数字信号处理——(15)第9章、数字信号处理中的有限字长效应
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*A/D变换器一般都是输出定点编码数据（如定点补码），相当于对理想数 据进行截尾和舍入后的值。所以和实际采样值有一定的误差，并且会产生一 种量化噪声。是数字信号系统的一种主要误差。
3
8.2 A/D变换的量化效应 8.2.1 A/D变换的量化效应分析
1、A/D 变换过程数学描述： A/D 变换用于对采样信号进行数字化。其数学描述为：
log10
(12
2
2
L
2 x
)
6.02
L
10
.79
10
log10
(
2 x
)
dB
可知，A/D 量化字长每增加 1 位（L+1），信噪比可提高约 6dB 。
A/D 量化的字长越长，则量化噪声越小。但 A/D 器件的量化的字长受 其集成电路特性限制。一般字长越长，器件工作速度越慢。目前的 A/D 器件，在音频范围内，字长在 10~16bit。在视频范围内，字长在 6~12bit。
有白噪声特性的随机信号。
有限字长定点乘积运算过程：
x(n) ax(n)
y(n)
yˆ(n)
ey (n)
7
有限字长误差 ey (n) 的统计特性：
假定乘积结果为 L 位定长数据，（采取舍入截尾处理）。
均值 mey
0
，方差
2 ey
q2 12
(2L )2 12
。
对于 LTI 系统如果有 K 次乘积运算，每个乘积运算产生一个独立的噪声
n0
结论：量化信号通过 LTI 系统后，信号的信噪比不变。
6
8.3 系数乘积运算的有限字长效应
定点数据的乘积运算数学描述：
yˆ(n) Q[ax(n)] ax(n) ey (n) y(n) ey (n) ， 其中 yˆ(n) 为有限字长的数字信号（有限精度）。 根据定点数的运算规则，若 x(n) 为 Lx 位的定点数，a 为 La 位定点数，则 乘积 ax(n) 应为 Lx La 位数据。假如结果存储器长度小于 Lx La ，就需要 对结果进行截尾处理。这样就引入误差 ey (n) 。与量化误差类似 ey (n) 也是具
噪音。其频谱具有非常宽的频带，所以不容易滤出。可以通过提高量化精度，
减小 q 来减小 A/D 变换的量化误差。
（2） 计算系数的量化误差：滤波器和其他运算中的系数（常量）的表示有一定 的误差。该误差与机器的字长有关。这一误差会改变系统特性，甚至可能引
起系统不稳定。如 IIR 波器中系数误差可能使靠近单位圆的极点变化到单位
0
，方差
2 e
q2 12
。
量化截尾处理：均值
me
q 2
，方差
2 e
q2 12
其中 q 2L 为 A/D 变换器的量化间距， L 为 A/D 字长 L 位。
量化噪声的信噪比（信号和噪声功率比）为：
SNR
10
log10
(
2 x 2 e
)
10
log10
(
q2
2 x
12
)
10
关。即与系统实现结构有关。
8
8.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
信号： ei (n) ， i 1 ~ K 。
则它们在输出信号中的噪声信号为：
K
K
f (n) fi (n) ei (n) hi (n) ，其中 hi (n) 是从误差源 ei (n) 输入点
i 1
i 1
到输出端的冲击响应。
结论：
LTI 系统的有限字长效应（有限字长误差在输出信号中的影响）与 hi (n) 有
数字信号处理
第9章
数字信号处理多媒体教学系统 版权所有：yuning
数字信号处理2003。中3 第2版的有限字长效应
1
8.1 引 言 在数字系统的数值化运算中，主要有三种计算和量化误差： A/D变换的量化误差、计算系数的量化误差和中间结果的有限字长效应。
（1） A/D 变换的量化误差：
相当于在信号中加入了均值为 0，方差为 q2 12 （ q 为量化等级）的量化
2 f
2 e
h2 (n)
n0
2 e
2
2
H (e j ) d
类似的输出信号特性：
2 y
2 x
h2 (n)
n0
所以可得系统输出信噪比： SNRo
2 y
2 f
2 x
h2 (n)
n0
wenku.baidu.com
2 e
h2 (n)
2 x 2 e
SNRi
