随机事件、频率与概率
第一讲(随机事件,频率与概率)
概率统计专业
2.《数理统计引论》
首位中科院院士
国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯著
1812年版
概率论的最早著作 数理统计最早著作
2. 《统计学数学方法》
H. 克拉默著
1946年版
“赌注分配问 题 ”
Ch1-6
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷 硬币作为博弈手段 . 每掷一次，若正面朝 上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分， 甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部 赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就 分别达到规定分数时，发生了意外使赌局 不能进行下去，问如何公平分配赌注？
第一章 概率论的基本概念
在现实世界中发生的现象千姿百态， 概括起来无非 是两类现象： 一类是在一定条件下必然出现（或恒不出现）的现象，
例如，在标准大气压下，水加热到 100 时 必定沸腾，三角形内角和为 180 等等．
0 0
我们称这种现象为确定性现象。
读者可以从物理学、化学等其它学科中举出许多这样的实例。
概率论与数理统计
李师煜 江西理工大学数学教研室
Email: lishiyu83@
我想说
•课程的重要性 •课程要求
综合考评 期末成绩
Ch1-2
工科、经管各专业基础 考研基础
平时成绩
课时分配 授课学时 6*8=48
•如何学好
做好预习复习 多看多练多想
按时独立完成布置的作业
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 必然事件——全体样本点组成的事件,记 为, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件. 复合事件： 若干个基本事件组合而成的事件。
随机事件的频率与概率
随机事件的频率与概率概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科，因随机现象具有普遍性特点，概率论和数理统计也因此具有广泛的应用环境。
而在研究概率之前，我们必须先要清楚随机试验中关于随机事件发生可能性大小的度量问题，这就涉及随机事件的概率和频率。
首先必须明确随机事件的概念，即，在条件一定时，测验或观察研究对象，每进行一次条件组称为一次性试验，得到的结果为事件，在一次试验中对无法准确判断发生结果的事件为随机事件。
接着我们来分别了解频率及概率：一、频率的概念及性质举例引入：一个盒子中有10个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球。
在该实验中，未将球取出来前，我们无法对实验结果进行判断，即取出的球是黑是白是未知的，但是实践经验告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球，会获得这样一种结果：当实验次数足够多，即n足够大时，黑、白两球出现次数几乎是相等的，即，黑、白球出现次数的比值趋于1。
条件相同时，如试验次数为n，那么这n次试验中事件A共发生的次数为nA，nA为事件A的发生频数。
而事件A的发生频率用nA/n这一比值表示，记作fn（A），即，不同对象出现的次数和总次数间的比值。
当试验次数n不断增大时，频率逐渐趋向于稳定，并与某常数接近，这一常数就是所说的时间A的概率，而频率稳定性即为统计规律性（统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律），但频率与概率并不相同，由伯努利大数理论可知，当n为无穷大时，在一定意义下频率fn（A）和概率P（A）较为接近。
其中频率的值即为频数与总体数量的比值。
在n次试验中随机事件发生m次的相对频率为m/n。
而在物理学中频率用于衡量每秒物体振动次数的多少是确定的。
二、概率的概念及性质概率用于衡量事件发生的可能性大小，而随机事件A发生概率表示为P（A），取值范围在0和1之间。
在一定条件下，当P （A）=1时表示事件A一定发生；当P（A）=0时，表示事件A 没有发生的可能。
第04讲 随机事件、频率与概率 (精讲)(含答案解析)
第04讲随机事件、频率与概率(精讲）第04讲随机事件、频率与概率（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：随机事件之间关系的判断题型二：随机事件的频率与概率题型三：互斥事件与对立事件的概率第四部分：高考真题感悟知识点一：概率与频率一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率()n f A 会逐渐稳定于事件A 发生的概率()P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率()n f A 来估计概率()P A .知识点二：事件的运算定义符号表示图示并事件事件A 与事件B 至少一个发生，称这个事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件）A B ⋃或者A B+交事件事件A 与事件B 同时发生，称这个事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件）A B ⋂或者AB知识点三：事件的关系定义符号表示图示包含关系一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ）B A Ê（或A B ⊆）互斥事件一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A B ⋂是一个不可能事件，即A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互斥（或互不相容）A B ⋂=∅对立事件一般地，如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B =Ω ，且A B ⋂=∅，那么称事件A 与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为AA B =Ω ，且A B ⋂=∅.（2022·全国·高一课时练习）1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）2．命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·全国·高一课时练习）3．给出下列说法：①若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 为对立事件；②把3张红桃J ，Q ，K 随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A =“甲得红桃J ”与事件B =“乙得红桃J ”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．其中说法正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0（2022·全国·高一单元测试）4．已知A 与B 是互斥事件，且()0.4P A =，()0.2P B =，则()P A B = （）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.0（2022·全国·高一课时练习）5．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A 表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B 表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示A B ⋂，A B ⋃．题型一：随机事件之间关系的判断典型例题例题1．（2022·陕西渭南·高二期末（文））6．设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A =“中靶”，事件B =“击中环数大于5”，事件C =“击中环数大于1且小于6”，事件D =“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（）A ．B 与C 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与D 互为对立D ．A 与D 互斥例题2．（2022·全国·高一课时练习）7．下列结论正确的是（）A ．若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则()0P B =B ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A 与B C ⋃互斥C ．若事件A 与B 对立，则()1P A B ⋃=D ．若事件A 与B 互斥，则它们的对立事件也互斥例题3．（2022·全国·高一课时练习）8．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A ：恰有一件次品；事件B ：至少有两件次品；事件C ：至少有一件次品；事件D ：至多有一件次品．下列选项正确的是（）A ．ABC = B ．BD 是必然事件C ．A B C = D ．A D C= 同类题型归类练（2022·全国·高一单元测试）9．若随机事件A ，B 互斥，且()2P A a =-，()34P B a =-，则实数a 的取值范围为（）A ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,23⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022·河南安阳·高一期末）10．从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，事件D 为“第一件是次品”则下列结论正确的是（）A ．B 与D 相互独立B ．B 与C 相互对立C ．AD ⊆D ．A C ⋂=∅（2022·河北·高一阶段练习）11．从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设{A =三件产品全不是次品}，{B =三件产品全是次品},{C =三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是（）A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个都互斥D ．A 与B 对立题型二：随机事件的频率与概率典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）12．