华北电力大学理论力学第二章 力系简化理论

第二章
力系简化理论
◆力的平移定理
◆力系的主矢和主矩
◆力系向一点简化
◆力系简化结果分析
§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化
∑∑⨯==i
i i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k
'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）
称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。

(),
(),()x y z M F M F M F
空间任意力系的n 个力的矢量和
1. 力系的主矢、主矩
取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和
k
F M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(
由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。

试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。

1. 计算力系主矢
令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成
力系的主矢为：
)
43(51j i F +=F
)
43(5
2j i F -=F
i
F F F F F i i R 562121
=+==∑= 例：求主矢、主矩
解：
解： 2. 计算主矩
应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：
()2
2
1
1
M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2
211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )
43(54j i j -⨯+F
)12912(5
k j i -+-=F
)
43(51j i F +=F
)
43(5
2j i F -=F
∑=⨯+⨯=⨯=2
1
21i EC EA i i E F r F r F r M )
12912(5k j i ---=F
)12912(k j i +--=F
)43(5)34(j i k j -⨯-=F )
43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=F
F 22
10F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点
对A 三点对E 点
其中，各 ，各i i
F F '= ()i o i M M F =
该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。

2．力系向一点的简化
将n 个力的同时向任意点O 平移，得到一个汇交力系（汇交点O ）与一力偶系。

根据力的平移定理，
主矩
主矢
O点—— 简化中心
汇交力系的合力 —— 力系的主矢
力偶系的合力偶矩 ——力系对O点的主矩
力系简化定理：
一般力系向任意简化中心简化，可得到一个力和一个力偶。

这个力通过简化中心，其力矢等于该力系的主矢，这个力偶的力偶矩矢等于该力系对简化中心的主矩。

●主矢与简化中心的选择无关，不随简化中心的改变而变化；
●主矩则随简化中心的改变而改变；
●主矢与主矩的点积不随简化中心而改变。

constant =⋅'O R
M F
主矢、主矩与简化中心的关系 ：
— 有效推进力，使飞机向前飞行；— 有效升力，使飞机上升；— 侧向力，使飞机侧移；
— 滚转力矩，使飞机绕x 轴滚转；— 偏航力矩，使飞机转弯；— 俯仰力矩，使飞机仰头；
Rx F '
Ry F '
Rz
F ' Ox M
Oy
M Oz
M 飞机的力系向质心简化
如图所示的由F 1和F 2组成的力系， ，
， 。

试将此力系向O 点简化。

求主矢、主矩例题 2-1
k F i F F 2
2221+-
=k
F i F F
2
2221+-=F F F ==21a OD OA ==a OC OB 2==F F F F
F F F
F F iz Rz
iy Ry ix Rx 22
2
22
=∑='-=∑='-=∑=')2(2
2
k j i F F R
+--='主矢为
(1) 主矢在坐标轴上的投影
选取O 为简化中心。

分别计算主矢和主矩。

k
F j F F
2
2222+-=解：先将各力表示成矢量的形式
(2) 主矩在坐标轴上的投影为
0)(2
2
22)(2222
)(=∑=-=⨯-=∑==⨯=
∑=i z Oz
i y Oy i x Ox F M M Fa
a F F M M Fa a F F M M
对O 点的主矩为
)2(2
2
j i Fa k M j M i M M z y x o
-=
++=
例题 2-3
解： 为了计算方便，首先将各力表示成矢量的形式
如图所示的有三个力组成的力系 F 1=50N ，F 2=100N ，F 3=200N 。

图中的长度单位为m ，试将该力系向O 点简化。

i F 501=k
i k i F
4.897.44100456
100453
2+-=⨯+⨯-=）（）（k
j i k
j i F
6.1534.1028.76200616
200614200613
3-+=⨯-⨯+⨯=）（）（）（k j i F F i R
2.644.1021.82-+==∑N 1.1462
2
2
=++=Rz Ry Rx R F F F F （1）主矢
主矢大小： 4394
.0cos ,7009.0cos ,5619.0cos -======Rz
Ry Rx F F F γβα主矢的方向余弦：
已知如图所示的力 ，作用在边长为1m
的立方体上，并可构成三个力偶。

试求合力偶的大小和方向。

N F F F F F F 200654321======力系的主矢为零。

主矩的投影
m
N 2001200)(m
N 210012
2
20012001200)(m
N )22(10012
2
2001200-)(⋅=⨯==⋅-=⨯-⨯-⨯==⋅+-=⨯⋅+⨯==∑∑∑i z z i y y i x x F M M F M M F M M m
86N .2512
22⋅=++=z y x M M M M 5616
.0cos -==M
M y β7943
.0cos ==M
M z
γ2326
.0cos -==M
M x
α主矩的大小主矩的方向余弦
习题 1-4
解：
课堂练习
横梁受主动力如图。

