研究生课件 13章协方差分析
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13章协方差分析研究生
Y
Y11 Y12 Y1n1
X
X21 X22 X2n2
Y
Y21 Y22 Y2n2
…
… … …
X
Xk1 Xk2 Xknk
Y
Yk1 Yk2 Yknk
X1
Y 1
X2
Y 2
Xk
Y k
X1
Y1
X2
Y2
Xk
Yk
对于完全随机设计资料的协方差分析是把Y的残差平 方和分解为修正均数间和组内残差两部分 。
处理因素
不同蛋白质 进食量 窝别
线性
性别
出生体重
增长体重
线性
•
例如，在上述的营养研究中，若要比较不同
饲料组的动物增重有无差别，而动物的增重又与
进食量、初始体重有线性关系时，可先用直线回
归的方法，找出各组因变量（增重）与协变量
（进食量或物体重）之间的数量关系，求得在
假定协变量相等时的修正均数，然后用方差分析
量影响的方差分析，即为协方差分析。
概念
1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方
法，它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2
个或多个修正均数间有无差别的假设检验方法。目
的把与Y有线性关系的协变量影响化为相等后，再
来比较修正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。
3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
比较修正均数间的差别。
二 、协方差应用条件及其用途
1．协方差分析的应用条件
(1)各样本是来自于方差相同的正态总体的随机样本，即：
.
2 1 2 2
(2)各样本的X与Y呈直线回归关系，即： i 0 ;且各组间回 归直线平行（组间差别无统计学显著性意义） ，即：
《方差和协方差分析》课件
应用优势
方差分析可以帮助我们解释和预 测变量之间的关系， 并为决策提供科学依据。
方差分析的例子和应用
市场调研
通过方差分析，我们可以比较不同市场 的消费者行为差异，为市场定位提供依据。
产品质量
方差分析可用于评估不同生产线或供应商的质量表现， 找到出现问题的原因，并进行改进。
教育研究
通过方差分析，我们可以比较不同教育干预 措施的效果，为教育政策的制定提供指导。
《方差和协方差分析》 PPT课件
本PPT课件将深入探讨方差和协方差分析的概念、原理以及相关实际应用，的概念和原理
概念理解
方差分析是一种用于比较组间差 异的统计方法， 帮助我们了解不同因素对观察结 果的影响程度。
原理解析
通过计算组内和组间的方差，并 进行比较分析， 判断差异是否显著。
协方差分析的概念和原理
概念解释
原理介绍
协方差分析是一种用于分析两个 或多个变量之间关系的统计方法， 帮助我们理解变量之间的相关性。
通过计算变量间的协方差，并对 其进行分析， 我们可以得出变量之间的相关结 构。
应用价值
协方差分析可以帮助我们发现变 量之间的关联规律， 为决策和预测提供参考依据。
协方差分析的例子和应用
总结和展望
通过本次PPT课件，我们详细介绍了方差和协方差分析的概念、原理、 例子和应用，希望能够为大家在统计分析领域提供有力支持。
1
金融领域
通过协方差分析，我们可以研究不同金
医学研究
2
融资产之间的相关性， 为投资组合的构建和风险管理提供指导。
协方差分析可用于分析不同治疗方法的
疗效差异，
为医疗决策提供科学依据。
3
社会科学
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
FEyy(ad)jS1 k1 S1 N2k
Eyy(ad)jEyybw2Exx
k
S1 Eyy
b E 2 wi xxi
i1
k
[(Eyybw2Exx)(Eyy bwi2Exxi )]/(k1)
对于芬兰白酒专卖的问题，交通事故显然不是仅仅与销售方式有关，而把其 他变量都归为随机误差又太过粗糙．这样。我们就想到了引入其他变量．在
协方差分析的模型中，我们称之为协变量．
下面我们再看协方差分析数据结构：
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
从离差分解的角度我们来解释协方差分析
对于方差分析:
总离差=分组变量离差+随机误差(组内离差)
对于协方差分析:
总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差
Mslab @ TianjinUniv
在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
ALBERT R.WLDT OLLI AHT
报告人:白寅
Mslab @ TianjinUniv
我们先来看一个问题：
芬兰由几十个小的自治区组成。在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄 断的。几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
k
n
概率论与数理统计协方差和相关系数精品PPT课件
X
E(
X
)Y
E(Y
)
D( X )
D( Y )
Cov( X ,Y ) . D( X ) D(Y )
6
二、相关系数 (correlation coefficient)
1、定义:设(X,Y)是一随机向量，当D(X)>0, D(Y)>0,则称数
数
记作 XY
C值OV ( X ,Y )
D( X ) D(Y )
为了克服这一缺点，在计算协方差时，先对X与Y进行标准化.即:
征 X X E( X ) ,Y Y E(Y ) ,
D( X )
D(Y )
E( X ) 0, E(Y ) 0,
= Cov( X ,Y ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) E( X Y )
=
E
准化。
=
注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.
