重庆2021年中考数学26题几何专题(1)
2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练
2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。
决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》(一)
决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（一）1．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．2．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．3．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．4．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．6．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．7．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，K是线段AO上一点，连接CK并延长交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝DK，求证：AK•AO＝KB•AE；（3）如图2，若AE＝AK，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想P A，PB，PF的数量关系，并证明．8．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y＝x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sin A＝，求BH的长．10．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．参考答案1．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．2．解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DBD＝45°，∵∠CBD＝∠EAD＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①∵∠EAD＝45°，∴∠EOC＝90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为，∴CE的弧长＝×2×π×＝；②∵D为EB中点，∴ED＝BD，∵AE＝ED，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，∴AE＝2，∴AD＝2，∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，∴△AED∽△BCD，∴BC＝；（3）∵AF：FD＝7：3，∴AF＝AD，过点E作EG⊥AD，∴EG＝AD，∴GF＝AD，∴tan∠EFG＝，∴＝＝，∴FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，∴EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，∴AD＝r，∴AF＝r，∴AC＝AF+FC＝r，∵CD＝BC＝4，∴AC＝4+AD＝4+r，∴r＝4+r，∴r＝．3．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．4．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．5．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．6．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．7．解：（1）证明：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，又∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ACE+∠ACO＝90°，即∠ECO＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，∴∠ACE＝∠B，∵AD＝DK，CD⊥AB，∴CA＝CK，∠CAD＝∠CKD，∴∠CAE＝∠BKC，∴△CAE∽△BKC，∴＝，∴AC•KC＝AE•KB，又∵∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，∴△OCA∽△CAK，∴＝，∴AC•KC＝AK•AO，∴AK•AO＝KB•AE；（3）P A2+PF2＝PB2．理由如下：如图，连接AF、BF，∵＝，∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，∴∠ECK＝∠ACK+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EKC＝∠BCK+∠KBC＝45°+∠ABC，∴∠ECK＝∠EKC，∴EC＝EK＝AE+EK＝2AE，∵∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴＝＝，∴BC＝2AC，∵点G是BC的中点，∴BC＝2CG＝2GB，∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，∴CP⊥AG，AP＝PG，设AC＝CG＝GB＝x，则AG＝＝x，∴＝＝，又∠PGB＝∠BGA，∴△PGB∽△BGA，∴∠GBP＝∠GAB，∴∠GBP+∠BCF＝∠GAB+∠GAC，即∠BPF＝∠BAC＝∠BFP，∴BP＝BF＝AF，∵在Rt△APF中，P A2+PF2＝AF2，∴P A2+PF2＝PB2．8．解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝＝，r2＝AC＝＝2，∴r1＜r2，故答案为：＜．（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，当直线l：y＝x+b与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，则直线OM的解析式为：y＝﹣x，设M（x，﹣x），∵OM＝OB，∴OM＝＝，∴x2+＝8，解得：x＝﹣或x＝（舍），∴﹣x＝，∴M（﹣，），将M（﹣，）代入y＝x+b得：＝×（﹣）+b，解得：b＝4．当直线l：y＝x+b与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，同理，设直线BN的解析式为：y＝﹣x+n，将B（2，2）代入得：2＝﹣×2+n，∴n＝2+，∴直线BN的解析式为：y＝﹣x+2+，设N（m，﹣m+2+），∵BN＝OB，∴＝，∴4﹣4m+m2+﹣+＝8∴m2﹣4m+2＝0，∴m＝2﹣（舍）或m＝2+，∴﹣m+2+＝﹣（2+）+2+＝2﹣，∴N（2+，2﹣），∴将N（2+，2﹣）代入y＝x+b得：2﹣＝（2+）+b，解得：b＝，∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：＜b＜．9．（1）证明：如图1中，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴＝，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5×＝3，∴EA＝＝4，∵＝，∴BE＝CE＝3，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．10．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，则GE＝CE﹣CG＝﹣＝﹣（）＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．。
2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(四)
重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（四）1.如图(甲),在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在如图(甲)中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?证明你的结论.(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识,完成下题:如图(乙)四边形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD),∠B=90°,AB=BC=6,点E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=2,求DE的长.2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.(1)求证:OE=CD;(2)探究:当∠ABC等于多少度时,四边形OCED是正方形?并证明你的结论.3.已知,在平行四边形ABCD中,AC=AD,AE⊥CD于点E,BF⊥AC分别交AC、AE于点G、点F,连接GE,若BF=BC.(1)若BE=12,求平行四边形ABCD的面积.(2)求证:GE=2AG.4,如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.5.已知,在平行四边形ABCD中,E为AD上一点,且AB=AE,连接BE交AC于点H,过点A作AF⊥BC于F,交BE于点G.(1)若∠D=50°,求∠EBC的度数.(2)若AC⊥CD,过点G作GM∥BC交AC于点M,求证:AH=MC.6.正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,BE=DF,连接AE,AF,EF,G为EF中点,连接AG,DG.(1)如图1:若AB=3,BE=1,求DG;(2)如图2:延长GD至M,使GM=GA,过M作MN∥FD交AF的延长线于N,连接NG,若∠BAE=30°,求证:NM+NA=3NG.7.如图,在平行四边形ABCD 中,AC=BC,E 是AB 中点,G 在AD 延长线上,连接CE 、BG 相交于点F.(1)若BC=6,∠ABC=75°,求平行四边形ABCD 的面积;(2)若∠GBC=∠ECB,求证:GF=BF+2EF.8.在菱形ABCD 中,∠B=60°,E 是边CD 上一点,以CE 为边作等边△CEF .(1)如图1,当CE⊥AD,CF=32时,求菱形ABCD 的面积;(2)如图2,过点E 作∠CEF 的平分线交CF 于H,连接DH,并延长DH 与AC 的延长交于点P,若∠ECD=15°,求证:CF=26CP9.如图,平行四边形ABCD中,CG⊥AB于点G,∠ABF=45°,F在CD上,BF交CD于点E,连接AE,AE⊥AD.(1)若BG=1,BC=1O,求EF的长度;(2)求证:CE+2BE=AB.10.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE∠ABE=45°.(1)如图1,若BE=32,BC=4,求DE.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于点F,H为AD上一点,连接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.11.在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,F为AB边上一点,连接CF,交AE于点G,CF=CB=AE.(1)若AB=22,BC=7,求CE的长.(2)求证:BE=CG-AG.12.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,E为AB边上一点,过E作EG⊥BC于点G,交对角线BD于点F.(1)如图(1),若∠ACE=15°,BC=6,求EF的长.(2)如图(2),H为CE的中点,连接AF,求证:AF=2FH.13.已知平行四边形ABCD ，过点A 作BC 的垂线，垂足为点E ，且满足AE ＝EC ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点F ，交AE 于点G ，连接BG ．（1）如图1，若AC ＝，CD ＝4，求BC 的长度；（2）如图2取AC 上一点Q ，连接EQ ，在△QEC 内取一点，连接QH ，EH ，过点H 作AC 的垂线，垂足为点P ，若QH ＝EH ，∠QEH ＝45°．求证：AQ ＝2HP ．14.如图，在平行四边形 ABCD 中， A C 为对角线，过点 D 作 DE ⊥ DC 交直线 AB 于点 E ，过点 E 作 EH ⊥ AD 于点 H ，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F ．（1）如图 1，若∠BAD = 60︒ ， AF = 3 ， AH = 2 ，求 AC 的长；（ 2 ）如图 2 ，若 BF = DH ，在 AC 上取一点 G ， 连接 DG 、 GE ，若 ∠DGE = 75︒ ，∠CDG = 45︒ - ∠CAB ，求证： DG =26CG15.如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F,连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD=2,求BE的长:(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:FH=HE+HD。
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合(一)
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合（一）1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是cm，⊙M与直线CD的位置关系是；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．2．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）①设OB＝2，求EC的长；②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）连结AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．4．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．5．定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）如图②，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，过点P'作P'B⊥OP，交⊙O于点B，连接PB，求证：PB为⊙O的切线；（3）如图③，在Rt△CDE中，∠E＝90°，CE＝6，DE＝8，以CE为直径作⊙O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是．6．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连结AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．7．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD．（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连结AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．9．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连结BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连结AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．10．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值．参考答案1．解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，当t＝1时，AP＝3，AQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半径为cm，∵MN∥BQ，M是PQ的中点，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位线，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，∴圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为OB＝BD，由勾股定理得：BD＝＝10，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPQ（HL），∴PG＝AP＝3t，∵PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．