GRAPES全球四维变分同化系统极小化算法预调节
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一
Ｓ ｈ ａ ｎ ｎ ｏ ） 算法 的预 调节 就 是 利 用预 先 得 到 的信 息 近 似海 森矩 阵 的 逆 矩 阵 。Ｔｓ ｈ ｉ ｍａ ｎ ｇ ａ等［ １ 。 ］ 还 提 出 了 个 通用 的有 限 内存 的预 调 节算 子 的表 达 形 式 ， 利 和Ｌ — Ｂ Ｆ ＧＳ算 法 的预调 节算 子为 这一 通用 算子 的特
用 海 森矩 阵 的特征 向量 和特 征值 构造 的预 调节算 子
资助项 目： 公益性行业（ 气象） 科研专项（ Ｇ ＹＨＹ２ ０ １ ５ ０ ６ ０ ０ ３ ） ， 中 国 气 象 局 数 值 预 报 中心 Ｇ ＲＡＰ Ｅ Ｓ发 展 专 项 （ ＧＲＡ Ｐ Ｅ Ｓ － Ｆ Ｚ Ｚ Ｘ一 ２ ０ １ ６ — ０ ４ ） ， 国家 留 学 人 员 科 技 活 动 择 优 资 助 项 目“ 增 量 四 维 变 分 同 化方 案 的优 化 ”
样显 著减 少对 应 的海森 矩 阵的条 件数 。该 方法 广泛
应用 于变 分 同 化 系 统 中 ］ ， 包括 Ｇ ＲＡＰ Ｅ Ｓ变 分 同 化系 统口 。③利 用 海森 矩 阵 的 近 似 信 息 构 造 预 调
节 算 子对极 小 化算法 进行 预 调节 。海森 矩 阵 的信 息 可 以是它 的对 角 线 元 素 ¨ ］ ， 也 可 以是 它 的 特征 值
和特 征 向 量 ｌ 】 ， 或 其 逆 矩 阵口 。本 文 研 究 的 Ｌ —
ＢＦＧＳ（ １ ｉ ｍｉ ｔ ｅ ｄ ｍｅ ｍｏ ｒ ｙ Ｂｒ ｏ ｙｄ ｅ ｎ — Ｆｌ ｅ ｔ ｃ ｈｅ ｒ — Ｇｏｌ ｄ ｆ ａ ｒ ｂ —
希望 能够 在尽 量少 的迭 代次 数 内逼近 最优 解 。上述
第 ２ ８卷 第 ２期 ２ ０ １ ７年 ８月
应 用 气 象 学 报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＡＰ Ｐ ＬＩ ＥＤ ＭＥ ＴＥ ＯＲＯＬＯＧＩ ＣＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮＣＥ
Ｖｏ １ ． ２ ８，Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ｃ ｈ ２ Ｏｌ ７
张林 ， 刘 永 柱 ．Ｇ Ｒ ＡＰ Ｅ Ｓ全 球 四维 变分 同 化 系 统 极 小 化 算 法 预 调 节 ．应 用气 象 学 报 ， ２ ０ １ ７ ， ２ ８ （ ２ ） ： １ ６ ８ — １ ７ ６
例。
预调 节方 法都 是通 过优 化 目标 泛 函 的性 状减 小海 森
矩 阵的条件 数 ， 仅实 现方 式有 区别 。 目前 ， 至少有 以 下 ３种 预调节 方法 ： ①选 择 内积 的定 义 ， 使 海森 矩 阵
２ ０ １ ６ － ０ ９ — ０ ７收 到 ， ２ ０ １ ７ — ０ １ — １ ２收 到再 改 稿 。
