(2024·河南·中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h m 满足关系式h =-5t 2+v 0t ，其中t s 是物体运动的时间，v 0m/s 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后s 时离地面的高度最大(用含v 0的式子表示)．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】(1)v 010(2)20m/s (3)小明的说法不正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；(2)把t =v 010，h =20代入h =-5t 2+v 0t 求解即可；(3)由(2)，得h =-5t 2+20t ，把h =15代入，求出t 的值，即可作出判断.【详解】(1)解：h =-5t 2+v 0t=-5t -v 010 2+v 0220，∴当t =v 010时，h 最大，故答案为：v 010；(2)解：根据题意，得当t =v 010时，h =20，∴-5×v 0102+v 0×v 010=20，∴v 0=20m/s (负值舍去)；(3)解：小明的说法不正确．理由如下：由(2)，得h =-5t 2+20t ，当h =15时，15=-5t 2+20t ，解方程，得t 1=1，t 2=3，∴两次间隔的时间为3-1=2s ，∴小明的说法不正确．10(2024·湖北武汉·中考真题)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y =ax 2+x 和直线y =-12x +b ．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．【答案】(1)①a =-115，b =8.1；②8.4km (2)-227<a <0【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．(1)①将9,3.6 代入即可求解；②将y =-115x 2+x 变为y =-115x -152 2+154，即可确定顶点坐标，得出y =2.4km ，进而求得当y =2.4km 时，对应的x 的值，然后进行比较再计算即可；(2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ，求得a =-227，即可求解．【详解】(1)解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km∴抛物线y=ax2+x和直线y=-12x+b均经过点9,3.6∴3.6=81a+9，3.6=-12×9+b解得a=-115，b=8.1．②由①知，y=-12x+8.1，y=-115x2+x∴y=-115x2+x=-115x-1522+154∴最大值y=154km当y=154-1.35=2.4km时，则-115x2+x=2.4解得x1=12，x2=3又∵x=9时，y=3.6>2.4∴当y=2.4km时，则-12x+8.1=2.4解得x=11.44-3=8.4km∴这两个位置之间的距离8.4km．(2)解：当水平距离超过15km时，火箭第二级的引发点为9,81a+9，将9,81a+9，15,0代入y=-12x+b，得81a+9=-12×9+b，0=-12×15+b解得b=7.5，a=-2 27∴-227<a<0．11(2024·四川内江·中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．(1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元(2)y=-10x2+1200x-35000或y=-10x-602+1000，当x=60时，y取得最大值为1000元【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题．(1)设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为n+20元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；(2)根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为n+20元由题意得：5000n+20=3000n解得：n=30经检验：n=30是原方程的解且符合题意∴n+20=50答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．(2)解：设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，则y=x-50180-10x-52=-10x2+1200x-35000=-10x-602+1000∵52≤x≤70，-10<0，∴当x=60时，y取得最大值为1000元．12(2024·贵州·中考真题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元⋯1214161820⋯销售量y/盒⋯5652484440⋯(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【答案】(1)y=-2x+80(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元(3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法求解即可；(2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；(3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b，把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=56 20k+b=40 ，解得k =-2b =80 ，∴y 与x 的函数表达式为y =-2x +80；(2)解：设日销售利润为w 元，根据题意，得w =x -10 ⋅y=x -10 -2x +80=-2x 2+100x -800=-2x -25 2+450，∴当x =25时，w 有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；(3)解：设日销售利润为w 元，根据题意，得w =x -10-m ⋅y=x -10-m -2x +80=-2x 2+100+2m x -800-80m ，∴当x =-100+2m 2×-2=50+m 2时，w 有最大值为-250+m 2 2+100+2m 50+m 2 -800-80m ，∵糖果日销售获得的最大利润为392元，∴-250+m 22+100+2m 50+m 2 -800-80m =392，化简得m 2-60m +116=0解得m 1=2，m 2=58当m =58时，x =-b 2a=54,则每盒的利润为：54-10-58<0,舍去，∴m 的值为2．13(2024·广东·中考真题)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．(题中“元”为人民币)【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，根据利润=每吨的利润×销售量列出w 关于x 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，由题意得，w =5-x -2 100+50x=-50x 2+50x +300=-50x-122+312.5，∵-50<0，∴当x=12时，w有最大值，最大值为312.5，∴5-x=4.5，答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元．14(2024·四川遂宁·中考真题)某酒店有A、B两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？【答案】(1)A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；(2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．【分析】(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，根据题意，列出方程组即可求解；(2)设A种客房每间定价为a元，根据题意，列出W与a的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【详解】(1)解：设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，由题意可得，24x+20y=7200 10x+10y=3200，解得x=200 y=120 ，答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；(2)解：设A种客房每间定价为a元，则W=24-a-200 10a=-110a2+44a=-110a-2202+4840，∵-110<0，∴当a=220时，W取最大值，W最大值=4840元，答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．