置信区间
统计学中的置信区间
统计学中的置信区间在统计学中，置信区间（Confidence Interval）是一种常用的估计方法，它可以对总体参数进行估计，并给出估计结果的可信程度。
下面将介绍置信区间的概念、计算方法以及在实际应用中的重要性。
一、概念置信区间是通过样本统计量对总体参数进行估计的一种区间估计方法。
简单来说，它可以告诉我们对于总体参数的估计值落在一个区间内的概率有多大。
置信区间通常由两个值组成，上限和下限，表示对于总体参数的估计值可能存在的范围。
例如，我们要估计某个总体的均值，我们可以通过抽取样本并计算样本均值来进行估计。
置信区间就是用来衡量样本均值与总体均值之间的不确定性程度，通过估计总体均值可能存在的上下限。
二、计算方法置信区间的计算通常依赖于样本的统计量和分布的特征。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布。
因此，我们可以利用正态分布的性质来计算置信区间。
以估计总体均值为例，假设样本的均值为x，样本标准差为s，样本容量为n，总体均值的置信水平为1-α（通常取95%）。
根据正态分布的性质，我们可以得到置信区间的计算公式：置信区间 = x± Z * (s/√n)其中，Z为标准正态分布的分位数，由所选置信水平确定。
需要注意的是，计算置信区间时要求样本独立、来自正态分布总体，并且样本容量足够大。
如果样本不满足这些假设条件，可以采用其他方法进行置信区间的计算。
三、实际应用置信区间在实际应用中具有重要的意义。
它可以帮助我们确定估计结果的可信程度，并对决策提供有力的依据。
在市场调研中，我们常常需要估计总体均值或总体比例，例如一款新产品的受欢迎程度。
通过计算置信区间，我们可以得到一个范围，这个范围可以告诉我们有多大的把握相信总体均值或总体比例落在这个范围内。
置信区间也可以用于比较不同样本的均值差异，例如对比两个群体的平均收入水平是否存在显著差异。
通过计算置信区间，我们可以判断这两个群体的均值是否存在统计学上的差异。
置信区间法
置信区间法置信区间法是一种常用的统计推断方法，用于估计总体参数的真实值，并提供参数估计的精度范围。
在实际应用中，置信区间法被广泛用于市场调研、医学研究、质量控制等领域。
本文将从置信区间的定义、计算方法以及优缺点等方面进行阐述。
首先，置信区间是指在一定置信水平下，对总体参数的区间估计范围。
置信水平通常取95%或99%，代表统计学家对估计结果的置信程度。
例如，95%置信区间表示，在100次抽样中，有95次置信区间包含了总体参数的真实值。
计算置信区间的方法有多种，其中最常用的是基于正态分布或t分布的方法。
对于大样本，可以使用正态分布进行计算，而对于小样本，应使用t分布。
以下是计算置信区间的公式：1. 总体均值的置信区间：- 大样本（正态分布）：[sample_mean - Z * (sample_stddev / sqrt(n)), sample_mean + Z * (sample_stddev / sqrt(n))]- 小样本（t分布）：[sample_mean - t * (sample_stddev /sqrt(n)), sample_mean + t * (sample_stddev / sqrt(n))]2. 总体比例的置信区间：- 大样本：[sample_proportion - Z * sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n), sample_proportion + Z *sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n)]- 小样本：[sample_proportion - t * sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n), sample_proportion + t *sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n)]其中，sample_mean代表样本均值，sample_stddev代表样本标准差，sample_proportion代表样本比例，n代表样本容量，Z代表正态分布的分位数，t代表t分布的分位数。
置信区间 推导
置信区间推导摘要：1.置信区间的概念与意义2.置信区间的计算方法3.置信区间的应用场景4.提高置信区间计算精度的方法5.总结与展望正文：一、置信区间的概念与意义置信区间（Confidence Interval，CI）是一种统计学上估计参数值范围的方法。
在假设检验中，置信区间用于表示样本统计量估计总体参数真值的可信程度。
它是由样本统计量加减一个或两个标准误差得到的区间，其中标准误差反映了样本统计量分布的宽度。
二、置信区间的计算方法1.单个样本置信区间的计算对于一个单一样本，置信区间的计算公式为：置信区间= 样本统计量± z值× 标准误差其中，z值是根据置信水平（1-α）查表得到的，α表示置信水平，标准误差则为样本统计量的标准差除以样本容量的平方根。
