电动力学课件：5-1电磁辐射

2
1 c2
2
t 2
0
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
Hale Waihona Puke Baidu
c2 t
) (2
1
2 ) 0
c2 t
c2 t 2
c 2 t c 2 t 2
2 1 2 0
c2 t 2
三．达朗贝尔方程
1． 真空中的 达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
(
A
1 c2
)
t
0 J
2 ( A)
t
第五章 电磁波的辐射
本章重点
1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性； 2、达朗伯方程及推迟势的物理意义；
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
本章主要研究给定高频交变电流产生的电 磁辐射。
二.引入矢势和标势求解电磁辐射问题
由于 B 0 ，与静场相 同， 可以引入矢量势 函数（矢势） A，使得 B A
注意：① 与静场不同，引入的矢势与时间相关；
② 意义与静场情况相同，即： A dl B dS
L
S
（2）标势的引入
B A
在变化电磁场情况，
E
B
0
，不能象静
电场那样直接引入标量势函数。t
E
A
A
求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。
库仑规范下 满足的方程： 2 0
证明： A A 0
2 0
l 洛仑兹规范
规范条件：
A
1 c2
t
0
后面将看到洛仑兹规范下，A, 所满足的方程具
有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协
变性，有很重要的理论意义。
洛仑兹规范下 满足的方程：
即保证了
A
A ik A
只有横向分量，即
0
A
A横
，从而得到
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库 仑作
用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
例：
试求单色平面电磁波的势
解:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0（对于单色平面波而言）
ik iA
t
ik (
c
2
k
A)
iA
i c2
k (k A) k 2 A
i
c2
k (k
A)
c2
k
B
cnˆ
B
如果取 有
A
A横
，即只取 A具有横向分量，那么
k A k A横 0
从而得到：
c2
k
A
0
因此有：
B
E
A ik
与静电场引入电势、静磁场引入标势相 似，为了便于求解普适的场方程，在变化
情况下仍然可以引入势的概念。但是，由
于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、 标势与静场情况有很大的不同。
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论 电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。
（1）矢势的引 入
规范变换。
两种规范间变换关系：A A
t
l
两种规范间变换关系：A A
t
证明：由于 A 和 A ， 和 不能改变电场和磁场
强度，所以 B A A A
A A
E A A ( ) A
t
t t
t t
A
t
t
3．两种规范
要使势函数减少任意性，必须给出
A
，它的
值被称为规范的条件。 A 值选择是任意的，但若
选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称
或物理意义明显。
l 库仑规范
规 范条件： A 0
在库仑规范下，A 为 横场， 纵场。因此，电
场的横场部分完全由 A决定，而纵场部分完全由
决定。在这种情况下，由电荷、电流的瞬时分布
0
证明：将 B
斯韦方程： 并利用：
(
A
B A)
， 0
(
0EA)Et2 A0J得,At 到达代 E朗入 贝麦尔克0
方程（详细证明过程略）。
2． 库仑规范下 的达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
1 c2
t
0 J
2 0
可见 满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某
t 处的 在时刻 t 的值由电荷在时刻 的分布给出
偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A的纵和向矢部势A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
其中： (k A 0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 0 ，
则只有
2 A
1 c2
2A t 2
0
其解的形式为
A
A ei(k xt) 0
由库仑规范条件得到
0 0
i(k xt
e0
)
A
A ei(k xt ) 0
由Lorentz规范条件
A
1
0，即得
ik
A
1 c2
c 2 t
(i)
0
c2
k
A
这表明，只要给定了
A
，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
A横
ik
A纵
E
ik A横
A
t
t
引入标量势函数
E
A
t
(
E
A)
0
t
E
A
t
二．规范变换和规范不变性
1．矢势和标势的不唯一性
同静场相同，这里引入的失势和标势也不唯一，
但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定 的关系。
2．规范变换
l 规范：给定一组 (A, )称为一种规范；
l 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为
l