2．证明：（1）如图1，连结OE，∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC，∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠OEF＝90°，∴EF⊥OE，∵点E在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）①如图2，连结OE，∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC．∴＝，∴＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣＝；②∵AB＝AC，∴BH＝BC，∵BC＝6，∴BH＝3，由①知：＝，即＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣，∵AH⊥BC，EF⊥AC，∴∠AHB＝∠EFC＝90°，∵∠OBE＝∠C，∴△ABH～△EFC，∴＝，∴＝，∴FC＝﹣．3．（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝AE＝DF，∵AB＝2，∴OD＝AB＝1，∴DF＝OD＝，∴AE＝DF＝．4．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．5．（1）证明：由已知得OP•OP'＝r2，∵OP'＝PA，∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r，∴，∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）证明：∵P'B⊥OP，∴∠OP'B＝90°，∵OP•OP'＝r2，∴，∴△P'OB∽△BOP，∴∠OBP＝∠OP'B＝90°，∴PB⊥OB，∴PB为⊙O的切线；（3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，∵CE＝6，∴⊙O的半径为3，即r＝3，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP•OP'＝32＝9，∴OP'＝，∵OH≤OP≤OD，∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8，∴CD＝10，∵sin∠C＝＝＝，∴OH＝OC＝，由勾股定理得：OD＝＝＝，∵OP＝，OH≤OP≤OD，则≤OP'≤．故答案为：≤OP'≤．6．解：（1）∵点D是的中点，∴，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．7．解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°﹣x，∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，∴90°﹣x﹣2x＝2•2x或2x﹣（90°﹣x）＝2（90°﹣x），∴x＝或x＝54°，∴∠A＝2x＝或∠A＝2x＝108°，∴顶角∠A的度数为或108°；（2）如图1，在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD，∴CD＝BC﹣BD＝8，∵AC＝8，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠ADC，∵AB＝3，AC＝8，BC＝9，∴＝＝，＝，∴，∵∠ABD∽△CBA，∴∠BAD＝∠C，∴∠ADC＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD＝∠ADC，∴∠BAC﹣∠C＝∠ADC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠C，∴∠BAC﹣∠C＝B+∠C，∴∠BAC﹣∠B＝2∠C，∴△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（3）①∵＝＝，∴∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE＝α，∵△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”，∴∠BAE﹣∠ABE＝2∠AEB，∴α+∠CAD+α﹣∠ABE＝2α，∴∠CAD＝∠ABE，∴，∴DE∥AC，∵，∴CD∥BE，∴四边形CDEF是平行四边形；②∵∠BAF＝∠AEB，∠ABF＝∠EBA，∴△ABF∽△EBA，∴＝＝，∴BE＝＝＝x2，∴EF＝BE﹣BF＝x2﹣1，∵四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF＝x2﹣1，∵，∴AE＝CD＝x2﹣1，∴AF＝＝＝，过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，∴BM∥EN，∴△BFM∽△EFN，∴＝，∴BM＝EN，过点G作GH⊥AE于H，∵∠BAC＝ACB＝∠AEG＝∠EAG，∴△ABC∽△AGE，∴，∴＝＝，∴＝，∴y＝＝＝•＝•＝．8．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．9．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．10．（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠PAF＝∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴，∴PA•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴PA•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时PA•AE＝×＝80．。
2021年重庆市中考数学真题与答案解析
重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1.2的相反数是A.﹣2B.2C.D. 1212-2.计算的结果是63a a ÷A.B.C.D. 63a 52a 62a 53a 3.不等式在数轴上表示正确的是2x ≤A B C D4.如图，△ABC 与△BEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OE=2OB ，则△ABC 与△DEF 的周长之比是A.1：2B.1:4C.1:3D.1:95.如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A=80°，则∠C 的度数是A.80° B.100° C.110° D.120°6.-A.7B.C. D. 7.如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是A.AB=DEB.∠A=∠DC.AC=DFD.AC ∥FD8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s 。
甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y （单位：m ）与无人机上升的时间x （单位：s ）之间的关系如图所示.下列说法正确的是A.5s 时，两架无人机都上升了40mB.10s 时，两架无人机的高度差为20mC.乙无人机上升的速度为8m/sD.10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m9.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，多点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N.若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为A.1 C.2 D. 10.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND.甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i=1：1.25.若，58ND DE =点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：）1.73≈≈A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m11.若关于x 的一元一次不等式组的解集为，且关于y 的分式方程()322225x x a x -≥+⎧⎪⎨-<-⎪⎩6x ≥的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是238211y a y y y+-+=--A.5 B.8 C.12 D.1512.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO=AD.过点A 作AE ⊥CD,垂足为E ，DE=4CE.反比例函数的()0ky x x=>图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF.若，则k 的值为118EOF S = A. B. C.7 D. 73214212二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.计算：。
2021年重庆中考几何第26题专题训练一(含答案解析)
中考几何题专题训练一答案解析\1 、已知：在△ ABC 中，BC＝2AC ，∠ DBC ＝∠ACB，BD ＝BC，CD 交线段AB 于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点 F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点 B 的对称点是点K，延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．2、（2016 春?重庆校级期中）在△ABC 中，AB＝AC，D 为射线BC 上一点，DB ＝DA，E 为射线AD 上一点，且AE＝CD ，连接BE．（1）如图1，若∠ADB ＝120°，AC＝2 ，求DE 的长；（2）如图2，若BE＝2CD ，连接CE 并延长交AB 于点F，求证：CF ＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD ，垂足为点E，猜想AE，BE，BD 之间的数量关系，直接写出关系式．3、（2019 秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°（1）如图1，P 是边BD 延长线上一点，以AP 为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；② 若AB ＝，BE＝，求AE 的长；（2）如图2，P 是边CD 上一点，点 D 关于AP 的对称点为E，连接BE 并延长交AP 的延长线于点 F ，连接DE 、DF ．若BE＝11，DE ＝5，求△ADF 的面积．4、（2016 秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC 中，点 D 是AC 上任意一点，点 E 在BC 延长线上，连接DB ，使得BD ＝DE ．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD 的中点 F ，连接AE、AF ．求证：∠ CAE ＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F 作AE 的垂线，垂足为H，若AH ＝．求EH 的长．5、已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点D 在边BC 上，连接AD，作DE⊥AD ，且DE＝AD ，连接BE、AE，DE 与AB 交于点H，（1）如图 1 所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE、DE 的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG ＝2DH ；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH 的长？6、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D 是△ABC 内部一点，连接AD，BD 和CD ．（1）如图1，若∠ BDC＝90°，BD＝1，CD ＝2，求AC 的长．（2）如图2，若CD 平分∠ACB，∠BDC ＝90°，过点 B 作BE∥AC 交AD 的延长线于点E，求证：AD ＝DE ．（3）如图3，若CD ＝CB，∠BCD ＝30°，取线段AC 的中点 F ，连接DF ，求证：∠AFD ＝45°7、（2013?洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD 中，BC＝CD ，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，点P 为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠ CBP＝2∠DCP ；（2）如图2，若∠ABP 的平分线交CP 的延长线于点E，连接DE ，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE 的长度．8、（2016 秋?松北区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，点 D 在射线BC 上，AB＝AD ．（1）如图1，求证：BC+CD ＝AC；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下， FG ⊥ BE 于点 G ， FG ＝ 4，EF ＝ ，求△ （ 2）如图 2，取 AB 的中点 F ，延长 CA 至点 E ，连接 BE 、DE 、EF ，使得∠ ABE ＝∠ CAD ，EF ＝AE ， 求证：∠ BEF ＝ 2∠ABD ；AED 的面积．9、（ 2016?九龙坡区校级一模）已知， Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ CAB ＝ 30°，分别以 AB 、 AC 为边，向Rt△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD ，若BC＝2，求BE 的长；（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ，作BH⊥AD 于H，连接FH ．求证：BH ＝2FH ；（3）如图3，取AB、CD 得中点M 、N，连接M 、N，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论．10、重庆八中初2020 级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020 级九上期末12、重庆双福育才中学初2020 级九上期末2020 年中考几何题专题训练一答案解析\1 、已知：在△ ABC 中，BC＝2AC ，∠ DBC ＝∠ACB，BD ＝BC，CD 交线段AB 于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为DE＝2CE ；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点 F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点 B 的对称点是点K，延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．（1）解：∵∠ DBC ＝∠ACB ＝90°，∴∠DBC +∠ACB ＝180°，∴AC ∥BD ，∴∠DBE ＝∠CAE又∵∠ DEB ＝∠AEC ，∴△DBE ∽△CAE ，∴＝，又∵ BD ＝BC ＝2AC ，∴DE ＝2CE；故答案为：DE ＝2CE ．