15(2024·四川南充·中考真题)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价)．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？(利润=售价-进价)【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件(2)y=10x+60(0≤x≤10)(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，1 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132-x元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；2 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；3 结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132-x元．根据题意得3x+5132-x=540．解得x=60．则每件B类特产的售价132-60=72(元)．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．(2)由题意得y=10x+60∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价∴0≤x≤10．答：y=10x+60(0≤x≤10)．(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2+1840．∵-10<0,∴当x=2时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．16(2024·江苏盐城·中考真题)请根据以下素材，完成探究任务．制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系．任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案．【答案】任务1：y=-13x+703；任务2：w=-2x2+72x+3360(x>10)；任务3：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有70-x-y人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x100-2x-10，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，∴加工“正”服装的有70-x-y人，∵“正”服装总件数和“风”服装相等，∴70-x-y×1=2y，整理得：y=-13x+703；任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x100-2x-10，∴w=2y×24+70-x-y×48+x100-2x-10，整理得：w=-16x+1120+-32x+2240+-2x2+120x∴w=-2x2+72x+3360(x>10)任务3：由任务2得w=-2x2+72x+3360=-2x-182+4008，∴当x=18时，获得最大利润，y=-13×18+703=523，∴x≠18，∵开口向下，∴取x=17或x=19，当x=17时，y=533，不符合题意；当x=19时，y=513=17，符合题意；∴70-x-y=34，综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．17(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】(1)y=-25x2+20x+12000，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元(2)这天售出了64辆轮椅【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：(1)根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；(2)令y=12160，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可．【详解】(1)解：由题意，得：y=200-x60+x10×4=-25x2+20x+12000；∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200-x≥180，∴x≤20，∵y=-25x2+20x+12000=-25x-252+12250，∴当x<25时，y随x的增大而增大，∴当x=20时，每天的利润最大，为-25×20-252+12250=12240元；答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；(2)当y=12160时，-25x2+20x+12000=12160，解得：x1=10，x2=40(不合题意，舍去)；∴60+1010×4=64(辆)；答：这天售出了64辆轮椅．18(2024·江西·中考真题)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx a<0刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表：x012m4567⋯y07261528152n72⋯(1)①m =，n =；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y (米)与飞行时间t (秒)满足关系y =-5t 2+vt ．①小球飞行的最大高度为米；②求v 的值．【答案】(1)①3，6；②152,158；(2)①8，②v =410【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，(1)①由抛物线的顶点坐标为4，8 可建立过于a ，b 的二元一次方程组，求出a ，b 的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A 的坐标；(2)①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v 值．【详解】(1)解：①根据小球飞行的水平距离x (米)与小球飞行的高度y (米)的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为4,8 ，∴-b 2a =4-b 24a =8 ，解得：a =-12b =4 ，∴二次函数解析式为y =-12x 2+4x ，当y =152时，-12x 2+4x =152，解得：x =3或x =5(舍去)，∴m =3，当x =6时，n =y =-12×62+4×6=6，故答案为：3，6．②联立得：y =-12x 2+4x y =14x ，解得：x =0y =0 或x =152y =158，∴点A 的坐标是152,158，(2)①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②y =-5t 2+vt =-5t -v 10 2+v 220，则v 220=8，解得v =410(负值舍去)．19(2024·江苏苏州·中考真题)如图，△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，A -2,0 ，C 6,0 ，反比例函数y =k xk ≠0,x >0 的图象与AB 交于点D m ,4 ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数y =k xk ≠0,x >0 图象上一动点(点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合)，过点P 作PM ∥AB ，交y 轴于点M ，过点P 作PN ∥x 轴，交BC 于点N ，连接MN ，求△PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】(1)m =2，k =8(2)S △PMN 最大值是92，此时P 3,83【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：(1)先求出B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式，把D 的坐标代入直线AB 的函数表达式求出m ，再把D 的坐标代入反比例函数表达式求出k 即可；(2)延长NP 交y 轴于点Q ，交AB 于点L ．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM =QP ，设点P 的坐标为t ,8t ，2<t <6 ，则可求出S △PMN =12⋅6-t ⋅t ，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解：∵A -2,0 ，C 6,0 ，∴AC =8．又∵AC =BC ，∴BC =8．∵∠ACB =90°，∴点B 6,8 ．设直线AB 的函数表达式为y =ax +b ，将A -2,0 ，B 6,8 代入y =ax +b ，得-2a +b =06a +b =8 ，。