2
§3 协方差和相关系 数
corrCeolvaatriioannce and coefficient
一、协方差
1、定义对: 于设向(X量,YX)和是Y一，随期机望向和量方，差称只E反{[映X-了E(变X)量][各Y-自E(的Y)情]}况，
没有相互之间的关系若。X、Y相互独立, E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，
= (5) 切比雪夫不等式
D(X)= 2
(b a)2 D(X)=
12
1
D( X ) 2
设r.vX具有均值E(X)= ,D(X)=2，则对 >0 ,有不等式
=
P
X
2 2
P
X
2
1 2 .
1
P99T10： 设E(X),D(X)均存在,且D(X) ≠0
协方差分析讲课课件
导入所需的库，如 NumPy和SciPy。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
总离差平方和修正值的定义和计算式如下：
kn
Tyy(adj)
(Yij(adj) Y )2
• 协方差分析可以解决这类问题。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
协方差分析是如何解决这个问题的呢? 首先,我们看看方差分析数据结构：
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
实验前后，同一地区的交通事故量应该有某种联系！－－回归关系 销售白酒后交通事故多的地区有可能是因为其原来交通事故就比其他地区多！
直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数 据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数 据中的干扰因素从而提高精度。——我们知道，就算12个地区白酒的销售方式 是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与 白酒的销售有关而其他因素统一水平。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
总思路
Mslab @ TianjinUniv
在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Y i(ja)d Y jij(X ij X ) u ti e ij
协变量修正后的 观测值
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
第十三章--协方差分析
;
proc glm; class c;
model y=c x /solution SS3; /*solution:输出回归系数并检验*/
lsmeans c
/*输出修正均数*/
/stderr
/*输出修正均数的标准误*/
pdiff;
/*输出修正均数两两比较的P值*/
run
The GLM Procedure
（“3.中的分析项目”与方差分析一致）
⑵总的离均差平方和、积和 lXX=∑X2-C1=9614-8893.5=720.5, (13-4) lYY=∑Y2-C2=206613-204057.04=2555.96, (13-5) lXY=∑XY-C3=43681-42600.25=1080.75, (13-6) ⑶组间离均差平方和、积和
19911 25.375 96.875
XY
24
462
2213
9614 206613
43681 19.250 92.208
1.H0:各总体增重的修正均数相等 H1:各总体增重的修正均数不全等 或全不等, α＝0.05
2. 列表计算（表 13-3） 3.⑴校正数 C1=(∑X)2/N=4622/24=8893.5, (13-1) C2=(∑Y)2/N=22132/24=204057.04,(13-2) C3=∑X∑Y/N=462×2213/24=42600.25 (13-3)
总的
Y
Y
2
l YY
l l
2 XY
XX
（13-10）
=2555.96-1080.752/720.5=934.84
组内
Y
Y
2
=1238.38-420.872/175.25
协方差和相关系数精选PPT
若随机变量X与Y的相关系数 为 X ,Y 的协方差.
所以方差是协方差的特例.