（2）证明：如图2，∵∠DBC ＝∠ACB ＝120°，BD ＝BC，∴∠D＝∠BCD ＝30°，∴∠ ACD ＝90°，过点 B 作BM ⊥DC 于M ，则DM ＝MC ，BM ＝BC ，∵AC ＝BC ，∴BM ＝AC，∵在△ BME 和△ ACE 中∴△BME ≌△ACE （AAS），∴ME ＝CE ＝CM ，∴DE ＝3EC；（3）解：如图，过点 B 作BM ′⊥DC 于点M ′，过点 F 作FN ⊥DB 交DB 的延长线于点N，设BF ＝a，∵∠DBF ＝120°，∴∠FBN ＝60°，∴FN ＝a，BN ＝a，∵DB ＝BC ＝2BF ＝2a，∴DN ＝DB +BN ＝a，∴DF ＝＝＝a，∵AC ＝BC ，BF ＝BC，∴BF ＝AC ，∴△BDF ≌△BCA （SAS），∴∠ BDF ＝∠ CBA ，又∵∠ BFG ＝∠DFB ，∴△FBG ∽△FDB ，∴＝＝，∴BF 2＝FG ×FD ，∴a2＝a×FG ，∴FG ＝a，∴DG ＝DF ﹣FG ＝a，BG＝＝a，∵△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称，∴∠ GDH ＝∠BDF ，∴∠ ABC ＝∠ GDH ，又∵∠ BGF ＝∠DGH ，∴△BGF ∽△DGH ，∴＝，∴GH ＝＝a，∵B H ＝BG +GH ＝a＝10，∴a＝2 ；∴BC ＝2a＝4 ，CM ′＝BC cos30°＝2 ，∴DC ＝2CM ′＝4 ，∵DE ＝3EC，∴EC ＝DC ＝．2、（2016 春?重庆校级期中）在△ABC 中，AB＝AC，D 为射线BC 上一点，DB ＝DA，E 为射线AD 上一点，且AE＝CD ，连接BE．（1）如图1，若∠ADB ＝120°，AC＝2 ，求DE 的长；（2）如图2，若BE＝2CD ，连接CE 并延长交AB 于点F，求证：CF ＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD ，垂足为点E，猜想AE，BE，BD 之间的数量关系，直接写出关系式．（1）解：∵DA ＝DB ，∠ADB ＝120°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝30°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°，∴∠CAD ＝90°，在RtACD 中，tan30 °＝，∴A D ＝2 ×＝2，AE ＝CD ＝2AD ＝4 ∴DE ＝AE ﹣AD ＝CD ﹣AD ＝4﹣2＝2；（2）证明：如图，过 A 作AG∥B C ，∵DB ＝DA ，AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠ABC ，∠ ABC ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠ACB ，∵AE ＝CD ，在△ ABE 和△ CAD 中∴△ABE ≌△CAD （SAS），∴BE ＝AD ，∵BE ＝2CD，∴AD ＝2CD ＝2AE ，∴AE ＝DE ，∵AG ∥BC ，∴∠ G＝∠DCE ，∠ GAE ＝∠CDE ，在△ AGE 和△ DCE 中∴△AGE ≌△DCE （AAS ），∴GE ＝CE ，AG＝CD ＝AE ，∴△ AGE 为等腰三角形，∴∠GAF ＝∠ABC ＝∠ BAD ，∴F 为GE 的中点，∴CE ＝EG ＝2EF ，∴CF ＝3EF ；（3）如图3，取BE 中点M ，延长AM 至N，使MN ＝AM ，连接BN ，EN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴AE ∥BN ，∴∠NBC ＝∠D，BN ＝AE ＝CD，∵AB ＝AC ，DB ＝DA ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠ BAD ，∴∠BAC ＝∠D＝∠NBC ，∵∠ABN ＝∠NBC +∠ABC ，∠ACD ＝∠BAC +∠ABC ，∴∠ ABN ＝∠ ACD ，在△ ABN 和△ ACD 中∴△ABN ≌△ACD （SAS），∴BD ＝AD ＝AN ＝2AM ，∵BE ⊥AD ，∴AE 2+ME 2＝AM 2，∴AE 2+（BE ）2＝（AN ）2，∴AE 2+ BE 2＝BD 2．3、（2019 秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°（1）如图1，P 是边BD 延长线上一点，以AP 为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；② 若AB ＝，BE＝，求AE 的长；（2）如图2，P 是边CD 上一点，点 D 关于AP 的对称点为E，连接BE 并延长交AP 的延长线于点 F ，连接DE 、DF ．若BE＝11，DE ＝5，求△ADF 的面积．（1）①证明：在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴∠ ADC ＝60°，且AB ＝BC＝DA ＝DC ，∴△ ADC 和△ ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ BAC ＝∠CAD ＝60°，又∵△ APE 是等边三角形，∴AE ＝AP，∠EAP ＝60°，∴∠ BAC +∠CAP ＝∠PAE +∠CAP，即∠ BAP ＝∠CAE ，∴△BAP ≌△CAE （SAS），∴∠ACE ＝∠ABP ＝∠ABC ＝30°，∵∠CAD ＝60°，∴∠ACE +∠CAD ＝90°，∴CE ⊥AD ；② 解：如图1，设AC 与BD 交于点O，由① 知，∠ ACE ＝30°，且∠ ACB ＝60°，∴∠ACE +∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝AB ＝，BE ＝，∴CE ＝＝4，由① 知，△ BAP ≌△ CAE ，∴BP ＝CE＝4，在Rt △BOC 中，∠ ACB ＝60°，∴BO ＝BC＝，CO＝AO＝BC ＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt △AOP 中，AP ＝＝＝，∴A E ＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE ，过点 A 作AH ⊥BF 于点H ，∵点 D 关于AP 的对称点为E，∴AP 垂直平分DE ，∴AD ＝AE ，FD ＝FE ，∴∠EAF ＝∠DAF ＝∠EAD ，∠DFA ＝∠EFA ＝∠DFE ，又∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∴AB ＝AE ，∴AH 垂直平分BE ，∴EH ＝BH ＝BE ＝，∠BAH ＝∠EAH ＝∠B AE ，∴∠HAF ＝∠EAH +∠EAF ＝∠BAD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∴∠HAF ＝60°，∴∠AFH ＝90°﹣∠ HAF ＝30°，∴∠DFE ＝60°，∴△ DEF 为等边三角形，∴EF ＝DE ＝5，∴HF ＝HE +EF ＝+5＝，在Rt △AHF 中，∠ AFH ＝30°，∴AH ＝HF ＝，∴S△AEF ＝EF ?AH ＝×5×＝，∵AD ＝AE ，FD ＝FE ，AF ＝AF ，∴△ADF ≌△AEF （S S S），∴△ADF 的面积为．4、（2016 秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC 中，点 D 是AC 上任意一点，点 E 在BC 延长线上，连接DB ，使得BD ＝DE ．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD 的中点 F ，连接AE、AF ．求证：∠ CAE ＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点 F 作AE 的垂线，垂足为H，若AH ＝．求EH 的长．解：（ 1）如图 1，作 DF ∥ AB ，，过点 B 作 BG ∥ AC 交 AF 的延长线于 G ，∴∠ G ＝∠ DAF ，∠ CBG ＝∠ ACB ＝ 60°，∴∠ ABG ＝∠ ABC +∠ CBG ＝ 120°＝∠ ACE ，∵ DF ∥ AB ， ∴ ， ∵ AC ＝ BC ， ∴ CF ＝ CD ， ∴ BF ＝ AD ， ∵ DF ∥ AB ， ∴∠ DFC ＝ 60°， ∴∠ BFD ＝ 120°， ∵ BD ＝DE ， ∴∠ E ＝∠ DBE ，在△ BDF 和△ EDC 中，∴△ BDF ≌△ EDC ，（ AAS ） ∴ BF ＝ CE ， ∴ AD ＝ CE ， （ 2）如图 2，∵点 F 是BD 中点，∴BF ＝DF ，在△BFG 和△DFA 中，，∴△BFG ≌△DFA ，∴BG ＝AD ，由（1）知，AD ＝CE ，∴BG ＝CE ，在△ABG 和△ACE 中，，∴△ABG ≌△ACE ，∴∠BAF ＝CAE ；（3）由（2）知，∠ BAF ＝∠CAE ，∴∠FAE ＝∠FAC +∠CAE ＝∠FAC +∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∵F H ⊥AE ，∴∠AHF ＝90°，∴∠AFH ＝90°﹣∠FAE ＝30°，在Rt △AFH 中，AH ＝，∴AF ＝2 ，由（2）知，△ BFG ≌△ DFA ，∴GF ＝AF ＝2 ，由（2）知，△ ABG ≌△ ACE ，∴AE ＝AG ＝2AF ＝4 ，∴EH ＝AE ﹣AH ＝4 ﹣＝3 ．5、已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点D 在边BC 上，连接AD，作DE⊥AD ，且DE＝AD ，连接BE、AE，DE 与AB 交于点H，（1）如图 1 所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE、DE 的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG ＝2DH ；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH 的长？证明：（1）如图1，过点 E 作EM ⊥BC 于M ，∵∠ACB ＝90°，AD ⊥DE∴∠ACB ＝∠ADE ＝90°∵∠ADB ＝∠ACB +∠DAC ＝∠ADE +∠EDB∴∠ DAC ＝∠EDB ，且∠ ACD ＝∠ EMD ＝90°，AD＝DE ∴△ACD ≌△DME （AAS ）∴AC ＝DM ，CD ＝EM∵AC ＝BC ，∴BC ＝DM∴CD ＝BM∴BM ＝EM ，且EM ⊥BM∴∠EBM ＝45°∵∠C＝90°，AC＝BC∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°∴∠ABE ＝180°﹣∠ABC ﹣∠EBM ＝90°∴∠ C＝∠ABE（2）如图2，过点 E 作EM ⊥BC 于M ，∵∠C＝90°，AC＝BC ，∠ADE ＝90°，AD ＝DE∴∠ CAB ＝∠DAE ＝∠AED ＝45°由（1）可知∠ EBM ＝45°，∴∠CBE ＝135°，∵∠ DAE +∠AEB +∠DBE + ∠ADB ＝360°，且∠ AEB ＝75°，∴∠ADB ＝105°∴∠ACD +∠CAD ＝∠ADB ＝105°∴∠CAD ＝15°∴∠DAB ＝30°∵把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE 、DE 的延长线于点 F 、点G．∴∠DAB ＝∠BAG ＝30°∴∠ DAG ＝60°，且∠ ADE ＝90°∴∠G＝30°＝∠BAG∴AH ＝HG∵∠ADE ＝90°，∠ DAH ＝30°∴AH ＝2DH∴HG ＝2DH（3）作EN 平分∠ DEB 交BC 于点N ，∵EM ＝BM ，∠EMB ＝90°∴BE ＝EM ，且BE ＝3，∴E M ＝∵∠AEB ＝75°，∠ AED ＝45°∴∠DEN ＝30°∵EN 平分∠ DEB∴∠DEN ＝15°∵∠ EDM ＝∠C AD ＝15°∴∠DEN ＝∠EDB ＝15°，∴DN ＝EN ，∠ ENM ＝30°，且EM ⊥BM∴NE ＝2EM ＝3 ，NM ＝EM ＝在Rt △DEM 中，DE ＝＝3 +3＝AD∵∠DAH ＝30°，∠ ADH ＝90°∴AD ＝DH ＝3 +3∴ DH ＝3+6、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D 是△ABC 内部一点，连接AD，BD 和CD ．（1）如图1，若∠ BDC＝90°，BD＝1，CD ＝2，求AC 的长．（2）如图2，若CD 平分∠ACB，∠BDC ＝90°，过点 B 作BE∥AC 交AD 的延长线于点E，求证：AD ＝DE ．（3）如图3，若CD ＝CB，∠BCD ＝30°，取线段AC 的中点 F ，连接DF ，求证：∠AFD ＝45°解：（1）如图1，∵∠ BDC ＝90°，BD ＝1，CD ＝2，∴BC ＝＝＝，∵AB ＝BC ＝，由勾股定理得：AC ＝＝＝；（2）如图2，延长BD 交AC 于P，∵DC 平分∠ ACB ，∴∠BCD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC＝90°，∵CD ＝CD ，∴△BDC ≌△PDC，∴BD ＝PD ，∵BE ∥AC ，∴∠E＝∠EAC ，∠EBD ＝∠ DPA，∴△BDE ≌△PDA ，∴AD ＝DE ；（3）如图3，以BD 为边作等边三角形BDE ，连接BF 、CE，∴BD ＝DE ＝BE ，∵AB ＝BC ，F 是AC 的中点，∴BF ⊥AC ，∴∠AFB ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴BF ＝AF ，∵CD ＝BC ，∠BCD ＝30°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝75°，∵CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CED ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝15°，∵∠CBD ＝75°，∠ DBE ＝60°，∴∠CBE ＝75°﹣60°＝15°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ＝15°，∴∠ABD ＝∠BAD ＝15°，∴AD ＝BD ，∵D F ＝DF ，∴△ADF ≌△BDF ，∴∠ AFD ＝∠B FD ＝∠AFB ＝×90°＝45°．7、（2013?洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD 中，BC＝CD ，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，点P 为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠ CBP＝2∠DCP ；（2）如图2，若∠ABP 的平分线交CP 的延长线于点E，连接DE ，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE 的长度．解：（1）取CP 的中点F，连接BF ，如图1，∵BC ＝BP，BF 是底边上的中点，∴∠CBF ＝∠PBF ＝∠CBP，BF ⊥PC，∴∠CBF +∠BCF ＝90°，∵∠BCF +∠DCP ＝90°，∴∠DCP ＝∠CBF ，∴∠CBP ＝2∠DCP ；（2）过得 C 作CG ⊥CE 交EB 的延长线于点G，连接BD ，如图2，∵BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∵∠EBF ＝∠EBP +∠PBF ＝∠ABP + ∠CBP ＝45°，∴∠BEF ＝180°﹣∠EBF ﹣∠BFE ＝45°，∴△ CEG 是等腰直角三角形，∴EG ＝CE，CG ＝CE ，∵∠ECG ＝90°＝∠ BCD ，∴∠ BCG ＝∠DCE ，在△ CBD 和△ CDE 中∴△CBD ≌△CDE （SAS），∴BG ＝DE ，∴DE +BE ＝BG+BE ＝EG ＝CE；（3）CE＝，理由如下；取CD 的中点M ，连接MF ，设MF 的延长线交直线AB 与B ′，如图2，∵F 是PC 的中点，∴FM ∥AD ，∵AB ∥CD ，∴四边形AB ′MD 是平行四边形，∴AB ′＝DM ＝1＝AB ，∴B′与 B 重合，即B、F、M 在一条直线上，∴BM ⊥CE ，∵∠CBF ＝∠MBC ，∴△BFC ∽△BCM ，∴＝，即＝，∴BF ＝2CF ，∵∠BEF ＝45°，∠ BFE ＝90°，∴EF ＝BF ＝2CF ，∵CF ＝PF ，∴CF ＝PF ＝PE，CE＝3CF ，∵S△BCM ＝CF ?BM ＝BC?CM ，∴CF ＝＝＝，∴CE ＝3CF ＝．8、（2016 秋?松北区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，点 D 在射线BC 上，AB＝AD ．（1）如图1，求证：BC+CD ＝AC；（2）如图2，取AB 的中点F，延长CA 至点E，连接BE、DE、EF ，使得∠ ABE＝∠CAD ，EF ＝AE，求证：∠ BEF ＝2∠ABD ；（3）如图3，在（2）的条件下，FG ⊥BE 于点G，FG ＝4，EF ＝，求△AED 的面积．