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用(含答案)

二次函数的应用练习题1、在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（ ）A ．y =（60+2x ）（40+2x ）B ．y =（60+x ）（40+x ）C ．y =（60+2x ）（40+x ）D ．y =（60+x ）（40+2x ）2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y = -x 2+50xB ．y =x 2-50xC ．y = -x 2+25xD ．y = -2x 2+253、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y =x 2＋a B ．y =a （x －1）2C ．y =a （1－x ）2D ．y =a （1＋x ）2 4、如图所示是二次函数y=2122x -+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）A ．4B ．163C ．2πD ．85、周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A ．45 B ． 83 C ．4 D ． 566、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t（单位：s ）之间的关系式为h =30t -5t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ） A ．6sB ．4sC ．3sD ．2s7、如图，二次函数y = -x 2-2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线 上有一点P ，满足S △AOP =3，则点P 的坐标是（ ）A ．（-3，-3）B ．（1，-3）C ．（-3，-3）或（-3，1）D ．（-3，-3）或（1，-3）8、向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c （a ≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9、将进货单价为70元的商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A．5元B．10元C．15元D．20元（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m= -10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？参考答案1.答案：A解析：解答：长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则y=（60+2x）（40+2x）．故选A．分析：挂图的面积=长×宽，本题需注意长和宽的求法．2.答案：C解析：解答：设这个长方形的一边长为x cm，则另一边长为（25-x）cm，所以面积y=x（25-x）= -x2+25x．故选C．分析：由长方形的面积=长×宽可求解．3.答案：D解析：解答：依题意，得y=a（1+x）2．故选D．分析：本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．4.答案：B解析：解答：函数与y 轴交于（0，2）点，与x 轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积S 1=4，则以半径为2的半圆的面积为S 2=π×12×22=2π，则阴影部分的面积S 有：4＜S ＜2π．因为选项A 、C 、D 均不在S 取值范围内．故选 B分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案．由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了． 5. 答案：B解析：解答：设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x -=2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m 2 分析：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-32x，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。

中考数学复习专题 二次函数的应用(含答案

中考数学复习专题 二次函数的应用(含答案

中考复习二次函数训练题考点一、二次函数的定义1.y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？考点二、二次函数的图像及性质1.已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？2.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个m m23．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ； （4）a ＜－2b．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【提示】由图象知a ＜0，－ab 2＞0，故b ＞0，而c ＞0，则abc ＜0．当x ＝1时，y ＞0，即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时，y ＜0，即a ＋c －b ＜0．【答案】B ．【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0，把（4）a ＜－2b两边同除以a ，得1＞－a b 2，即－ab 2＜1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧，判断出－a b 2＜1，两边同时乘a ，得a ＜－2b ，知（4）是正确的． 4.直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【提示】两个解析式的常数项都为c ，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A ），（B ）．再从a 的大小去判断．【答案】D ．【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B ）错误的原因是由抛物线开口向上，知a ＞0，此时直线必过第一、三象限．考点三、二次函数与一元二次方程的关系1．已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________．【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式||a ∆来求．本题有∆＝)10(4)42(22--+m m ＝5616+m ＝22， 故m ＝－3．【答案】－3．【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为||a ∆，它有着广泛的应用．2.一元二次方程3 x²+ x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5,那么二次函3数y=3 x²+ x-10与x轴的交点坐标是3.若一元二次方程x2－2 x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过……………………………………………………（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【提示】由 ＝4＋4 m＜0，得m＋1＜0，则m－1＜0，直线过第二、三、四象限．【答案】A．【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．已知函数y＝x2－1840 x＋1997与x轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841 m＋1997）（n2－1841 n＋1997）的值是………………………（）（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897 【提示】抛物线与x轴交于（m，0）（n，0），则m，n是一元二次方程x2－1840 x＋1997＝0的两个根．所以m2－1840 m＋1997＝0，n2－1840 n＋1997＝0，mn＝1997．原式＝［（m2－1840 m＋1997）－m］［（n2－1840 n＋1997）－n］＝mn＝1997．【答案】A．【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形．考点四、抛物线的平移1.二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

