函数单调性的判断和证明PPT课件
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函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数,利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域,利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数,利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势,为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数,可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时,函数单调递增 ;当导数小于0时,函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像,上升曲线表 示函数单调递增,下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0,单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的,即导数大于0时,函数
递增;导数小于0时,函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势,即函数在某点处的变化率,因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性,而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中,单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示:不一定,可能是定义域的一个子区间,单调性是局部概念,不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数 y=f(x)的单调递减区间是
[1,3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3).
解:由题意,确定函数 y=f(x)和 y=g(x)的单调递增区间,即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知,在(-4.5,0)和(4.5,7.5)内,y=g(x)是单调递增的.
()
3.设(a,b),(c,d)都是 f(x)的单调递增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
解析:选 D.根据函数单调性的定义知,所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中 的 x1,x2 不在同一单调区间内,故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的,且 f(x-2)<f(3),则 x 的取值范围是 ______________. 解析:函数的定义域为 R.由条件可知,x-2>3,解得 x>5. 答案:(5,+∞)
5.如图分别为函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象,试写出函数 y=f(x)和 y=g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数 y=f(x)的单调递减区间是
[1,3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3).
解:由题意,确定函数 y=f(x)和 y=g(x)的单调递增区间,即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知,在(-4.5,0)和(4.5,7.5)内,y=g(x)是单调递增的.
()
3.设(a,b),(c,d)都是 f(x)的单调递增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
解析:选 D.根据函数单调性的定义知,所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中 的 x1,x2 不在同一单调区间内,故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的,且 f(x-2)<f(3),则 x 的取值范围是 ______________. 解析:函数的定义域为 R.由条件可知,x-2>3,解得 x>5. 答案:(5,+∞)
5.如图分别为函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象,试写出函数 y=f(x)和 y=g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性,从而确定其最大值; 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性,再求最值.
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤: 判断:先判断函数的单调性. 求值:利用单调性代入自变量的值求得最值. 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点: 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. 求最值忘记求定义域. 求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入.
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论:根据差的符号,得出单调性的结论.
定号:判断上式的符号,若不能确定,则分区间讨论;
作差变形:计算f(x1)-f(x2),通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形;
取值:在给定区间上任取两个值x1,x2,且x1<x2;
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3.函数的单调性 如果函数_________________________________,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为________或________,统称为________.
[正解] 因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图像的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3. [答案] a=-3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则 不难看出,图3-7中,y是的函数,记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
问题情境:我们知道,“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似图37所示的记忆规律.
创设情境,生成问题 在在活初初动中中1,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
△x表示自变量x的增量,△y表示因变量y的增量. 这时,对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx >0; 这个数是增函数的充要条件是y <0.
x
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
因此,函数f(x)=3x+2在(- ,+ )上是增函数.
巩固练习,提升素养 在活初动中3,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?
数学Biblioteka 基础模块(上册)第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
问题情境:我们知道,“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似图37所示的记忆规律.
创设情境,生成问题 在在活初初动中中1,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
△x表示自变量x的增量,△y表示因变量y的增量. 这时,对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx >0; 这个数是增函数的充要条件是y <0.
x
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
因此,函数f(x)=3x+2在(- ,+ )上是增函数.
巩固练习,提升素养 在活初动中3,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?
数学Biblioteka 基础模块(上册)第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点,构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性,结合不等式的性质,证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加,导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点, 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究,通过微分可以分 析函数的局部变化率,进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$($a > 0, a neq 1$)的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时,函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时,函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称,即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同,偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致,可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
5.3.1函数的单调性课件(人教版)
0.5(x 3)2 1 (x 3)
1
( x 3)
2
(x) sin x
( x )
2
2
1
(3 x ) 2
0.5(x 3)2 1 (x 3)
0.5(x 3)2 1 (x 3)
1
(1 x 3)
x(ln | x | 1) (0 x 1)
(x) 0
(x 0)
x(ln | x | 1) (1 x 0)
3.函数y f (x) 的图像如图所示,试画出函数y f (x) 图像的大致形状
二、函数的极值与最大(小)值
观察图像,发现,当t a 时, 高台跳水运动员距水面的高度最大
h(a) 0
在t a 附近 当t a 时,函数h(t) 单调递增,h(t) 0 当t a 时,函数h(t) 单调递减,h(t) 0 在t a 附近,函数值先增后减 当t 在a 的附近从小到大经过a 时
1. 函数f (x) 在区间 D 上单调递减 f (x) 0
2. 函数f (x) 在区间D 上单调递减 f (x) 0
x ln | x | (x 0)
f (x) 0
(x 0)
g(x) x sin x
探究与发现
函数f (x) 在无穷多个孤立点处的导数等于 0 f (x) 0恒成立 函数f (x) 在定义域内单调递增
函数f (x) 的图像也是下降的,
函数f (x) 在x x1 附近单调递减
一般地,函数f (x) 的导函数为f (x) 在区间(a,b) 上,如果f (x) 0 那么函数y f (x) 在区间(a,b) 上单调递增 在区间(a,b) 上,如果f (x) 0 那么函数y f (x) 在区间(a,b) 上单调递减 在区间(a,b) 上,如果f (x) 0
函数的单调性_PPT课件
同理可得f(x)在(0, a]上是减函数.