2.两个样本置信区间的计算对于两个样本，我们需要先计算合并后的样本统计量，然后使用单个样本置信区间的计算方法得到置信区间。
三、置信区间的应用场景1.总体参数的估计：在抽样调查中，我们可以使用置信区间来估计总体比例、均值等参数的真值。
2.比较两个样本的差异：通过计算两个样本的置信区间，可以判断它们之间的差异是否显著，从而进行合理的决策。
3.过程控制：在生产过程中，利用置信区间可以监测产品质量，确保生产过程的稳定。
四、提高置信区间计算精度的方法1.增加样本量：当样本量较大时，样本统计量的分布更加接近总体分布，从而提高置信区间的精度。
2.提高抽样方法：采用分层抽样、整群抽样等更科学的抽样方法，可以减小抽样误差，提高置信区间精度。
3.选择合适的置信水平：根据实际需求，合理选择置信水平，可以在一定程度上提高置信区间精度。
五、总结与展望置信区间作为一种有效的统计分析方法，在实际应用中具有重要意义。
通过掌握置信区间的计算方法和应用场景，我们可以更好地进行数据分析和决策。
随着统计学的发展，新的置信区间计算方法和技术不断涌现，为提高置信区间计算精度提供了更多可能性。
解释置信区间
解释置信区间一、置信区间的基本概念（一）置信度和置信区间概念1、置信度定义：置信度（置信区间）（ 1）可靠性可靠性又称可信度、可靠性，指系统在规定条件下发生预定可靠性目标时所具有的程度。
当规定条件相同时，如果产品质量越好，质量特性稳定性越高，则产品的可靠性也越高。
（ 2）有效性有效性又称有效性或准确度，指在使用条件下，系统输出的实际值与规定值的符合程度。
例如，工业用天平的精密度要求是：被测物体不能超过最大称量0.1克，称量范围0-100克。
称量时不允许漂移和晃动。
这种天平就具有很高的有效性，能准确称量。
（ 3）容许差异容许差异（ tolerance error）指输出变量与输入变量之间的允许差别范围，在工程应用中，允许差别范围是由系统设计者根据系统功能的重要程度和数学模型来决定的。
因此，允许差异是一个确定的、固定的范围，其取值与系统结构及工作环境有关。
如，作为称量工具的天平，要求允许称量误差在±1克以内。
为了满足这样严格的要求，通常采用分度值为1克的标准砝码，并规定天平每一位数的分度值允许误差为±1。
（二）置信区间定义：置信区间（ confidence interval）（ 1）可靠性可靠性又称可信度、可信度，指系统在规定条件下发生预定可靠性目标时所具有的程度。
当规定条件相同时，如果产品质量越好，质量特性稳定性越高，则产品的可靠性也越高。
二者之间呈正比关系。
由此可见，质量特性稳定性越高，其产品的可靠性就越高。
（ 2）有效性有效性又称有效性或准确度，指在使用条件下，系统输出的实际值与规定值的符合程度。
如，天平的精密度要求是：被测物体不能超过最大称量0.1克，称量范围0-100克。
称量时不允许漂移和晃动。
这种天平就具有很高的有效性，能准确称量。
（ 3）容许差异容许差异（ tolerance error）指输出变量与输入变量之间的允许差别范围，在工程应用中，允许差别范围是由系统设计者根据系统功能的重要程度和数学模型来决定的。
什么是置信区间
什么是置信区间
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的一些总体参数的区间估计。
置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
扩展资料：
置信区间在频率学派中间使用，其在贝叶斯统计中的对应概念是可信区间。
两者建立在不同的概念基础上的，贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量，并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述，故无论对随机样本还是已观测数据，构造出来的可信区间，其可信水平都是一个合法的概率；而置信区间的置信水平，只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。
置信区间知识
s125 试由试验结果求EX的置信水平为99%的近似置信
区间
解 由题设x17.84 s125 n100 给定001
查附表u/22.56 计算可得
x u /2
s 17.840.32 n
故的置信水平为99%的近似置信区间为(1752 1816)
由
P12 / 2(2n)
2n
X
2/2(2n)
1
经不等式变形得
P
2nX
2/2(2n)
2nX
2 1
/2(2n)
1
于是
2nX
2/2(2n)
,
2nX
2 1
/2(2n)
为所求置信区间
11
三、正态总体参数的置信区间
1 均值的置信区间 (1)方差 2已知的情形
根据例512 在 2已知的条件下 的1置信区间为
T X
S/ n
渐近服从N(0 1) 于是的近似置信区间为
X u/2
S n
,
X
u /2
S n
26
例519 某厂新研究开发了某类设备所需的关键部件，
现无法确定此部件的的连续使用寿命X(单位 kh)所服从的