阵简化 成单 位矩 阵 以后极 小化 算法 迭代 １次 即可收 敛， 但 迭代 时需 要 的梯度 信息 难 以计算 ， 因为梯度 的 表达 形式 依赖 于 内积 的定义 。② 对 目标 泛 函的控制 变量 进行 预条 件变 换 。通 常用背 景场 误差 协方 差矩
阵 的平方 根矩 阵进 行 控 制 变 量 的 预条 件 变 换 ， 新 的 控制 变量 的背 景场 误 差 协 方 差 矩 阵是 单 位 矩 阵 ， 这
满 足业 务 化 运 行 的 时 效 要 求 。另 外 ， 间隔 ６ ｈ和 间 隔 ２ ４ ｈ的两 次 ４ Ｄ Ｖａ ｒ 分 析对 应 的 海 森 矩 阵 变 化 不 大 ， 因此 ， 前 一
时刻 极 小 化 过 程 产 生 的 信 息 提 供 给 后 一 时 刻 的 极 小 化 进 行 预 调 节 也 有 一 定 效果 。
原 因决定 了 目前变 分 同化系 统 中常用 的极 小化算 法
是共 轭梯 度法 或准 牛顿 法 ， 为 了提 高 收敛效 率 ， 对 极
小化 的求 解进 行预 调节 非常重 要 。 极小 化算 法 的收敛 速度 主要 由海森 矩 阵 的条 件 数（ 最大特 征值 和最 小 特 征 值 的 比值 ） 决定 ， 不 同 的
关键 词 ： Ｌ － Ｂ Ｆ Ｇ Ｓ算 法 ；预 调 节 ；四维 变 分
接 近 于 单位 矩 阵 ］ ， 该 方 法 的 问题 在 于 虽 然海 森 矩
引 言
气象 资料 的变 分 同化在 数学 上是 一个 目标泛 函
的极 小化 问题 。因为 目标泛 函是 二次 型或 近似 二次 型， 且其 海森 矩 阵（ 目标 泛 函相对 于控 制变 量 的二 阶 偏导 数构 成 的矩 阵） 是 对称 正定 的 ， 所 以该 极小 化 问
ＤＯＩ ：１ ０ ． １ １ ８ ９ ８ ／ １ ０ ０ １ — ７ ３ １ ３ ． ２ ０ １ ７ ０ ２ ０ ４
ＧＲＡ Ｐ Ｅ Ｓ全 球 四维 变 分 同化 系统极 小化 算 法 预调 节
张 林 刘 永柱
（ 中 国 气 象 局 数 值 预 报 中心 ，北 京 １ ０ ０ ０ ８ １ ）
பைடு நூலகம்
题等 价 于一个 线性 方程 组 的求解 问题 。在 选择 求解 算法 时 ， 考虑 到海森 矩 阵是一 个 大型 的稀疏 矩 阵 ， 迭 代算 法更 适合 ｌ ＿ １ ］ 。另 外 ， 目标 泛 函及 其 梯 度 的计 算 非常 费 时 ， 尤其 在 四维 变分 同化 中表 现 突 出 ， 因此 ，
摘
要
在 进 行 多 次 外 循 环 更 新 的增 量 分 析框 架 下 ， 前 一 次 极 小 化 迭 代 过程 中产 生 的 信 息 可 提 供 给 下 一 次 极 小 化 做 预 调 节 。该 文 在 ＧＲ ＡＰ Ｅ Ｓ全 球 四维 变 分 同化 系 统 中 对极 小 化 算 法 —— Ｌ — Ｂ Ｆ ＧＳ算 法 实 施 了这 种 预 调 节 ， 通 过 全 观 测 的个 例 试 验 和 批 量 试 验 进 行 评 估 ， 发现进行预调 节后 Ｌ — Ｂ Ｆ Ｇ Ｓ算 法 的 收 敛 效 率 得 到 明 显 提 高 ， 而 且 在 １个 月 的 循 环 试 验 中表 现 十分 稳 定 。该 工 作 可 以 帮 助 Ｇ ＲＡ Ｐ Ｅ Ｓ全球 四维 变 分 同 化 系 统 有 效 减 少 极 小 化 的 迭 代 次 数 ， 有 利 于
