求二次函数解析式几种常用方法

求二次函数的解析式的几种方法

山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：

（1）一般式：y ax bx c a =++≠2

0()；

（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；

（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式

(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩

所以抛物线为243;y x x =-+-

说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2

(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．

(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。 若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程2

0ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．

例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．

解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．

又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．

因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．

说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．

(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)

例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。 解：设所求解析式为y =a (x -h )2+k ， 由已知得 y =a (x +2)2-1 ∴ a (1+2)2-1=0 19a ∴= ∴()21219y x =+-即2145999

y x x =+-

(4)、已知二次函数的最值或对称轴，可设顶点式()2()0y a x h k a =-+≠。

①已知二次函数有最大或最小值k ，可设()2()0y a x h k a =-+≠，再利用其它两个独立的条件确定a h 和。

例4、二次函数的图象过(4，-3)点，且x =3时，二次函数有最大值-1，求此函数的解析式。 解：由已知得，图象顶点坐标为(3，-1)，故可设()()231

0y a x a =--≠，又∵二次函数的图象

过(4，-3)点 ∴()23431a -=--，易得2a =-

最后可求得y =-2x 2+12x -19

②已知对称轴方程x h =可设()2()0y a x h k a =-+≠再利用其它两个独立的条件确定a 和k 。 例5、抛物线经过点A (1，0)，B (2，3)，对称轴x =3，求此图象的函数解析式。

解：由对称轴x =3，可设所求函数解析式为()2

3y a x k =-+，

又知抛物线经过点A (1，0)，B (2，3)，所以有()()22013323a k a k ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，易得14a k =-⎧⎨=⎩ 所以()234y x =--+，即∴所求解析式为y =-x 2+6x -5

③图象经过点()1,x m 和()2,x m ，则其对称轴为122

x x x +=；二次函数关系式可设为()21202x x y a x k a +⎛⎫=-+≠ ⎪⎝

⎭ 例6、一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432

，。求这条抛物线的解析式。 分析：解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点(,),(,)03

2432的特征入手：这两点关于抛物线的对

称轴对称，因此可知对称轴是直线x =2，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解： 抛物线y x mx n =++142经过点（032,）和(,)432

， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2。 设所求抛物线的解析式为y x h =-+14

22()。 将点(,)03

2代入，得1402322()-+=h ，解得h =12

。

∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+1432

2。 说明：当点M （x y 11,）和N （x y 22,）都是抛物线上的点时，若y y 12=，则对称轴方程为x x x =

+122，这一点很重要也很有用。

④当二次函数的图象与x 轴只有一个交点时，此时交点为抛物线的顶点，并且顶点的纵坐标为0，所以可设()2()0y a x h a =-≠，再利用两个独立的条件求a 和h 。

例7、已知二次函数的图象经过点()()1,92,4和，并且它与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式。

分析：二次函数的图象与x 轴只有一个交点，所以可设()2()0y a x h a =-≠，由题意知

()()221924a h a h ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得12845125h h a a ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩

或，所以所求函数的关系式为()2284255y x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭或 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标、对称轴、函数的最大（最小）值时，可设函数的解析式为2()y a x k h =-+的形式，给解题带来方便．

三、利用对称性求二次函数的关系式。

在直角坐标系中任一点P(a,b),它关于x 轴对称点的坐标为(),x P a b -，它关于y 轴对称点的坐标为(),y P a b -，它关于原点中心对称点的坐标为(),o P a b --。

例8、已知二次函数y x x =-+241，求与该抛物线关于y 轴对称的抛物线的解析式。

分析：根据点(a,b),它关于y 轴对称点的坐标为(),a b -,则用-x 替换上述关系式中的x 可得所求抛物线关系式。则有()()2

41y x x =---+，即所求关系式为241y x x =++。 类似地可求得：与抛物线y x x =-+241关于x 轴对称的抛物线的解析式为2

41y x x -=-+，即241y x x =-+-；与抛物线y x x =-+241关于原点中心对称的抛物线的解析式为()()241y x x -=---+，即241y x x =---

四、求与已知抛物线y ax bx c a =++≠20()关于其顶点对称的二次函数的关系式。

分析：求与已知抛物线关于其顶点对称的二次函数时，它们的顶点相同、形状相同。唯一不同的是它们的开口方向不同。因此只须已知抛物线y ax bx c a =++≠2

0()化为顶点式，然后将顶点式中的a 必为-a,即可求得。

例9、与抛物线222y x x =-+的图象顶点相同，形状相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是什