（1）证明：延长DB 至E ，使BE ＝CD ，连接AE ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABE +∠ABD ＝180°，∠ADC +∠ADB ＝180°，∴∠ ABE ＝∠ ADC ，在△ ABE 和△ ADC 中，，∴△ABE ≌△ADC ，∴∠C＝∠ E＝60°，∴△ AEC 为等边三角形，∴AC ＝CE ，∵BC +BE ＝CE ，∴BC +CD ＝AC ；（2）证明：∵ AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠CAD +∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∠ CAD ＝∠ABE ，∴∠ABE +∠ABD ＝∠CAD +∠ADB ＝60°，∴△ BEC 为等边三角形，过点 A 作AN ∥BC 交EB 于N，∴△ENA 为等边三角形，∠NAB ＝∠ABD ，∴AN ＝AE ，∴BN ＝AC ，∴∠ NAB ＝∠ ADC ，在△ BNA 和△ ACD 中，，∴△BNA ≌△ACD ，∴AN ＝CD ，∴CD ＝AE ，延长EF 至M 使得EF ＝FM ，连接BM ，∴△ AEF ≌△BMF ，∴AE ＝BM ，AE ∥BM ，∴BM ＝CD ，∠MBC ＝∠ECB ＝60°，∴∠ EBM ＝∠EBC +∠MBC ＝120°，又∵∠ ECD ＝∠EBM ＝120°，∴△ BEM ≌△C ED ，∴∠BEF ＝∠CED ，∵EF ＝AE ，∴∠EFA ＝∠EAF ，∴∠BEF +∠EBF ＝∠ACB +∠ABD ，∴∠BEF +60 °﹣∠ ABD ＝∠ABD +60°，∴∠BEF ＝2∠ABD ∠CED ＝2∠ABD ；（3）解：由（2）得，△ EMD 是等边三角形，∴，过点 A 作AP ⊥DE 于P，由（2）可证△ EFG ≌△ EAP ，∴AP ＝FG ＝4，∴S△AED＝DE ×AP ＝××4＝37．9、（2016?九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC 为边，向Rt△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD ，若BC＝2，求BE 的长；（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ，作BH⊥AD 于H，连接FH ．求证：BH ＝2FH ；（3）如图3，取AB、CD 得中点M 、N，连接M 、N，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论．解：（1）如图1，Rt △ABC 中，∠ CAB ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，AC＝2 ，∵△ ACE 是等边三角形，∴AE ＝AC ＝2 ，∠EAC ＝60°，∴∠EAB ＝60°+30°＝90°，在Rt △EAB 中，EB ＝＝＝2 ；（2）如图2，过 E 作EG ∥BD ，交BA 的延长线于G，∴∠EGA ＝∠ABD ，∵△ ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，∴∠EGA ＝60°，Rt △AEG 中，设AG＝x，∴EG ＝2x，AE ＝x，∴AC ＝AE ＝BH ＝x ，∵∠BDH ＝60°，∴BD ＝2x，∴EG ＝BD ＝2x ，∵∠EFG ＝∠BFD ，∴△EFG ≌△DFB ，∴EF ＝DF ，等边△ ABD 中，∵ BH ⊥AD ，∴AH ＝DH ，∴FH 是△ AED 的中位线，∴FH ＝AE ＝BH ，∴BH ＝2FH ；（3）如图3，连接BN ，并延长交AD 于H ，∵∠CBA ＝60°＝∠ BAD ，∴BC ∥AD ，∴∠BCN ＝∠NDH ，∵CN ＝ND ，∠CNB ＝∠ DNH ，∴△CNB ≌△DNH ，∴BN ＝NH ，BC＝DH ，∵M 是AB 的中点，∴MN 是△ ABH 的中位线，∴MN ＝AH ，设BC＝x，则DH ＝x，AB ＝AD ＝2x，∴AH ＝x，∴MN ＝x，Rt △ACB 中，AC ＝2 x ，∴AE ＝2 x ，∴＝＝，∴AE ＝4 MN ．10、重庆八中初2020 级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020 级九上期末12、重庆双福育才中学初2020 级九上期末。
重庆2021年中考数学26题几何专题(1)
重庆2021年中考数学26题几何专题（1）26（重庆八中2021级第二次定时练习）在ABC ∆中，=62AB AC =,90BAC ∠=,AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上的一点，:2:1AE DE =,以AE 为直角边在直线AD 右侧构造等腰Rt AEF ∆，使90EAF ∠=,连接CE ，G 为CE 的中点.（1）如图1，EF 与AC 交于点H ，连接GH ，求线段GH 的长度.（2）如图2，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α且45135α<<，H 为线段EF 的中点，连接,DG HG ，猜想DGH ∠的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG ，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG 长度的最大值.（重庆八中2021级入学测试）在R t△ABC 中，∠CAB=90︒，点D是边A B的中点，连接CD ，点E在边B C 上，且A E⊥CD交CD 于点F.（1）如图1，当∠ACB = 60︒时，若CD = 7，求AF 的长；（2）如图 2，当∠ACB = 45︒时，连接BF ，求证：CD +DF =AF +（3）如图3，当∠ACB = 75︒时，直接写出F A的值．CF2BF ；24. （重庆育才2021级入学测试）如图，平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点M 为BC 上一点，连接AM ，且AB AM =，AE 为△ABC 边BM 的中线，AF AB ⊥,EG GD ⊥，延长FO 交AB 于点N .（1）若4BM =，6MC =,10AC =,求AM 的长度；（2）若45ACB ∠=,求证：2AN AF FG +=26.(西师附中2021级入学测试)在△ABC ，AB = BC ，∠ABC = 90︒（1）如图1，点D 在BC 上，DE ⊥BC 于点D ，连接BE ，若∠DBE = 60︒,AC=42,BD= 23求线段AE 的长（2）如图 2，点 D 在△ABC 内部，连接 AD ， BD ， CD ， F 是 CD 的中点，连接 BF ，若∠BAD = ∠CBF ，求证： ∠DBF = 45︒ ；（3）如图 3， A 点关于直线 BC 的对称点为 A ' ，连接 A 'C ，点 D 是△A 'AC 内部一动点，∠ADC = 90︒ ，若 AC = 4 ，当线段 A 'D 最短时，直接写出△ABD 的面积．26.（重庆南开中学2021级入学测试）如图1，正方形ABCD 中，G 为线段BC 上一点连接AG ，过G 做AG ⊥GE 交BC 于E ，连接AE 。
2021重庆中考26题专题复习及答案2
重庆中考26题专题复习1、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．2、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．3、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．。
2021年 中考一轮复习数学——几何小专题：三角形综合之解答题专项(有答案)
2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，点D为BC边上一点，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD ＝AE，连接EC．直接写出线段BD与CE的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，点D为BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接EC．①用等式表示线段BC，DC，EC之间的数量关系为．②求证：BD2+CD2＝2AD2．（3）如图3，点D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，若BD＝13，CD＝5，求AD的长．2．如图1，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b 满足a2﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0，连接AB、AC，AC交x轴于D点．（1）求C点的坐标；（2）求证：∠OAC+∠ABO＝45°；（3）如图2，点E在线段AB上，作EG⊥y轴于G点，交AC于F点，若EG＝AO，求证：EF＝OD+AG．3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？4．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，D为直线BC上一动点，以AD 为边作等边△ADE（A，D，E三点逆时针排列），连接CE．（1）如图1，若D为BC中点，求证：AE＝CE；（2）如图2，试探究AE与CE的数量关系，并证明你的结论；（3）连接BE，在D点运动的过程中，当BE最小时，则线段CD的长为．5．已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．（1）如图1．当PB＝3AP时，△BPC的面积为；（2）直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．①如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，求BB′的长度；②如图3，当PB＝6时，在直线l变化过程中．请直接写出△ACB′面积的最大值．6．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5cm，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB向终点B运动过．点P作PQ⊥AC于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ 为边向右作长方形PQMN，使PN＝2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S，点P 的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段BP的长度．（2）当点N落在BC边上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时，直接写出t的值．8．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．（1）当AD＝1时，求FB的长；（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．10．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为（直接写出结果）．参考答案1．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；（2）①BC+DC＝EC；∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴CE＝BD＝BC+CD，故答案为：BC+CD＝EC；②由①知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠BCE＝∠DCE＝90°，。
专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)
专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（原卷版）类型一 反比例函数与三角形综合1．（2022秋•岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，点A 在反比例函数y =6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A ．y =―1x B ．y =―2x C ．y =―4xD ．y =―6x2．（2022秋•金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO 中，AO =3，将△ABO 绕点O 点旋转至△A 'B 'O 的位置，且A '在OB 的中点，B '在反比例函数y =kx上，则k 的值为 ．3．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC ∥x 轴，双曲线y =kx过A ，B 两点，过点C 作CD ∥y 轴交双曲线于点D ，若S △BCD ＝16，则k 的值是 ．4．（2023•南海区模拟）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，过点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数y =2x(x ≠0)的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，得直角三角形OP 1A 1，A 1P 2A 2，A 2P 3A 3，A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 2022＝ ．5．（2022秋•桥西区校级期末）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像与反比例函数y 2=k 2x(x ＞0)的图像相交于A （m ，6），B （6，1）两点，且与x 轴，y 轴交于点M ，N ．（1）填空：k 2＝ ；m ＝ ；在第一象限内，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为 ；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）点E 在线段AB 上，过点E 作x 轴的垂线，交反比例函数图像于点F ，若EF ＝2，求点F 的坐标．6．（2022秋•龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC 沿x 轴平移（边AB 在x 轴上，点C 在x 轴上方），其中A （a ，0），三角形ABC 与反比例函数y =23x（x ＞0）交于点D ，E 两点（点D 在点E 左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：（1）第一小组提出“当a ＝2时，求点D 的坐标”；（2）第二小组提出“若AD ＝CE ，求a 的值”；（3）第三小组提出“若将点E 绕点A 逆时针旋转60°至点E ′，点E ′恰好也在y =23x（x ＞0）上，求a 的值”．7．（2022秋•南山区期末）如图：△AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，S △OAB ＝4，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A 交y 轴于点C ，反比例函数y 2=kx（x ＞0）的图象也经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD ＝2AD ，求△COD 的面积；（3）当y 1＜y 2时对应的自变量的取值范围是 ．（请直接写出答案）8．（2022秋•老城区校级期中）如图，已知：直线y =12x 与双曲线y =k x （k ＞0）交于A ，B 两点，且点A的横坐标为4，若双曲线y =kx（k ＞0）上一点C 的纵坐标为8，连接AC ．（1）填空：k 的值为 8 ；点B 的坐标为 ；点C 的坐标为 ．（2）直接写出关于的不等式12x ―k x≥0的解集；（3）求三角形AOC 的面积．9．（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y =1x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y =1x的图象于点C ，联结AC ，若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．类型二 反比例函数与平行四边形综合10．（2022秋•襄都区校级期末）如图，反比例函数y =kx的图象经过平行四边形ABCD 对角线的交点P ．知A ，C ，D ，三点在坐标轴上，BD ⊥DC ，平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣311．（2022秋•滨城区校级期末）如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y =―2x 上，顶点C 在y =9x上，则平行四边形OABC 的面积是 ．12．（2022秋•平城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC 的面积为6，边OB 在x 轴上，顶点 A 、C 分别在反比例函数y =k x（x ＜0）和y =2x （x ＞0）的图象上，则k ﹣2的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．613．（2022秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD 顶点A 的坐标为（1，0），点D 在反比例函数y =―6x 的图象上，点B ，C 在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，CD 与y 轴交于点E ，若DE ＝CE ，∠DAO ＝45°，则k 的值为 ．