Ｓ ｈ ａ ｎ ｎ ｏ ） 算法 的预 调节 就 是 利 用预 先 得 到 的信 息 近 似海 森矩 阵 的 逆 矩 阵 。Ｔｓ ｈ ｉ ｍａ ｎ ｇ ａ等［ １ 。 ］ 还 提 出 了 个 通用 的有 限 内存 的预 调 节算 子 的表 达 形 式 ， 利 和Ｌ — Ｂ Ｆ ＧＳ算 法 的预调 节算 子为 这一 通用 算子 的特
用 海 森矩 阵 的特征 向量 和特 征值 构造 的预 调节算 子
资助项 目： 公益性行业（ 气象） 科研专项（ Ｇ ＹＨＹ２ ０ １ ５ ０ ６ ０ ０ ３ ） ， 中 国 气 象 局 数 值 预 报 中心 Ｇ ＲＡＰ Ｅ Ｓ发 展 专 项 （ ＧＲＡ Ｐ Ｅ Ｓ － Ｆ Ｚ Ｚ Ｘ一 ２ ０ １ ６ — ０ ４ ） ， 国家 留 学 人 员 科 技 活 动 择 优 资 助 项 目“ 增 量 四 维 变 分 同 化方 案 的优 化 ”
样显 著减 少对 应 的海森 矩 阵的条 件数 。该 方法 广泛
应用 于变 分 同 化 系 统 中 ］ ， 包括 Ｇ ＲＡＰ Ｅ Ｓ变 分 同 化系 统口 。③利 用 海森 矩 阵 的 近 似 信 息 构 造 预 调
节 算 子对极 小 化算法 进行 预 调节 。海森 矩 阵 的信 息 可 以是它 的对 角 线 元 素 ¨ ］ ， 也 可 以是 它 的 特征 值
和特 征 向 量 ｌ 】 ， 或 其 逆 矩 阵口 。本 文 研 究 的 Ｌ —
ＢＦＧＳ（ １ ｉ ｍｉ ｔ ｅ ｄ ｍｅ ｍｏ ｒ ｙ Ｂｒ ｏ ｙｄ ｅ ｎ — Ｆｌ ｅ ｔ ｃ ｈｅ ｒ — Ｇｏｌ ｄ ｆ ａ ｒ ｂ —
希望 能够 在尽 量少 的迭 代次 数 内逼近 最优 解 。上述
第 ２ ８卷 第 ２期 ２ ０ １ ７年 ８月
应 用 气 象 学 报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＡＰ Ｐ ＬＩ ＥＤ ＭＥ ＴＥ ＯＲＯＬＯＧＩ ＣＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮＣＥ
Ｖｏ １ ． ２ ８，Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ｃ ｈ ２ Ｏｌ ７
张林 ， 刘 永 柱 ．Ｇ Ｒ ＡＰ Ｅ Ｓ全 球 四维 变分 同 化 系 统 极 小 化 算 法 预 调 节 ．应 用气 象 学 报 ， ２ ０ １ ７ ， ２ ８ （ ２ ） ： １ ６ ８ — １ ７ ６
例。
预调 节方 法都 是通 过优 化 目标 泛 函 的性 状减 小海 森
矩 阵的条件 数 ， 仅实 现方 式有 区别 。 目前 ， 至少有 以 下 ３种 预调节 方法 ： ①选 择 内积 的定 义 ， 使 海森 矩 阵
２ ０ １ ６ － ０ ９ — ０ ７收 到 ， ２ ０ １ ７ — ０ １ — １ ２收 到再 改 稿 。
阵简化 成单 位矩 阵 以后极 小化 算法 迭代 １次 即可收 敛， 但 迭代 时需 要 的梯度 信息 难 以计算 ， 因为梯度 的 表达 形式 依赖 于 内积 的定义 。② 对 目标 泛 函的控制 变量 进行 预条 件变 换 。通 常用背 景场 误差 协方 差矩