分布类型 通过加速失效试验法 测试100个此类部件的连
续使用寿命 测得样本平均值为x17.84 样本标准差为
P|
Xp p(1 p)/n
|
u
/
2
1
经不等式变形得 P{ap2bpc0}1 其中
a n(u/2)2 b 2nX (u/2)2 c n(X )2
又由a0知ap2bpc0等价于p1pp2 其中
p1
1 2a
(b
b2
4ac
置信区间公式表
置信区间公式表 在统计学中，置信区间是用来估计一个参数或者变量真实值的范围。
置信区间公式表则是用来计算这些置信区间的具体公式的总结。
本文将介绍常见的统计参数和对应的置信区间计算公式，以及实际举例说明，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、均值的置信区间公式1.总体均值的置信区间公式（大样本）当总体标准差已知时，总体均值的置信区间公式为： 置信区间 = 样本均值 ± Z分数 *（总体标准差 / 根号下样本容量）2.总体均值的置信区间公式（小样本）当总体标准差未知时，总体均值的置信区间公式为： 置信区间 = 样本均值 ± t分数 *（样本标准差 / 根号下样本容量） 举例说明：假设某地的成年人平均身高是170厘米，现在随机抽取了50名成年人，测得的样本平均身高是168厘米，样本标准差为3厘米。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如95%），这个样本的置信区间为166.4厘米至169.6厘米。
二、比例的置信区间公式总体比例的置信区间公式为： 置信区间 = 样本比例 ± Z分数 * 根号下（（样本比例 *（1 - 样本比例））/ 样本容量） 举例说明：某商品在一个网上商城上的购买成功率为0.65。
现在随机抽取了300个订单，其中成功购买的数量为200个。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如90%），这个样本的置信区间为0.616至0.684。
三、方差的置信区间公式总体方差的置信区间公式为： 置信区间 = （（n - 1） * 样本方差） / X^2分数（α/2，n - 1）至（（n - 1） * 样本方差） / X^2分数（1 - α/2，n - 1） 举例说明：假设某批产品的重量服从正态分布，我们随机抽取了12个产品，测得的样本方差为9。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如99%），这个样本的置信区间为5.77至27.44。
置信区间公式表是统计学中一个重要的工具，可以帮助我们了解样本估计值的真实范围。
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
置信区间(Confidence Interval)
置信区间（Confidence Interval）分类：专业学习2010-04-28 13:32阅读(6841)评论(5)一直做着的不确定性分析，很多时候会涉及到置信区间的概念，但一直没能有个清晰的认识，今天终于从网上查资料，具体核实了置信区间的含义。
95%置信区间（Confidence Interval,CI）：当给出某个估计值的95%置信区间为【a,b】时，可以理解为我们有95%的信心（Confidence）可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%。
有时也会说90%，99%的置信区间，具体含义可参考95%置信区间。
置信区间具体计算方式为:(1)知道样本均值(M)和标准差(ST)时：置信区间下限：a=M - n*ST; 置信区间上限：a=M + n*ST;当求取90% 置信区间时n=1.645当求取95% 置信区间时n=1.96当求取99% 置信区间时n=2.576（2）通过利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法获得估计值分布时：先对所有估计值样本进行排序，置信区间下限：a为排序后第lower%百分位值; 置信区间上限：b为排序后第upper%百分位值.当求取90% 置信区间时 lower=5 upper=95;当求取95% 置信区间时lower=2.5 upper=97.5当求取99% 置信区间时lower=0.5 upper=99.5当样本足够大时，（1）和（2）获取的结果基本相等。