14．（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy 中，函数y =kx （其中x ＜0）的图象经过平行四边形ABOC 的顶点A ，函数y =8x（其中x ＞0）的图象经过顶点C ，点B 在x 轴上，若点C 的横坐标为2，△AOC 的面积为6．（1）求k 的值；（2）求直线AB 的解析式．类型三 反比例函数与矩形综合15．（2022秋•永城市期末）如图，直线y ＝﹣x +3与坐标轴分别相交于A ，B 两点，过A ，B 两点作矩形ABCD ，AB ＝2AD ，双曲线y =kx在第一象限经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．6B ．274C ．272D ．2716．（2022秋•岚山区校级期末）如右图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y =kx相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k ＝（ ）A ．10B ．20C ．6D ．1217．（2022秋•达川区期末）如图，矩形AOBC 的边OA ＝3，OB ＝4，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y =kx的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若k ＝6，则△OEF 的面积为92；②若k =218，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是0＜k ≤12；④若DE ⋅EG =256，则k ＝2；其中正确的命题个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD 中，点A 在双曲线y =―8x上，点B ，C 在x 轴上，延长CD 至点E ，使CD ＝2DE ，连接BE 交y 轴于点F ，连接CF ，则△BFC 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A 为双曲线y =―2x在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足AB ：BC ＝4：3，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为 ．20．（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1=k 1x（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，反比例函数y 2=k 2x（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则2k 2﹣2k 1＝ ．21．（2022秋•长安区校级期末）如图，矩形ABCD 顶点坐标分别为A （1，1），B （2，1），CB ＝2．（1）若反比例函数y =kx与的图象过点D ，则k ＝ ．（2）若反比例函数与矩形ABCD 的边CD 、CB 分别交于点E 、点F ，且△CEF 的面积是，则反比例函数的表达式为 ．（3）若反比例函数y =k x(x ＞0)的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k 的取值范围是 ．22．（2022秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点．一次函数y ＝﹣3x +6的图象经过点C 、D ，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ，求k 的值．23．（2022•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且OA ＝2，OC ＝4，连接OB ．反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数y ＝k 2x +b 的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P 是x 轴上一动点，当PE +PF 的值最小时，求点P 的坐标．25．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，点 A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B （a ，b ）在第一象限，四边形OABC 是矩形，反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，且BE ＝2CE ．（1）求证：BD ＝2AD ；（2）若四边形ODBE 的面积是6，求k 的值．类型四 反比例函数与菱形综合26．（2022秋•江北区校级期末）如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为10，BE ＝3DE ，则k 的值为（ ）A ．15B ．6C ．154D ．1027．（2022•珠海校级三模）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x的图象上，且∠ADC＝120°，则k2k1的值是（ ）A．﹣3B．―13C．3D．―3328．（2022秋•岚山区校级期末）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为242，则点A的坐标为 ．29．（2022秋•福州期末）如图，四边形ABOC为菱形，∠BOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点B，交AC边于点P，若△BOP的面积为43，则点A的坐标为 ．30．（2022秋•通川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为 ．31．（2023•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A 在反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．（1）求反比例函数的关系式；（2）设点M 在反比例函数图象上，连接MA 、MD ，若△MAD 的面积是菱形ABCD 面积的14，求点M 的坐标．类型五 反比例函数与正方形综合32．（2022秋•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =43x +4的图象与x 轴，y 轴分别交于点B ，A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数y =k x（x ＜0）的图象上，则k 的值为（ ）A ．﹣21B ．21C ．﹣24D ．2433．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数y =kx(x ＞0)图象经过正方形OABC 的顶点A ，BC 边与y轴交于点D ，若正方形OABC 的面积为12，BD ＝2CD ，则k 的值为（ ）A ．3B ．185C ．165D ．10334．（2022秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）A ．16B ．1C ．4D ．﹣1635．（2022•南关区校级模拟）如图，正方形ABCO 和正方形CDEF 的顶点B 、E 在双曲线y =6x（x ＞0）上，连接OB 、OE 、BE ，则S △OBE 的值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.536．（2022•绿园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A 的函数y =k x（x ＞0）的图象与大正方形的一边交于点B （1，3），则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．3C ．32D ．3―337．（2022秋•徐汇区期末）点A 、M 在函数y =1x （x ＞0）图象上，点B 、N 在函数y =―3x（x ＜0）图象上，分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、C ，再分别过M 、N 作线段AB 的垂线，垂足为Q 、P ，若四边形ABCD 与四边形MNPQ 均为正方形，则正方形MNPQ 的面积是 ．38．（2022秋•薛城区期末）如图，点B 是反比例函数y =k x图象上的一点，矩形OABC 的周长是20，正方形OCDF 与正方形BCGH 的面积之和为68，则k 的值为 ．39．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x(x ＞0)的图象与边长等于6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△MON 的面积是16，动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴向右运动，记运动时间为t ，当t ＝ s 时，PM +PN 最小．40．（2022•香洲区校级三模）如图，反比例函数y =k x（k ≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ，四边形ODEF 和ABCD 是正方形，顶点F 在x 轴的正半轴上，A ，D 在y 轴正半轴上，点C 在边DE 上，延长BC 交x 轴于点G ．若AB ＝2，则四边形CEFG 的面积为 ．41．（2022秋•蚌山区月考）如图，两个边长分别为a ，b （a ＞b ）的正方形连在一起，三点C ，B ，F 在同一直线上，反比例函数y =k x在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E ．若OB 2﹣BE 2＝8，则（1）S 正方形OABC ﹣S 正方形DEFB ＝ ；（2）k 的值是 ．42．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），连结AB ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线BD ：y ＝ax +b 交双曲线y =k x（k ≠0）于D 、E 两点，连结CE ．（1）求双曲线y =k x（k ≠0）和直线BD 的解析式；（2）求△BEC 的面积；（3）请直接写出不等式ax +b ＞k x 的解集．43．（2022•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，反比例函数y ＝k 的图象过AB 边上一点E ，与BC 边交于点D ，BE ＝2，OE ＝10．（1）求k 的值；（2）直线y ＝ax +b 过点D 及线段AB 的中点F ，点P 是直线OF 上一动点，当PD +PC 的值最小时，直接写出这个最小值．44．（2021秋•榆林）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，2），以线段AB 为一边在第一象限内作平行四边形ABCD ，其顶点D （3，1）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）设将正方形ABCD 沿x 轴向左平移m （m ＞0）个单位后，得到正方形A ′B ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，求m 的值．45．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =k x （k ＞0，x ＞0）图象上，点P 是函数y =k x（k ＞0，x ＞0）图象上异于点B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．（1）点B 的坐标是 ，k ＝ ；（2）当S =92，求点P 的坐标；（3）求出S 关于m 的函数关系式．46．（2022秋•武功县期末）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，2），B （﹣1，﹣2），以AB 为边向右作正方形ABCD ，边AD 、BC 分别与y 轴交于点E 、F ，反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使得△PEF 的面积等于正方形ABCD 面积的一半？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC＝1，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象经过BC 边的中点D （3，1）．（1）直接写出这个反比例函数的表达式 ；（2）若△ABC 与△EFG 关于点M 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①直接写出OF 的长 、对称中心点M 的坐标 ；②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．。
专题26 全等三角形的应用(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题26 全等三角形的应用（基础）1．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离：现在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝AC ；连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ；连接DE 并测量出它的长度． （1）求证：DE ＝AB ；（2）如果DE 的长度是8m ，则AB 的长度是多少？【分析】（1）利用SAS 直接得出△CDE ≌△CAB ，进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出AB 的长即可． 【解答】（1）证明：在△CDE 和△CAB 中， {CD =CA∠DCE =∠BCA CE =CB， ∴△CDE ≌△CAB （SAS ）， ∴DE ＝AB ；（2）解：∵DE ＝AB ，DE ＝8m ， ∴AB ＝8m ．答：AB 的长度是8m ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，得出△CDE ≌△CAB 是解题关键．2．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，如图，已知DA ＝15千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且∠DHC ＝90°，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【分析】根据同角的余角相等求出∠D ＝∠CHB ，再利用“角角边”证明△ADH 和△BHC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝BH ，AH ＝BC ，再根据AH ＝AB ﹣BH 计算即可得解． 【解答】解：∵∠DHC ＝90°， ∴∠AHD +∠CHB ＝90°， ∵DA ⊥AB ，∴∠D +∠AHD ＝90°， ∴∠D ＝∠CHB ，在△ADH 和△BHC 中，{∠D =∠CHB∠A =∠B =90°DH =CH ，∴△ADH ≌△BHC （AAS ）， ∴AD ＝BH ＝15千米，AH ＝BC ， ∵A ，B 两站相距25千米， ∴AB ＝25千米，∴AH ＝AB ﹣BH ＝25﹣15＝10千米， ∴学校C 到公路的距离是10千米．答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点评】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法求出两三角形全等是解题的关键．3．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△DEC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，{BC =CE∠ACB =∠DCE CA =CD ，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）， ∴AB ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4．如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D ，E 两地，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？【分析】首先根据题意可知AC ＝CB ，DC ＝EC ，再根据HL 定理证明Rt △ACD ≌Rt △BCE ，可得到AD ＝BE ．