当x<0时,由奇函数的性质知函数f(x)
在(-∞, a]上是增函数,在[ ,a0)上是 减函数.
综上,函数f(x)在[ a ,0),(0, a]
上是减函数,在(-∞, ]a ,[ ,a+∞)上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法,即定义法和导数法.定义法是基础,掌握定 义法的关键是作差(f(x2)-f(x1)),运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”,处理这个代数式的符号是 一个难点,要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量,则转化为判断“x2-a”的符号, 于是转化为判断“x ”的 符a 号,自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是(-4,4].
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点, 一般要弄清三个环节:(1)考虑函数的定义 域,保证研究过程有意义.本题中,不能忽视 u=x2-ax+3a>0;(2)保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中, [ a ,+∞)上是单调增区间与[2,+∞)一致; (32)注意防止扩大参数的取值范围,本题中, u(2)>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f(x)的定义域为
(0,
+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意的正
数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)证明:函数f(x)在定义域上是增函 数;
函数的基本性质ppt课件
答案 [-2,+∞)
►单调性的两个易错点:单调性;单调区间.
(2)函数的单调递增(减)区间有多个时,不能用并集表示, 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)=x+1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(-∞,-1],[1,+∞). 答案 (-∞,-1],[1,+∞)
变式训练:
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2,且在区间 - 2,0上递减,则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为 2|a|; (2)若 f(x+a)=-f(x),则函数的周期为 2|a|; (3)若 f(x+a)=f(1x),则函数的周期为 2|a|; (4)若 f(x+a)=-f(1x),则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 : 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 , 或 者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单
域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
解析 由定义域关于原点对称得 a-1+2a=0,解得 a=13,即
f(x)=13x2+bx+b+1,又 f(x)为偶函数,由 f(-x)=f(x)得 b=0.
答案
1 3
0
(2)若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义,则 f(0)=0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性;解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
►单调性的两个易错点:单调性;单调区间.
(2)函数的单调递增(减)区间有多个时,不能用并集表示, 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)=x+1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(-∞,-1],[1,+∞). 答案 (-∞,-1],[1,+∞)
变式训练:
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2,且在区间 - 2,0上递减,则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为 2|a|; (2)若 f(x+a)=-f(x),则函数的周期为 2|a|; (3)若 f(x+a)=f(1x),则函数的周期为 2|a|; (4)若 f(x+a)=-f(1x),则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 : 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 , 或 者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单
域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
解析 由定义域关于原点对称得 a-1+2a=0,解得 a=13,即
f(x)=13x2+bx+b+1,又 f(x)为偶函数,由 f(-x)=f(x)得 b=0.
