灵敏度分析

现在要问：（1）当产品1的价值系数由 2变为 3，产品2的价值系数从3变为2 时， 最优解会如何变化？产品2的价值系数的在怎样的范围内变化时最优解不变？
（1）用新价值系数代换表13中的价值系数，重新计算检验数得到表14。 返回表18
cj
32
CB
XB
b
x1
x2
3
x1
4
1
0
表 14
0
0
0
x3
x4
x5
0
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
cj
24
3
CB
XB
b
x1
x1′
x2
2
x1
4
1 5/4 0
0
0
x3
x4
0
1/4
表 20 0 x5 0
0
x5
4
0 -7/2
0
-2
1/2 1
3
x2
2
(cj－zj) 或
j
0 11/8 1 0 -21/8 0
1/2
-1/8 0
-3/2 -1/8 0
由于x1是基变量，所以，要把 x1′的系数列向量变成与 x1相同的单位列向量（主
x1+ 2 x2 ≤8
st.
4x1
≤16
4 x2 ≤12
x1 , x2 ≥0 通过引入松弛变量，可以求得原问题的最优解如表13所示。
cj
2
3
CB
XB
b
x1
x2
2
x1
4
1
0
表 13
0
0
0
x3
x4
x5
0
1/4
0
0
x5
4
0
0
-2
1/2
1
3
x2
2
(cj－zj) 或
j
0
1
1/2
-1/8
0
0
0
-3/2 -1/8 0
（3）如果检验数≤0，最优基不变，只要把上面计算的结果放在单纯形表的最后 一列即可。如果检验数大于零，则要用单纯形法继续迭代，求出最优解。
例2.5.3 在例2.5.1的模型中，企业打算生产一种新产品，每件产品消耗 3种 资源的量分别为2、6和3个单位，单件可获利5元。问可否投产？（参见47与 48张幻灯片）
表 15
0
0
0
x3
x4
x5
0
1/4
0
0
x5
4
0
0
-2
1/2
1
c2
x2
2
(cj－zj) 或
j
0
1
1/2
-1/8
0
0
0 - c2/2 -1/2+ c2/8 0
令
- c2/2 ≤0
-1/2+ c2/8 ≤0
解不等式得，0≤ c2 ≤4
（增量y 的变化范围是-3 ≤ y ≤1）。
（二）、资源量bi的变化分析 资源量的改变只会引起 b列的改变。
表 12
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 非可行解 非可行解
可行解 非可行解 可行解 非可行解
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引入人工变量，编制新的单纯形表重新计算
下面分别就价值系数、常数项、系数矩阵的变化来介绍灵敏度分析方法。
三、各种参数变化的情况
00
-3/2 -1/8
表 16 0 x5 0
1
0 0
由于表16中的 b 列中有负元素，此表非最优。选择第二行的-2为主元素，运用
对偶单纯形法继续求最优解，见表17。
表 17
CB
XB
cj b
2
x1
4
2
3
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
1
0
0
1/4
0
0
x3
2
00
1
-1/4
-1/2
3
x2
3
0
1
(cj－zj) 或 j
设第r 种资源发生变化，资源量从 br变为br +⊿ br 。其它系数维持不变。这样，
在最终表中的基解相应地改变为
X B B1(b b) 其中，b (0,0,, br ,,0)T
只要XB′≥0，最终表中的检验数不变，则最优基不变（注意，最优解的值已经改
变）。为保持最优基不变，资源增量的变化范围如下：
基变量价值系数的改变影响每一个非基变量的检验数。设基变量价值系数cr的 增量为⊿ cr，则非基变量的检验数计算如下： 因为 (CB CB )B1 A CB B1 A CB B1 A
CB B1 A (0,0,, cr ,,0)B1 A CB B1 A cr (ar1, ar 2 ,, arn )
解：先将改变工艺结构后的产品x1′作为新产品看待，计算有关的数据。
