函数的极值PPT优秀课件1

ຫໍສະໝຸດ 课题：导数的应用－－极值点
我行 我能 我要成功 我能成功
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2在 x 1时有极值10，则a，
b的值为（ ）
A、 a3,b3或 a4,b11
B、 a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11 ， D、 以上都不对
解:由题设条件得：
b
a
f(x) =0
O
x
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
练习２:求函数
y

6x 1 x2
(-2<x<1/2)
的极值.
解:
y

6(1 x2) (1 x2)2
.
令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1
o a X1
X2
X3 X4 b
x
２．求可导函数f(x)的极值
y
y
f(x0)0
f(x)0 f(x)0
f(x)0
f(x)0
f(x0)0
oa
X00 b
x
o a X0
bx
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)
是极大(小)值的方法是:
(1):如果在x0附近的左侧 f(x ) 0 ,右侧 f(x ) 0 ,那么, f(x0)是极大值;
x (-∞,-2) -2
(-2,2) 2
(2,+∞)
y’ +
0
-
0
+
y
↗ 极大值28/3 ↘ 极小值-4/3
↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
要注意以下两点:
(1)可导函数的极值点一定是导数为零的点,
导数为零的点,不一定是该函数的极值点.
的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函 数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点 的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称极值.
y
f ( x4 ) f ( x1)
o a X1
X2
a
X3 X4 b
x
请注意以下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的 函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说 极值与最值是两个不同的概念.
f’(x)
符号
f (x)
(-∞,a)
+
增函数
a
（a,b） b
0-0
极大值 减函数 极小值
(b, +∞)
+
增函数
（4）利用从+ 、0、- 判断函数极大值；
利用从- 、0、+ 判断函数极小值；
课题：导数的应用－－极值点
我行 我能 我要成功 我能成功
渐入佳境篇
若寻找可导函数极值点,可否
只由f(x)=0求得即可?
例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零, 但它不是极值点,
总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下: (1)求函数的定义域
(2).求导数 f(x).
(3).求方程f(x)0 的根.
用方程 f(x) 0的根顺次将函数的 域分成若干个小成 区表 间格 列
(4)检查 f (x)在方程根左右的值的符号,

f f
(1) 10 / (1) 0
1aba2 10
32ab0
解之得
ba33或ab141
注意代 入检验
通过验证，都合要求，故应选择A。
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
课题：导数的应用－－极值点
我行 我能 我要成功 我能成功
庖丁解牛篇(感受高考）
（2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间(a, b)
导函数 f (x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x) 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。
A.1 B.2 C.3 D. 4
y
y f (x)
f(x) <0 f(x) >0
• 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，
而x =0不是该函数的极值点.
y f (x)x3
Ox
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;
例２、求函y 数 x63x43x2的极值
解：先求函数的 f /(x导 )数 6x(x21)2
方程f(x)0 的根为 x1 1 、 x20,x31.
当x变化时f /， (x)、f(x)的状态如下：
(-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1)
+ f/(x) - 0 - 0
f(x) 减 1 减 0 增
1 (1,+∞)
0+
1增
导数为零的点不一定是极值点！
x=-1, x=0,x=1;
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
当x=0是函数极小值点y=0.
四、本课总结:
1.用导数来确定函数的极值步骤：
（1）先求函数的导数 f / (x)； （2）再求方程 f /(x) = 0 的根； （3）列出导函数值符号变化规律表；
(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
y
f ( x4 ) f (x1)
o a X1
X2
X3 X4 b
x
极大值一定大于极小值吗?
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如 f(x4)>f(x1).
y
f (x4 ) f (x1)
(2):如果在x0附近的左侧 f(x ) 0 ,右侧 f(x ) 0 ,那么, f(x0)是极小值.
例1:求y=x3/3 －4x+4的极值.
解: yx24(x2 )x (2 ).
令y 0 ,解得x1=-2,x2=2.
导当x数变值化时为,0y的,y的点变一化定情况是如函下数表的: 极值点吗?
1.3.2函数的极值(一)
复习:
利用函数的导数来研究函数的单调性其基本 的步骤为:
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f (x) ; ③解不等式 f ( x ) >0得f(x)的单调递增区间;
解不等式f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
二、新课 1．函数的极值: 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)