【解答】解：D ，E 与路段AB 的距离相等，理由：∵点C 是路段AB 的中点， ∴AC ＝CB ，∵两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走， ∴DC ＝EC ，∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝90°， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中 ∵{AC =CB CD =CE， ∴Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ）， ∴AD ＝BE ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明Rt △ACD ≌Rt △BCE ． 5．如图所示，有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，CA ⊥BF ，ED ⊥BF ，垂足分别为A ，D ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等．问：两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？【分析】由图可得，△ABC 与△DEF 均是直角三角形，由已知可根据HL 判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．【解答】解：∠ABC +∠DFE ＝90°，理由如下：由题意可得：△ABC 与△DEF 均是直角三角形，且BC ＝EF ，AC ＝DF ． 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， {BC =EF AC =DF， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）， ∴∠ABC ＝∠DEF ， ∵∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠ABC +∠DFE ＝90°．【点评】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．6．某广场是一个四边形区域ABCD ，现测得：AB ＝60m ，BC ＝80m ，且∠ABC ＝30°，∠DAC ＝60°，试求水池两旁B ，D 两点之间的距离．【分析】以AB 为边在△ABC 外侧作等边△ABE ，连接CE ，求出△EAC ≌△DAB 可得：BD ＝CE ，证明△EBC 是直角三角形，利用勾股定理求出CE 的长度，即可解答． 【解答】解：以AB 为边在△ABC 外侧作等边△ABE ，连接CE ． ∵∠EAB ＝∠DAC ＝60°， ∴∠EAB +∠BAC ＝∠DAC +∠BAC ， ∴∠EAC ＝∠DAB ， 在△EAC 和△DAB 中， {AE =AB∠EAC =∠DAB AC =AD， ∴△EAC ≌△DAB （SAS ）， ∴BD ＝CE ，∴∠EBC ＝60°+30°＝90°， ∴△EBC 是直角三角形， ∵EB ＝60m BC ＝80m ，∴CE =√BE 2+BC 2=√602+802=100（m ）． ∴水池两旁B 、D 两点之间的距离为100m ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于（灵活运用）作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形．7．如图，两只蚂蚁分别位于一个正方形相邻的两个顶点A ，B 上，它们分别沿AE ，BF 的路线向BC 和CD 爬行，如果AE 和BF 相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？【分析】根据题意得出△ABE ≌△BCF （SAS ），可得AE ＝BF ，进而得出答案． 【解答】解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBF +∠ABO ＝90°， ∴∠EAB +∠ABO ＝90°， ∴∠CBF ＝∠EAB ， 在△BFC 和△AEB 中 {∠BFC =∠AEB∠C =∠ABE AB =BC∴△BFC ≌△AEB （AAS ）， ∴AE ＝BF ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出∠CBF ＝∠EAB 是解题关键．8．如图，平面上的四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB ＝AD ，CB ＝CD ，某同学观察了这只“风筝”的骨架后，认为四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 垂直，垂足为E ，并且BE ＝ED ，你同意这位同学的判断吗？请说明理由．【分析】根据中垂线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上来判定． 【解答】解：正确；理由如下： ∵AB ＝AD ，∴点A 在BD 的垂直平分线上． ∵CB ＝CD ，∴点C 在BD 的垂直平分线上．∴AC 为BD 的垂直平分线，BE ＝DE ，AC ⊥BD ．【点评】本题利用了中垂线的判定定理求解，关键是根据到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上分析．9．有一张纸片的形状如图所示，其中已知∠1＝∠2，纸片中的△ABC 和△ADC 是全等的，小红说：“只要给我一个量角器，我就能验证：这两个三角形是全等．”小明不相信，你知道小红是怎样做的吗？如果知道，请写出小红的验证过程．【分析】直接利用全等三角形的判定方法（AAS ），进而得出答案．【解答】解：只要量出∠B 与∠D 的度数，若两角度数相等，则△ABC 和△ADC 全等． 理由：在△ABC 和△ADC 中，∵{∠B =∠D∠1=∠2AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．10．小红在课外活动时，不小心把老师用的三角形教具弄坏了一个角，如图①所示，她想用一块同样材料的薄板把它补上，想出以下办法：（1）先量出∠AED ，∠BDE 的度数，量出DE 的长；（2）在同样的材料上取D 1E 1＝DE ，用量角器∠ME 1D 1＝180°﹣∠AED ″，∠ND 1E 1＝180°﹣∠BDE ，如图②所示，两射线E 1M ，D 1N 交于点C 1，剪下△C 1D 1E 1，将其与原三角形黏合就能把三角形教具修好，你认为这两种方法可行吗？道理是什么？【分析】利用全等三角形的判定定理ASA 证得△C 1D 1E 1≌△CDE 即可． 【解答】解：这个方法可行，理由如下：∵∠ME 1D 1＝180°﹣∠AED ，∠ND 1E 1＝180°﹣∠BDE ， ∴∠ME 1D 1＝∠CED ，∠ND 1E 1＝∠CDE ， ∴在△C 1D 1E 1与△CDE 中，{∠ME 1D 1=∠CEDD 1E 1=DE ∠ND 1E 1=∠CDE ，∴△C 1D 1E 1≌△CDE （ASA ）， ∴该方法可行．【点评】本题考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．11．如图，把一个长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，测得AM ＝8m ，BM ＝6m ，梯子沿墙下滑到CD 位置，测得∠ABM ＝∠DCM ，求梯子下滑的高度．【分析】由全等三角形的判定定理AAS 得到△ABM ≌△DCM ，则其对应边相等：BM ＝CM ，AM ＝DM ，故AC ＝DM ﹣BM ＝2m ．【解答】解：∵在△ABM 与△DCM 中，{∠AMB =∠DMC∠ABM =∠DCM AB =DC ，∴△ABM ≌△DCM （AAS ）， ∴BM ＝CM ＝6m ，AM ＝DM ＝8m ， ∴AC ＝AM ﹣CM ＝2m ． 即梯子下滑的高度是2m ．【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．12．如图所示，四边形ABCD 是一条河堤坝的横截面，AE ＝BF ，且AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AD ＝BC ，∠C 与∠D 是否相等？为什么？【分析】首先利用HL 定理证明Rt △ADE ≌Rt △BCF ，再根据全等三角形的性质可得∠C ＝∠D ． 【解答】解：∠C ＝∠D ， ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ， ∴∠AED ＝∠BFC ＝90°， 在Rt △ADE 和Rt △BCF 中， {AD =BC AE =BF， ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF （HL ）， ∴∠C ＝∠D ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．13．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝2.5m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝1.5m ．点A 到地面的距离AE ＝1.5m ，当他从A 处摆动后的坐板记为A ′． （1）若A ′B ⊥AB 时，求A '到BD 的距离；（2）若A ′距地面最近时，求A '到地面的距离（结果精确到0.01，√13=3.606）．【分析】（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3； 在△ACB 和△BF A '中， {∠ACB =∠A ′FB∠2=∠3AB =A′B，∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.5；∴BC ＝BD ﹣CD ＝2.5﹣1.5＝1（m ）， ∴A 'F ＝1（m ），即A '到BD 的距离是1m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝1.5m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD ﹣BF ＝2.5﹣1.5＝1（m ），即A '到地面的距离是2.5−√1．52−12≈2.5﹣1.8＝0.7m ．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ADC ≌△CEB ； （2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6cm ，BE ＝7×2＝14cm ， ∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15．某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为35cm ，由以上信息能求出CB 的长度吗？如果能，请求出CB 的长度；如果不能，请说明理由．【分析】根据中点定义求出OA ＝OB ，OC ＝OD ，然后利用“边角边”证明△AOD 和△BOC 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【解答】解：∵O 是AB 、CD 的中点， ∴OA ＝OB ，OC ＝OD ， 在△AOD 和△BOC 中， {OA =OB∠AOD =∠BOC OC =OD， ∴△AOD ≌△BOC （SAS ）， ∴CB ＝AD ， ∵AD ＝35cm ， ∴CB ＝35cm ，答：CB 的长度为35cm ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．16．如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打出，墙壁厚是35cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．【分析】利用“角边角”证明Rt △OAB 和Rt △OCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝DC ，从而得解．【解答】解：∵OC ＝35cm ，墙壁厚OA ＝35cm ， ∴OC ＝OA ， ∵墙体是垂直的，∴∠OAB ＝90°且CD ⊥OC ， ∴∠OAB ＝∠OCD ＝90°，在Rt △OAB 和Rt △OCD 中，{∠OAB =∠OCD =90°OC =OA∠AOB =∠COD ，∴Rt △OAB ≌Rt △OCD （ASA ）， ∴DC ＝AB ， ∵DC ＝20cm ， ∴AB ＝20cm ，∴钻头正好从B 点处打出．【点评】本题考查了全等三角形的应用，读懂题目信息确定出全等三角形是解题的关键． 17．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图AD ⊥DE ，BE ⊥DE ． （1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）若三角板的一条直角边AC ＝25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）解：∵一块墙砖的厚度为a ，∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∴AC =√AD 2+CD 2=5a ＝25，∴a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．18．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA ＝OD ，OB ＝OC ，只需测得AB ＝a ，EF ＝b ，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB ＝CD ；（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a ，b 的代数式表示）【分析】（1）连接AB ，只要证明△AOB ≌△DOC ，可得AB ＝CD ，即可解决问题；（2）利用（1）中所求即可得出圆形容器的壁厚．【解答】解：（1）连接AB ．在△AOB 和△DOC 中，{OA =OD ∠AOB =∠DOC BO =OC，∴△AOB ≌△DOC （SAS ），∴AB ＝CD ；（2）∵EF ＝b ，AB ＝CD ＝a ，∴圆形容器的壁厚是12（b ﹣a ）．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型．19．某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A 、B 间的距离，于是工作人员在岸边A 、B 的垂线AF 上取两点E、D，使ED＝AE．再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD长就是AB的距离．请说明理由．【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD∴∠A＝∠CDE＝90°又∵ED＝AE，∠AEB＝∠CED∴△ABE≌△CED（AAS）所以AB＝CD．【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．20．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？【分析】已知Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，利用“HL”可判断两三角形全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，确定ABC与∠DFE的大小关系．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，{BC=EF AC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠ABC＝∠DEF又∵∠DEF+∠DFE＝90°∴∠ABC+∠DFE＝90°即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．【点评】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．。
2021重庆中考26题专题复习及答案1
重庆中考数学第26题专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF 是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。
2021年中考数学复习第26讲 几何作图(教学课件)
考点精讲
对对应应训训练练
5．(2020·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成 的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB、线 段MN在网格线上． (1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1， B1分别为A，B的对应点)； (2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线 段B1A2.
