概率论与数理统计学习自测练习题2
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也是分布函数．
4
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2
（B） a =
1 3 , b=− 2 2 3 2 （ D） a = , b = − 5 5
(3) 设随机变量 X ~ N ( µ , σ ) ，则随着 σ 的增大，概率 P X − µ < σ （ （A） 单调增大 （B） 单调减小 （C） 保持不变 （D） 增减不定
{
}
）
（4）设随机变量 X 的概率密度函数为 ϕ ( x) ，且 ϕ ( − x) = ϕ ( x) ， F ( x) 是 X 的分布函 数，则对任意实数 a ，有（ （A） F ( − a) = 1 − ） （B） F ( − a) =
f X ( x) =
求随机变量 Y = 1 −
3
1 , π (1 + x 2 )
− ∞ < x < +∞,
X 的概率密度函数．
7. 设 F1 ( x) 、 F2 ( x) 都是分布函数， α1 , α2 都是正常数，且 α1 + α2 = 1 ，试证
F ( x) = α1 F1 ( x) + α2 F2 ( x)
4. 平面上通过点 (0,1) 的直线与 x 轴的正向交角为 θ ，设 θ 服从 (0, π ) 上的均匀分布， 求这直线在 x 轴上截距 X 的概率密度函数． 5. 一均匀陀螺，在其圆周的半圈上均匀地刻上区间 [0,1] 上的数字，另外半圈均匀地刻 上数字 1．旋转这陀螺，求陀螺停下时其圆周上触及桌面的点的刻度 X 的分布函数． 6. 设随机变量 X 的概率密度函数为
自测练习题 B
1. 选择题（在题中所给的 4 个选项中只有一项是正确的，把正确答案的代号填到题后 的括号中） （1）设离散型随机变量 X 的概率分布律为
P{ X = k} =
则常数 A 的值应为（ （A） e
− 1 3
A , ( k = 0,1, 2, L) 3 k!
k
）
1
（B） e 3
（C） e3
4x2 − x 2 eα , f X ( x) = α 3 π 0,
2
x > 0, x ≤ 0.
其中 α > 0 为常数．求分子运动的动能 Y =
1 mX 2 （ m 为分子的质量）的概率密度函数wk.baidu.com 2
2
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2
a , f ( x) = x 2 0,
（1）确定常数 a ； （2）求分布函数 F ( x) ；
x ≥ 10, x < 10.
1
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（3）若 F ( k ) =
1 , 求 k 的值． 2
．
（2 ）设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布，则方程 x 2 + Xx + 1 = 0 有实根的概 率是 ． （3）设随机变量 X ~ B (2, p ) ， Y ~ B(3, p) ．若 P{ X ≥ 1} =
2
5 ，则 P{Y ≥ 1} = 9
． ．
（4）设随机变量 X ~ N (2, σ ) 且 P{2 < X < 4} = 0.3 ，则 P{ X < 0} = （5）设随机变量 X 的概率密度函数为
3
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为
12 x(1 − x) 2 , f ( x) = 0,
量上升到 90 万 kw，每天供电量不足的概率是多少？
0 < x < 1, 其他.
假设该地区每天的供电量仅有 80 万 kw， 求该地区每天供电量不足的概率．又若每天的供电
X +3 2
（B） Y =
X +3 2
X −3 2
（D） Y =
X −3 2
2. 一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30 ，假设各部件的状态相互独立．以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的概率分 布律． 3. 设某地区每天的用电量 X （单位：100 万 kw）是一个连续型随机变量，其概率密度
cx(1 − x), f ( x) = 0,
则常数 c = ．
0 ≤ x ≤ 1, 其他.
2. 一盒中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球．现从中随机地任取 3 球，以 X 记取出的 3 个球中的黑球的个数，求 X 的概率分布律和分布函数． 3. 在电源电压不超过 200V，在 200~240V 和超过 240V 三种情况下，某种电子元件损坏 的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2．假设电源电压服从正态分布 N (200, 25 ) ，试求： （1）电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在 200~240V 的概率． 4. 设随机变量 X 的概率密度函数为
第二章
随机变量及其分布
自测练习题 A
1. 填空题（将正确答案填在题中横线上） ： （1）设随机变量 X 的分布函数为
0, 0.2, 0.5, F ( x) = P{ X ≤ x} = 0.8, 0.9, 1,
则随机变量 X 的概率分布律为
x < −1, −1 ≤ x < 0, 0 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 4, 4 ≤ x < 5, 5 ≤ x.