答案
1 3
0
(2)若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义,则 f(0)=0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性;解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0,则函数在该区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性,可以确定函数的零点所在的区间,进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性,可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性,可以分析企业生产成本与收益之间的关系,制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中,单调性可用于评估投资风险,例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系,导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势,而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增,则其导数在该区间内大于等于零;如果函数在某个区间内单调递减,则其导数在该区间内小于等于零。因此,通过求函数的导数,可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0,则函数在该区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0,则函数在该区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性,可以确定函数的零点所在的区间,进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性,可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性,可以分析企业生产成本与收益之间的关系,制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中,单调性可用于评估投资风险,例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系,导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势,而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增,则其导数在该区间内大于等于零;如果函数在某个区间内单调递减,则其导数在该区间内小于等于零。因此,通过求函数的导数,可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
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切实实地 金字,
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, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0,则函数在该区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
精选 《函数的单调性》完整版教学课件PPT
么参数的这个值应舍去;假设只有在个别点处有f'(x)=0,那么由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增, 则表示函数值随着自变量的增加而增加;如果函数在某个区间内单调递减,则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程,如果其系数函数在某区间内单调 递增(或递减),则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性,以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性,我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如,利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式,或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0,则函数在该 区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性,即如果函数在区间I上单调递增,且 在区间J上单调递增,则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性,即如果函数在区间I上单调递增,且 另一个函数在区间J上单调递增,则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增, 则表示函数值随着自变量的增加而增加;如果函数在某个区间内单调递减,则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程,如果其系数函数在某区间内单调 递增(或递减),则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性,以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性,我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如,利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式,或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0,则函数在该 区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性,即如果函数在区间I上单调递增,且 在区间J上单调递增,则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性,即如果函数在区间I上单调递增,且 另一个函数在区间J上单调递增,则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三.对于较复杂函数,可用换元法化归为简单函数、或者运用导数,
求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦!
专题一:判断、证明函数的单调性
例 1:(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性,并加以证明;(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一:判断、证明函数的单调性
变式 3:讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结: 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法;(2)导数法;(3)图象法;(4)性质法.
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义;
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性, 并利用单调性求最值或者求参数范围;
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力.
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D 定义 当x1<x2时,都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_, 当x1<x2时,都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_),
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦!
专题一:判断、证明函数的单调性
例 1:(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性,并加以证明;(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一:判断、证明函数的单调性
变式 3:讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结: 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法;(2)导数法;(3)图象法;(4)性质法.
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义;
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性, 并利用单调性求最值或者求参数范围;
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力.
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D 定义 当x1<x2时,都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_, 当x1<x2时,都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_),
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性,我们可以确定参数的取值范围,进而解决一些数学问题。
在函数中,如果函数在某区间内单调递增或递减,那么我们可以根据函数值的变化趋势,确定参数的取值范围。例如,如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增,且$f(x_0) = 0$,那么对于任意$x in (a, b)$,都有$f(x) > 0$,从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断,如果函数的导数大于等于0,则函数在该区 间内单调递增;如果函数的导数小于等于0,则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性,当导数大于0时,函数单调递增;当导数小于0时 ,函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0,说明切线斜率为正,函数 在该区间内单调递增;如果导数小于0,说明切线斜率为负,函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数单调性课件ppt