将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率分别为（）A ．0.14，0.37B ．114，127C ．0.03，0.06D ．314，637例题2．（2022·河南·高三阶段练习（理））13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423A．157石B．164石C．170石D．280石例题3．（2022·全国·高一专题练习）14．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.例题4．（2022·全国·高一单元测试）15．某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率(1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.同类题型归类练（2022·甘肃·兰州五十一中高一期末）16．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.48，0.48B．0.5，0.5C．0.48，0.5D．0.5，0.48（2022·全国·高三专题练习）17．某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．第一场第二场第三场投篮次数252030投中次数161318C ．0635．D ．0648．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期末）18．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.（2022·全国·高二课时练习）19．为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．批次12345678每批粒数5101307001500200030005000发芽粒数491166371370178627094490(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？（2022·湖南·高一课时练习）20．某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？题型三：互斥事件与对立事件的概率典型例题例题1．（2022·河北唐山·高一期末）21．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是0.3，0.4，则密码被成功破译的概率为（）A ．0.18B ．0.7C ．0.12D ．0.58例题2．（2022·江西·高三阶段练习（理））22．甲、乙两人打台球，每局甲胜的概率为34，若采取三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则比赛三局结束的概率为（）A ．38B ．427C ．49D ．29例题3．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）23．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为21,32，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（）A ．318B ．518C ．13D ．19例题4．（2022·全国·高一课时练习）24．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0,3,2,5，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是（）A ．124B ．2324C ．116D ．1516同类题型归类练（2022·河南商丘·高一期末）25．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A ，取出黑球为事件B ，随机事件C 与B 对立.若()0.5P A B +=，则()P C =（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8（2022·河南安阳·高一期末）26．银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（）A．9100B．320C．19100D．15（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）27．甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26B．0.72C．0.74D．0.98（2022·山东聊城·高一期末）28．甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为（）A．0.94B．0.90C．0.56D．0.38（2020·海南·高考真题）29．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%（2020·天津·高考真题）30．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．参考答案：1．A【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A 与B ，A 与C 均相互独立．而A 与B ，A 与C 均能同时发生，从而不互斥．方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为()()()()()()()()()(){()()()()()121314152324253435452131415132，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()}4252435354，，，，，用古典概型概率计算公式易得12312382(),(),()205205205P A P B P C ======．而事件AB 表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以339()()()5525P AB P A P B =⨯==，所以A 与B 相互独立：同理，事件AC 表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，326()()()5525P AC P A P C =⨯==，所以A 与C 相互独立．故选:A ．2．A【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.【详解】解：若事件A 与事件B 是对立事件，则事件A 与事件B 一定是互斥事件；若事件A 与事件B 是互斥事件，不一定得到事件A 与事件B 对立，故命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件；故选：A 3．C【分析】根据对立事件的知识对3个说法进行分析，从而确定正确答案.【详解】①A ，B 为对立事件，需满足()()1P A P B +=和A B ⋂=∅，故①错误；②事件A =“甲得红桃J ”的对立事件为“甲未得红桃J ”，即“乙或丙得红桃J ”，故②错误；③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“两次都中靶”，则其对立事件为“两次都不中靶”，故③正确．所以说法正确的个数为1个.故选：C4．C【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式结合题意求解即可【详解】由题意知A ，B 是互斥事件，所以()()()P A B P A P B =+ ，且()()110.40.6P A P A =-=-=，则()0.60.20.8P A B ⋃=+=.故选：C.5．A B = {(黄,绿)}，A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．【分析】先列举出事件A ，B 的样本点，再利用事件间运算的定义求解．【详解】由题可得：转盘①转出的颜色红黄蓝转盘②转出的颜色蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）红（红，红）（黄，红）（蓝，红）绿（红，绿）（黄，绿）（蓝，绿）紫（红，紫）（黄，紫）（蓝，紫）由表可知，共有15种等可能的结果，其中A ={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫)}，B ={(红,绿),(黄,绿),(蓝,绿)}，所以A B = {(黄,绿)}，A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．6．A【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可【详解】对于AB ，事件B 和C 不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C 互斥，不对立，所以A 正确，B 错误，对于CD ，事件A 与D 有可能同时发生，所以A 与D 既不互斥，也不对立，所以CD 错误，故选：A 7．ABC【分析】根据对立事件的概念，可判断AC 正确；根据互斥事件的特征，可判断B 正确，D 错误；【详解】若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则A 为必然事件，故B 为不可能事件，则()0P B =，故A 正确；若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A ，B ，C 不能同时发生，则事件A 与B C ⋃也不可能同时发生，则事件A 与B C ⋃互斥，故B 正确；若事件A 与B 对立，则()()()1P A B P A P B =+= ，故C 正确；若事件A ，B 互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D 错误．故选：ABC ．8．AB【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.【详解】对于A 选项，事件A B ⋃指至少有一件次品，即事件C ，故A 正确；对于B 选项，事件B D 指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B 正确；对于C 选项，事件A 和B 不可能同时发生，即事件A B ⋂=∅，故C 错误；对于D 选项，事件A D 指恰有一件次品，即事件A ，而事件A 和C 不同，故D 错误．故选：AB ．9．