∫
a
0
ϕ ( x) dx
1 a − ϕ ( x) dx 2 ∫0
（C） F (− a) = F ( a) (5)设随机变量 X 的概率密度函数为
（D） F ( − a) = 2 F ( a) − 1
f ( x) =
1 − ( x +43) e 2 π
2
( −∞ < x < +∞)
） （C） Y =
则下列随机变量中服从标准正态分布的是（ （A） Y =
（D） e −3
（2）设 F1 ( x) 与 F2 ( x) 分别为随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数．为使
F ( x) = aF1 ( x) − bF2 ( x)
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取（ （A） ）
2 2 , b= 3 3 1 3 （C） a = − , b = 2 2 a=
− ( x − 20) 2 3200
，已知 X 的概率密度函数为 5. 测量某距离时，总发生随机误差 X （单位： cm）
f ( x) = ke
（1）确定常数 k ；
, ( −∞ < x < +∞)
（2）求三次独立测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30cm 的概率． 6. 由统计物理学知分子运动速度的绝对值 X 服从 Maxwell 分布，其概率密度函数为
4
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2
（B） a =
1 3 , b=− 2 2 3 2 （ D） a = , b = − 5 5
(3) 设随机变量 X ~ N ( µ , σ ) ，则随着 σ 的增大，概率 P X − µ < σ （ （A） 单调增大 （B） 单调减小 （C） 保持不变 （D） 增减不定
{
}
）
（4）设随机变量 X 的概率密度函数为 ϕ ( x) ，且 ϕ ( − x) = ϕ ( x) ， F ( x) 是 X 的分布函 数，则对任意实数 a ，有（ （A） F ( − a) = 1 − ） （B） F ( − a) =
f X ( x) =
求随机变量 Y = 1 −
3
1 , π (1 + x 2 )
− ∞ < x < +∞,
X 的概率密度函数．
7. 设 F1 ( x) 、 F2 ( x) 都是分布函数， α1 , α2 都是正常数，且 α1 + α2 = 1 ，试证
F ( x) = α1 F1 ( x) + α2 F2 ( x)
4. 平面上通过点 (0,1) 的直线与 x 轴的正向交角为 θ ，设 θ 服从 (0, π ) 上的均匀分布， 求这直线在 x 轴上截距 X 的概率密度函数． 5. 一均匀陀螺，在其圆周的半圈上均匀地刻上区间 [0,1] 上的数字，另外半圈均匀地刻 上数字 1．旋转这陀螺，求陀螺停下时其圆周上触及桌面的点的刻度 X 的分布函数． 6. 设随机变量 X 的概率密度函数为
自测练习题 B
1. 选择题（在题中所给的 4 个选项中只有一项是正确的，把正确答案的代号填到题后 的括号中） （1）设离散型随机变量 X 的概率分布律为
P{ X = k} =
则常数 A 的值应为（ （A） e
− 1 3
A , ( k = 0,1, 2, L) 3 k!
k
）
1
（B） e 3
（C） e3
4x2 − x 2 eα , f X ( x) = α 3 π 0,
2
x > 0, x ≤ 0.
其中 α > 0 为常数．求分子运动的动能 Y =
1 mX 2 （ m 为分子的质量）的概率密度函数wk.baidu.com 2
2
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2
a , f ( x) = x 2 0,
（1）确定常数 a ； （2）求分布函数 F ( x) ；
x ≥ 10, x < 10.
1
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（3）若 F ( k ) =
1 , 求 k 的值． 2
．
（2 ）设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布，则方程 x 2 + Xx + 1 = 0 有实根的概 率是 ． （3）设随机变量 X ~ B (2, p ) ， Y ~ B(3, p) ．若 P{ X ≥ 1} =
2
5 ，则 P{Y ≥ 1} = 9
． ．
（4）设随机变量 X ~ N (2, σ ) 且 P{2 < X < 4} = 0.3 ，则 P{ X < 0} = （5）设随机变量 X 的概率密度函数为
3
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为
12 x(1 − x) 2 , f ( x) = 0,
量上升到 90 万 kw，每天供电量不足的概率是多少？
0 < x < 1, 其他.
假设该地区每天的供电量仅有 80 万 kw， 求该地区每天供电量不足的概率．又若每天的供电
X +3 2
（B） Y =
X +3 2
X −3 2
（D） Y =
X −3 2
2. 一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30 ，假设各部件的状态相互独立．以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的概率分 布律． 3. 设某地区每天的用电量 X （单位：100 万 kw）是一个连续型随机变量，其概率密度
cx(1 − x), f ( x) = 0,
则常数 c = ．
0 ≤ x ≤ 1, 其他.
2. 一盒中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球．现从中随机地任取 3 球，以 X 记取出的 3 个球中的黑球的个数，求 X 的概率分布律和分布函数． 3. 在电源电压不超过 200V，在 200~240V 和超过 240V 三种情况下，某种电子元件损坏 的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2．假设电源电压服从正态分布 N (200, 25 ) ，试求： （1）电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在 200~240V 的概率． 4. 设随机变量 X 的概率密度函数为
第二章
随机变量及其分布
自测练习题 A
1. 填空题（将正确答案填在题中横线上） ： （1）设随机变量 X 的分布函数为
0, 0.2, 0.5, F ( x) = P{ X ≤ x} = 0.8, 0.9, 1,
则随机变量 X 的概率分布律为
x < −1, −1 ≤ x < 0, 0 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 4, 4 ≤ x < 5, 5 ≤ x.
∫
a
0
ϕ ( x) dx
1 a − ϕ ( x) dx 2 ∫0
（C） F (− a) = F ( a) (5)设随机变量 X 的概率密度函数为
（D） F ( − a) = 2 F ( a) − 1
f ( x) =
1 − ( x +43) e 2 π
2
( −∞ < x < +∞)
） （C） Y =
则下列随机变量中服从标准正态分布的是（ （A） Y =
（D） e −3
（2）设 F1 ( x) 与 F2 ( x) 分别为随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数．为使
F ( x) = aF1 ( x) − bF2 ( x)
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取（ （A） ）
2 2 , b= 3 3 1 3 （C） a = − , b = 2 2 a=
− ( x − 20) 2 3200
，已知 X 的概率密度函数为 5. 测量某距离时，总发生随机误差 X （单位： cm）
f ( x) = ke
（1）确定常数 k ；
, ( −∞ < x < +∞)
（2）求三次独立测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30cm 的概率． 6. 由统计物理学知分子运动速度的绝对值 X 服从 Maxwell 分布，其概率密度函数为