0 1/4 0
4
5/4
B﹣1 P1′ =
-2 1/2
1
5 = -7/2
2
11/8
x1′的检验数为： 1/2 -1/8 0
c1′－Y﹡ P1′= 4 －（3/2，1/8，0）·（4，5，2）T = -21/8
把上面计算的系数列向量、检验数放在表13中，得到表20。
问题成为可行的，即，把方程3的右端常数项变为非负的
－ x2 －1/2 x3 + 2/5x4 + x6 = 12/5
然后，将上式替换表21中的第三个方程，得到表22。
cj
CB
XB
b
4
x1′
16/5
表 22
4
3
0
x1′
x2
x3
1
0
0
0
0 -M
x6
x4
x5
1/5
0
0
0
x5
76/5
0
0
-2
6/5
1
0
-M x6
0
0
0
0
1/4
0
-1/2
-3/4
附加资源带来了获利水平的提高，最优的目标函数值为17。
（三）、增加一个新变量 xk 的分析
增加新变量在实践中对应于增加一种新产品。分析步骤是：
（1）利用新产品的数据计算检验数， (ck－zk) = ck－Y﹡ Pk 。
（2）计算新产品在单纯形表中的系数列向量 Pk′ =B﹣1 Pk 。
所以，非基变量在最终表的检验数变为
j c j CBB1Pj crarj
如果要求原最优基不变，非基变量的检验数必须满足≤0的条件，由此可得，
当 arj 0, arj 0,
cr j / arj cr j / arj
j 1,2,, n
于是，基变量价值系数 cr 的变化范围是
max j
利用最优可行基的逆矩阵，把因参数cj、aij、bi变化而引起的有关数字的变化分
别计算出来：
b B1b
（2-23a)
Pj B1Pj
m
(c j z j ) c j aij yi i 1
(2-23b) (2-23c)
(2) 检查原问题是否仍可行，即，基变量的取值是否仍全部≥0； （3）检查对偶问题是否仍可行，即，检验数行是否仍满足最优性条件； （4）按下表所列情况得出结论，即决定继续计算的步骤。
1/4
0
0
x5
4
0
0
-2
1/2
1
2
x2
2
0
1
1/2 -1/8
0
(cj－zj) 或
j
0
0
-1
-1/2
0
可以看出，这样的变换不影响最优解（或最优基）。
为确定价值系数c2的变化范围，既可以计算它的增量的变化范围3+y，也可以直 接计算c2的变化范围(见表15）。
cj
2
c2
CB
XB
b
x1
x2
2
x1
4
1
0
二、灵敏度分析及其步骤
1、灵敏度分析的概念：
灵敏度分析——是指对系统或事物因周围环境条件发生变化所表现出来的敏感 程度的分析。
2、灵敏度分析的特点：
线性规划的灵敏度分析，不是根据新参数建立数学模型并从头重新计算的方法。 而是利用单纯形法迭代计算的特点——每步迭代的数字只随基向量的不同选择而 改变，把个别参数的变化直接反映在已经获得的最优单纯形表中，然后再进行一 些审查和分析的方法。因此，也称为优化后分析（Post-optimal Analysis)。 3、灵敏度分析的步骤： （1）将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表里。
该种情况必须另找新的最优解。此时，只要在原来的单纯形表（注意：是 最终单纯形表）里增加一行，用对偶单纯形法求解即可。
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：（1）新产品能否投产关键看能否为企业带来利润。设新产品的生产量为
x6 ，它的检验数为
2 (c6－z6) = c6－Y﹡ P6 = 5 －（3/2，1/8，0） 6
3
=5/4＞0
因为检验数大于零，所以，新产品可以生产。
（2）计算新产品在单纯形表中的系数列向量 P6′ =B﹣1 P6 。
0 1/4
元素为5/4）。
然后，把的x1系数列向量划去，仅保留的x1′系数列向量，见表21。
cj
CB
XB
b
4
x1′
16/5
表 21
4
3
0
0
0
x1′
x2
x3
x4
x5
1
0
0
1/5
0
0
x5
76/5
0
0
-2
6/5
1
3
x2
-12/5
0
(cj－zj) 或