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
E (X E (X )Y ) (E (Y ) co X ,Y v )( D (X )D (Y ) D (X )D (Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为
X Y
covX(,Y) D(X) D(Y)
1, 1/2x1/2
f(x)
0,
其 它 E(X)=0,
1/2
E (X)Y E (X co X )s xco xsd 0x 1/2 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
XY0
X , Y 不相关
coX ,v Y)(0 E (X ) Y E (X )E ( Y )
E (X Y ) E E ((X X )E Y ()Y ) E E ((X X ))E E (Y () Y )E (Y )E (X )
1D(XY)D(X)D(Y)
2
若 ( X ,Y ) 为离散型，
cov(X ,Y) [xiE (X )][yjE (Y)]pij i 1j 1
若 ( X ,Y ) 为连续型，
43 75
例3 设 X 的密度函数为 f(x)1ex,x(,) 2
(1) 求 E( X ), D( X )
(2) 求 X与 X 的协方差和相关系数，并 确定X与 X 是否相关.
(3) 判定 X与 X 是否独立.
0y
3
D(X)E(X2)E2(X)2 75
D(Y)E(Y2)E2(Y)11 225
1
E(Y) (
所以方差是协方差的特例.
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
E (X E (X )Y ) (E (Y ) co X ,Y v )( D (X )D (Y ) D (X )D (Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为
X Y
covX(,Y) D(X) D(Y)
1, 1/2x1/2
f(x)
0,
其 它 E(X)=0,
1/2
E (X)Y E (X co X )s xco xsd 0x 1/2 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
XY0
X , Y 不相关
coX ,v Y)(0 E (X ) Y E (X )E ( Y )
E (X Y ) E E ((X X )E Y ()Y ) E E ((X X ))E E (Y () Y )E (Y )E (X )
1D(XY)D(X)D(Y)
2
若 ( X ,Y ) 为离散型，
cov(X ,Y) [xiE (X )][yjE (Y)]pij i 1j 1
若 ( X ,Y ) 为连续型，
43 75
例3 设 X 的密度函数为 f(x)1ex,x(,) 2
(1) 求 E( X ), D( X )
(2) 求 X与 X 的协方差和相关系数，并 确定X与 X 是否相关.
(3) 判定 X与 X 是否独立.
0y
3
D(X)E(X2)E2(X)2 75
D(Y)E(Y2)E2(Y)11 225
1
E(Y) (
章协方差分析研究生精品PPT课件
检验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后
同一个体两个不同时间的观测
两个个体的实验观测结果相互独立 两个不同时间观测结果常不相互独立
对差数用成对资料 t 检验推论两种处理 对差数用成对资料 t 检验推论该处理有
有无差别
无作用；
处理前后的相关与回归分析。
重复测量设计(单因素)
受试者编号
1 2 3 4 5 6 7 8
受试者血糖浓度(mmol/L)
原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离 回归平方和或剩余平方和，记为SS剩。
SS总 SS回 SS剩
F SS回/ 回 MS回
SS剩 / 剩
MS剩
F MS组间 MS组内
SS总
(Y Y )2
Y 2 ( Y)2 n
SS回
blXY
l
2 XY
l XX
SS剩
SS总SS回l 源自y1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方 法，它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2 个或多个修正均数间有无差别的假设检验方法。目 的把与Y有线性关系的协变量影响化为相等后，再 来比较修正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。
3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
处理。
单因素方差分析变异构成
个体变异
处理因素
随机误差
组间变异
• SS组间
总变异
SS 总
随机误差
组内变异
SS组内
个体变异
各种变异的表示方法
• SS总 • 总 • MS总
SS组内 组内 MS组内
三者之间的关系：
SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
方差分析与协方差分析(共52张PPT)
类错误的概率大大增加：如6次检验H0的概率是时的误差为：6 。
方差分析概念
• 第一类因素：可以控制的控制因素 • 第二类因素：不能控制的随机因素
• 受前两类因素影响的事物为观察变量
• 方差分析目的：分析控制变量的不同水平是否对观察变量产生 了显著影响，检验各个水平下观察变量的均值是否相等
方差分析分类之一
般并不要求检验总体的正态性。
(2)变异可加性。各因素对离差平方和的影响可以分割成几个可 以加在一起的部分。（多因素） (3)独立性。观察对象是来自所研究因素的各个水平之下的独立随 机抽样
(4)方差齐性(homogeneity of variance)，也称变异的同质性，各
个水平下的总体具有相同的方差。这是方差分析一个很重要的前 提，因此在进行方差分析之前，应当进行方差齐性检验。
配伍设计(Randomized block design) 随机区组或双因素无重复试验设计.
