数字信号处理——(15)第9章、数字信号处理中的有限字长效应
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数字信号处理
2《Digital Signal Processing—A Computer Approach Third Edition》 Mitra
3《Digital Signal Processing》A.V.Oppenheim 4…….
4
第一章 数字信号处理概述
1.1 数字信号处理技术 1.2 数字信号与连续时间信号的关系 1.3 数字信号处理的分析方法 1.4 A/D、D/A原理 1.5 模拟信号的数字滤波
12
1.4 A/D、D/A原理
1.4.1 A/D原理与抽样定理
模拟信号的抽样 抽样信号的频谱 无失真抽样条件 前置预滤波器的作用 A/D变换的指标
.4.2 D/A原理和重构定理
重构定理 一种D/A变换器原理
13
1.4.1 A/D原理与抽样定理
A/D 将模拟信号转变为数字信号
s
Ya (
j)
FT
ya (t) X a ( j)G(
ya (t) xa (t)
j)
Xa(
j) (*)
X a ( j)
19
讨论
1、（*）式成立的条件：
s 2m
s
1
T
k
Xa(
j
jks )
Xˆ a ( j) s
当m s / 2
Xˆ a ( j)
18
m s / 2
时信号的提取
xˆa (t)
G( j)
Xˆ a ( j)
ya (t)
G(
j)
T , 0,
1 2
s
1 2
s
3《Digital Signal Processing》A.V.Oppenheim 4…….
4
第一章 数字信号处理概述
1.1 数字信号处理技术 1.2 数字信号与连续时间信号的关系 1.3 数字信号处理的分析方法 1.4 A/D、D/A原理 1.5 模拟信号的数字滤波
12
1.4 A/D、D/A原理
1.4.1 A/D原理与抽样定理
模拟信号的抽样 抽样信号的频谱 无失真抽样条件 前置预滤波器的作用 A/D变换的指标
.4.2 D/A原理和重构定理
重构定理 一种D/A变换器原理
13
1.4.1 A/D原理与抽样定理
A/D 将模拟信号转变为数字信号
s
Ya (
j)
FT
ya (t) X a ( j)G(
ya (t) xa (t)
j)
Xa(
j) (*)
X a ( j)
19
讨论
1、（*）式成立的条件：
s 2m
s
1
T
k
Xa(
j
jks )
Xˆ a ( j) s
当m s / 2
Xˆ a ( j)
18
m s / 2
时信号的提取
xˆa (t)
G( j)
Xˆ a ( j)
ya (t)
G(
j)
T , 0,
1 2
s
1 2
s
(完整word版)《数字信号处理》课程教学大纲
课程编号15102308《数字信号处理》教学大纲Digital Signal Processing一、课程基本信息二、本课程的性质、目的和任务《数字信号处理》课程是信息工程本科专业必修课，它是在学生学完了高等数学、概率论、线性代数、复变函数、信号与系统等课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。
本课程将通过讲课、练习使学生建立“数字信号处理”的基本概念，掌握数字信号处理基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。
三、教学基本要求1、通过对本课程的教学，使学生系统地掌握数字信号处理的基本原理和基本分析方法，能建立基本的数字信号处理模型。
2、要求学生学会运用数字信号处理的两个主要工具：快速傅立叶变换（FFT）与数字滤波器，为后续数字技术方面课程的学习打下理论基础。
3、学生应具有初步的算法分析和运用MA TLAB编程的能力。
四、本课程与其他课程的联系与分工本课程的基础课程为《高等数学》、《概率论》、《线性代数》、《复变函数》、《信号与系统》等课程，同时又为《图像处理与模式识别》等课程的学习打下基础。
五、教学方法与手段教师讲授和学生自学相结合，讲练结合，采用多媒体教学手段为主，重点难点辅以板书。
六、考核方式与成绩评定办法本课程采用平时作业、期末考试综合评定的方法。
其中平时作业成绩占40%，期末考试成绩占60%。
七、使用教材及参考书目【使用教材】吴镇扬编，《数字信号处理》，高等教育出版社，2004年9月第一版。
【参考书目】1、姚天任,江太辉编，《数字信号处理》（第二版），华中科技大学出版社，2000年版。
2、程佩青著，《数字信号处理教程》（第二版），清华大学出版社出版，2001年版。
3、丁玉美,高西全编著，《数字信号处理》，西安电子科技大学出版社，2001年版。
4、胡广书编，《数字信号处理——理论、算法与实现》，清华大学出版社，2004年版。
5、Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer，《Digital Signal Processing》，Prentice-Hall Inc, 1975.八、课程结构和学时分配九、教学内容绪论（1学时）【教学目标】1. 了解：什么是数字信号处理，与传统的模拟技术相比存在哪些特点。
