33趋势面分析PPT课件
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§3.3 趋势面分析
Trend Surface Analysis
问题：
在土壤环境研究中，探讨土壤化学元素在地理 空间上的分布变化规律，对于区域土壤环境质量评 价、土壤环境保护、土地资源评价与规划等研究有 重要的实用价值。
怎样根据区域内实测点数据预测区域土壤化学 元素的空间变化规律？
本节内容
一 趋势面分析概述 二 趋势面分析的数学模型 三 趋势面模型的适度检验 四 应用实例
i1
i1
i1
a0
n i1
x1i
a1
n i1
x1i x1i
ap
n i1
xpi x1i
n i1
x1i zi
..........
a0
n i1
xpi
a1
n i1
x1i xpi
ap
n i1
xpi xpi
n i1
xpi zi
（3）
④用矩阵形式表示
1 x11 x21 xp1
X
Fra Baidu bibliotek
1
F SSR / p SSD /np1
结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα， 若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著； 反之则不显著。
3 趋势面适度的逐次检验
方法：
(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多 项式方程的回归平方和之差;
SSR (K1) SSR K
(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于
1 趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模型拟合优
度的重要指标。
总离差平方和=回归平方和+剩余平方和
n
n
n
(ziz)2 (z ˆiz)2 (ziz ˆi)2
i 1
i 1
i 1
原始数据波动 SST
趋势波动 SSR
剩余波动 SSD
SS R 越大（或 SS D 越小）就表示因变量与自变量的
2 趋势面模型的参数估计
实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确
定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平 方和最小。 过程
① 将多项式回归（非线性模型）模型转 化为多元线性回归模型。
令 x 1 x ,x 2 y ,x 3 x 2 ,x 4 x,x 5 y y 2 ,
则
z ˆ a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 a p x p
为了使趋势面更好地逼近原始地理数据，常采
用最小二乘法，使每一个观测值 z i 与趋势值zˆ i 的残
差平方和趋于最小，即
n
n
Q i2 [zi(xi,yi)z ˆi(xi,yi)2] min
i 1
i 1
用来计算趋势面的数学方程式有多项式 函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项 式函数形式。因为任何一个函数都可以在一 个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整 多项式的次数，可使所求的回归方程适合实 际问题的需要。
一 趋势面分析概述
1 概念
“趋势”是指事物发展总的趋向。它不受局部 因素的影响而由总的规律所支配。
“趋势面分析”是用数学方法，以数学曲面来模拟地理 系统要素及其区域性变化趋势的地理数据分析方法。
2 原理
趋势面分析的原理是用数学方法计算出一 个数学曲面来拟合数据中区域变化的趋势，这 个数学曲面就称为趋势面。
zi(xi,yi)z ˆi(xi,yi)i （1）
式中：εi即为剩余值（残差值）。
显然，当（xi，yi）在空间上变动时，（1）式就刻画
了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动 关系。
i
趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面
模型应该是趋势值最大而剩余值最小，这样拟合的精度 才能达到足够的准确性。
关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。
记
R2 SSR 1SSD
SST SST
R 2 越大，趋势面的拟合度就越高。
2 趋势面拟合适度的显著性F检验
趋势面适度的F 检验，是对趋势面回归模型整体的
显著性检验。
方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方和 与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之间的 回归关系是否显著。即
多项式趋势面数学模型
一次趋势面数学模型
za0a1xa2y
二次趋势面数学模型
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a y 5 y 2
三次趋势面数学模型
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a 5 y y 2 a 6 x 3 a 7 x 2 y a 8 x 2 a 9 y 3
ss
(K R
1)
ss
K R
多项式次数增高所产生的回归均方差;
pq
(3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得
出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。
ss
(K 1) R
x12
x22
x
p2
1 x1n
x2n
x
pn
z1
Z
z
2
z
n
a0
A
a
1
a
p
则（3）式变为
XTX AXTZ （4）
由式（4）求解，可得
A(XTX)1XTZ （5）
一 趋势面分析概述 二 趋势面分析的数学模型 三 趋势面模型的适度检验 四 应用实例
三 趋势面模型的适度检验
1 趋势面拟合适度的R2检验 2 趋势面拟合适度的显著性F检验 3 趋势面适度的逐次检验
观测面=区域趋势面+局部异常面（剩余曲面）
确定性 函数
随机函 数
某观测点上的观测值=确定性函数值+随机性函数值 =趋势值+剩余值
一 趋势面分析概述 二 趋势面分析的数学模型 三 趋势面模型的适度检验 四 应用实例
二 趋势面分析的数学模型
1 趋势面模型的建立
设某地理要素的实际观测数据为 zi(ix,yi)(i1, 2,,n，) 趋势面拟合值为 zˆi(xi,yi ) ，则有
趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并 过滤掉了一些局部随机因素的影响，使地理要 素的空间分布规律明显化。
趋势面分析的基本功能，是把空间中分布的 一个具体或抽象的曲面分解成两部分：
一部分是由变化比较缓慢的、影响遍及整个研究区 的区域组成，称为趋势；
另一部分是变化比较快，其影响在区内并非处处可 见的部分，称为局部异常。
②其残差平方和为
n
n
Q [z i z ˆi]2[z i ( a 0 a 1 x 1 i a 2 x 2 i a p x p )i 2]（2）
i 1
i 1
③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令
其等于0，得正规方程组(式中 a0,a1,,ap
为p+1个未知量）
n
n
n
na0 a1 x1i ap xpi zi
Trend Surface Analysis
问题：