交双叉因设 素计（：无安交进排互两作行种用评或）两试价种验以的。上方协处差理分变因析素表量，一定要是连续数值型。
与LSD方法基本相同。
析因设计• ：安非排两定种量或两方种以差上分处理析因素：，因变量为定序变量
协方差分析的假设
• 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
FB
MSB MSE
F ( a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
方差分析概念
• 第一类因素：可以控制的控制因素 • 第二类因素：不能控制的随机因素
• 受前两类因素影响的事物为观察变量
• 方差分析目的：分析控制变量的不同水平是否对观察变量产生 了显著影响，检验各个水平下观察变量的均值是否相等
方差分析分类之一
般并不要求检验总体的正态性。
(2)变异可加性。各因素对离差平方和的影响可以分割成几个可 以加在一起的部分。（多因素） (3)独立性。观察对象是来自所研究因素的各个水平之下的独立随 机抽样
(4)方差齐性(homogeneity of variance)，也称变异的同质性，各
个水平下的总体具有相同的方差。这是方差分析一个很重要的前 提，因此在进行方差分析之前，应当进行方差齐性检验。
配伍设计(Randomized block design) 随机区组或双因素无重复试验设计.
交双叉因设 素计（：无安交进排互两作行种用评或）两试价种验以的。上方协处差理分变因析素表量，一定要是连续数值型。
与LSD方法基本相同。
析因设计• ：安非排两定种量或两方种以差上分处理析因素：，因变量为定序变量
协方差分析的假设
• 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
FB
MSB MSE
F ( a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
协方差分析(三版)
完全随机设计资料的 协方差分析
表13-1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
方法步骤
数据准备
数据分布检验 方差齐性检验
电脑运算
具体步骤
• •
Y ，积和 X jY j 1、计算各组 ，平方和 X 、 均数 X j Y j 及其合计项 2、利用合计项各数据计算校正数C1、C2、C3，以 及总变异的离均差平方和 l XX lYY ，积和 l XY 及自 由度 3、计算各处理组间的离均差平方和，积和及自由 度 4、列出协方差分析计算表填入上述结果，再由总 变异的及减去处理组相应各值，得到组内离均差平 方和及自由度
ˆ )2 ( Y Y
MS
总变异－白鼠间
ˆ )2 l l 2 l ( Y Y YY XY XX
Y
(YY)
Y
ˆ) (Y Y
ˆ Y) (Y
Y
X
残差平方和的分解
2 2 2 ˆ ˆ ˆ (Y Y ) 总 (Y Y ) 修正均数间 (Y Y )组内
总 修正均数间 组内
2 ˆ (Y Y ) 修正均数间 2 ˆ (Y Y )组内
修正均数间 组内
协变量假定均数
随机区组设计的协方差分析
例13-2 为研究A、B、C三种饲料对增加大白鼠体 重的影响，有人按随机区组设计将初始体重 相近的36只大白鼠分成12个区组，再将每个 区组的3只大白鼠随机分入A、B、C三种饲 料组，但在实验设计时未对大白鼠的进食量 加以限制。三组大白鼠的进食量(X)与所增 体重(Y)如下，问扣除进食量因素的影响后 ，三种饲料对增加大白鼠体重有无差别 ？
区组 （大白鼠）
扣除协变量影响： 用线性回归残差平方和表示 扣除区组的影响： 总变异－区组变异＝处理变异＋误差
概率论 第十三讲 协方差与相关系数 共33页
设
X
为离散
r.v.
