圆幂定理(教案)

圆幂定理（教案）

教学内容圆幂定理，圆中的比例线段

教学目标 1、帮助学生理清圆中比例线段的基本思考路劲;

2、培养学生的线段比的转化能力.

教学过程

一、知识点梳理

处理圆中的比例线段问题，通常用到圆幂定理，相交线定理、切割线定理和割线定理统称圆幂定理.

1. 相交线定理

如果圆内两条弦AB和CD相交于P，那么.

2. 割线定理，如果从圆外一点P向圆引割线PAB和PCD，那么.

3. 切割线定理

如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线PC，那么.

实际上可以把切割线定理看着割线定理的极限情况，于是上述可以合并为：

如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D那么就有二、例题讲解

例1(2003年昆明市中考题)已知,如图,⊙O及⊙O外一点C,CA切⊙O于点A,CB切⊙O于点B,且∠ACB=90°,过点B作⊙O的割线交⊙O于点D,交AC 的延长线于点P,AC=3,PC=4.求⊙O的弦BD的长.

解：∵CA切⊙O于点A,CB切⊙O于点B,

∴AC=BC=3,∵∠BCP=90°,PC=4,

∴PB=,∵PA2=PB·PD,PA=7,PB=5,∴5PD=72,

∴PD=(或PD=9.8). ∴DB=PD-PB=-5=(或4.8)

点评本题利用切割线定理,使问题得解.

例2 (2003年四川省中考题)已知,如图,以正方形ABCD的AB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,DF切半圆

于点E,交AB的延长线于点F,BF=4.

求:(1)cos∠F的值; (2)BE的长.

解析 (1)连结OE ∵DF切半圆O于点E,OE为半径,

∴OE⊥EF,即∠OEF=90°. ∵ABCD是正方

形,∴AB=AD,∠DAF=90°.∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F为公共

角,∴△OEF∽△DAF. ∴,即AF=2EF. ∵DF切半圆O于点E,FBA为半圆O 的割线,

∴由切割线定理有 EF2=FB·FA=BF·2EF. ∴EF=2BF.∵BF=4.

∴EF=2×4=8,AF=2×8=16. ∴AB=AF-BF=16-4=12,

FO=AB+BF=×12+4=10. ∴在Rt△OEF中,cos∠F=

(2)连结AE,∵DF切半圆O于点E, ∴∠EAF=∠BEF.∵∠F为公共角,

∴△BEF∽△EAF, .设BE=k,则AE=2k.∵AB为半圆O的直径,∴∠AEB=90°.在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即(2k)2+k2=122.∵k>0,∴k== ,∴BE=.

点评：本题利用三角形相似,切割线定理,勾股定理等将已知和未知的关系联系起来,从而使问题得以解决.

例3 (2001年TI杯全国初中数学竞赛)如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点,与ST交于点C.

求证: .

证明连PO交ST于点D,则PD⊥ST,连SO,作OE⊥PB,垂足为E,则E为AB 中点.于是,PE=.

∵C、E、O、D四点共圆, ∴PC·PE=PD·PO.

又∵Rt△SPD∽Rt△OPS.

∴,即PS2=PD·PO.

而由切割线定理知,PS2=PA·PB,

则PC·=PA·PB. 即.

点评：本例利用切线长定理、垂径定理、切割线定理构造图形来解题.

例4 (2002年山西太原市初中数学竞赛)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O 上一点,延长BC至点D,使CD=BC,CE⊥AD,垂足为点E,BE交⊙O于点F,AF 交CE于点P.

求证:PE=PC.

证明延长DA交⊙O于点K,连结BK,OC.

∵AB是⊙O的直径, ∴BK⊥DA.又∵CE⊥AD,

∴CE∥BK,故∠1=∠2,

又∵A、K、B、F四点共圆,有∠2=∠3,

∴∠1=∠3.∴△PEF∽△PAE,

因此,有PE2=PA·PF.又∵为△ABD的中位线,

∴OC∥AD.则CE⊥OC.可知CE为⊙O的切线,故

PC2=PF·PA,∴PE2=PC2,即PE=PC.

点评：几何图形中有直径这一条件,常添加辅助线,构成直径上的圆周角是直角,使其构成直角三角形.

三、课后作业

1、如图,已知AB是⊙O的直径,P是⊙O外一点,PD⊥AB于D,交⊙O于E.PA交⊙O于C,BC交PD于F.求证:DE2=DF·DP.

2、如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC的平分线交BC于D,交⊙O于E.求证:AB·AC=AD2+BD·DC.