参考资料：http://140.116.72.80/~smallko/ns2/confidence_interval.htm附刚准备MATLAB 求取置信区间源码：……………………………………………………………………………………………………………………%%% 置信区间的定义90%，95%，99%clearclcsampledata=randn(10000,1);a=0.01; %0.01 对应99%置信区间，0.05 对应95%置信区间，0.1 对应90%置信区间if a==0.01n=2.576; % 2.576 对应99%置信区间，1.96 对应95%置信区间，1.645 对应90%置信区间elseif a==0.05n=1.96;elseif a==0.1n=1.645;end%计算对应百分位值meana=mean(sampledata);stda=std(sampledata);sorta=sort(sampledata); %对数据从小到大排序leng=size(sampledata,1);CIa(1:2,1)=[sorta(leng*a/2);sorta(leng*(1-a/2))]; %利用公式计算置信区间CIf(1:2,1)=[meana-n*stda;meana+n*stda];。
置信区间
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
置信区间(详细定义及计算)
18
2.未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时, 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
S2
n X
则对给定的α, 令
P{ S2
n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表, 可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
S
2
的概率分布是难以计算的,
2
而
p
y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
2
x
24
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
置信区间怎么算
置信区间怎么算
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。
置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
置信区间怎么算，方法/步骤
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。
置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α(希腊字母alpha)，如前所述，绝大多数情况会将α设为0.05。
置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。
于是，如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。
置信区间的常用计算方法如下：Pr(c1<=μ<=c2)=1-α；其中：α是显著性水平（例：0.05或0.10）；Pr表示概率，是单词probablity的缩写；100%*(1-α)或(1-α)或指置信水平（例如：95%或0.95）；表达方式：interval(c1,c2) - 置信区间。
置信区间（Confidenceinterval）是啥
置信区间（Confidenceinterval）是啥
可信程度那种~
对这个样本的某个总体参数的区间估计。
置信区间展现的是这个参数的真实值有⼀定概率落在测量结果的周围的程度。
置信区间给出的是被测量参数测量值的可信程度范围，即前⾯所要求的“⼀定概率”。
这个概率被称为置信⽔平
如果在⼀次⼤选中某⼈的⽀持率为55%，⽽置信⽔平0.95上的置信区间是（50%,60%），那么他的真实⽀持率有百分之九⼗五的机率落在百分之五⼗和百分之六⼗之间，因此他的真实⽀持率不⾜⼀半的可能性⼩于百分之2.5（假设分布是对称的）。
如例⼦中⼀样，置信⽔平⼀般⽤百分⽐表⽰，因此置信⽔平0.95上的置信区间也可以表达为：95%置信区间。
置信区间的两端被称为置信极限。
对⼀个给定情形的估计来说，置信⽔平越⾼，所对应的置信区间就会越⼤。
高考数学置信区间
高考数学中的置信区间：概念、计算和解题方法一、什么是置信区间在统计学中，置信区间是一种用来估计未知参数的区间。
例如，我们想要估计某个班级的平均身高，但是我们没有办法测量每一个学生的身高，那么我们可以从这个班级中随机抽取一些样本，然后根据样本的平均值和标准差，计算出一个区间，这个区间就是置信区间。
我们可以说，我们有多大的置信水平（confidence level ），这个区间就包含了真实的平均身高。
二、如何计算置信区间一般来说，置信区间的计算公式是：x ±z α/2s √n其中，x 是样本平均值，z α/2 是标准正态分布的分位数，α 是置信水平的补数（例如，如果置信水平是 95%，那么 α 就是 0.05），s 是样本标准差，n 是样本容量。
例如，假设我们从一个班级中随机抽取了 30 个学生，测量了他们的身高（单位：厘米），得到了如下数据：我们可以用 Python 的 numpy 库来计算这些数据的平均值和标准差：输出结果是：如果我们想要以 95% 的置信水平估计这个班级的平均身高，那么我们可以查表得到 z α/2 的值是 1.96。