导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同,则复合 函数单调递增;内外层函数单调 性不同,则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的实例分析 • 函数单调性的综合练习
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调 递增,那么对于该区间内的任意两个 数$x_1$和$x_2$,当$x_1 < x_2$时 ,有$f(x_1) < f(x_2)$;反之,如果 函数在某个区间内单调递减,那么对 于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$,当$x_1 < x_2$时,有 $f(x_1) > f(x_2)$。
03
函数单调性的应用
利用单调性证明不等式
总结词
单调性是证明不等式的一种有效工具 ,通过比较函数在不同区间的增减性 ,可以推导出不等式的正确性。
详细描述
利用单调性证明不等式的基本思路是 ,首先确定函数在指定区间上的单调 性,然后根据单调性定义,比较函数 值的大小,从而证明不等式。
利用单调性求函数的极值
VS
单调性是函数的一种固有属性,与函 数的定义域和值域无关,只与函数的 增减性有关。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内单调递增的函数。对于任意两 个数$x_1$和$x_2$,当$x_1 < x_2$时,有$f(x_1) < f(x_2)$。
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ,复合函数为增函数;内 外层函数单调性相反时, 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导,根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像, 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析:参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x),如果对于区间I内的任意两个数x1, x2,当x1<x2时, 都有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),则称函数f(x)在区间I上是单调递增 (或单调递减)的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性,若f'(x)>0,则f(x)在对应区间内单调递增 ;若f'(x)<0,则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势,单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ,导致判断错误;将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零,即 驻点。
案例分析:多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中,通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中,利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时,通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析,可以 得到问题的解决方案。
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解:任取x, x, 且 -1 x1 x2 1则f (x1) f (x2 )
ax1 x12
1
ax2 x22 1
ax1x22 ax1 ax12 x2 (x1 1)(x2 1)
ax2
a(x2 x1)(x1x2 1) (x12 1)(x22 1)
10
1 x1 x2 1 x2 - x1 0, x1x2 1 0, (x12 -1)(x22 -1) 0 当a 0时,f(x1) - f (x2 ) 0 函数f (x)在(-1,1)上为减函数 当a 0时f (x1) - f (x2 ) 0 函数f (x)在(-1,1)上是增函数。
y f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数
u g(x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [g(x)]
增函数 减函数 减函数 增函数
小结:同增异减。研究函数的单调性,首先考虑函数的定义域,要注意函数的 单调区间是函数定义域的某个区间。
16
例9.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解: x2 4x 3 0,即x2 4x 3 0,
x
kk
解:对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+
-
x2 x1
=
x2 x1 x2 x1
(x1x2-k)
因 x2 x1 >0 x2 x1
X12-k <x1x2-k <x22-k 故x22-k≤0即x2≤ k
时,f(x2)<f(x1) 同理x1≥ k 时,f(x2)>f(x1)
总之,f(x)的增区间是 k , ,减区间是 0, k
1 x 3,即函数的定义域为 1,3。
令u x2 4x 3,故y u,
y u是定义域内是的单调递 增函数。
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
函数单调性习题课 (约3课时)
1
函数单调性的判断和证明
例1:证明:函数 f (x) - x在定义域上是减函数。
证明:f (x) - x的定义域为0, , 设x1, x2是0,任意两个不相等的实数,
且x1 x2 , 则x1 - x2 0,
f ( x2 ) - f (x1) - x 2 - (- x1 ) x1 - x2
7
练习.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
例5:函数f (x) x2 - | x | 单调递减区间是 - - - -
点评:单调区间的求法 1、定义法 2、图像法
8
• 1、定义法 • 2、图像法
点评
9
含参数函数的单调性的判断
例6:试讨论函数
f
(x)
ax x2 -1 (a
0)
在x (-1,1)上的单调性。
设x1 x2则
f (x2 ) f (x1)
f (x1 (x2 - x1)) f (x)
f (x1) f (x2 - x1) f (x)
f (x2 - x1) 1
f (x)是R上的增函数。
15
三.复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性,必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性,从而得出y f [g(x)]的单调性。
所以f(x)= x3在R上是增函数.
4
例3:已知y f (x)和y g(x)是R的增函数,
求证:F(x) f (x) g(x)是R上的增函数
单调函数的运算性质: 若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调 性则在区间D上具有以下性质: 1: 2: 3: 4: 5:
5
函数单调区间的求法
k
例4求函数f(x)=x+ (k>0)在x>0上的单调性
(
x1 -
x2 )( x1
x2 )
x1 x2 )
x1 - x2 x1 x2
x1 - x2 0, x1 x2 0 f ( x2 ) - f ( x1) 0,
即f(x2 ) f(x1). f(x) - x在[0,)是减函数。
2
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1<x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)-f(x2) ; (3). 判①断分解f(x因1)式-, 得f(x出2)因的式符(x1-号x:2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法小结
用定义求函数单调区间的步骤:
(1). 设x1<x2, 并是定义域上任意二值; (2). 作差 f(x1)-f(x2) ;
3提取因式x2 - x1 ,既f (x2 ) - f (x1)
(x2 - x1)( ) (4)令x1 x2 x, 求() 0的根 (5)根把定义域分成若干区间,讨论各个区间 的符号,从而得出f (x2)- f(x1)的符号。 (6)下结论
11
抽象函数单调性的判断
例7:函数f (x)对任意的a,b R,都有 f (a b) f (a) f (b) 1,并且当x 0, f (x) 1 求证:f (x)是R上的增函数。
12
例8:定义在R上的函数y f (x),对任意的 a,b R,满足f (a b) f (a) f (b),当x 0时 有f (x) 1,且f (1) 2 (1)求f (0)的值 (2)求f (1)的值并判断该函数的单调性。
13
(1)解:令b 0, a 1则f (1 0) f (1) f (0) f (0) 1 (2)令a 1,b 1 则f (0) f (11) f (1) f (1),则f (1) 1
2 令a x,b x则f (0) f(x) f( x) f (x) 1
f (x)
14
当x 0时,有f (x) 1 0 f (-x) 1当x R时,f (x) 0
② 配成非负实数和。 ③有理化。
(4). 作结论.
3
例2:证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
证明:设x1,x2是R上任意两个 实数, 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1<x2 ,则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2) 2 + x22>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)