二次函数的实际应用解答题专项练习(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(人教版)

二次函数的实际应用解答题专项练习(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(人教版)

二次函数实际应用解答题专项训练类型一：几何图形的面积问题类型二：销售中的利润问题类型三：抛物线形的形状问题类型四：抛物线形的运动轨迹问题类型一：几何图形的面积问题1．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2．（1）若要围成面积为63m2的花圃，则AB的长是多少？（2）求AB为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？3．如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．（1）请用含x的代数式表示BC．（2）设矩形ABCD的面积为S．①求出S关于x的函数表达式．②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．5．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．（1）分别用含x的代数式表示BC与S；（2）若S＝54，求x的值；（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．7．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH 与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．8．小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值；（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．①求MF，FN的长；②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：（1）【理解探究】已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ；（2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；（3）【拓展升华】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M 从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值．10．综合与实践，研究小组想利用在前面的空地围出一个，矩的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最类型二：销售中的利润问题11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出出变量取值范围；（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？13．某文具商店用销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为x（x＞40）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式： ．（2）求W与x之间的函数关系式．（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？14．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 件；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱80元，出厂价为每箱100元，每月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．（1）小柳在开始销售的第1月将螺蛳粉的销售单价定为120元，这个月他销售该螺蛳粉可获利 元．（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于150元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？16．某商场某商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元．设售价为x元/件（x为正整数），每星期销售量为y件，每星期销售利润为W元．（1）直接写出y与x，W与x的函数解析式以及自变量x的取值范围；（26000元，那么该商品的售价是多少？（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）24 (10)市场需求量q（百千克）1210 (4)当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．18．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店以15元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近A，B，C，D，E五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．【数据整理】将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；【拓广应用】（2）①要想每天获得198元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？20．某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y1（件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量y2（件）与时间x（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．销售时间x（天）0102030日销售量y2（件）07510075（1）写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）试确定线下店铺日销售量y2与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y2的最大值；（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为20元，在抖音平台销售该农产品每件利润为30元，设该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w最大，并求出此时最大值．类型三：抛物线形的形状问题21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度AB为8米，棚顶最高点距离地面高度OC为4米．以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若借助横梁DE（DE∥AB）在大棚正中建一个2米高的门（DE到地面AB的距离为2米），求横梁DE的长度是多少米？（结果保留根号）22．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直角坐标系．已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．23．如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度AB为2m，长廊顶部的最高点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子OA、BE均垂直于地面，且高度为2.5m，线段OE表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．24．如图1某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B 到水面的距离是4m．（1）按如图1所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式；（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？（3）如图2，桥拱所在的函数图象的抛物线的x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．25．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．26．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，则这条桥主桥拱的半径是　m；（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．27．开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米．（1）求这条抛物线的解析式；（2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；（3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围．28．根据以下素材，探索完成任务．）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部上，根支DE根中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架上升（接问题解决29．综合与实践主题：设计高速公路的隧道高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车，车货总高度从地．为了保证行驶的安全，货车右侧某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线3.5）与隧道两侧的距离类型四：抛物线形的运动轨迹问题30．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为y（m），水流与OA之间的水平距离为x（m），y 与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置OA高度为3.5米，水流最高处离喷水装置OA的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．（1）求水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷出的水流击中？31．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02 2.53 3.54竖直高度y/m00.80.8750.90.8750.8根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．32．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为3m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至4m，则水管OA的高度增加多少米？33．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A 和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．34．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O 的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间近似满足二次函数关系．比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度y 与此时水平距离x 的对应七组数据如下：水平距离x /m23 3.54 4.556…竖直高度y /m3.444.15 4.2 4.154 3.4…根据以上数据，回答下列问题：（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面 m ，此时水平距离是 m ；②在水平距离5m 处，放置一个高1.55m 的球网，羽毛球 　（填“是”或“否”）可以过网；（2）求出y 与x 的函数解析式；（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为7m 的点Q 处接住球（如图2）．此时如果乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m ）与水平距离x （m ）近似满足一次函数关系y ＝0.4x +m ．如果乙选择吊球，羽毛球的飞行高度 y （m ） x （m ） 近似满足二次函数关系y ＝n （x ﹣6）2+3.2．上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O 点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适．35．如图1，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为y轴建立如图2所示直角坐标系．已知中间立柱顶端C到地面的距离为6m，喷水头D恰好是立柱OC的中点．若水柱上升到最高点E时，高度为4m，到中间立柱的距离为1m．（1）求图2中第一象限内抛物线的函数表达式．（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？（3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成7m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．36．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E（﹣1.5，﹣10），运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A（1，1.25），正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点B的正前方M，N两点，且EM＝10.5，EN＝13.5，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k且顶点C距水面4米．若该运动员的出水点D在MN之间（含M，N两点），求a的取值范围．。