然后代入公式，得到：181.5±1.969.574√30简化后得到：181.5±3.41也就是说，我们以 95% 的置信水平估计这个班级的平均身高在 178.09 厘米到 184.91 厘米之间。
三、如何解释置信区间有时候，人们会误解置信区间的含义，认为它表示真实参数有多大的概率落在这个区间内。
其实，这是不正确的。
因为真实参数是一个固定的值，它要么在这个区间内，要么不在这个区间内，不存在概率的问题。
正确的理解方式是：如果我们重复进行同样的抽样和计算过程，那么有多大比例的置信区间会包含真实参数。
例如，在上面的例子中，我们以 95% 的置信水平估计了这个班级的平均身高在 178.09 厘米到 184.91 厘米之间，这并不意味着这个班级的平均身高有 95% 的概率在这个区间内，而是意味着如果我们重复进行 100 次抽样和计算，那么大约有 95次的置信区间会包含这个班级的真实平均身高。
置信区间知识点
置信区间知识点
以下是 7 条置信区间知识点：
1. 啥是置信区间呀？就好比你猜一个盒子里糖的数量，你不是能肯定具体是多少，但你能给出一个大概的范围，这个范围就有点像置信区间。
比如你说盒子里大概有 20 到 30 颗糖，嘿，这就是个简单的置信区间例子呢！
2. 要知道，置信区间可不是随便说说的哦！就好像你判断朋友什么时候能到，你说大概 10 分钟到 15 分钟，这就是你通过各种信息得出的一个有
可信度的区间呀。
想象一下，你等朋友的时候不就是这么估计的嘛！
3. 置信区间可重要啦！好比一场比赛，你预测自己的队伍有 70%到 80%的可能性会赢，这就是个置信区间呀。
你是不是会根据这个来调整自己的期待和情绪呢？
4. 哇塞，置信区间是能帮我们做出更好判断的呢！比如说你估计自己考试成绩会在 80 分到 90 分之间，这能让你提前有个心理准备呀。
这不是和
你估计去某个地方要花多少时间一样嘛？
5. 嘿，别小瞧置信区间哦！就跟你预测天气似的，说有 60%的概率会
下雨，这就是个置信区间。
你会不会根据这个来决定带不带伞呢？
6. 置信区间真的蛮神奇的呢！想想你估计自己完成一项任务需要多长时间，给出个大概的范围，这就是它在生活中的应用呀。
就如同你猜测一部电影好不好看，也会有个大概的想法吧！
7. 哇哦，置信区间能让我们对很多事情有更清晰的认识呢！好比你推测一个项目的成本会在多少到多少之间，这能帮助我们更好地规划和决策呀。
这和你大概知道自己一个月会花多少钱不是挺像的嘛！
我的观点结论是：置信区间真是个很有用的概念，在很多方面都能给我们提供有价值的参考和帮助，让我们的判断和决策更加科学合理。
置信区间计算方法
置信区间计算方法
置信区间是指用来表示假设检验结果的可信程度的区间。
在统计学中，通常使用置信区间来估计参数的值，同时也可以用来评估假设的可靠性。
置信区间的计算方法取决于假设检验的类型和参数的分布。
以下是几种常见的置信区间计算方法:
1. 95% 置信区间：在假设检验中，通常使用 95% 置信区间来估计参数的值。
计算方法是根据假设检验的结果，计算出样本统计量和置信水平之间的关系，然后用它们计算置信区间。
例如，如果假设检验的显著性水平为 0.05，那么 95% 置信区间意味着样本统计量必须大于或等于估计值的 95%。
2. 90% 置信区间:90% 置信区间通常用于假设检验中的非显著性水平为
0.9 的情况。
计算方法与 95% 置信区间类似，但是需要考虑非显著性水平和置信水平之间的关系。
3. 参数估计的置信区间：参数估计的置信区间是指用样本数据计算出的参数估计值的置信区间。
计算方法是根据样本数据计算出参数估计值和置信水平之间的关系，然后计算置信区间。
4. 假设检验的置信区间：假设检验的置信区间是指用来估计假设检验结果的可信程度的区间。
计算方法是根据假设检验的结果，计算出样本统计量和置信水平之间的关系，然后用它们计算置信区间。
置信区间的计算方法取决于假设检验的类型和参数的分布。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的置信区间计算方法。
同时，由于置信区间表示的是对参数值的估计，因此需要考虑置信区间的可读性和可解释性。
置信区间
区间
[ x z1
2
n
, x z1
2
n
]
即为的置信区间。称z1-/2为在置信 度1-下的临界值，或称为标准正态分布 的双侧分位点。 当＝0.05时,查标准正态分布 表得临界值
z1 z0.975 1.96
2
此时的置信区间是
[ x 1.96
n
, x 1.96 n ]
1
由此得到的置信度为1-的单侧置信区间:
x
s n 1
t
(n 1),
的置信度为1-的单侧置信下限为:
s 1 x t1 (n 1) n
二.方差DX的区间估计
设总体 是来自于总体 的样本。现利用样本给出2的置信区间。考 虑统计量
Y (n 1) s 2
2 1
m
2 2
~ N (0,1)
n
如同上节一样讨论，可得1 2 的置信 区间为
2 2 12 2 12 2 , x y z x y z 1 1 m n m n 2 2
2 2 都为未知 2. 方差 和