A【分析】根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩，即0210341221a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得4332a <≤，所以实数a 的取值范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.10．B【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.【详解】A为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件全是次品，C为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，D为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.由此可知A与B是互斥事件，A与C是包含，不是互斥，B与C对立故选:B.11．ABC【分析】根据已知条件，根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解．【详解】解：由题意可知，{C=三件产品有次品，但不全是次品}，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，{A=三件产品全不是次品}，即3件产品全是正品，{B=三件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，故A，B正确，A与B互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”两个事件，故A与B不对立，故C正确，D错误，故选：ABC．12．A【分析】根据频数分布表和频率概念求解即可。
第三节 随机事件的概率
第三节 随机事件的概率考试要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．[知识排查·微点淘金]知识点1 随机事件的频率与概率(1)频数与频率：在相同的条件S 下进行n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比值f n (A )＝n An 为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，则把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．[微提醒],频数是一个整数，其取值范围为0≤n A ≤n ，n A ∈N ，因此随机事件A 发生的频率f n (A )＝n An的可能取值介于0与1之间，即0≤f n (A )≤1.知识点2 事件的关系与运算定义符号表示包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 一般地，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称事件A 与事件B 相等 A ＝B 并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B ) 交事件(或积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称该事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B 或AB 互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B ＝∅ 对立事件若A ∩B 为不可能事件，而A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω(Ω为全集)(1)互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A 发生且事件B 不发生；②事件A 不发生且事件B 发生；③事件A 与事件B 都不发生.(2)“事件A 与事件B 是对立事件”是“其概率满足P (A )＋P (B )＝1”的充分不必要条件，这里一定有事件A 或事件B 中的一个发生，且不会同时发生.知识点3 互斥事件的概率和对立事件的 概率(1)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (2)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(×) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(×)2．(链接教材必修3 P 121T 4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶解析：选D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．3．(链接教材必修3 P 121例题)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是( )A ．18B ．14C ．12D ．34解析：选C 由对立事件的概率公式得P ＝1－⎝⎛⎭⎫14＋14＝12.4．(链接教材必修3 P 123A 组T 3)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10 环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为 ；中10环的概率约为 ．答案：910 155．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确的命题有 个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案：0一、基础探究点——随机事件的关系(题组练透)1．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是( )A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品解析：选B 从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是两件全是正品．2．一袋中装有5个大小和形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率是710的事件是( )A ．恰有一个红球B ．两个小球都是白球C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球解析：选C 因为710＝1－310，所以概率是710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．3．设条件甲：事件A 与事件B 是对立事件，结论乙：概率满足P (A )＋P (B )＝1，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件．再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.投掷一枚硬币3次，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不一定是对立事件．如事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．判断互斥、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.[典例剖析][例1] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.30，故P (B )的估计值为0.30. (3)由所给数据得：保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ·0.30＋a ·0.25＋1.25a ·0.15＋1.5a ·0.15＋1.75a ·0.10＋2a ·0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a . [拓展变式]1．[变结论]若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．解：设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E ，事件E 对应于出险次数大于或等于1，由本例知出险次数小于1的频率为0.30，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.30＝0.70，故P (E )的估计值为0.70.2．[变结论]若本例的条件不变，记F 为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”．求P (F )的估计值．解：“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F 发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P (F )的估计值为0.25.1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．[学会用活]1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为( )A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.49解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51100＝0.51.三、综合探究点——互斥、对立事件的概率(多向思维)[典例剖析]思维点1 互斥、对立事件概率的计算[例2] 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：解法一：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋13＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋13＋16＝1112. 解法二：(利用对立事件求概率)(1)由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－16－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.思维点2 互斥、对立事件与统计的综合[例3] 如图所示，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如表所示：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人．