二次函数的应用专题训练

二次函数的应用专题训练

二次函数的应用专题训练（一）、抛物线解析式的应用：1、河上有一座抛物线型拱桥，已知桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽为6m，当水面上升1m时。

（1）水面宽为多少？（2）一艘装满防汛器材的船，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m。

当水位上升1m时，这艘船能从桥下通过吗？2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)、直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)、求这条抛物线的解析式；(3)、若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？3、如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？AMBC0.5O D4、如图，一位运动员在距离篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5 m 时，达到最大高度3．5 m ，然后准确落入篮框．已知篮框中心到地面的距离为3．05 m ． (1)、建立合适的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)、该运动员身高1．8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0．25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用表示。

（1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？6、连接着敔山湾公园与马路是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥。

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．根据以上信息，解答下列问题：
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
9．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ．
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
13．“活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图 ，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置 ， （ ，G，M，N在线段 上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距 ，求正方形排气装置的边长 的长．（结果保留根号）
6．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x为整数）元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
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《二次函数的应用》专题练习1．某一型号的飞机着陆后滑行的路程s （单位：m ）米与时间t （单位：s ）之间的函数关系式为：s ＝60t －，试问飞机着陆后滑行多远才能停止2．如图拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231x y -=，当水面离桥顶的高度为325米时，水面的宽度为多少 米。

3．如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m ，水面宽度4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少$4．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB ＝18m 。

一同学站在门内，在离门脚B 点1m 远的D 处，垂直地面 立起一根1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C 处。

根据这些条件，请你求出该大门的高h 。

?5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶 端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的 形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。

（6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到 ,最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。

已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？7．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米。

以最高点O 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求： （1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道(1)0(2)x By AOx 【 A B8．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系： （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么\9．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米。

现以O 点为原点，OM 所在直 线为x 轴建立直角坐标系。

(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD － DC － CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑 架”总长的最大值是多少：10．某服装商销售每件进价为40元的衬衫，市场调查显示，若每件以50元的价格销售，平均每天可销售500件，价格每提高1元，则平均每天少销售10件。

当每件衬衫提价x 元时，可以获得利润y 元。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件衬衫提价多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少|Py B A O 、 x11．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中运动路线是如图所示坐标系下的经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处距水面3210m ，入水距池边的距离为4m ，同时运动员在距水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并 !调整好入水的姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533m ，问此次跳水会不会失误并通过计算说明理由。

~12．如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离PD 为9米。

已知山坡PA 与水平方向PC 的夹角为30°，AC ⊥PC 于点C ，P 、A 两点相距38米。

请你建立适 当的平面直角坐标系解决下列问题。

·（1）求水平距离PC 的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P 点直接打入球洞A 点。

~13．某水果商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。

市场调查显示，若每箱以50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，则平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y （箱）与售价x （元/箱）之间的函数关系； （2）求平均每天销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系； ！（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少：14．为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产。

方案一：生产甲产品，每件产品成本为a 万美元（a 为常数，且3＜a ＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方 案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件。