阵 的平方 根矩 阵进 行 控 制 变 量 的 预条 件 变 换 ， 新 的 控制 变量 的背 景场 误 差 协 方 差 矩 阵是 单 位 矩 阵 ， 这
满 足业 务 化 运 行 的 时 效 要 求 。另 外 ， 间隔 ６ ｈ和 间 隔 ２ ４ ｈ的两 次 ４ Ｄ Ｖａ ｒ 分 析对 应 的 海 森 矩 阵 变 化 不 大 ， 因此 ， 前 一
时刻 极 小 化 过 程 产 生 的 信 息 提 供 给 后 一 时 刻 的 极 小 化 进 行 预 调 节 也 有 一 定 效果 。
原 因决定 了 目前变 分 同化系 统 中常用 的极 小化算 法
是共 轭梯 度法 或准 牛顿 法 ， 为 了提 高 收敛效 率 ， 对 极
小化 的求 解进 行预 调节 非常重 要 。 极小 化算 法 的收敛 速度 主要 由海森 矩 阵 的条 件 数（ 最大特 征值 和最 小 特 征 值 的 比值 ） 决定 ， 不 同 的
关键 词 ： Ｌ － Ｂ Ｆ Ｇ Ｓ算 法 ；预 调 节 ；四维 变 分
接 近 于 单位 矩 阵 ］ ， 该 方 法 的 问题 在 于 虽 然海 森 矩
引 言
气象 资料 的变 分 同化在 数学 上是 一个 目标泛 函
的极 小化 问题 。因为 目标泛 函是 二次 型或 近似 二次 型， 且其 海森 矩 阵（ 目标 泛 函相对 于控 制变 量 的二 阶 偏导 数构 成 的矩 阵） 是 对称 正定 的 ， 所 以该 极小 化 问
ＤＯＩ ：１ ０ ． １ １ ８ ９ ８ ／ １ ０ ０ １ — ７ ３ １ ３ ． ２ ０ １ ７ ０ ２ ０ ４
ＧＲＡ Ｐ Ｅ Ｓ全 球 四维 变 分 同化 系统极 小化 算 法 预调 节
张 林 刘 永柱
（ 中 国 气 象 局 数 值 预 报 中心 ，北 京 １ ０ ０ ０ ８ １ ）
பைடு நூலகம்
题等 价 于一个 线性 方程 组 的求解 问题 。在 选择 求解 算法 时 ， 考虑 到海森 矩 阵是一 个 大型 的稀疏 矩 阵 ， 迭 代算 法更 适合 ｌ ＿ １ ］ 。另 外 ， 目标 泛 函及 其 梯 度 的计 算 非常 费 时 ， 尤其 在 四维 变分 同化 中表 现 突 出 ， 因此 ，
摘
要
在 进 行 多 次 外 循 环 更 新 的增 量 分 析框 架 下 ， 前 一 次 极 小 化 迭 代 过程 中产 生 的 信 息 可 提 供 给 下 一 次 极 小 化 做 预 调 节 。该 文 在 ＧＲ ＡＰ Ｅ Ｓ全 球 四维 变 分 同化 系 统 中 对极 小 化 算 法 —— Ｌ — Ｂ Ｆ ＧＳ算 法 实 施 了这 种 预 调 节 ， 通 过 全 观 测 的个 例 试 验 和 批 量 试 验 进 行 评 估 ， 发现进行预调 节后 Ｌ — Ｂ Ｆ Ｇ Ｓ算 法 的 收 敛 效 率 得 到 明 显 提 高 ， 而 且 在 １个 月 的 循 环 试 验 中表 现 十分 稳 定 。该 工 作 可 以 帮 助 Ｇ ＲＡ Ｐ Ｅ Ｓ全球 四维 变 分 同 化 系 统 有 效 减 少 极 小 化 的 迭 代 次 数 ， 有 利 于