所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L 2的频率0.10.40.40.1(3)A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1；P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 2)＞P (B 1)， 所以乙应选择L 2.1．求解此类题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．解决与统计知识交汇考查随机事件的概率计算问题时，先读懂图表，提取有关信息，用统计知识求频数，频率，再求概率．[学会用活]2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E ＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.限时规范训练基础夯实练1．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，则下列说法正确的是()A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈B．2位病人中一定有1位能治愈C．每位病人治愈的可能性是50%D．所有病人中一定有一半的人能治愈解析：选C某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，对于A，如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人治愈的概率为50%，故A错误；对于B,2位病人中每个人治愈的可能性都是50%，或两人都能治愈，或有1位能治愈，或都不能治愈，故B 错误；对于C ，每位病人治愈的可能性是50%，故C 正确；对于D ，所有病人中每个人治愈的可能性都是50%，但所有病人中不一定有一半的人能治愈，故D 错误．故选C ．2．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是25，则取得白球的概率等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：选C ∵取得红球与取得白球为对立事件，∴取得白球的概率为P ＝1－25＝35.3．(2021·烟台一中月考)在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A ．0.20B ．0.60C ．0.80D ．0.12解析：选C “能乘上所需要的车”记为事件A ，则3路或6路车有一辆路过即事件发生．故P (A )＝0.20＋0.60＝0.80.4．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互斥 C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A ＋B )＝1解析：选C 根据互斥事件的定义可知，A 与B ，A 与B 都有可能同时发生，所以A 与B 互斥，A 与B 互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A 与B 既不一定互斥，也不一定对立，所以P (A ＋B )＝1是不正确的．5．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数234542的频率为 ．解析：数据落在区间[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45.答案：0.457．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×1825＝6912(人)．答案：69128．一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为 ；至少取得一个红球的概率为 ．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 14159．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从题中统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了两种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．综合提升练10．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A ．19B ．110C ．15D ．18解析：选B 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P ＝110，故选B ．11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.12．某城市2020年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率p1101613730215130时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为 ．解析：由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3513．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是 ，他属于不超过2个小组的概率是 ．解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案：35 131514．(2021·沈阳调研)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.＝0.025.故所求概率为502000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－372＝0.814.2000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．创新应用练15．(2021·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9] 发放金额50100150200(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x 0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y 50100150200频率0.40.30.280.02 这11000×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.。
23.3(1)随机事件的概率和频率
历史上有人曾经做过大量重复掷硬币的试验,结果如下表: 历史上有人曾经做过大量重复掷硬币的试验,结果如下表: m 上的 试验 ( n ) (n) ( m) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 m/n
1
试 验 次 数 增 加
频 率 稳 定 在
1061 2048 6019 12012 14984 36124
某批乒乓球产品质量检查结果表： 某批乒乓球产品质量检查结果表：
优等品数 抽取球数
m
45 50
92 100
194 200
470 500
954 1000
1902 2000
n
n
优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
当抽查的球数很多时，抽到优等品的 当抽查的球数很多时， 很多 m 常数0.95， 接近于常数0.95 在它附近摆动。 频率 接近于常数0.95，在它附近摆动。
n m
m n
8 6
0.75
10 8
0.80
15 12
0.80
20 17
0.85
30 25
0.83
40 32
0.80
50 38
0.76
(1)计算表中进球的频率; (1)计算表中进球的频率; 计算表中进球的频率 (2)这位运动员投篮一次 进球的概率约是多少 概率约是 这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少 概率约是0.8 这位运动员投篮一次 进球的概率约是多少? (3)这位运动员进球的概率是 这位运动员进球的概率是0.8,那么他投 次篮一定能 那么他投10次篮一定能 这位运动员进球的概率是 那么他投 投中8次吗 次吗? 投中 次吗 不一定. 次篮相当于做10次试验 不一定 投10次篮相当于做 次试验 每次试验的结果都 次篮相当于做 次试验,每次试验的结果都 是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的 次篮的结果也是随机的. 是随机的 所以投 次篮的结果也是随机的 但随着投篮 次数的增加,他进球的可能性为 他进球的可能性为80%. 次数的增加 他进球的可能性为
第1章 概率论的基本概念
试验者
德•摩根 蒲 丰 K•皮尔逊 K•皮尔逊 维 尼
n
2048 4040 12000 24000 30000
nH
1061 2048 60199 12012 14994
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
nA 频率 f n ( A) 具有如下基本性质: n
统计概率的性质
1. 非负性：对每个事件A有 1 P ( A) 0; 2. 规范性：对必然事件S有 P ( S ) 1;
3. 有限可加性：设A1,A2,…An是两两互不相容事件 则 P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
其结果可能为:
正品、次品。
其结果可能为: 红、黄、绿。
实例6 “出生的婴儿可能是男，也可能是 女”。
实例7 “明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雨 ”。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的。
问题 什么是随机试验？
1. 试验（Experiment）：包括各种各样的科学实 验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验（E，Random experiment）：具有以 下三个特征的试验： （1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现。
高考数学《随机事件、频率与概率》课件
索引
3.已知随机事件 A，B 发生的概率满足条件 P(A∪B)＝34，某人猜测事件A－∩B－发
生，则此人猜测正确的概率为( C )
A.1
B.12
C.14
D.0
解析 ∵事件A－∩B－与事件 A∪B 是对立事件，
∴事件A－∩B－发生的概率 P(A－∩B－)＝1－P(A∪B)＝1－34＝14， 则此人猜测正确的概率为14.