分布为
P(Xxk)pk,
E(Xk ) xki pi
i1
X连续 r.v. ，d.f. 为 f (x)
E(Xk) xkf(x)dx
所 以 E ( X ) 是 一 阶 原 点 矩 ， D ( X ) 是 二 阶 中 心 矩
二 协方差和相关系数
问题 对于二维随机变量(X ,Y ):
E (X E (X )Y ) (E (Y ) co X ,Y v ) ( D (X )D (Y ) D (X )D (Y )
为X ,Y 的 相关系数，记为
XY
covX(,Y) D(X) D(Y)
事实上， X Yco X v ,Y ) (
若 XY0, 称 X ,Y 不相关.
|co X ,Y ) v |2 D ((X )D (Y )
当D(X ) > 0, D(Y ) > 0 时，当且仅当
P Y E (Y ) t0 [X E (X )] 1
时, 等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式
证 令 g (t) E [Y E (Y )] t[X E (X )] 2
为 X ,Y 的协方差. 记为
c o v (X ,Y ) E [X E (X ) ] [ Y E ( Y ) ]
称 D(X) coX v,Y ()
coX v,Y () D(Y)
为（X , Y ）的协方差矩阵
可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
已知联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.
相关主题
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比较修正均数间的差别。
二 、协方差应用条件及其用途
1．协方差分析的应用条件
(1)各样本是来自于方差相同的正态总体的随机样本，即：
.
1
2 2 2
2 k
(2)各样本的X与Y呈直线回归关系，即： i
1
0
;且各组间回
归直线平行（组间差别无统计学显著性意义） ，即：
观察指标的因素应齐同，即各组间应有同质基
础。举例说明。
2.各组间不同质：但在医学科研中常遇到以
下情况：如在食品营养的动物实验中，各组动物
所增加的平均体重不仅与各种饲料的营养价值有 关，还与各组动物的初始体重、进食量有关。初 始体重、进食量都是影响观察指标的变量，亦称 混杂因素，在统计分析中又称协变量；考虑协变
量影响的方差分析，即为协方差分析。
概念
1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方
法，它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2
个或多个修正均数间有无差别的假设检验方法。目
的把与Y有线性关系的协变量影响化为相等后，再
来比较修正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。
3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
方差分析（analysis
of variance, ANOVA）
• 应用范围 • 1.用于两个或两个以上样本均数的比较 • 2.分析两个或多个研究因素的交互作用 • 3.回归方程线性假设检验等。 • 应用条件 • 1.各样本是相互独立的随机样本； • 2.各样本来自正态分布总体 • 3.各总体方差齐。 • 如果不符合上述条件就要对资料进行 处理。
重复测量设计与随机区组设计区别 重复测量设计
●处理因素在区组间（受试者）随机分配； ●区组内各时间点固定，不能随机分配；
区组内实验单位彼此机分配；
每个区组内实验单位彼此独立。
• 请设计一个实验： • 饮食（肉食者，素食者）与运动强度（轻、 中、重）对脉搏的影响（人群研究）。
有无不同?
表13-3 三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤） A饲料组 B饲料组 C饲料组
X1
15 13 11 12 12 16 14 17 85 83 65 76 80 91 84 90
Y1
17 16 18 18 21 22 19 19
X2
Y2
97 90 100 95 103 106 99 94
乳 组 Y
123.5 117.0 124.5 104.0 89.0 142.5 127.0 140.0 102.5 111.2 1081.2 108.12
奶 粉 组 X
704.0 690.2 517.1 576.6 566.0 650.0 590.3 610.5 570.6 550.7 6026.0 603.6
奶 粉 组
Y X
704.0 690.2 517.1 576.6 566.0 650.0 590.3 610.5 570.6 550.7 6026.0 603.6
Y
171.0 170.0 113.0 126.0 121.0 150.0 155.0 145.0 130.5 125.0 1406.5 140.7
变异之间的关系：
SS组间 组间 MS组间
SS配伍间 配伍间 MS配伍间
• SS总= SS组内+ SS组间+ SS配伍间
总=
组内+ 组间+配伍间