《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y(n) ;
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知： y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ，
数字信号处理中的有效字长效应
另：由于截尾噪声具有直流分量，将影响信号的频谱结构，因此一般 采用舍入处理。
7.2.2 量化信噪比与所需字长的关系
量化的信噪比
信号的平均功率 与量化x2噪声的平均功率
之比
2 e
2 x
2 e
＝
q2
2
x ＝12 • 12
22b
•
2 x
信噪比用对数表示时记作SNR，单位dB
信号S功N率R(d越B大x2)＝，信10噪l比g越高；ex22
2、浮点数的表示
浮点数的小数点位置是不固定的，它随每个数的大小而变化
N M • RP
M是数的尾数部分，R是数的基数，P是阶
基数确定后，浮点数就完全由尾数和阶决定
一个浮点数可以表示如下：
Sp
Pn
Sm
Mr
：S：p阶尾P数的M符或号浮位点；数N：的阶符码号，位阶，PP的尾n 绝符对或值数部符分； S：m 尾数的绝对值部分，尾码。
1. e(n)是一个平稳随机序列 2. e(n)与信号也不相关 3. e(n)本身的任意两个值之间不相关，具有白噪声性质 4. e(n)在其误差范围内均匀等概分布。
xa (t) 采样 xa (nT ) 量化编码 xˆ(n)
A/D转换原理图
e(n)
xa (t) 理想A/DC x(n) + xˆn
A/D转换的统计模型
第7章 数字信号处理中的有效字长效应
前言
数字信号处理的实质：一组数值运算。
从设计的角度来讨论：认为数字是无限精度的。
从实现的角度考虑：数字的精度就是有限的
数字系统中的每一个数总是用有限字长的二进制数码表示，运算 过程中需要的数字信号的值、系统的系数和运算过程中的结果都 是存储在有限字长的存储单元中的，此时数字的精度就是有限的。
第九章 数字信号处理中的有限字长效应
反码与补码关系： 反码与补码关系：
[x ]反 = 2 − x − 2− b = [x ]补 − 2− b [x ]补 = [x ]反 + 2−b
10
三、量化方式——舍入与截尾 量化方式 舍入与截尾
尾数的截尾或舍入处理引起的误差取决于： 二进制数的位数 数的运算方式（定点或浮点） 负数的表示法（原码、补码或反码） 尾数的处理方法（舍入或截尾） 1. 定点制截尾 （1）对正数：
ˆ xa ( t ) t = nT → ⊕ → x( n) ↑ e(n)
23
所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性， 尤其是一阶矩（均值） m
e
和二阶矩（方差）σ e2 。
（1）对定点舍入量化方式， e(n)的概率密度函数为：
1 p[e( n)] = ∆ 0
其均值为：
−
∆ ∆ < e R ( n) ≤ 2 2 other
me = E[e R ( n)] = ∫ e R p(e )de = 0
E[⋅] 表示求统计平均。
∆ 2 ∆ − 2
24
方差为：
σ = E[(e( n) − me ) ] = ∫ (e − me ) p(e )de = ∫
2 e 2 2
∆ 2 ∆ − 2
2. 浮点二进制数（类似于科学记数法） 浮点二进制数（类似于科学记数法）
x = ±2 M
c
M 是尾数，c 是指数，称阶码。 是尾数， 是指数，称阶码。 运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。 运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。
优点： 优点：动态范围大 缺点：运算速度慢， 缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差
（2）对负数： 原码及反码时： 0 ≤ ET < ∆ 绝对误差： 相对误差： 补码时：
有限字长效应对信号处理的影响分析
前言有限字长效应对信号处理的影响分析华东理工大学东方贱人退款是几个意思1 前言1.1 有限字长效应和它产生的原因数字信号处理中，信号的数值、系统的参数、运算中的变量以及运算结果都需要用二进制编码来表示。
但由于受到 A/D 转换器位数、寄存器位数和运算字长等的限制，所以二进制码是有限字长的。
必须用有限长的二进制数来表示无限精度的十进制数，有限字长效应所带来的误差现象，我们把这种误差现象称为有限字长效应。
在数字系统中有限字长效应产生的原因：（1）A/D 变换器中的有限字长效应，即把模拟输入信号变为一组离散电平信号时所产生的有限字长效应。
A/D 变换包括抽样和量化两个过程,抽样是指使用“抽样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，把这种信号称之为“抽样”信号,抽样信号在时间上具有离散化特性，但由于它还并不是真正的数字信号，还必须经过量化编码的过程才能真正地转变为数字信号。