业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整
理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
频数 28 17 34 21
索引
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； 解 由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为14000＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为12080＝0.28.
中奖的概率.( ×)
解析 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错. (4)中，甲中奖的概率与乙中奖概率相同.
索引
2.(2021·珠海期末)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互
斥的事件是( D )
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
解析 “两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确.
训练1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)
按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级
概率与统计中的频率与概率的计算
概率与统计中的频率与概率的计算在概率与统计中，频率和概率是两个重要的概念。
它们都与事件发生的可能性有关，但在计算方法和应用上有所不同。
频率是指某个事件在重复试验中发生的次数与总试验次数的比值。
它用来描述随机事件在实际观察中的相对频繁程度。
频率可以用来估计概率，特别是在试验次数较少或无穷大的情况下不能直接计算概率时，频率是一种常用的近似计算方法。
频率的计算公式为：频率 = 某个事件发生的次数 / 总试验次数例如，某个骰子六个面的数字出现次数分别为1、2、3、4、5、6，则各个数字出现的频率分别为1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6。
与频率相比，概率是事件发生的理论上的可能性。
概率可以用数值表示，范围在0到1之间。
概率越接近于1，事件发生的可能性越大；概率越接近于0，事件发生的可能性越小。
概率的计算方法包括经典概率和统计概率。
经典概率是基于等可能性原理的计算方法。
当每个事件发生的可能性相等时，事件A的概率可以用下式计算：概率A = A发生的情况数 / 总情况数例如，一枚硬币正面朝上的概率可以用1/2表示，因为正面朝上的情况只有一种，总情况数为两种（正面和反面）。
统计概率是基于统计数据的计算方法。
当无法保证每个事件发生的可能性相等时，可以通过实验或观察得到事件发生的频率，进而估计概率。
例如，通过投掷一枚硬币100次，正面朝上的频率为60次，反面朝上的频率为40次。
则可以估计硬币正面朝上的概率为60/100=0.6。
在实际应用中，频率和概率都有其独特的作用。
频率可以用来描述实际观察中的现象和实验结果，是验证概率理论的基础。
而概率则可以用来预测事件发生的可能性，是决策和风险管理的重要工具。
总结起来，频率和概率在概率与统计中扮演着重要的角色。
频率描述了事件在实际观察中的相对频繁程度，可以用来估计概率；而概率则是事件发生的理论上的可能性。
它们的计算方法和应用略有不同，但都是研究和理解随机事件的重要工具。
频率与概率的区别
频率与概率的区别这是频率与概率的区别，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
频率与概率的区别第1篇频率和概率虽然都有个“率”，但是物理意义几乎完全不相同。
它们都有“率”字完全是汉字的巧合。
在英语里面，前者是frequency，后者是probability。
频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值，频率是近似值,概率是准确值。
1)频率：（英语：Frequency）是单位时间内某事件重复发生的次数。
在n次重复试验中，事件A发生了m(A)次，则称：m(A)/n 为事件A发生的频率。
2)概率：它反映随机事件出现的可能性大小的量度。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数。
该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。
频率与概率的区别第2篇概率是一个稳定的数值，也就是某件事发生或不发生的概率是多少。
频率是在一定数量的某件事情上面，发生的数与总数的比值。
频率是有限次数的试验所得的结果，概率是频数无限大时对应的频率。
概率和频率有什么区别和联系联系与区别1、他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值；3、频率是近似值，概率是准确值；4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率。
频率与概率的区别第3篇他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；频率一般是大概统计数据经验值,概率是系统固有的准确值；频率是近似值,概率是准确值；频率值一般容易得到,所以一般用来代替概率进行定量分析，首先要知道系统各元件发生故障的频率或概率。
频率和概率的区别与联系知识拓展概率是度量偶然事件发生可能性的数值。
假如经过多次重复试验(用X代表)，偶然事件(用A代表)出现了若干次(用Y代表)。
高中数学频率与概率
况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A
的( )
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为 4
5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出 现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
(1)在上表中填上优等品出现的频率. (2)中常常用随机事件发生的概率来估 计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产 品中不合格产品的数量等.
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为 规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟 随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结 果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了 高中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该 中学高中部一共有多少名学生.