方差分析的基本思想
• 总变异(total variation)：SS总 ν总=（N−1）。
• 组内变异(variation within groups)：SS组内
• 表13-1 完全随机设计的协方差分析的资料模式
第1处理组 第2处理组 第k处理组
X
X11 X12 X1n1
Y
Y11 Y12 Y1n1
X
X21 X22 X2n2
Y
Y21 Y22 Y2n2
…
… … …
X
Xk1 Xk2 Xknk
Y
Yk1 Yk2 Yknk
X1
X1
Y 1
( l YY ) 总 ( l YY ) 组间 ( l XY ) 总 ( l XY ) 组间
4.计算残差平方和及自由度
SS ( l YY ) 总 ( l XY ) 总 /( l XX ) 总
2
总残差
SS
组内残差
修正
( l YY ) 组内 ( l XY ) 组内 /( l XX ) 组内
X3
22 24 20 23 25 27 30 32
Y3
89 91 83 95 100 102 105 110
X1
Y 1
X2
Y 2
Xk
Yk
表13-3 三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤）
母 X
549.1 532.0 513.0 526.0 373.0 560.0 571.1 618.7 470.9 500.9 合计 5211.7 均数 521.2
2 k
在做协方差分析之前，须先进行方差齐性检验、正态性
检验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后 符合上述条件，方可进行协方差分析；否则，不宜用此法。
2．协方差分析的用途 根据研究目的不
同，协方差分析可用于完全随机设计、配 伍组设计、拉丁方设计和析因设计的资料。 下面介绍完全随机设计和配伍组设计的协 方差分析的步骤。
直线回归的变异来源
(y y)
2
2
ˆ y) (y
2
ˆ) (y y
2
：反映了y的总变异程度，称为y的总平 方和，记为 SS 总 ； 2 ：映了由于y与x间存在直线关系所引 ˆ ( y y ) 起的y的变异程度，称为回归平方和，记为 SS 回 ； 2 ：反映了除y与x存在直线关系以外的 ˆ ( y y ) 原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离 回归平方和或剩余平方和，记为SS剩。
XY ( X )( Y ) / n
2.组间变异
( l
XX
j
X n
ij
)
2
i
i
C
( l YY
j
Y ij ) n
i
2
i
C
( l
XY
j
X
ij
)( n
j
Y ij ) C
i
i
3. 组内变异
l XX
l YY l XY
( l XX ) 总 ( l XX ) 组间
Y
171.0 170.0 113.0 126.0 121.0 150.0 155.0 145.0 130.5 125.0 1406.5 140.7
协方差分析步骤:
• 一、判断协方差条件
• （一）正态性检验和方差齐性检验 • （二）要求各样本来自方差相等的正态总体 • （三）判断X和Y有无线性关系 • 要求总体回归系数不等于0。因回归系数与相关系 数检验等价，可进行相关系数假设检验代替
Y1
X2
X
2
Y 2
Y2
Xk
X
k
Yk
Yk
对于完全随机设计资料的协方差分析是把Y的残差平 方和分解为修正均数间和组内残差两部分 。
•
例13.1把20头雄性白鼠随机分2组,第一
组白鼠饲母乳,第二组白鼠饲奶粉,现将2组白 鼠9周内进食量(X,g)及所增体重(Y,g)列表如 下: • 问摄入不同饲料的白鼠所增体重的均数
SS
总残差
2
SS
SS
修正
组内残差
总残差
N 2 ,
k 1
组内残差
N k 1
比较P169
SS
剩
SS
总
SS 回 l YY
l XY l XX
2
5.计算F值
MS SS 修正
修正
修正
SS 组内残差
MS
组内残差
组内残差
F
MS MS
修正
单因素方差分析变异构成
个体变异 处理因素
组间变异
随机误差
• SS组间
总变异
SS 总
组内变异
SS组内
随机误差
个体变异
各种变异的表示方法
• SS总 • 总 • MS总 SS组内 组内 MS组内 SS组间 组间 MS组间
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
变异间的关系 • SS总 • 总 SS组内 组内 MS组内
第十三章 协方差分析
Analysis of covariance
新乡医学院公共卫生学系 田玉慧
讲课内容
第一节 协方差分析的基本思想与步 骤(重点) 第二节 完全随机设计资料的协方差 分析 第三节 随机区组设计资料的协方差 分析
复习方差内容
• • • • • 1.方差分析的基本思想 2.成组设计的多个样本均数比较 3.配伍组设计的多个样本均数比较 4.多个样本均数的两两比较 5.重复测量方差分析（与方差对应）
123.5 117.0 124.5 104.0 89.0 142.5 127.0 140.0 102.5 111.2 1081.2 108.12
组 内 残 差
修正均数
对照62页
基本公式有：
1.总变异
l XX l YY
X Y
2
2
( X )
2
2