说明： *数字处理系统中数据的表示：定点制，浮点制。定点制便于硬件实现；
浮点制主要用于软件实现。 *定点制精度有限，需要对数字信号处理过程进行特别处理（有限字长效
应）。浮点制处理精度高，基本可以看成无限精度（特别是在32bit ，双精度 情况下），可以不考虑有限字长效应。所以本章讨论的有限字长效应只针对 定点制。
xˆ(n) Q[xa (nT )] x(n) e(n) ， 其中 xˆ(n) 为量化后的数字信号（有限精度）， x(n) 为采样得到的离散信号（无
限精度）， e(n) 为量化误差信号（无限精度）。
xa (t ) 采样
x(n)
xˆ(n)
e(n)
2、量化误差信号 e(n) 的特性：（输入信号 xa (t) 是一个非等幅值信号） * e(n) 是一个平稳随机序列（即 e(n) 的统计特性不随时间变化）。
圆上或圆外，引起系统不稳定。所以在系统设计过程中，就应考虑允许的系
数误差。
2
（3） 中间计算结果的有限字长误差：由于机器的数据都是有限字长表示在迭代
计算过程中，该误差会积累，使系统输出逐渐偏离正常范围。特别是定点制运
算时误差影响更明显。 在系统中尽量采用较高精度的浮点数表示；改变计算
过程减小误差积累；计算过程中进行误差修正等都是常用的方法。
5
8.2.2 量化噪声通过线性时不变（LTI）系统
量化信号通过 LTI 系统：
yˆ(n) xˆ(n) h(n) [x(n) e(n)] h(n) y(n) f (n)
其中， f (n) e(n) h(n) 为量化噪声输出。
根据随机信号分析方法，量化噪声输出信号的统计特性参数为：
* e(n) 与输入信号 xa (t) 不相关（即 e(n) 的统计特性不随 xa (t) 变化）。 *不同时刻 n 之间的值 e(n) 不相关。 * e(n) 具有等概率密度分布特性。
4
3、根据 e(n) 的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号，其特性可以
用均值和方差来描述：
量化舍入处理：均值 me
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8.2 A/D变换的量化效应 8.2.1 A/D变换的量化效应分析
1、A/D 变换过程数学描述： A/D 变换用于对采样信号进行数字化。其数学描述为：
log10
(12
2
2
L
2 x
)
6.02
L
10
.79
10
log10
(
2 x
)
dB
可知，A/D 量化字长每增加 1 位（L+1），信噪比可提高约 6dB 。
A/D 量化的字长越长，则量化噪声越小。但 A/D 器件的量化的字长受 其集成电路特性限制。一般字长越长，器件工作速度越慢。目前的 A/D 器件，在音频范围内，字长在 10~16bit。在视频范围内，字长在 6~12bit。
有白噪声特性的随机信号。
有限字长定点乘积运算过程：
x(n) ax(n)
y(n)
yˆ(n)
ey (n)
7
有限字长误差 ey (n) 的统计特性：
假定乘积结果为 L 位定长数据，（采取舍入截尾处理）。
均值 mey
0
，方差
2 ey
q2 12
(2L )2 12
。
对于 LTI 系统如果有 K 次乘积运算，每个乘积运算产生一个独立的噪声
n0
结论：量化信号通过 LTI 系统后，信号的信噪比不变。
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8.3 系数乘积运算的有限字长效应
定点数据的乘积运算数学描述：
yˆ(n) Q[ax(n)] ax(n) ey (n) y(n) ey (n) ， 其中 yˆ(n) 为有限字长的数字信号（有限精度）。 根据定点数的运算规则，若 x(n) 为 Lx 位的定点数，a 为 La 位定点数，则 乘积 ax(n) 应为 Lx La 位数据。假如结果存储器长度小于 Lx La ，就需要 对结果进行截尾处理。这样就引入误差 ey (n) 。与量化误差类似 ey (n) 也是具
噪音。其频谱具有非常宽的频带，所以不容易滤出。可以通过提高量化精度，
减小 q 来减小 A/D 变换的量化误差。
（2） 计算系数的量化误差：滤波器和其他运算中的系数（常量）的表示有一定 的误差。该误差与机器的字长有关。这一误差会改变系统特性，甚至可能引