2．平移作图的基本步骤：确定平移方向和平移距离⇨找出原图 形的关键点⇨按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各 关键点的对应点⇨按原图形依次连结得到的各关键点的对应点， 得到平移后的图形
考考点点精精讲讲
对应训练
3．旋转作图的基本步骤：确定旋转的方向和旋转的角度⇨找出 原图形的关键点⇨连结关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角 将它们旋转，得到各关键点的对应点⇨按原图形依次连结得到的 各关键点的对应点，得到旋转后的图形
AR，交 BC 于点 D.若 BC＝6，则 BD 的长为( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
2．(2020·台州)如图，已知线段 AB，分别以 A，B 为圆心，
大于12 AB 同样的长为半径画弧，两弧交于点 C，D，连接 AC，
AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是 平分∠ACB
②分别以点 A，B 为圆心，大于12 AB 的长为半径作 弧相交于点 M，N，作直线 MN，交射线 AH 于点 O；
③以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆． 则⊙O 的半径为( D )
A．2 5 B．10 C．4 D．5
考 点 三 网格作图
考考点点精精讲讲
对应训练
1．对称作图的基本步骤：找出原图形的关键点⇨作出关键点关 于对称轴(或对称中心)的对应点⇨按照原图形依次连结得到的各 关键点的对应点，得到对称后的图形
最新2021重庆中考数学第25题几何专题训练2
GF EDCBA M 证明题1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ． 〔1〕求证：BE=CF ；〔2〕在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。
求证：〔1〕AF ＝CG ；〔2〕CF ＝2DE3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。
〔1〕求证：OE=OF ；〔2〕假设BC=23，求AB 的长。
4.，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．〔1〕假设CF=2，AE=3，求BE 的长； 〔2〕求证：∠CEG=∠AGE ．5.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。
〔1〕如图1，假设点H 是AC 的中点，AC=23，求AB ，BD 的长。
〔2〕如图1，求证：HF=EF 。
〔3〕如图2，连接CF ，CE ，猜测：△CEF 是否是等边三角形？假设是，请证明；假设不是，请说明理由。
6.如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ． 〔1〕假设AF 是△ABE 的中线，且AF ＝5，AE ＝6，连结DF ，求DF 的长； 〔2〕假设AF 是△ABE 的高，延长AF 交BC 于点G ．①如图2，假设点E 是AC 边的中点，连结EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ；②如图3，假设点E 是AC 边上的动点，连结DF ．当点E 在AC 边上(不含端点)运动时，∠DFG 的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG 的度数；如果要变，请说明理由．7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC 〔或AC 的延长线〕相交于点F.〔1〕如图1，假设DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；〔2〕如图2，将〔1〕中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2BE AB +=； 〔3〕如图3，将〔2〕中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，假设DN=FN ，求证：3()BE CF BE CF +=-.ABF DCE 25题图1 BAF DCEG25题图2 ABF DCEG25题图38.在四边形ABCD中，180ABC ADC∠+∠=︒，AB=BC.〔1〕如图1，假设90BAD∠=︒，AD=2，求CD的长度；〔2〕如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：1902PBQ ADC∠=︒-∠；〔3〕如图3，假设点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，那么〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给出证明过程，假设不成立，请写出PBQ∠与ADC∠的数量关系，并给出证明过程.9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．〔1〕如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；〔2〕如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；〔3〕如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．10.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．〔1〕过D作DH⊥AB,垂足为H，假设DH=BE=14AB,求DG的长；〔2〕连接CP，求证：CP⊥FP；〔3〕如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第〔2〕问的结论成立吗？假设成立，求出PFCP的值；假设不成立，请说明理由．图1DABCADBCPQ图2ADBCPQ图3G11.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE . 〔1〕假设AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；〔2〕如图2，假设AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；〔3〕如图3，假设AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜测线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。
2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题(八中试题集)
2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．2（八中2020级初三下定时训练五））已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE 的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN＝，请求出四边形ABED的⽴积．3（八中2020级初三下定时训练八）问题提出（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD＝2km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km．现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小．则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）在矩形ABCD 中 ，点E 是BC 边上一点，连接AE ，点F 是CB 延长线上一点，点G 是矩形ABCD 外一点，连接GC ，GE ，GB ，GF ，GF ⊥GC ，CE 平分∠BGC ，∠GEF=45.（1）如图1，当∠EGC=15，BG=2时，求△CGF 的面积；（2）如图2，当矩形ABCD 是正方形，FB=CE 时，求证：FG ；（3）如图3，若线段PQ 在GE 上运动，PA =2BE =,3FB BE =,请直接写出线段FP+PQ+QC 的和的最小值以及此时△PBE 的面积。
中考解析‖旋转变换胡不归最值---2021重庆中考数学B卷第26题解析
中考解析‖旋转变换胡不归最值---2021重庆中考数学B卷第
26题解析
原题再现
思路分析
图文解析
#1
■第（1）问中规中矩，难度不大，整个图形是确定的，求斜线段长一般是构造直角三角形利用勾股定理或三角函数解决。
#2
■第（2）问属于求线段的和差关系，构造全等或相似将线段拼接，本题是根据四边形BHFE是对角互补且邻边相等四边形，利用图形变换中的旋转变换，得到一对全等三角形，将线段进行拼接，同时出现一个顶角为120°的等腰三角形，底边和腰的比例关系解决问题。
#3
■第（3）问属于旋转全等加胡不归模型，难点之一是确定动点P 的运动轨迹，可用网上比较火的瓜豆原理确定，另一个难点是转化系数，构30°角利用30°角的正弦来转化，最后根据点到直线垂线段最短
可确定动点P的位置，确定背景下通过计算可以求出△DPN的面积。
2021年重庆年中考12题几何中长度的计算或二次函数图像分析综合专题(重庆育才试题集)
2021年重庆年中考12题几何中长度的计算或二次函数图像分析综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CB CA =，CD CE =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6=AE ，8=AD ，则AF 的长为（ ）A. 5B. 740C. 528 D. 62（育才2020级初三下中考模拟5月份）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点（3，0），且对称轴为直线x ＝1．下列说法，其中正确的是（ ）①abc ＜0②b 2﹣4ac ＞0；③a ﹣b +c ＜0；④b ﹣c ＞2aA ．①②B ．①③④C ．②④D ．①②④3（育才2020级初三下中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，90ABC BCD∠=∠=,,3,3AB BC==,把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若23tan CED∠=,则线段DE的长度A.63B.73C.32D.2754（育才2020级初三下中考模拟三））如图，将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处，线段A1B1交BC于点G，若AB＝6，AD＝9，则CG的长度为．5（育才2019级初三下中考模拟一如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点F、E，若CD＝，BC＝4，则CE的长度为．6（育才2020级初三下中考模拟二练习）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 折叠后得到GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF =1，FD =2，则BC 的长为( )A.32B.26C.25D. 238（育才2020级初三下入学测试）如图，△ABC 中，∠ABC =45°，∠ACB =30°，BC =13+，点D 是线段BC 上一动点，连接AD ，把△ADC 沿AD 翻折得到△ADE ，点F 为AE 的中点，连接BF ，则线段BF 的最小值为（ ）．A ．22-B ．12-C ．13-D ．213-9（育才2020级初三上第二次月考）如图所示，抛物线c bx ax y 2的对称轴为23 x ，与x 轴的一个交点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，抛物线的顶点B 纵坐标21<<B y ，则以下结论： ①0 abc ；②04-2 ac b ；③0-3 b a ；④04<+c a ；⑤8121-<<-a ．其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）在正方形ABCD 中，AB =252+，E 是边BC 的中点，F 是AB 上一点，线段AE 、CF 交于点G ，且CE =EG ，将∆ABF 沿CF 翻折，使得点B 落在点M ，连接GM 并延长交AD 于点N ，则∆AGN 的面积为 ．11（育才2020级初三下开学试卷已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论错误的是（）A．4a+2b+c＞0 B．abc＜0 C．b＜a﹣c D．3b＞2c12（育才2020级初三上期末试卷）如图，正方形ABCD中，AD＝4，E在AB上且AB＝4BE，连接CE，作BF⊥CE于F，正方形对角线交于O点，连接OF，将△COF沿CE翻折得△CGF，连接BG，则BG的长为．13（育才2020级初三上开学测试）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．14（育才2020级初三上期中试卷）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则△ABE 的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．15（育才2020级初三下入学测试）如图，已知二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点在B （0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线1=x ，下列结论不正确的是（ ）A. 039=++c b aB. 034>-c bC. a b ac 442-<-D.6531<<a16（育才2019级初三是哪个期末测试）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，12BC =，点E 为BC 的中点，将ABE △沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）．A ．165B ．185C ．245D ．365答案：1.故选：B ．2解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（3，0），其对称轴为直线x ＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0）和（﹣1，0），且b＝﹣2a，由图象知：a＜0，c＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0，∴abc＜0故结论①②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故结论③错误；∵a﹣b+c＝0，a＜0，∴2a﹣b+c＜0，∴b﹣c＞2a，故结论④正确；故结论正确的有①②④，故选：D．3.解：B4.（解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠D＝∠C＝90°∵将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处，∴AE＝A1E，A1D＝3＝A1C，∠EA1G＝90°∵A1E2＝DE2+A1D2，∴（9﹣DE）2＝DE2+9，∴DE＝4，∵∠DEA1+∠DA1E＝90°，∠EA1D+∠GA1C＝90°，∴∠DEA1＝∠GA1C，∠D＝∠C＝90°∴△A1DE∽△CGA1，∴∴∴GC＝故答案为：5.解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD＝AB，∵CD＝，BC＝4∴AB＝2，∴由勾股定理得AC＝＝2，∵CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAF+∠ACF＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACF＝90°，∴∠CAF＝∠BCD＝∠B，即∠B＝∠CAF，∴△ACE∽△BCA，∴＝，∴CE＝＝1．故答案为：1．6.∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．7.答案B8.答案B9.答案B10.答案：551611.解：（A）由于对称轴为x＝1，∴（0，y）与（2，y）关于x＝1对称，∵x＝0，y＞0，∴x＝2，y＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故A正确；（B）由图象可知a＜0，c＞0，∵x＝＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故B正确；（C）∵＝﹣1，∴2a＝b，∵b﹣a+c＝2a﹣a+c＝a+c，∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a＞c，∴a+c＞2c＞0，∴b＞a﹣c，故C错误；（D）∵3b﹣2c＝6a﹣2c＞2a﹣2c＝2（a﹣c）＞0，∴3b＞2c，故D正确；故选：C．12.解：如图，连接BG，过B作BH⊥GF于H，由题可得，BE＝1，BC＝4，AE＝3，OC＝2，∴Rt△BCE中，CE＝，∵BF⊥CE，∠CBE＝90°，∴BF＝＝，∵Rt△BCE中，BF⊥CE；Rt△ABC中，BO⊥AC，∴BC2＝CF×CE，BC2＝CO×CA，∴CF×CE＝CO×CA，即，又∵∠OCF＝∠ECA，∴△COF∽△CEA，∴∠CFO＝∠CAB＝45°，由折叠可得，∠CFG＝∠CFO＝45°，∴∠BFH＝90°﹣45°＝45°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH＝BH＝BF＝，∵△COF∽△CEA，∴，即，∴OF＝＝GF，∴HG＝FG﹣FH＝，∴Rt△BHG中，BG＝＝．故答案为：．．13解：连接BF，∵BC＝12，点E为BC的中点，∴BE＝6，又∵AB＝8，∴AE＝＝＝10，由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH＝＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF＝＝＝，故选：D．14.解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．．15.答案：D．16.答案：D。