j
0
1
1/2 -2/5
0
0
-3/2 2/5 0
从表21中可以看出，原始、对偶都不可行。需要先引入人工变量x6 ，使得原始
这样，最终表里保持最优基不变的b列元素满足
bi airbr 0 i 1,2,, m
解之得
bi是单纯形表中最优解的第i个分量。
max i
bi / air
air
0
br
min i
bi / air air
0
（2-26）
例2.5.2 在例2.5.1中，资源1的影子价格为3/2，所以，企业又购进4个单位用于 生产。求此时的最优方案。（参见第49页幻灯片）
B 1 (b b) B 1b B 1b
0
B 1b
B 1 br
0
0
a1r
B 1 br
br
air
0
amr
这阵B这这阵阵BB这阵B﹣是B﹣﹣是是BB﹣1是B11的的可的1的的的可可的的可第逆行第第逆逆行行第逆行矩基r矩矩基基rr矩基r列阵矩列列阵阵矩矩列阵矩
返回
（四）、分析参数aij 的变化
参数 aij变化使得系数矩阵A也随之发生变化。可以按照增加一个变量的方法处理。
1、变量 xj 在最终单纯形表里是非基变量，
2、xj 是基变量，则参数aij的变化有可能同时影响可行性和最优性。
例2.5.4 由于产品工艺结构改变，产品1的技术系数向量变为 P1′=（4，5，2）T。 每件产品的利润为4元（原来为2元）。问：该企业应如何安排生产计划？
arjj
arj
0
cr
min j
arjj
arj
0
（2-25）
式（2-25）仅适用于一个基变量的价值系数发生变化的情况。
注意：在进行灵敏度分析时，可以用（2-24）和（2-25）确定参数的变化范围， 也可以把价值系数当作未知数在表上进行直接计算。
例 2.5.1 已知线性规划问题
max z = 2x1+ 3 x2
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
0 1/4 0 5/4
把 x6 作为换入变量，用单纯形法迭代，求出新的最优解，见表19。
表 19
cj
CB
XB
b
2
x1
1
2
3
x1
x2
1
0
0
0
05
x3
x4
x5
x6
3/2 -1/8 -3/4 0
5
x6
2
00
-1
1/4 1/2 1
3
x2
3/2
(cj－zj) 或 j
0
1
00
3/4 -3/16 -1/8 0 -1/4 -7/16 -5/8 0
12/5
(cj－zj) 或
j
0
-1
-1/2
2/5
0
1
0 3－M -1/2M -4/5+2/5M 0
0
x4作为换入变量，2/5作为主元素，经过迭代获得最优解，如表23所示。
cj
CB
XB
b
4
x1′
2/3
3
x2
8/3
0
x4
38/3
(cj－zj) 或
j
43
x1′ x2
1
0
0
1
0
0
00
表 23
0
0
x3
x4
设价值系数的增量为⊿ cj ，要保证最优基不变，必须使最终表中的检验数仍≤0，
即
' j
cj
c j
CB B1Pj
c j (c j CB B1Pj ) 或者 c j j
c j j 0
（2-24）
式（2-24）就是非基变量价值系数的变化范围。
（2）基变量xr的价值系数cr 发生变化。(可能会引起所有非基变量检验数的改变)
B﹣1 P6 =
-2 1/2 1/2 -1/8
把结果代入表13 得到 表18。
cj
2
CB
XB
b
x1
2
x1
4
1
0
2
3/2wenku.baidu.com
1
6 =2
0
3
1/4
3
0
0
x2
x3
x4
0
0
1/4
表 18
05
x5
x6
0 3/2
0
x5
4
00
-2 1/2
12
3
x2
2
(cj－zj) 或 j
0
1
00
1/2 -1/8 -3/2 -1/8
（一）、价值系数cj的变化分析
按与变量的对应关系划分，价值系数可分为基变量价值系数和非基变量价值 系数两种。
由于价值系数的变化直接影响到检验数，所以，价值系数变化的结果只有两 个：原始，对偶问题均可行，最优解不变；原始问题可行，但对偶问题不可 行，需要用单纯形法继续求解。
（1）非基变量 xj的价值系数cj 发生变化。(仅会该变量检验数的改变)