1）求主动力系向A点简化的主矢、主矩；
2）求力系向B点简化的主矢、主矩；
3）求力系的合力。

答案
m
2150N 525031002600)(⋅-=⨯-⨯+⨯-==∑i A A F M M j F F i R 600-==∑主矢
对A 点主矩
对B 点主矩
m
850N 210036005150)(⋅=⨯-⨯+⨯-==∑i A A F M M A
B
A
B
A
B
力系的合力
大小为 600N 作用位置如图
C
3.58m
1.42m
当 最后结果为一个过简化中心的合力.
1）合力的情况
O
R M d F =
'
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为O
R M d F ='
0,0,R O R O F M F M ''≠≠⊥
当 时，
0,0R O F M '≠=
§2–3 力系的简化结果
力系简化的最终结果
（2）合力偶的情况
当 时，最后结果为一个合力偶。

此时与简化中心无关。

0,0R
O F M '=≠ （3）当 时，结果为力螺旋。

∥0,0,R
O R F M F ''≠≠
O M 力螺旋中心轴过简化中心
（4）力系平衡的情况
当 时，空间力系为平衡力系0,0R
O F M '==
当主矢
和主矩 平行时 ，此时力系简化为力螺旋 。

力螺旋不能再进一步简化。

力螺旋
R F 'O M 力的作用线称为该力螺旋的中心轴
R F O M
O O '
力螺旋三个要素：力矢
、力偶矩矢 和中心轴位矢
当力矢和力偶矩矢的指向相同时为右螺旋，反之为左螺旋。

如用改锥旋进木螺钉时，就是右力螺 。

M
F
当 成角 且 既不平行也不垂直时0,0,,R O R O F M F M ''≠≠
,θ,R O
F M ' 力螺旋中心轴距简化中心为
sin O R M d F θ=
'
力系简化结果分析
力系的平衡条件及平衡方程
1. 力系平衡的充分必要条件：力系的主矢为零，对任意点的主矩也为零。

即：
0='R F 0=O M 2. 力系的平衡方程
∑∑∑===0
F
0F 0
F iz
iy ix ∑∑∑===0
F M 0F M 0F M i z i y i x )()()(
主矢为零
主矩也为零
各力系平衡方程形式
汇交力系
∑∑∑===0
00iz
iy ix F
F F 力偶系
∑∑∑===0
)(0
)(0
)(i z i y i x F M F M F M
平面任意力系
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===∑∑∑0
00O y x M F F 平行力系
∑∑∑===0
)(0)(0i y i x iz
F M
F M F
例题2-4
半径 r =50cm 的圆盘上作用有四个力F 1=10N ，F 2=25N ， F 3=20N ，F 4=30N ，各力的作用线如图所示。

求：(1) 力系的主矢及对圆心O 点的主距；(2) 合力作用线的位置。

解：（1）计算主矢
N
19.14894.020252
2
10sin cos N
01.4630477.02022
10cos sin 321431=⨯-+=-+===+⨯+=++==∑∑θβθβF F F F F F F F F F iy Ry ix Rx 主矢的投影：
则主矢
(2) 力系对O 点的主矩
m
N 985.9503050477.0202
5025502210cos 2
sin )(4321⋅-=⨯-⨯⨯-⨯+⨯=⋅-⋅-⨯+⋅==∑
r
F r F r
F r F F M M i O O θβ j
i F R 19.140.46+=顺时针
8.16=α
(3) 计算合力作用线位置
2073.015
.48985.9===
R
O F M d 此时力系可简化成一个合力
例题2-5
60con 60con =--=='∑
F F F F F x Rx 060sin 60sin 0=-+=='∑ F F F F y Ry
Fa
a F F M M A A 3260sin )(=⋅==∑ （2）计算主矩简化的最终结果是一平面力偶 ，大小为 Fa 。

图示物体平面A 、B 、C 三点构成一个边长为2a 的等边三角形，三点分别作用F 力，试简化该力系。

取简化中心A
3解：可在平面内任意选取一个点作简化中心，进行分析，这里选
择图中的A 点为简化中心。

（1）计算主矢
主矢为零
例题2-6：重力坝
重力坝受力如图(a)所示。

设P 1=450kN ，P 2=200kN ，F 1=300kN ， F 2=70kN ，求主动力系的合力。

（1）先将力系向O 点简化，求主矢F R ′和主
矩M O
解：先求主矢F R ′在x 、y 轴上的投影
式中
主矢的大小
x
y
θ
kN 9.232con 21=-=='∑θF F F F x Rx
kN
1.670sin 221-=---=='∑θF P P F F y Ry
7.16arctg ==CB
AB
θkN
4.7092
2=+='∑∑）（）（y x Rx F F F
x
y
主矢与x 轴的夹角为70.84°。

