几何变换的综合题目

关于几何变换的几道综合题

【与旋转有关的几何证明题】 1．（05北京）已知ABC ∆，分别以AB 、BC 、CA 为边向外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF ．

（1）如图1，当ABC ∆是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； （2）如图2，当ABC ∆中只有60ACB ∠=︒时，请你证明ABC S ∆与ABD S ∆的和等于BCE S ∆与

ACF S ∆的和．

图

1

图2

图88

7

65

4

21

E O D C

B A

3

（2）解法二：

过A 作垂线，利用60ACB ∠=︒将BC 用AC 、BC 表示 出来，进而将每部分的面积和都表示出来，即可得证。

此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题， 但也体现了一些求面积的方法。

【变化过程中不变的量及关系】 2. （2008年广东省中山市）（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 解：（1）如图7.

∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形，

且点O 是线段AD 的中点，

∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5.

又∵∠4+∠5=∠2=60°, ∴ ∠4=30°. 同理，∠6=30°.

∵ ∠AEB=∠4+∠6,

∴ ∠AEB=60°.

（2）如图8.

∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，

又∵OD=OA, ∴ OD ＝OB ，OA ＝OC ， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7.

∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,

C B O

D 图7 A B A O D C

E 图8

D

图7

O

D

C A

∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6.

又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB ＝∠2＋∠5－∠5＝∠2， ∴ ∠AEB ＝60°.

这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，充满着神奇，孕育着创造！

例1 （2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中α=∠ACB ，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，∆EFD 纸片的直角顶点D 落在∆ACB 纸片的斜边AC 上，直角边DF 落在AC 所在的直线上. （1）若ED 与BC 相交于点G ，取AG 的中点M ，连接MB 、MD ，当∆EFD 纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量MB 、MD 的长度，猜想并写出MB 与MD 的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）在（1）的条件下，求出BMD ∠的大小（用含α的式子表示），并说明当45=α°时，

BMD ∆是什么三角形？

（3）在图3的基础上，将∆EFD 纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时CGD ∆变成CHD ∆，同样取AH 的中点M ，连接MB 、MD （如图4），请继续探究MB 与MD 的数量关系和BMD ∠的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，BMD ∆为等边三角形.

解：（1）MB =MD

证明：∵AG 的中点为M ∴在ABG Rt ∆中， AG MB 2

1

=

A B

A B

C

D

E

F

图1

图2

A B

C

D

E F

G

M

图3

A

B

C

D

E

F

M

H

图4

在ADG Rt ∆中，AG MD 2

1

=

∴MB =MD

（2）∵BAM ABM BAM BMG ∠=∠+∠=∠2

同理DAM ADM DAM DMG ∠=∠+∠=∠2

∴BMD ∠=DAM BAM ∠+∠22=BAC ∠2 而α-=∠0

90BAC

∴α21800-=∠BMD

∴当045=α时，0

90=∠BMD ，此时BMD ∆为等腰直角三角形

（3）当CGD ∆绕点C 逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB =MD ， α21800

-=∠BMD

故当0

60=α时，BMD ∆为等边三角形。 包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。

【阅读题类】

4．请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o

，探究PG 与PC 的位置关系及

PG

PC

的值．

小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG

PC

的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形

ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）

．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；

PG

PC

= （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P Q 是线段DF 的中点，

D A B

E F C P G 图1 D C G P

A B F

图2 D C

G

P

F

H