计算机图形学13投影变换

相交。
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影 透视举例
灭点 灭点 灭点 灭点
灭点
灭点 (a)一点透视 (b)二点透视 (c)三点透视
7-20 透视投影
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一、 简单的一点透视投影变换
Ys
S
Y Qw O
P0
Qs
Z
Qw (Xw, Yw, Zw)
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
现考虑任一点（ xe,ye,ze ）在 XcOcYc 平面上的投 影（xs,ys） ∵投影方向与投影线PP’平行
z e z s xe x s y e y s 1 l cos l sin 所以 x s x e z e l cos y s y e z e l sin
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zs 0
29
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
矩阵形式为：
x s
ys
z s 1 xe
ye
ze
0 1 1 0 1 l cos l sin 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
斜等侧中：l=1,β=45
一、斜投影
斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一
个单一的投影面作平行投影，但投影方向不
垂直于投影面所得到的平面图形。（通常选 择投影面平行于某个主轴） 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
斜等测投影 –投影平面与一坐标轴垂直 –投影线与投影平面成45°角 与投影平面垂直的线投影后长度不变 斜二测投影 –投影平面与一坐标轴垂直 –投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角 该轴轴向变形系数为 ½。即与投影平面垂 直的线投影后长度变为原来的一半。
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13 三视图
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 2）使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于 同一平面； 3）最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 4) 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 5）将坐标原点平移至点O
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影 透视的基本知识
若连a,b,c及a',b',c'各点，它们的连线汇聚于 一点。 然而，实际上， A,B,C 与 A ， B ， C 的连线是 两条互相平行的直线，这说明空间不平行于画 面(投影面）的一切平行线的透视投影，即 a,b,c与 a',b',c'的连线，必交于一点，这点我 们称之为灭点。
x x
y
y
(c)正三测
20
正二测图
z z
投影平面 O O 投影平面
z
C
投影平面 O
y
y
z
z
O
O
z
y
(a)等轴测
y
(b)正二测
图7-14
正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
分析：对于正二测图OA、OB、OC有两个相等，但与另一个不等
x
O
A
B
x
x x
x x
y
y
(c)正三测
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
A A' 投影线 投影中心 B' (a) 透视投影 B (b) 平行投影 线段 投影中心在 无穷远处 投影线 B' A' A 线 段 B
图7-1
线段AB的平面几何投影
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念 平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
斜二侧中：l=1/2,
β=arctgα=63.4 正平行投影：l=0, β=90
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影 透视的基本知识
透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观 察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。 如：我们站在笔直的大街上，向远处看去，会感到街 上具有相同高度的路灯柱子，显得近处的高，远处的 矮，越远越矮。这些路灯柱子，即使它们之间的距离 相等，但是视觉产生的效果则是近处的间隔显得大， 远处的间隔显得小，越远越密。观察道路的宽度，也 会感到越远越窄，最后汇聚于一点。这些现象，称之 为透视现象。 产生透视的原因，可用下图来说明：
投影 变 换
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信息学院
7.4 投影变换
7.4.1 基本概念
投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影
面上得到二维平面图形。 分类：
平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过
这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：
三视图、轴测图。
观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正等测图(等轴测)
z z
分析：对于正等测图OA=OB=OC
投影平面 O O
C
投影平面 O
z
投影平面
y
z
z
O
O
z
y
(a)等轴测
y
(b)正二测
图7-14
正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
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x
O
x
x x
A
B y
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影 灭点
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，
这个点称为灭点(Vanishing Point)。
坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主 灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正 交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相 交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都
S S S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
图7-2
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平面几何投影分为透视投影和平行投影
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
投影方向 投影平 面法向 投影平面 (a)正投影
投影方向

投影平面 (b)斜投影
投影平 面法向
7-11
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
1、正轴测图:
当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标 轴时，产生的正投影称为正轴测投影。 正轴测投影分类： 正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的 距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。
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7.4.2 平行投影
正投影视图 ①正投影是将立体向xoz面投影得到，投影结果为：
x’ = x; y’=0; z’=z 为将点(x y z) 变换为(x’ y’ z’)，只需将点(x y z)作 如下变换即可：
1 0 Tv 0 0
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0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
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7.4 投影变换
7.4.3 透视投影 透视的基本知识
图中，AA',BB',CC'为一组高度和间隔都相等，排成 一条直线的电线杆，从视点E去看，发现 ∠AEA>∠BEB>∠CEC 若在视点 E 与物体间设置一个透明的画面 P, 让 P 通过 AA‘，则在画面上看到的各电线杆的投影aa'>bb'>cc' aa'即EA,EA'与画面P的交点的连线; bb'即为EB，EB'与画面P的交点的连线。 cc' 即为EC，EC'与画面P的交点的连线。 ∴近大远小
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
– 侧投影视图
• 先将立体向YOZ面作正投影（X坐标取为0）；
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 2）使水平投影面绕Z轴旋转90，使与正投影面处于 同一平面； 3）最后让图形沿Z轴平移dx=ty , dy=tz; 4）将坐标原点平移至点O
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限
根据投影 方向与投 影平面的 夹角
根据投影 平面与坐 标轴的夹 角
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7.4 投影变换
7.4.1 基本概念
一、平面几何投影 投影中心、投影面、投影线：
z s 1 x
y
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
2 ． 设 （ xe,ye,ze ） 为 任 一 点 ， （ xs,ys ） 为 （xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 设立方体上一点 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投 影P' (lcosα ,lsinα ,0),投影方向为PP',PP'与投 影面的夹角为β , α 为投影与x轴的夹角，则 投影方向矢量为(lcosα ,lsinα ,-1)
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
1、正平行投影（三视图）
工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个 互相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分 别称为：正投影面V（ZOX)，侧投影面W（YOZ）， 水平投影面H（XOY）。
V Z
X
Y
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O 鲁东大学
Y
U
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7.4 投影变换

若令
S xp
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xp zp
S yp
yp zp
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
则矩阵式为：
1 0 z 1 S xp 0 0 1 S yp 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x s
ys
正投影
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x
Fra Baidu bibliotek
x
y
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
• 三视图：正视图、侧视图和俯视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线 分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放 置到同一平面上。
z a2
a1
b1
b2
c2
y
c1
x
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
因为
所以
ys z t i zp
xs x ys y xp zp yp zp
x s
z s 在Z 0的平面上 z s 0
zi zi
7.4.2 平行投影 斜平行投影求法

1． 已知投影方向矢量为（xp,yp,zp） 设形体被投影到XOY平面上 形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys) ∵投影方向矢量为(xp,yp,zp) ∴投影线的参数方程为：
xs x x p t ys y y p t z z z t p s
11 三视图
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
② 将该投影向左角移动dx=tx,dy=tz; ③ 将x轴反向与U轴保持一致； ④ 将坐标原点平移到点(a,b)。
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12 三视图
7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
–
俯投影视图
1）将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
平行投影
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鲁东大学
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
一、正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测。 否则，得到的投影为正轴测图。
z z
投影方向 O 投影方向 投影平面
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；
y
(a)三视图
投影平面 (b)正轴测
7-12
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
投影方向
p
投影方向
p

投影平面 O (a)斜等测 p'
投影平 面法向 投影平面 O

p'
投影平 面法向
(b)斜二测
7-16
斜平行投影
OP = OP’
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α = ARCTG(2) OP = 2OP’
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7.4 投影变换
鲁东大学
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标 原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变 形系数。
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鲁东大学
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7.4 投影变换
7.4.2 平行投影
正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标 原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相 同的变形系数。