力系对O 点的主矩 ：
（顺时针）
（2）求合力
其作用线位置
合力F R 的大小和方向与主矢F R ′相同
4kN .709='=R
R F F m
32.34
.7092355
=='=R O F M d 或Rx
Ry
F F tg ''=
ββ = -70.84°
2355kNm
9.35.13)(211-=---==∑P P F F M M O O m 514.3==Ry
O
F M x
例题 2-7
首先，将各力表示成矢量的形式
，)(221j i F F +=，)(222j i F F +-=，)(223k j F
F
+-=)
(2
24k j F F
+=解：)(2k j F F F i R +=∑='将力系向O 点简化，主矢为
)
(2)
(2
222)(220)(k j Fa k j Fa i Fa k j i Fa F M M i O O
+-=+-+++--+=∑=主矩为
在边长为a 的正方形顶点O 、F 、C 和E 处分别作用有大小都等于F 的力，方向如图所示，求此力系的最终简化结果。

0=⋅'O R M F 因为 O R
M F ⊥'力系最终可以简化为一个合力，
所以0='⨯-R
O F r M k
z j y i x r ++=设合力作用线上任一点的矢径为 则由0
)])[(2)(2=+---+-k x j x i z y F k j Fa a x =z
y =力系得最终简化结果为一合力 )
(2k i F F R +=k
y j y i a r ++=合力的作用线方程为
解得
习题 2-7
N 501==='∑F F F z Rz
k i F R
5050+='曲杆OABCD 的OB 段与y 轴重合，BC 段与x 轴平行，已知F 1=F 2=50N ，F 3=100N ，F 4=100N ，L 1=100mm ，L 2=75mm 。

试求以B 点为简化中心将此四个力简化成最简单的形式。

解：043=+-=='∑F F F F y Ry
（1）计算主矢
（2）计算对B 点主矩
简化中心为B
N 052==='∑F F F x Rx i
M B 5.2=0
0Nm
5.2075.01001.0502411===⨯+⨯-=⋅+⋅-=Bz By Bx M M L F L F M ，主矢主矩50N 50N 2.5Nm
课后作业1
作业题
2-2
2-3
2-4
建立如图坐标系，z 轴与力系平行，设中
心坐标为C （x C ，y C ，z C ）
1． 平行力系的简化
对y 轴用合力矩定理有对x 轴用合力矩定理
有
§2–4 平行力系的简化·重心、质心和形心
∑⋅=+⋅++⋅+⋅=⋅i
i n n C R x F x F x F x F x F 2211R
i i C F y F y ∑= 平行力系合力的通过点称为平行力系的中心
∑=='i Rz R F F F 平行力系的主矢
∑⋅=+⋅++⋅+⋅=⋅i i n n C R y F y F y F y F y F 2211R i
i C F x F x ∑= （x i , y i , z i ）
R i
i C F z F z ∑= 可见，平行力系的中心只与各力的大小及
作用点有关，而与平行力系的方向无关
将力系按顺时针旋转90︒（与y 轴平行）再
对x 轴用合力矩定理，可得：
2 物体的重心、质心及几何体形心位置同理，计算重心坐标的公式为
i i
C Pz z P
=∑i
i
C Px x P =∑i i
C P y y P =∑显然，均质物体的重心就是几何形心，
i i C A x x A =∑i i
C A y
y A =∑i i
C A z z A
=∑重力是典型的平行力系
i i
C V x x P =∑i i C V y y P =∑i i
C V z
z P
=∑均质板状物体的形心，
例题 2-7
设某结构受到线形的三角形分布力的作用，如图所示。

梁长为l ，载荷集度（单位长度上的力）的最大值为q 0(N/m)。

求该三角形分布力的合力大小和作用位置。

（1） 先求合力大小。

如图，以A 端为原点建立坐标，载荷集
度函数的一般表达式为
解：
0)(q l
x l x q -=x d q l
x l x d x q F d 0)(-==2d d )(0000l q x q l x l x x q F l
l R =-==⎰⎰6)(200000l q x d q l x l x x d x q x F d x x F l
l l C R =-⋅=⋅==⋅⎰⎰⎰l x C =
常见分布载荷计算分布载荷的强度常用单位长度（面积、体积）
上载荷总量表示，称为载荷集度q。

求形心
例4-13
求：其重心坐标.
12344(),,033R r b y y y ππ
+==-=由i i C
A y y A =∑222
123,(),,22A R A r b A r πππ==+=-而0,
C x =由对称性，有
小半圆（半径为 ）面积为 ,
r b +2A 小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。

r 3A 解：用负面积法，1A 设大半圆面积为 ，
为三部分组成，已知：等厚均质偏心块的mm mm mm 13,17,100===b r R 得mm 01.403
21332211=++++=A A A y A y A y A y C
课后作业2
作业题
2-6
2-8
2-10。