能量法,超静定概论

下页
V
0
F d
0
l
3 EAd
14
4 l3
EA
1 F
4
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19
2.余能
设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b
F
目录
(a)
F1
(b)
dF
上页
O
1
F
下页
“余功Wc”
定义为： WC
F1 d F
0
与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等
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若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此单元体的应变能为：
上页
dV v d x d y d z
整个杆的应变能为：
下页
V vdV vv dV
(此为由应变能密度计算应变能的表达式)
特别地，在拉杆整个体积内vε为常量
V vV v Al
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14
应变能的计算方法
(1)已知
F F()
O l B l
5
（b）轴力沿轴线变化
目录
V
FN x2 dx
l 2EA
（2）应变能密度
上页
v
1
2
下页
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6
扭转
（1）应变能
（a）扭矩沿轴线不变
目录
W
1 2
M e
上页
V
W
M
2 e
l
2GI p
下页 （b）扭矩沿轴线变化
V
T 2 xdx
l 2GIp
.
.
l
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Me
Me
A
Me
OB
7
（2）纯剪切应力状态下的应变能密度
目录
v
1
2
上页
下页
y
dx dz
dy
z
x
dx
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8
弯曲
（1）纯弯曲
目录
Me
上页
W
1 2
M e
Me
.
.
A
Me
.
Me
.
下页
V
W
M
2 e
l
2EI
l
OB
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9
（2）横力弯曲
d
目录
F1
F2
.
.
M(x) . M(x)
上页
x
dx
dx
l
下页
微段dx
l 2GIp
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11
l
F
非线性弹性体的应变能表达式
对图(a)的拉杆,其F-关系如图（b）
F F1
目录
A
上页
ΔΔ
O
dLeabharlann Baidu
(a)
F
(b)
下页 F在d上所作微功为 dW = F d
F作的总功为： W 1 dW 1 F d
0
0
（F-曲线与横坐标轴间的面积）
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1
12
由能量守恒得应变能：
整个梁
M 2 xdx
dVε 2EI
M 2 xdx
V l 2EI
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10
组合变形下应变能
M(x)
M(x)
T (x)
目录
.
FN(x)
T (x)
FN(x)
dx
上页
dVε
1 2
FN xdl
1 2
M
xd
1 2
T xd
下页
V
F2 N
xdx
l 2EA
M 2 xdx
l 2EI
T 2 xdx
11.1 能量法的基本概念
目录
11.2 应变能
11.3 卡氏定理
上页
11.4 用能量法解超静定问题
11.5 虚位移原理与单位力法
11.6 本章的主要内容及学习重点
下页
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3
§11.1 能量法基本概念
1.能量法
目录
利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、
变形和内力等的方法。
上页
2.能量法的应用范围：
下页
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题
（3）是有限单元法的重要基础
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4
§11.2 应变能
1.杆件应变能的计算
目录
轴向拉伸或压缩
（1）应变能
上页
（a）轴力沿轴线不变
l
W 1 Fl
下页
2
1
V
W
Fl 2
l
V
FN2l 2EA
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F
.
A
F
.
F
V W
1 0
Fd
目录
(此为由外力功计算应变能的表达式）
类似，可得其余变形下的应变能：
上页
梁受F而弯曲：V ＝0w F d w
梁受M e而弯曲：V ＝0 M e d
下页
圆轴受M而扭转：V ＝0M d
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13
应变能密度:
v
1 d
0
1
(-曲线与横坐标轴间的面积）
目录
O
d
1
(c)
V 0 F ()d
目录
对于线弹性问题
V
1 2
F
(2)已知
( )
上页
v
( )d
0
对于线弹性问题 v
1
2
下页
V
[
V
( )d ]dV
0
F
F F()
F
0 d
( )
(3)已知内力函数求应变能(线弹性问题)
0
V
FN 2 (x) dx l 2EA(x)
T 2 (x) dx l 2GI p (x)
20
即：
Vc WC
F1 d F
0
目录
（F-曲线与纵坐标轴间的面积）
上页 下页
F
F1
(b)
dF
O
1
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21
也可由余能密度vc计算余能V c：
Vc V vc dV
目录
余能密度vc为：
vc
1 d
0
（图c中-与纵坐标轴间的面积）
上页
下页
1
d
O
(c)
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22
注意：
2 l l 2 l l
l
2 l l l
2FN EA
目录
FN
F
2 s in
F
2 tan
F
2
l
Fl
2
上页
l F N l EA
l Fl EA
下页
F ( )3 EA
l
l
l
A
B
l
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F
18
3 F l
EA
目录
或： F 3 EA
l
F
F
3
EA
l
（几何非线性弹性问题） O
上页
应变能为：
•对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计
目录
算方法却截然不同。
•对非线性材料，则余能V c与应变能V 在数值上不一定相等。
上页
•余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具
下页
有功和能的量纲而已。
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23
例 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc 。结构中 两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸
目录
11章 能量法
上页
下页
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1
内容提要 目录
应变能、余能、卡氏第一定理、 余能定理、卡氏第二定理、单位力法
上页
能力要求
下页
理解功能原理 熟练计算结构的应变能 熟练应用卡氏第二定理 了解卡氏第一、二定理、余能定理的意义 了解单位力法，用其计算线弹性结构的位移
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2
11章 能量法
时的应力一应变曲线如图b所示。
目录 上页
B
解：
C F1
两杆轴力均为：
s FQ2 (x) dx l 2GA(x)
M 2 (x) dx l 2EI(x)
d
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(4)已知位移函数求应变能
M 2 (x)
目录
V
dx l 2EI (x)
上页
EI
d2w dx2
M
(x)
下页
V
1 2
EI (x)(w)2 dx
l
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16
例 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示,
试求梁内的应变能
q
A
w
目录
x
l
y
上页
解：梁的挠曲线方程为：
Bx
w
ql4 24EI
x l
2
x3 l3
x4 l4
下页
荷载所作外力功为：W l 1q d x w
02
得：
V
W
q2 l5 240 EI
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[例]如图杆系受F作用，求应变能
解：
l l2 l2 l
1 l 2 1 l l