误差函数有如下的性质erf0

§8.1.2 菲克第二定律
菲克第二定律是在菲克第一定律的基础上推导出来的。 其表达式为：
C 2C D 2 t x
c为扩散物质的体积浓度，原子数/m3或kg/m3;t为扩散时 间，s；x为距离，m。 上式给出了c=f(t,x)函数关系。由扩散的初始条件和边界 条件可求出通解。利用通解可解决包括非恒稳态扩散的具 体扩散问题。
根据热力学理论，在恒温、恒压条件下，系统变化总是向 吉布斯自由能降低的方向进行，自由能最低态是系统的平 衡状态，过程的自由能变化是系统变化的驱动力。 合金中的扩散也是一样，原子总是从化学位高的地方向化 学位低的地方扩散，当各相中同一组元的化学位相等（多 相合金），则达到平衡状态，宏观扩散停止。原子扩散的 真正驱动力是化学位梯度。
0, C C2 ; x 0, C C1
x , C C2 ; x , C C1
C1 C 2 C1 C 2 x C erf 2 2 2 Dt

erf（z）为误差函数，它的值通过查误差函数表可得。 误差函数有如下的性质：erf(0) = 0，erf(∞) = 1，erf(-x) = erf(x)。 扩散开始以后焊接面处的浓度C为扩散偶原始浓度的平均 值，该值在扩散过程中一直保持不变。 扩散的抛物线规律：原子的扩散距离与时间呈抛物线关系， 许多扩散型相变的生长过程也满足这种关系。
x K Dt
直接应用菲克第二定律解决实际扩散问题，往往很复杂。 但是有两条由菲克第二定律推导出来的结论却十分简单、 有用： 对于钢铁材料渗碳处理时，扩散需要的时间t与扩散距离x 的平方成正比。 对于同一个扩散系统，扩散系数D与扩散时间t的乘积为一 常数。
思考题
假设对一个原始碳浓度为0.25wt %的钢件进行渗碳处理， 要求渗碳层厚度为0.5mm处的碳浓度为0.8wt %，渗碳气 体的碳浓度为1.2wt %，在950℃进行渗碳处理。应用菲克 第二定律计算可以知道，需要时间约7小时。如果将渗碳 层厚度由0.5mm提高到1.0mm，则需要多少时间？
源自文库
扩散第一方程是被大量实验所证实的公理，是扩散理论的 基础。 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描 述原子扩散能力的基本物理量。 在浓度均匀的系统中，尽管原子的微观运动仍在进行，但 是不会产生宏观的扩散现象。 扩散第一定律只适合于描述的稳态扩散，即在扩散过程中 系统各处的浓度不随时间变化。 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原 子的扩散。
第一节 扩散定理
§8.1.1 菲克第一定律
菲克（A. Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立 了扩散物质量与其浓度梯度之间的宏观规律，即单位时间 内通过垂直于扩散方向的单位截面积的物质量（扩散通量） 与该物质在该面积处的浓度梯度成正比 。
J D dC dx
J为扩散通量，表示扩散物质通过单位截面的流量， dC/dx为沿x方向的浓度梯度；D为原子的扩散系数。负号 表示扩散由高浓度向低浓度方向进行。
( Dt ) 600 (5.3 1013 ) 10 t500 110.4(h) 14 D500 4.8 10
3.扩散方程在扩散退火中的应用 具有显微偏析的合金组元分布大多呈周期性变化,可用一 正弦曲线组元沿某方向x的分布情况。
C Cm sin
x
l
图 显微偏析中浓度随距离的变化
第八章 扩散
物质中的原子随时进行着热振动，温度越高，振动频率 越快。当某些原子具有足够高的能量时，便会离开原来的 位置，跳向邻近的位置，这种由于物质中原子的微观热运 动所引起的宏观迁移现象称为扩散。 在气态和液态物质中，原子迁移可以通过对流和扩散两 种方式进行，与扩散相比，对流要快得多。然而，在固态 物质中，扩散是原子迁移的唯一方式。 实验证实，物质在高温下的许多物理及化学过程均与扩 散有关，因此研究物质中的扩散无论在理论上还是在应用 上都具有重要意义。
t1 t2 2 2 x1 x2
2 t1 x2 7 1.0 2 t2 2 28(h) 2 x1 0.5
思考题
已知Cu在Al中的扩散系数D， 在500℃和600℃时分别为 4.8×10-14 m2/s和5.3×10-13 m2/s。假如一个工件在600℃ 需要处理10小时，如果在500℃处理，要达到同样的效果 则需要多少小时？ (Dt)500 = (Dt)600
§8.1.3 扩散方程在生产中的应用举例
1.无限长扩散偶的扩散
图 无限长扩散偶中的溶质原子分布
将两根溶质原子浓度分别是C1和C2、横截面积和浓度均匀 的金属棒沿着长度方向焊接在一起，形成无限长扩散偶， 然后将扩散偶加热到一定温度保温，考察浓度沿长度方向 随时间的变化。 将焊接面作为坐标原点，扩散沿x轴方向，列出扩散问题 的初始条件和边界条件分别为 t＝0时： x t≥0时：
ui F x
当化学位降低的方向与浓度降低的方向相反，如溶质原子 的偏聚、调幅分解等，扩散表现为向浓度高的方向进行， 称为上坡扩散。 1.弹性应力作用下的扩散 金属晶体中存在弹性应力梯度时，将造成原子的扩散。 2.晶界的内吸附 如果溶质原子位于晶界上可使体系总能量降低，它们就会 扩散而聚集在晶界上，使得晶界上浓度比晶内高。 3.电场作用下的扩散
2.半无限长物体的扩散 由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内 部扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此 叫做半无限长。
Cs C x x erf ( ) C s C0 2 Dt
Co为原始浓度； Cs为渗碳气氛浓度； Cx为距表面x处的浓度。
Cs C x x erf ( ) C s C0 2 Dt
C Cm sin C Cm sin
x
l
2 Dt / l 2
x
l
e
C Cm e
2 Dt / l 2
nl ( x , n 1,3,5,......) 2
提高扩散温度，增加D，可以加快扩散速率； 减小偏析波长l也是提高均匀化速率的有效手段（细化晶 粒）。
§8.1.4 扩散的驱动力及上坡扩散