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳 定在0.97,在它附近摆动
【思维·引】 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到,它只反映事 件发生的可能性大小来判断.
【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是 说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可 能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不 正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能 性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1, 所以C不正确,D正确.
提示:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大 小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.
第二章 随机事件及其概率
S
A
B S
A- B
A- B
A S
A
B S
A A B
B S
若A1, A2,...An中任意两个事件都是互不相容的, 则称n个事件A1, A2,...An 两两互不相容
A
B S
A
A
S
事件A发生的频率与概率 1、事件发生的频率及计算
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
２、频率fn(A)的基本性质 1°非负性："AS,fn(A)0 2°规范性：fn(S)=1 3° 可加性：若AB=f,则fn(AB)=fn(A)+fn(B) ４°稳定性：一般地，当试验次数n逐渐增大时,事件A出 现的频率总是围绕在某个实常数P(A)附近，这种性质 称为频率的稳定性,稳定值P(A)称为稳定中心。
A A
B
B
A
B
5 9
解：基本事件为“每一种住房方式”，由于每个人都
可以分配到N间房中的任一间,故n个人住房的方式共有
N n 种,且为等可能的,而
(1)A所含基本事件数为n个人的全排列n! 故
P(A) =
n!
N
n
N n N ÷n! P( B) = n =
N
n
故
条件概率和全概率公式
一、条件概率
例题：掷一骰子三次，若已知出现的点数都不相同，试求 至少有一个一点的概率。
解:设A ={出现点数都不相同} B ={至少有一个一点} 5´4´3 P(B| A) =1- P(B | A) =1P(B A) =1- 6´6´6 = 1 6´5´4 2 P(A) 6´6´6
随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1 随机事件及其频率· 概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生 也可能不发生,而在大量重复试验中具有某种统计规律 性). 或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题
用大写字母 A , B , C ,表示.
随机事件 事件 必然事件 (记作U ) 不可能事件 (记作V )
பைடு நூலகம்
率
频
0.2
§1.1 随机事件及其频率· 概率的统计定义
概率的统计定义
随机事件发生的可能性可以用一个数来表示, 这 个刻画随机事件 A在试验中发生的可能性大小的、介
于0与1之间的数叫做随机事件 A的概率, 记作 : P( A).
根据定义有：
0 P ( A) 1,
P(V ) 0,
P(U ) 1.
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1
随机事件及其频率· 概率的统计定义
1.随机现象与统计规律性
确定性现象（必然现象）： 在一定条件下,必然会出现的某种确定的结果. 例如： (1) 向上抛一枚硬币,硬币上升到一定高度后必 然会下落； (2) 水加热后温度必定升高. (3) 太阳必定从东方升起.
统计规律性 人类的大量实践表明,在相同条件下,对随机现象进 行大量的重复观测,其结果总能呈现出某种规律性. 例：抛一枚硬币,观察正面朝上情况.
试验者
抛硬币次数 n
De Morgan Buffon Fisher Pearson Pearson
2048 4040 10000 12000 24000
正面朝上次数 m 1061 2048 4979 6019 12012
高中数学随机事件的频率与概率说课稿
《随机事件的频率与概率》说课稿一、说教材1、教材的地位和作用《随机事件的频率与概率》选自北师大版高中数学必修3第三章第一节的内容，概率是高中数学的新增内容，它自称体系，是数学中一个比较独立的学科分值，与以往所学的数学知识有很大的区别，但是与人们的日常生活密切相关，而且对思维能力有较高要求。
通过本节课可以为以后利用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率起到承前启后的作用。
2、教学目标1、知识与技能：理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性；掌握概率的统计定义及概率的性质。
2、过程与方法目标：通过创设问题情境，引发学生思考、探究，在这个过程中体会学习条件概率的必要性，探寻解决问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度价值观：在问题的解决过程中，学会探究、学会学习；体会数学的应用价值，发展学生学数学用数学的意识。
3、教学重、难点重点：（1）通过大量重复试验感受频率的稳定性和随机事件发生的不确定性（2）正确理解概率的意义。
难点：（1）理解频率与概率的关系（2）正确理解概率的含义。
二、说学情在认知方面，学生在初中已经学习过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，在日常生活中，对于概率可能有一些模糊的认识，并且学生思维比较灵活，有较强的动手操作能力和较好的实验基础；在心理方面，虽然高中学生有一定的抽象思维能力，但是概率的定义过于抽象，学生较难理解。
在动机和兴趣方面，概率与生活息息相关，这部分知识能够引起学生的兴趣。
三、说教法学法在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。
为了体现以生为本，遵循学生的认知规律，坚持以教师为主导，学生为主体的教学思想，体现循序渐进的教学原则，我采用引导发现法、分析讨论法的教学方法，通过提问、启发、设问、归纳、讲练结合、适时点拨的方法，让学生的思维活动在教师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”，“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体高一学生知识上已经掌概率的概念，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，通过让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。
高考数学复习考点知识讲解课件55 随机事件 频率与概率
若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则 Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于 20，
则 Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以，Y 的所有可能值为 900,300，－100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为
图示
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3.事件的关系
定义
表示法
包含 若事件 A 发生，事件 B 一定发生 ，称事件 B⊇A
关系 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B) (或 A⊆B)
互斥 如果事件 A 与事件 B 不能同时发生 ，称 若 A∩B＝∅，
事件 事件 A 与事件 B 互斥(或互不相容)
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满
意”的概率是( C )
A．175
B．25
C．1115
D．1135
[解析] 由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”
或“满意”的人数为 1200＋2100＝3300，所以所求概率为34350000＝1115.故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点二 随机事件的频率与概率——师生共研
ห้องสมุดไป่ตู้
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【例 1】 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售
价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销
1.1频率与概率
普查年份 1953
总人口/万 59 435
男/万 30 799
女/万 28 636
性别比（以女性为100） 107.55
1964
69 458
35 652
33 806
105.46
1982
100 818
51 944
48 874
106.28
1990
113 368
58 495
54 873
106.60
2000
990 993 994 101 1 022 811 964 573 934 663 5 865 874
513 654 514 765 528 072 496 986 482 431 3 032 452
频率m/n 0.518 0.518 0.518 0.516 0.515 0.516 0.517
我国历次人口普查总人口性别构成情况，它们 与拉普拉斯得到的结果非常接近.
