函数单调性的判断和证明PPT课件

② 配成非负实数和。 ③有理化。
(4). 作结论.
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例2：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2) 2 + x22>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)
1 x 3，即函数的定义域为 1,3。
令u x2 4x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递 增函数。
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
设x1 x2则
f (x2 ) f (x1)
f (x1 (x2 - x1)) f (x)
f (x1) f (x2 - x1) f (x)
f (x2 - x1) 1
f (x)是R上的增函数。
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三.复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
解：任取x, x, 且 -1 x1 x2 1则f (x1) f (x2 )
ax1 x12
1
ax2 x22 1
ax1x22 ax1 ax12 x2 (x1 1)(x2 1)
ax2
a(x2 x1)(x1x2 1) (x12 1)(x22 1)
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1 x1 x2 1 x2 - x1 0, x1x2 1 0, (x12 -1)(x22 -1) 0 当a 0时，f（x1) - f (x2 ) 0 函数f (x)在（-1,1）上为减函数 当a 0时f (x1) - f (x2 ) 0 函数f (x)在（-1,1）上是增函数。
函数单调性习题课 （约3课时）
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函数单调性的判断和证明
例1：证明：函数 f (x) - x在定义域上是减函数。
证明：f (x) - x的定义域为0， ， 设x1, x2是0,任意两个不相等的实数，
且x1 x2 , 则x1 - x2 0,
f ( x2 ) - f (x1) - x 2 - (- x1 ) x1 - x2
(
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x1 -
x2 )( x1
x2 )
x1 x2 )
x1 - x2 x1 x2
x1 - x2 0, x1 x2 0 f ( x2 ) - f ( x1) 0,
即f(x2 ) f(x1). f（x) - x在[0,)是减函数。
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方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判①断分解f(x因1)式－, 得f(x出2)因的式符(x1－号x:2
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练习.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
例5：函数f (x) x2 - | x | 单调递减区间是 - - - -
点评：单调区间的求法 1、定义法 2、图像法
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• 1、定义法 • 2、图像法
点评
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含参数函数的单调性的判断
例6：试讨论函数
f
(x)
ax x2 -1 (a
0)
在x (-1,1)上的单调性。
y f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数
u g(x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [g(x)]
增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的 单调区间是函数定义域的某个区间。
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例9.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解： x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
x
kk
解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+
-
x2 x1
=
x2 x1 x2 x1
(x1x2-k)
因 x2 x1 >0 x2 x1
X12-k <x1x2-k <x22-k 故x22-k≤0即x2≤ k
时，f(x2)<f(x1) 同理x1≥ k 时，f(x2)>f(x1)
总之，f(x)的增区间是 k , ，减区间是 0, k
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方法小结
用定义求函数单调区间的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是定义域上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ;
3提取因式x2 - x1 ,既f (x2 ) - f (x1)
(x2 - x1)( ) (4)令x1 x2 x, 求（） 0的根 （5）根把定义域分成若干区间，讨论各个区间 的符号，从而得出f (x2）- f(x1)的符号。 （6）下结论
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（1）解：令b 0, a 1则f (1 0) f (1) f (0) f (0) 1 （2）令a 1,b 1 则f (0) f (11) f (1) f (1),则f (1) 1
2 令a x,b x则f (0) f（x) f（ x) f (x) 1
f (x)
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当x 0时，有f (x) 1 0 f (-x) 1当x R时，f (x) 0
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抽象函数单调性的判断
例7：函数f (x)对任意的a,b R,都有 f (a b) f (a) f (b) 1,并且当x 0, f (x) 1 求证：f (x)是R上的增函数。
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例8：定义在R上的函数y f (x),对任意的 a,b R,满足f (a b) f (a) f (b),当x 0时 有f (x) 1,且f (1) 2 （1）求f (0)的值 (2)求f (1)的值并判断该函数的单调性。
所以f(x)= x3在R上是增函数.
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例3：已知y f (x)和y g(x)是R的增函数，
求证：F(x) f (x) g(x)是R上的增函数
单调函数的运算性质： 若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调 性则在区间D上具有以下性质： 1： 2： 3: 4： 5：
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函数单调区间的求法
k
例4求函数f(x)=x+ （k>0）在x>0上的单调性