2 2 1
2
故DX的置信区间为
0.0013,0.0058
例 设正态总体N(,2)的方差2为已知, 问容量n为多大的样本,才能使总体均值 的1-的置信区间的长度不大于L？
解: 因为
P x z
1
2
n
x z
1
2
1
n
所以, 的1-的置信区间为
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
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（4）若 µ 未知，则
(n − 1) S 2 (n − 1) S 2 σ 2 的双侧 1 − α 置信区间为： 2 , 2 χ 1− α (n − 1) χ α (n − 1) 2 2
1．某商店每天每百元投资的利润率服从正态分 布，均值为 µ ，方差为 σ 2 ，长期以来 σ 2 稳定为 0.4 ， 现 随 机 抽 取 的 五 天 的 利 润 率 为 ： -0.2,0.1,0.8,-0.6,0.9，试求 µ 的置信水平为 95%的 置信区间。
σ 2 的 1 − α 双侧置信区间为
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2 2 , 2 χ1− α2 (n − 1) χ α2 (n − 1)
2 2 由样本观察值得： χ 0.025 (9 ) = 2.7, χ 0.975 (9) = 19.023 ，
9 × 20 2 9 × 20 2 故 σ 2 的 0.95 双侧置信区间的观察值为 , ， 2. 7 19.023
即为 [− 0.354,0.754] 。
2．为了了解灯泡使用时数的均值 µ 及标准差 σ ，测量 10 个灯泡，得 x = 1500 小时， s = 20 小时，如果灯泡的 使用时数服从正态分布，求 µ 和 σ 的 95%的置信区间。
µ 的 1 − α 双侧置信区间为
S S X − t1− α2 (n − 1) n , X + t1− α2 (n − 1) n
由样本观察值得： x = 1500, s = 20, n = 10, t0.975 (9) = 2.262 ， 故 µ 的 0.95 双侧置信区间的观测值为
20 20 ,1500 + 2.262 × 1500 − 2.262 × , 10 10
即为 [1485.69,1514.3为
σ σ , X + u1− α X − u1− α 2 2 n n
由样本观察值得： x = 0.2, u 0.975 = 1.96 ，故 µ 的 0.95 双侧置信区间的观察值为
0 .4 0.4 ,0.2 + 1.96 0.2 − 1.96 5 5
一旦 则称 [θ ,θ ] 为 θ 的双侧 1 − α 置信区间，1 − α 为置信水平， 样 本 有 观 察 值
x1 , L , x n
， 则 称 相 应 的
[θ (x1 , L, x n ),θ (x1 , L, x n )] 为置信区间的观察值。
单正态总体下未知参数的置信区间估计
设 X 1 , L , X n 是取自正态总体 Ν µ , σ 2 的一个样本， 置信水平为 1 − α ， 1 n 样本均值 X = ∑ X i ， n i =1
即为 [189.24,1333.33] 。
而 σ 的 0.95 双侧置信区间的观察值为
9 × 202 9 × 202 , ，即为 [13.76,36.51] 。 2.7 19.023
3.从一批螺钉中随机地取 9 枚，测得其长度 （单位：cm）为 x1 , L , x9 ，并由此算得 ∑ xi = 27 ，
(
)
1 n 2 (X i − X )2 ， 样本方差 S = ∑ n − 1 i =1 1 n 2 2 S n = ∑ (X i − X ) 。 n i =1
均值µ的 置信区间
（1） 若 σ 2 已知，
σ σ 则 µ 的双侧 1 − α 置信区间为 X − u1− α , X + u1− α 。 2 2 n n
i =1 9
xi2 = 83 ，设钉子长度 X 服从正态分布 N µ , σ 2 ， ∑
i =1
9
(
)
− ∞ < µ < +∞ ， σ 2 > 0 均为未知参数，试分别求 µ
与 σ 2 的置信度为 0.9 的双侧置信区间．
µ
均值µ的置信区间
（2）若 σ 2 未知，则
S S , X + t1− α µ 的双侧 1 − α 置信区间为 X − t1− α 2 2 n n
方差 σ 的置信区间
2
（3）若 µ 已知，则
n n 2 2 ∑ (X i − µ ) ∑ (X i − µ ) , i =1 2 σ 2 的双侧 1 − α 置信区间为： i =1 2 χ α (n ) χ 1− α (n ) 2 2
置信区间
参数置信区间的定义
设 X 1 , L , X n 是来自总体 X 的一个样本， θ ∈ Θ 未知，对 于 ∀0 < α < 1 ， 若统计量 θ = θ ( X 1 , L , X n ) < θ ( X 1 , L , X n ) = θ ， 使得
P (θ ≤ θ ≤ θ ) ≥ 1 − α , θ ∈ Θ ，