2021年九年级中考数学 几何专题训练：全等三角形(含答案)
2021中考数学几何专题训练：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙2. 如图，已知∠1＝∠2，欲证△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选项是()A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠CC．DB＝DC D．AB＝AC3. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的理由是()A．SAS B．AAA C．SSS D．HL4. 如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去()A．只带①B．只带②C．只带③D．带①和②5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC6. 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为 ()A.40°B.50°C.55°D.60°7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c8. (2019•陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为A．BC2D．39. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()A．4个B．3个C．2个D．1个10. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()二、填空题（本大题共8道小题）11. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．12. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．13. 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：________，使得△ABO≌△CDO.14. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.15. 如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A ＝________°.16. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE ＝________cm.18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，△ABC的面积是142.5 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，求DE的长．20. 如图所示，BE＝CF，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，点B，C分别在AM，AN上，且BD＝CD，AD是∠BAC的平分线吗？为什么？21. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．22. 如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．2021中考数学几何专题训练：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析]依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等;依据AAS全等判定可得丙三角形与△ABC全等，不能判定甲三角形与△ABC全等.故选B.2. 【答案】C[解析] 当添加条件A时，可用“ASA”证明△ABD≌△ACD；当添加条件B时，可用“AAS”证明△ABD≌△ACD；当添加条件D时，可用“SAS”证明△ABD≌△ACD；当添加条件C时，不能证明△ABD≌△ACD.3. 【答案】D4. 【答案】C[解析] 由“ASA”的判定方法可知只带③去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃．5. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.6. 【答案】D[解析] 因为△ABC≌△ADE，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，所以∠CAB=∠EAD=180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.7. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF ＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.8. 【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴∴BC=BD+CD=2A．9. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．10. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上12. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.13. 【答案】∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD(答案不唯一)[解析] 由题意可知∠AOB＝∠COD，AB＝CD.∵AB是∠AOB的对边，CD是∠COD的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A ＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD.14. 【答案】12[解析] 如图，连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，∴∠A=∠BDE=90°.在Rt△DBE和Rt△ABE中，∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm，∴DE=12 cm.15. 【答案】80[解析] ∵点O 到△ABC 三边的距离相等，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB.∴∠A ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠BOC)＝80°.16. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．17. 【答案】3[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°. ∴∠ECF ＝∠B.在△ABC 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠ECF ，BC ＝CE ，∠ACB ＝∠FEC ，∴△ABC ≌△FCE(ASA)．∴AC ＝FE. ∵AE ＝AC －CE ，BC ＝2 cm ，EF ＝5 cm ， ∴AE ＝5－2＝3(cm)．18. 【答案】16[解析] ∵BF ∥AC ，∴∠EBF=∠EAD. 在△BFE 和△ADE 中，∴△BFE ≌△ADE (ASA).∴BF=AD.∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD. ∵当FD ⊥AC 时，FD 最短，此时FD=BC=5， ∴四边形FBCD 周长的最小值为5+11=16.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.设DE ＝x cm ，则S △ABD ＝12AB·DE ＝12×20x ＝10x(cm 2)，S △ACD ＝12AC·DF ＝12×18x ＝9x(cm 2)．∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，∴10x ＋9x ＝142.5， 解得x ＝7.5，∴DE ＝7.5 cm.20. 【答案】解：AD 是∠BAC 的平分线．理由：∵DE ⊥AM 于点E ，DF ⊥AN 于点F ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DBE 与Rt △DCF 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF(HL)． ∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AM ，DF ⊥AN ， ∴AD 是∠BAC 的平分线．21. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55， ∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25，∴AC ＝25，BD ＝45，∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ，∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5.∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP ＝535， ∴BP ＝15.22. 【答案】∵∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE ＋∠ABE ，∠2＝∠CAF ＋∠ACF ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAF ，∴∠BAE ＝∠ACF ，∠ABE ＝∠CAF.在△ABE 和△CAF 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠ACF ，AB ＝CA ，∠ABE ＝∠CAF ，∴△ABE ≌△CAF(ASA)．∴S △ABE ＝S △CAF .∴S △ABE ＋S △CDF ＝S △CAF ＋S △CDF ＝S △ACD .∵CD ＝2BD ，△ABC 的面积为15，∴S △ACD ＝10.∴S △ABE ＋S △CDF ＝10.。
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重庆2021年中考数学26题几何专题（1）
26（重庆八中2021级第二次定时练习）在ABC ∆中，
=62AB AC =,90BAC ∠=,AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上的一点，:2:1AE DE =,以AE 为直角边在直线AD 右侧构造等腰Rt AEF ∆，使90EAF ∠=,连接CE ，G 为CE 的中点.
（1）如图1，EF 与AC 交于点H ，连接GH ，求线段GH 的长度.
（2）如图2，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α且45135α<<，H 为线段EF 的中点，连接,DG HG ，猜想DGH ∠的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG ，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG 长度的最大值.
（重庆八中2021级入学测试）在R t△ABC 中，∠CAB=90︒，点D是边A B的中点，连接CD ，点E在边B C 上，且A E⊥CD交CD 于点F.
（1）如图1，当∠ACB = 60︒时，若CD = 7，求AF 的长；
（2）如图 2，当∠ACB = 45︒时，连接BF ，求证：CD +DF =AF +
（3）如图3，当∠ACB = 75︒时，直接写出F A
的值．
CF
2BF ；
24. （重庆育才2021级入学测试）如图，平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点M 为BC 上一点，连接AM ，且AB AM =，AE 为△ABC 边BM 的中线，AF AB ⊥,EG GD ⊥，延长FO 交AB 于点N .
（1）若4BM =，6MC =,10AC =,求AM 的长度；
（2）若45ACB ∠=,求证：2AN AF FG +=
26.(西师附中2021级入学测试)在△ABC ，AB = BC ，∠ABC = 90︒
（1）如图1，点D 在BC 上，DE ⊥BC 于点D ，连接BE ，若∠DBE = 60︒,AC=42,BD= 23 求线段AE 的长
（2）如图 2，点 D 在△ABC 内部，连接 AD ， BD ， CD ， F 是 CD 的中点，连接 BF ，若∠BAD = ∠CBF ，求证： ∠DBF = 45︒ ；
（3）如图 3， A 点关于直线 BC 的对称点为 A ' ，连接 A 'C ，点 D 是△A 'AC 内部一动点，
∠ADC = 90︒ ，若 AC = 4 ，当线段 A 'D 最短时，直接写出△ABD 的面积．
26.（重庆南开中学2021级入学测试）如图1，正方形ABCD 中，G 为线段BC 上一点连接AG ，过G 做AG ⊥GE 交BC 于E ，连接AE 。
（1）求证：2BG DG BE =+
（2）如图2，AB=4，E 为BC 中点，P 、Q 分别为线段AB 、AE 上动点，满足5QE AP =, 则在 P ， Q 运动过程中，当以 PQ 为对角线的正方形 PRQS 的一边恰好落在△ABE 的某一边上时，直接写出正方形 PRQS 的面积．
（重庆巴蜀2021级入学测试）如图，在平行四边形ABCD中，A C 为对角线，过点D作D E ⊥DC 交直线A B于点E，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，过点B 作BF ⊥AD 于点F ．
（1）如图1，若∠BAD = 60︒，AF = 3 ，AH = 2 ，求AC 的长；
（2）如图 2 ，若BF =DH ，在AC 上取一点G ，连接DG 、GE ，若∠DGE = 75︒，45
CDG CAB
∠=-∠
求证
6
2
DG CG
=
28.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O做OE⊥BC于点E，过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G.
（1）如图1，若BC=5，OE=3。
求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图2，若∠ACB=45，求证：2
+=
AF FO EG
26.（重庆八中2021级定时训练三）如图在等腰Rt ABC ∆中，,90ABC ∠=,AB BC =,点D 为线段AC 上的一动点，连接BD
（4）如图1，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，若.32AD =,3tan 10
BCE ∠=，求AB 的长； （5）如图2，点O 是AC 中心，连接BO ，点F 为边AB 上一点，当点运动至线段OC 上时，连接DF ，DF 交BO 于点H ，且满足ADB FHB ∠=∠过点B 作FD 的垂线交AC 于点M ，求证：2BF AM =；
（6） 如图3，在第（2）问得条件下，设DF 、BM 交于点N ，若tan 2BDO ∠=，请直接写出NH HD
的值。