另外，年销售x 件乙产品．．．时需上交20.05x 万美元的特别关税。

在不考虑其它因素的情况下： （1）分别写出该企业两个投资方案的年利润1y 、2y 与相应生产件数x （x 为正整数）之间的函数关系式，并指 出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案|、15*^|《二次函数的应用》专题练习答案1．解：s ＝60t －＝－（t 2－40 t ）2＝－（t －20）2＋600 （∵－＜0，∴函数有最大值。

当t ＝－20时， s 最大值＝600，即飞机着陆后滑行600米才能停止。

2．10米。

3．解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为x 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为2ax y =， ∵过（2，－2）点，∴21-=a ，抛物线的解析式为221x y -=。

当3-=y 时，6±=x ，所以宽度增加（462-）m 。

4．解法一：如图1，建立平面直角坐标系。

;设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx 。

由题意知B 、C 两点坐标分别为B(18，0)，C(17，。

把B 、C 两点坐标代入抛物线解析式得解得∴抛物线的解析式为 y ＝－＋＝－(x －9)2＋。

∴该大门的高h 为8.1m 。

设抛物线解析式为y＝ax2。

由题意得B、C两点坐标分别为B(9，－h)，C(8，－h＋。

】把B、C两点坐标代入y＝ax2得解得。

∴y＝－.∴该大门的高h为8.1m。

说明：此题还可以以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为y＝－＋。

5．(1)当x＝0时，y＝54，故OA的高度为1.25米。

(2)∵y＝－x2＋2x＋54＝－(x－1)2＋，∴顶点是(1，，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。

(3)解方程－(x－1)2＋＝0，得1215,22x x=-=。

<∴B点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭。

∴OB＝52。

故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外。

6. (1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋k，由图知图象过点，，代入求得a＝－。

∴抛物线的表达式为y＝－＋。

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h＋＋＝(h＋ m，∴h＋＝－×(－2＋，∴h＝(m)。

7．解：（1）设所求函数的解析式为2axy=。

由题意，得函数图象经过点B（3，－5），.∴－5＝9a。

∴95-=a。

∴所求的二次函数的解析式为295xy-=。

x的取值范围是33≤≤-x。

（2）当车宽8.2米时，此时CN为4.1米，对应45494.1952-=⨯-=y，17649OxyA BCM NE∴农用货车能够通过此隧道。

8．（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为6)4(2+-=x a y ， 又因为点A （0，2）在抛物线上， 所以有6)40(22+-=a 。

所以a ＝41-。

\因此有：6)4(412+--=x y 。

（2）令4y =，则有 6)4(4142+--=x 。

解得12422422x x =+=-，。

21422x x -=>。

∴货车可以通过。

（3）由（2）可知2112222x x -=>， ∴货车可以通过。

9. 解：(1) M(12，0)，P(6，6)。

(2) 设抛物线解析式为：6)6(2+-=x a y 。

∵抛物线6)6(2+-=x a y 经过点(0，0)，*∴6)60(02+-=a ，即61-=a ， ∴抛物线解析式为：x x y x y 261,6)6(6122+-=+--=即 。

(3) 设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，)261,12(2m m m C +--，)261,(2m m m D +-。

∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝ )261()212()261(22m m m m m +-+-++-＝15)3(311223122+--=++-m m m 。

∵ 此二次函数的图象开口向下。

∴ 当m ＝3米时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米。

10．设每件衬衫提价x 元时，可以获得利润y 元。

根据题意，得 y ＝（50－40＋x)（500－10x ）＝－10x 2＋400x ＋5000， ` ＝－10（x －20）2＋9000，因为－10＜0，所以，当x ＝20时，y 的最大值为9000元。

11．解：（1）在给定的直角坐标系中，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。

由题意得，O 、B 两点坐标分别为（0，0）、（2，－10），顶点纵坐标为32。

则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-=.1024,3244,02c b a ab ac c 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.0,310,625c b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.0,2,23c b a 因抛物线对称轴在y 右侧，所以－ab2＞0，即a 与b 异号，又开口向下，则a ＜0，b ＞0， 所以a ＝－23，b ＝－2，c ＝0不符合题图意，舍去。

故所求抛物线的解析式为y ＝－625x 2＋310x 。

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为353m ，即x ＝353－2＝58m 时，y ＝（－625）×（58）2＋310×58＝－316。

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