（重点、难点） 3.会列重复试验的结果.
为了研究这个问题，2013年北京市某学校高 一（5）班的学生做了如下试验：
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察出 现“钉尖朝上”的频率的变化情况如图:
频率
1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
投掷次数 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130
0.518 1 0.506 9 0.497 9 0.500 5 0.498 2
我们可以设想有1 000人抛掷硬币，如果每人抛5 次，计算每个人抛出正面的频率，在这1 000个频率中， 一般来说，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1都会有,而且会 有不少是0或1.
随机事件与概率及其概率和频率的关系
随机事件与概率及其概率和频率的关系一、引言本文将探讨随机事件与概率之间的关系，以及概率和频率之间的关联。
我们将从随机事件的定义入手，逐步介绍概率的概念和计算方法，并分析概率和频率在实际应用中的联系和差异。
二、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
通俗来说，它是具有某种不确定性的事件，例如抛硬币、掷骰子等。
随机事件的发生是由各种因素相互作用的结果，无法事先准确预测。
三、概率的基本概念3.1概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
用数学语言来表达，概率就是随机事件发生的频率与总试验次数之间的比值。
它的取值范围在0到1之间，其中0代表事件不可能发生，1代表事件一定会发生。
3.2概率的计算方法等可能性事件概率的计算方法可以分为两种常见的情况：和**不等可能性事件**。
对于等可能性事件，计算概率很简单，只需要用有利结果的个数除以所有可能结果的个数即可。
古典概型对于不等可能性事件，常用的计算概率方法有、**几何概型**和**统计概型**等。
四、概率和频率的关系4.1概率和频率的定义概率和频率都可以用来描述随机事件的发生情况，但它们是从不同的角度出发进行观察和分析的。
理论上的数值概率是通过总体试验次数与事件发生次数之间的比值来衡量事件的可能性大小，是一种。
实际观察到的数值频率是通过大量的试验实验所得的事件发生次数与实验总次数之间的比值来衡量事件的发生情况，是一种。
4.2概率和频率的关联系数频率到概率的收敛概率和频率之间存在一定的关联，可以通过大量试验的频率逼近概率值，这就是。
随着试验次数的增加，频率趋于概率，两者的差距逐渐减小。
数学上可以通过极限的概念来描述概率和频率的关联，即频率趋近于概率的极限值。
4.3概率和频率的差异概率和频率之间存在一定的差异，主要有以下几个方面：观察对象不同-：概率是基于推理和理论的观察，而频率是基于实际观察和统计的结果。
试验次数要求不同-：概率不需要进行大量试验，只需要考虑总体的因素；而频率需要进行大量的试验，以实际观察到的结果进行统计。
随机事件必然事件不可能事件关系频率的稳定性频率和概率的区别与联系
一、频率的稳定性即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率；二、“频率”和“概率”这两个概念的区别是频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
三、随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义：必然会发生的事件叫做必然事件；不可能事件：肯定不会发生的事件叫做不可能事件；概率的定义：1.在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。
这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
2.m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。
3.因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
四、随机事件概率的定义：对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
五、必然事件包括不可能事件吗必然事件不包括不可能事件。
必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。
必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件。
不可能事件：概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。
必然事件和不可能事件统称为确定事件。
概率论术语：表示在一定条件下，必然出现的事情。
如从混有四件次品的产品中任意抽取五件，那么“其中必有一件是正品”就是一个必然事件。
是随机事件的一种极端情形。
必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件连续型随机变量X，取值为样本空间中任意有限个点的概率为0，从整个样本空间剔除这有限个点，取到'非该有限个点'概率依然为1。
频率和概率的异同
频率和概率的异同
频率和概率是研究随机事件发生的可能性大小常用的特征量，它们既有区别也有联系.随机事件A发生的频率，是指在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率.由此可见，频率是概率的近似值，随着试验次数的增多，频率会越来越接近于概率，概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性.
