初中数学试题的命制与感悟

初中数学试题的命制与感悟如图是某小区的旋转变形门。门宽MN=6m,矩形ABO2O1是拦车杆，其宽AB= O1O2=0.2m, 拦车杆被其上的五根竖条六等分，竖条在拦车杆外的部分PD=CQ=0.5m。立柱O2N=1.2m, 矩形ABO2O1旋转一定的角度变形为平行四边形A1B1O2O1。

（1）点A、B、C、D处都是可活动的螺丝连接，目的是使矩形ABO1O2顺时针旋转角

∠α（0°≤α≤90°）后变形为ABCD。

其原理是根据（四边形的不稳定性）

（2）矩形ABO2O1旋转一定的角度（0°≤α≤90°）时，设 A1B1O2O1面积是S，其宽度A1O1与B1O2的距离为x。求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围。

∵B O2=MN=6 B1O2=6 ∴S=6x(0m＜x≤0.2m）

（3）若点E是MN的中点，当

拦车杆旋转60°时，2.2m宽的卡

车正中间对准E点驶向大门，求车

的高度最多不超过多少米时，才能

通过大门？（精确到1m,

3≈1.7）

∵GT=1.2m F O2=4m ∠F O2G=60°

∴∠G F O2=30° G O2=2m

∴FG=3

2=m

2

42

-

2

∴车高为23+1.2-0.5≈4（m）

（4）当拦车杆旋转60°时，求AB旋转到A1B1所扫过的阴影

部分的面积S1。

S1=S扇形O1A A1+S矩形

ABO2O1

-S扇形O2B B1-S

A1B1O2O1

=6×0.2-6×0.2×sin30°

=0.6（2m）

1.近几年的中考最后两题要求的技巧性较高，但联系实

际的较少,缺少生活模型。在工作之余我在思考能否找到一

个生活中运动的模型，通过抽象、概括形成数学建模?一次

偶然机会在客运站看到门口的拦车杆,突发奇想,拦车杆的

旋转不正是一种运动吗?通过仔细观察,我发现拦车杆放平

是个矩形形状而旋转一个角度（0°≤α≤90°）后则变成平

行四边形这不恰恰体现了四边形的不稳定性吗?

2.于是我又思考以上旋转变化过程中,是否能寻找到内

在知识变化规律与函数知识联系上呢?而拦车杆的高度与杆

的旋转角度之间是正弦函数关系,而这种关系超出了初中所

学范围,把自变量定为拦车杆的宽度,那么拦车杆所呈平行四边形的面积与宽度就成正比例函数关系而且是自变量取值范围也容易求.

3.本题前两问只是个中档题,且在实际中实用性并不够,虽然拦车杆的高度与旋转角的函数关系超范围,但进行三角函数相关计算是可以的.于是我又设计与实际联系密切,人们最关心的拦车杆旋转角度多大,能使自己开的汽车安全通过的问题。本问考查了学生对三角函数、勾股定理计算的运用能力,关健看学生能否准确构造出正确图形,特别是直角三角形,而拦车杆上的竖条处理又把第二问的难提了一个新的高度.

4.第4个问是在第3个问的基础上进行抽象,求拦车杆头在旋转过程中所扫过的面积.而本题的解答考查了学生把不规则图形转化为有规则图形之间关系的数学思想,从中看出学生对扇形面积和平行四边形面积的灵活应用程度.

5．本题的特点:

(1)适合各地学生(城市、乡村)。因为本题模型在客运站、小区、宾馆、收费站都能见到,特别普遍)。

(2)伸缩性强。本题既可以做为最后两大题中的一道使用,又可以只取前两个问,成为中档题。

(3)联系生活密切。本题目模型人人都能在生活中接触的到，也是坐车时关心的问题。

(4)涉及知识面宽。对学生所学知识考查全面从四边形不稳定性到三角函数计、勾股定理、扇形、平行四边形面积、正比例函数、自变量范围等的考查。

（5）考察学生对数学思想方法的掌握。

数与形结合思想。

无规则变为有规则的转化思想。

联系实际生活强。

等周长变形思想。

数学建模思想。

6.弥补了往年平移多而旋转型大题少的缺憾，这里旋转的是形而不只是点