在土壤环境研究中，探讨土壤化学元素在地理 空间上的分布变化规律，对于区域土壤环境质量评 价、土壤环境保护、土地资源评价与规划等研究有 重要的实用价值。
怎样根据区域内实测点数据预测区域土壤化学 元素的空间变化规律？
本节内容
一 趋势面分析概述 二 趋势面分析的数学模型 三 趋势面模型的适度检验 四 应用实例
i1
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x1i x1i
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xpi x1i
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xpi xpi
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xpi zi
（3）
④用矩阵形式表示
1 x11 x21 xp1
X
Fra Baidu bibliotek
1
F SSR / p SSD /np1
结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα， 若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著； 反之则不显著。
3 趋势面适度的逐次检验
方法：
(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多 项式方程的回归平方和之差;
SSR (K1) SSR K
(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于
1 趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模型拟合优
度的重要指标。
总离差平方和=回归平方和+剩余平方和
n
n
n
(ziz)2 (z ˆiz)2 (ziz ˆi)2
i 1
i 1
i 1
原始数据波动 SST
趋势波动 SSR
剩余波动 SSD
SS R 越大（或 SS D 越小）就表示因变量与自变量的
2 趋势面模型的参数估计
实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确
定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平 方和最小。 过程
① 将多项式回归（非线性模型）模型转 化为多元线性回归模型。
令 x 1 x ,x 2 y ,x 3 x 2 ,x 4 x,x 5 y y 2 ,
则
z ˆ a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 a p x p
为了使趋势面更好地逼近原始地理数据，常采
用最小二乘法，使每一个观测值 z i 与趋势值zˆ i 的残
差平方和趋于最小，即
n
n
Q i2 [zi(xi,yi)z ˆi(xi,yi)2] min
i 1
i 1
用来计算趋势面的数学方程式有多项式 函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项 式函数形式。因为任何一个函数都可以在一 个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整 多项式的次数，可使所求的回归方程适合实 际问题的需要。
一 趋势面分析概述
1 概念
“趋势”是指事物发展总的趋向。它不受局部 因素的影响而由总的规律所支配。
“趋势面分析”是用数学方法，以数学曲面来模拟地理 系统要素及其区域性变化趋势的地理数据分析方法。
2 原理
趋势面分析的原理是用数学方法计算出一 个数学曲面来拟合数据中区域变化的趋势，这 个数学曲面就称为趋势面。
zi(xi,yi)z ˆi(xi,yi)i （1）
式中：εi即为剩余值（残差值）。
显然，当（xi，yi）在空间上变动时，（1）式就刻画
了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动 关系。
i
趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面
模型应该是趋势值最大而剩余值最小，这样拟合的精度 才能达到足够的准确性。
关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。
记
R2 SSR 1SSD
SST SST
R 2 越大，趋势面的拟合度就越高。
2 趋势面拟合适度的显著性F检验
趋势面适度的F 检验，是对趋势面回归模型整体的
显著性检验。
方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方和 与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之间的 回归关系是否显著。即
多项式趋势面数学模型
一次趋势面数学模型
za0a1xa2y
二次趋势面数学模型
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a y 5 y 2
三次趋势面数学模型
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a 5 y y 2 a 6 x 3 a 7 x 2 y a 8 x 2 a 9 y 3
ss
(K R
1)
ss
K R
多项式次数增高所产生的回归均方差;
pq
(3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得
出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。
ss
(K 1) R
x12
x22
x
p2
1 x1n
x2n
x
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z1
Z
z
2
z
n
a0
A
a
1
a
p
则（3）式变为
XTX AXTZ （4）
由式（4）求解，可得
A(XTX)1XTZ （5）
一 趋势面分析概述 二 趋势面分析的数学模型 三 趋势面模型的适度检验 四 应用实例
三 趋势面模型的适度检验
1 趋势面拟合适度的R2检验 2 趋势面拟合适度的显著性F检验 3 趋势面适度的逐次检验
观测面=区域趋势面+局部异常面（剩余曲面）
确定性 函数
随机函 数
某观测点上的观测值=确定性函数值+随机性函数值 =趋势值+剩余值
一 趋势面分析概述 二 趋势面分析的数学模型 三 趋势面模型的适度检验 四 应用实例
二 趋势面分析的数学模型
1 趋势面模型的建立
设某地理要素的实际观测数据为 zi(ix,yi)(i1, 2,,n，) 趋势面拟合值为 zˆi(xi,yi ) ，则有
趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并 过滤掉了一些局部随机因素的影响，使地理要 素的空间分布规律明显化。
趋势面分析的基本功能，是把空间中分布的 一个具体或抽象的曲面分解成两部分：
一部分是由变化比较缓慢的、影响遍及整个研究区 的区域组成，称为趋势；
另一部分是变化比较快，其影响在区内并非处处可 见的部分，称为局部异常。
②其残差平方和为
n
n
Q [z i z ˆi]2[z i ( a 0 a 1 x 1 i a 2 x 2 i a p x p )i 2]（2）
i 1
i 1
③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令
其等于0，得正规方程组(式中 a0,a1,,ap
为p+1个未知量）
n
n
n
na0 a1 x1i ap xpi zi