频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.概率是由大量数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势.概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关.
例如，掷一枚硬币，正面和反面出现的概率相等，都是，这是经过上百万次试验取得的理论数据.某人只掷20次，正面出现的频率为，反面出现的频
率仅为. 若就此下结论，出现正面的可能性一定大于出现反面的可能性就不对了.
再比如，对某品牌乒乓球质量抽查，得到如下数据：
在上述抽查试验中可以看出，当抽取的乒乓球个数较少时，优等品的频率波动较大，但当抽取的球数很大时，频率基本上稳定在0.95，在其附近摆动，所以可认为该品牌的乒乓球优等品的概率是0.95.
由此可见，概率和频率的关系是整体和具体、理论和实践、战略和战术的关系，频率随着随机事件发生次数的增加，会趋向于概率，这是求一个事件概率的最基本的方法.
概率的统计定义是用频率表示的，但它又不同于频率的定义，只是用频率来估算概率.频率是试验值，有不确定性，而概率是稳定值.。
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2
在生活当中, 经常接触到事件的概率 比如:
降水概率为30%； 某强队对弱队赢球的概率为80%；
3
为什么要学习概率论与数理统计?
因为概率论与数理统计应用广泛: 例如: (1)体育彩票 数据 需检验 (a)每个数字被选中的机会是等可能的;
(b)每个数字被选中是相互独立的.
（2）自动生产线的控制:（可口可乐）抽样、 检验、调试
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
16
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子, 观察出现的点数”.
2.“从一批产品中, 依次任选三件, 记录出现正品与次品的件数”.
17
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数.
复出现（例6）
大量性随机现象：在相同条件下可以重复出
现（例1-5）
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
13
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
21
例如，从包含两件次品(a1,a2)和三件正 品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:
具体拿出两件就是一次试验
例如拿出的两件是a1、b1 这就是一个样本点,记为{a1,b1}
样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},
{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}
8
了解事件发生的可能性即概率的大 小,对人们的生活有什么意义呢?
例如: 了解发生意外人身事故的可能性大
小,确定保险金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种
可能性大小,合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性
大小,合理ห้องสมุดไป่ตู้定堤坝高度.
9
自然界的现象: 确定性现象 : 一定发生的现象
例如, 自由落体运动 太阳不会从西边升起
一次试验就是掷一次硬币
试验的可能结果有两个: 正 (正面朝上)、反 (反面朝上)
即有两个样本点: 正、反 这个随机试验的样本空间为: {正、反}
20
例如, 测量灯泡寿命: 样本点是一非负数,由于不能确知
寿命的上界,所以可以认为任一非负实 数都是一个可能结果,则样本空间:
S = {t : t ≥0｝
随机现象 : 在一定的条件下,可能出现 这样的结果,也可能出现那样的结果,而 且在事先无法预知确切结果的现象
例如, 车站等车人数 新生的婴儿可能是男或女
10
实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹落点会各不相同”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”
11
实例4 “从一批含有正 品和次品的产品中任意抽 取一个产品”.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短.
12
随机现象的分类
个别随机现象：原则上不能在相同条件下重
4
（3）金融、债券与风险管理（金融工程师、 精算师）企业管理等等;
(4) 经济、保险; 管理决策; 生物医药; 工业 (工艺方案等); 农业(试验设计等); 等等
例如天气预报、地震预报、产品的抽 样调查;在通讯工程中可用以提高信号的抗 干扰性、分辨率等等
5
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性（随机性）.
6
从亚里士多德时代开始，哲学家们 就已经认识到随机性在生活中的作用， 他们把随机性看作为破坏生活规律、超 越了人们理解能力范围的东西. 他们没 有认识到有可能去研究随机性，或者是 去测量不定性.
7
将不定性（随机性）数量化，来尝试 回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始 的. 还不能说这个努力已经十分成功了， 但就是那些已得到的成果，已经给人类活 动的一切领域带来了一场革命.
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
14
随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
15
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
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一、样本空间与随机事件
样本空间: 试验的所有可能结果组成的 集合
记为
样本点 : 样本空间的元素 即随机试验的单个结果
记为
由随机试验的定义可知所有的样本 点是已知的
19
例如, 掷一枚硬币观察正、反面出现的 情况:
1.1 随机事件、频率与概率
一、样本空间与随机事件 二、事件的关系及运算 三、频率和统计规律性
1
概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌 徒胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌 博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡 与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了 概率论的第一个基本概念
22
把样本空间的任意一个子集称为 一个随机事件,简称事件
记作A、B、C等
可见,随机事件是由试验的若干个 结果组成的集合
23
在上例中,令
A={{b1, b2},{b1, b3},{b2, b3}} 表示事件: “没有抽到次品”