保守力 势能

保守力 势能

一，力学中常见力的功

1， 万有引力的功

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=⋅=⋅=⎰⎰

⎰a b r r r r r r b

a

r Mm G r Mm G r Mm

G

dr r Mm G

d r r

Mm G -d A b

a b

a

b

a

2

2)(r

r r F

引力做功与路径无关。

2， 重力的功

)

())((a b h h h h y b

a

y x b

a m gh m gh m gdy dy F dy dx F F d A b

a b

a

--=-==

++=

⋅=⎰⎰

⎰⎰j i j i s F

重力做功与路径无关。

3， 弹性力的功

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=-=⋅-=

⋅=⎰

⎰222

21212

1

a b x x x x b

a kx kx kx dx kx dr F A b

a

b

a

i i

弹性力做功与路径无关。

a b

【例】：试证明力做功与路径无关可表述为：⎰=⋅L

d 0r F

证：0=⋅-⋅=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰b

a

b a

a b

L

b a

d d d d d r F r F r F r F r F

二，保守力

由上可见，万有引力、重力、弹性力作功的特点都是与路径无关；

人们将做功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关的这类力叫做保守力。所以万有引力、重力、弹性力均是常见的保守力。它们都满足关系

0=⋅⎰L

d r F

保

三，势能

由保守力做功的表达式可以看出：

保守力做功＝某个只与质点位置有关的状态量的改变（负号表示“减少”）。 人们将这个只与位置有关的状态量叫“势能”。通常用E P 表示。所以 “保守力做功＝势能的减少”可表示为：

)(Pa Pb P E E E A --=∆-＝保

说明：（1）势能是质点系中相互作用的物体所共有的。单个质点无势能可言。 （2）只有当保守力作为系统内力并做功时系统方可能有势能。 （3）势能差是绝对的，但势能却是相对的，它依赖于势能零点的选择。 ()()[]C E C E E E A Pa Pb Pa Pb +-+-=--)(＝保

其中C 为任意常数，选择得当，可以使E P 的表达式获得最简形式。

一般⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

====-=∞=2

21)()0)()0()()(kx x E x m gy y E y r Mm G r E r P P P 长处（弹性势能零点取弹簧原重力势能零点取地面处

处引力势能零点取无穷远

综上所述保守力场中任意一点的势能可表示为：

——物体在保守力场中任意一点的势能等于保守力将它从该点移到零势点所做的功。

四，势能曲线如下：

势能曲线的用途：

1，根据势能曲线可以讨论物体的运动，只有动能为正值时运动才可能发生； 2，利用势能曲线还可以求各个位置保守力

dx

dE F dx F dx F dA dE dA p x x p

-

===-=ϕcos

【例】 一质点在几个力的作用下，沿半径为R 的圆周运动，其中一个力是恒力F=F 0i ，如图所示。当质点从A 点沿逆时针方向走过四分之三圆周到达B 点时恒力F 所做的功是多少？

解：

⎰⎰⎰-===⋅=-R F dx F Fds d A R

00

0cos θs F

思考：该力是否保守力？

【例】质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为r =Acos ωt i +Bsin ωt j (SI),式中A 、B 、ω都是正常数，试求：

（1）t=0时的速度； （2）t=π/2ω时的速度；

（3）力在t 1=0到t 2=π/2ω这段时间内所做的功。 （4）该力是保守力吗？ 解：

)

(2

1

2121)3(2/)2(0)1(cos sin 222202B A m m v m v A A t B t t B t A dt

d -=-=-====+-==ωωω

πωωωωωi

v j v j i r

v 0

（4）判断该力是否保守力，条件是考察质点运动一周该力做功是否为零。

)(2

121212

22202=-=-===B B m mv mv A B T t ωωj

v

B

【例】竖直悬挂的弹簧振子系由质量为m 、倔强系数为k 的轻弹簧构成。试求以质点平衡位置为坐标原点和势能零点时，系统势能表达式。

解：取质点、弹簧和地球为系统， 质点平衡处（x=0）： mg kl = 任意位置处（x ） ，质点受合力 kx l x k mg F -=+-=)(

以平衡位置为势能零点，系统势能为

2002

1

)(kx kxdx Fdx x E x x =-==⎰⎰

20

2

02

1)()()()(21

)()(kx x E x E x E m gx

m gdx x E kx klx dx x l k x E G T x G x T =

+=-==+=+-=⎰⎰