起系统不稳定。如 IIR 波器中系数误差可能使靠近单位圆的极点变化到单位
0
，方差
2 e
q2 12
。
量化截尾处理：均值
me
q 2
，方差
2 e
q2 12
其中 q 2L 为 A/D 变换器的量化间距， L 为 A/D 字长 L 位。
量化噪声的信噪比（信号和噪声功率比）为：
SNR
10
log10
(
2 x 2 e
)
10
log10
(
q2
2 x
12
)
10
关。即与系统实现结构有关。
8
8.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
信号： ei (n) ， i 1 ~ K 。
则它们在输出信号中的噪声信号为：
K
K
f (n) fi (n) ei (n) hi (n) ，其中 hi (n) 是从误差源 ei (n) 输入点
i 1
i 1
到输出端的冲击响应。
结论：
LTI 系统的有限字长效应（有限字长误差在输出信号中的影响）与 hi (n) 有
数字信号处理
第9章
数字信号处理多媒体教学系统 版权所有：yuning
数字信号处理2003。中3 第2版的有限字长效应
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8.1 引 言 在数字系统的数值化运算中，主要有三种计算和量化误差： A/D变换的量化误差、计算系数的量化误差和中间结果的有限字长效应。
（1） A/D 变换的量化误差：
相当于在信号中加入了均值为 0，方差为 q2 12 （ q 为量化等级）的量化
2 f
2 e
h2 (n)
n0
2 e
2
2
H (e j ) d
类似的输出信号特性：
2 y
2 x
h2 (n)
n0
所以可得系统输出信噪比： SNRo
2 y
2 f
2 x
h2 (n)
n0
wenku.baidu.com
2 e
h2 (n)
2 x 2 e
SNRi
说明： *数字处理系统中数据的表示：定点制，浮点制。定点制便于硬件实现；
浮点制主要用于软件实现。 *定点制精度有限，需要对数字信号处理过程进行特别处理（有限字长效
应）。浮点制处理精度高，基本可以看成无限精度（特别是在32bit ，双精度 情况下），可以不考虑有限字长效应。所以本章讨论的有限字长效应只针对 定点制。
xˆ(n) Q[xa (nT )] x(n) e(n) ， 其中 xˆ(n) 为量化后的数字信号（有限精度）， x(n) 为采样得到的离散信号（无
限精度）， e(n) 为量化误差信号（无限精度）。
xa (t ) 采样
x(n)
xˆ(n)
e(n)
2、量化误差信号 e(n) 的特性：（输入信号 xa (t) 是一个非等幅值信号） * e(n) 是一个平稳随机序列（即 e(n) 的统计特性不随时间变化）。
圆上或圆外，引起系统不稳定。所以在系统设计过程中，就应考虑允许的系
数误差。
2
（3） 中间计算结果的有限字长误差：由于机器的数据都是有限字长表示在迭代
计算过程中，该误差会积累，使系统输出逐渐偏离正常范围。特别是定点制运
算时误差影响更明显。 在系统中尽量采用较高精度的浮点数表示；改变计算
过程减小误差积累；计算过程中进行误差修正等都是常用的方法。
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8.2.2 量化噪声通过线性时不变（LTI）系统
量化信号通过 LTI 系统：
yˆ(n) xˆ(n) h(n) [x(n) e(n)] h(n) y(n) f (n)
其中， f (n) e(n) h(n) 为量化噪声输出。
根据随机信号分析方法，量化噪声输出信号的统计特性参数为：
* e(n) 与输入信号 xa (t) 不相关（即 e(n) 的统计特性不随 xa (t) 变化）。 *不同时刻 n 之间的值 e(n) 不相关。 * e(n) 具有等概率密度分布特性。
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3、根据 e(n) 的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号，其特性可以
用均值和方差来描述：
量化舍入处理：均值 me