高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程

2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
1 C1 解其通解为z = + 2 , x x
原方程通解为 y = e
∫
1 C1 ( + 2 )dx x x
= C2 xe
−
C1 x
练习题答案
C1 一、1、 y = xe − 3e + x + C2 x + C3； 2 2、 y = − lncos( x + C1 ) + C2 ； 3、 y = arcsin(C2e x ) + C1； 1 4、 y = 1 − . C1 x + C2 x
x x
二、1、 y = 2x − x ；
代入初始条件 dx |t =0 = 0得 C1= 0 dt
于是方程变为
dx F0 t2 = 得 x = ( − ) +C2 m 2 6T
将条件 x |t =0 = 0代入上式 得 代入上式,得 于是,所求质点的运动规律为 于是 所求质点的运动规律为
第五节 可降阶的高阶微分方程
• 型的微分方程 • 二、y'' = f ( x, y' ) 型的微分方程 • 三、'' = f ( y, y' )型的微分方程 y • 四、小结
y(n) = f ( x) 一、
•一、 y(n) = f ( x) 型的微分方程 一
'' 例1： y = x cos x
两边积分可得： 解： 两边积分可得：
的微分方程。 形如 y'' = f ( y, y' )的微分方程。
解法： 解法： y' = p,并利用复合函数的求导法则 令
把y''化为对y的导数，即 的导数，
dp dp dy dp y = = ⋅ = p⋅ dx dy dx dy 这时方程变为一阶微分方程： 这时方程变为一阶微分方程：
''
dp p ⋅ = f ( y, p) dy
1
例2 质量为 m的质点受力 F的作用沿 Ox轴作直线 运动.设力 的函数: 运动 设力 F仅是时间 t的函数 F = F(t ) .在开始时 在开始时 刻 t = 0时 F(0) = F0 ,随着时间 t 的增大 此力 F 均 随着时间 的增大,此力 匀地减小,直到 匀地减小 直到 t = T 时, F(T ) = 0 .如果开始时质点 如果开始时质点 位于原点,且初速度为零 且初速度为零,求质点在 位于原点 且初速度为零 求质点在 0 ≤ t ≤ T 时的运 动规律. 动规律 时质点的位置, 解 设x = x(t ) 表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为
y = ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + c1
'
再积分一次得： 再积分一次得：
y = − x cos x + 2sin x + c1 x + c2
次而求得。 解法 这种方程的通解可经过积分 n次而求得。 求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数 求特解时 一般应在每次积分后确定一个常数. 一般应在每次积分后确定一个常数
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 求下列各微分方程的通解: 2、 1、 y′′′ = xe x ； 2、 y′′ = 1 + y′ 2； 2 3 y′ 2 = 0. 4、 3、 y′′ = ( y′) + y′； 4、 y′′ + 1− y 二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 y 3 y′′ + 1 = 0 , y x=1 = 1 , y′x=1 = 0； 2、 y′′ − ay′ 2 = 0 , y x=0 = 0 , y′x=0 = −1； 3、 y′′ = 3 y , y x=0 = 1 , y′x=0 = 2. 三、 试求 y′′ = x 的经过点 M(0 , 1) 且在此点与直线 x y = + 1相切的积分曲线 . 2
故 y′ = C1 y,
从而通解为 y = C2eC1x .
例 4 解 3
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
原方程变为
y′′ y′ = , y′ y
两边积分, 两边积分,得 ln y′ = ln y + lnC1， 即 y′ = C1 y，
y = C2eC1x . 原方程通解为
五、变量代换降阶法
P320-5
例3 解
求方程 yy′′ − y′2 = 0的通解.
设 y′ = p( y),
dP 则 y′′ = p , dy
dP dP 2 代入原方程得 y ⋅ P − P = 0, 即 P( y ⋅ − P) = 0, dy dy dP 由 y⋅ − P = 0， 可得 P = c1 y, dy
dy ∴ = c1 y, dx
原方程通解为 y = c2e .
c1 x
四、小结 解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
y(n) = f ( x)
y'' = f ( x, y' )
y'' = f ( y, y' )
作业:P323: 1-5)(7)(9), 2-(1)(3)(5), 3. 作业
P318-3
例2 求微分方程 (1 + x ) y = 2xy
2 ''
'
满足初始条件
y |x=0 = 1, y |x=0 = 3的特解.
'
dp 2x dx = 解： 设 y = p, 代入方程并分离变量有 2 p 1+ x 两边积分得到 ln p = ln(1 + x2 ) + c
'
即 p = y = c1(1 + x )
y2 = C1 x + C2 . 积分后得通解
注意: 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 2 两端同乘不为零因子 12 , y
yy′′ − y′2 d y′ = ( ) = 0, 2 y dx y
C2 = 0
F0 t t x = ( − ) 0≤ t ≤T m 2 6T
2
3
' 2
(c1 = ±e )
c
由条件y' |x=0 = 3,得
两边再积分得
c1 = 3
所以 y' = 3(1 + x2 )
y = x3 + 3x + c2
又由条件 y |x=0 = 1,得
c2 = 1
y = x3 + 3x + 1
于是所求方程的特解为： 于是所求方程的特解为：
三、不显含自变量 x 的二阶微分方程
二、不显含未知函数 y 的二阶微分方程
y'' = f ( x, y' )的微分方程。 的微分方程。 形式为
解法： 解法：令y' = p, 则y'' = p' ,
故有p' = f ( x, p)
此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程， 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可。 一阶微分方程的通解后再两边积分即可。