简单来讲就是要将模拟信号抽样和量化，让它转变成为具有一定字长的数字序列值的信号。
（2）滤波器系数的有限字长效应，在数字系统滤波器系数的量化处理过程中，用有限位二进制数来表示，就必定会带来有限字长效应。
对于不同结构类型的数字滤波器来说，它的极点和零点位置在数字滤波器中的系数变化将不一样。
因有限字长效应在数字滤波器系数中带来的任何微小变化，都极有可能对数字滤波器的频率响应特性造成巨大的影响，对于在单位圆内并且非常靠近单位圆的极点来说，有限字长效应在数字滤波器中系数的误差影响，就会让这些极点移动到单位圆上或者单位圆外，因而数字滤波器的原有稳定性就失去了。
（3）运算过程中的有限字长效应所带来的误差。
在数字运算过程中，为了限制位数有限字长效应对信号处理的影响分析而进行尾数处理和为了防止溢出进而压缩信号电平的有限字长效应，这其中就有低电平的极限环振荡效应和溢出振荡效应。
以上三种误差都与系统结构形式、数的表达方法、和所采用的运算方式、字的长短和尾数的处理有关。
8-数字信号处理中的有限字长效应
◄ Up ► Down ◙ Main Return
2015-7-19
3、量化误差 当数x被量化时，就引入了误差e，有 e=Q[x] – x Q[x]表示对数x进行量化处理
e的范围取决于数的表示形式以及量化方式（例原码）
1、截尾量化，假设寄存器长度为L+1=8 （q=2-7 ） ①原码正数 Q[x]=0.1011000 x=0.101100011111 et= Q[x] – x = – 0.000000011111
二、量化噪声通过线性系统 现在来考虑量化序列 xq(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)通过一个线 性时不变系统时的响应。假设系统的冲激响应是h(n)，则 系统的输出响应为： yq(n)= xq(n)*h(n)=y(n)+f(n)
x(n)
f(n)为输出噪声
yq(n)= y(n)+f(n)
经分析可知对于补码截尾量化 －q<et≤0
q -q x
对于反码截尾量化 （情况与原码相同） 当x>0时， －q<et≤0
q
Q[x]
当<0时， 0≤et<q
-q
x
◄ Up
► Down
◙
Main
Return
2015-7-19
⑵舍入量化（类似于十进制的四舍五入） 例如：寄存器长度为L+1=4位 （q=2-3 ） 原码 x=0.10001 量化为Q[x]=0.100，er= －0.00001
i a 2 i b
当被截掉的位数均为0时，误差为0
接近量化间距q，所以误差范围为
◄ Up ► Down ◙ Main
et
i L1
当被截掉的位数均为1时，误差最大（如上例） －q<et≤0
2015-7-19
3、量化误差 当数x被量化时，就引入了误差e，有 e=Q[x] – x Q[x]表示对数x进行量化处理
e的范围取决于数的表示形式以及量化方式（例原码）
1、截尾量化，假设寄存器长度为L+1=8 （q=2-7 ） ①原码正数 Q[x]=0.1011000 x=0.101100011111 et= Q[x] – x = – 0.000000011111
二、量化噪声通过线性系统 现在来考虑量化序列 xq(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)通过一个线 性时不变系统时的响应。假设系统的冲激响应是h(n)，则 系统的输出响应为： yq(n)= xq(n)*h(n)=y(n)+f(n)
x(n)
f(n)为输出噪声
yq(n)= y(n)+f(n)
经分析可知对于补码截尾量化 －q<et≤0
q -q x
对于反码截尾量化 （情况与原码相同） 当x>0时， －q<et≤0
q
Q[x]
当<0时， 0≤et<q
-q
x
◄ Up
► Down
◙
Main
Return
2015-7-19
⑵舍入量化（类似于十进制的四舍五入） 例如：寄存器长度为L+1=4位 （q=2-3 ） 原码 x=0.10001 量化为Q[x]=0.100，er= －0.00001
i a 2 i b
当被截掉的位数均为0时，误差为0
接近量化间距q，所以误差范围为
◄ Up ► Down ◙ Main
et
i L1
当被截掉的位数均为1时，误差最大（如上例） －q<et≤0
数字信号处理课件--数字信号处理15教学案例
课件
6
8.3 系数乘积运算的有限字长效应
定点数据的乘积运算数学描述：
yˆ(n) Q[ax(n)] ax(n) ey (n) y(n) ey (n) ， 其中 yˆ(n) 为有限字长的数字信号（有限精度）。 根据定点数的运算规则，若 x(n) 为 Lx 位的定点数，a 为 La 位定点数，则 乘积 ax(n) 应为 Lx La 位数据。假如结果存储器长度小于 Lx La ，就需要 对结果进行截尾处理。这样就引入误差 ey (n) 。与量化误差类似 ey (n) 也是具
相当于在信号中加入了均值为 0，方差为 q2 12 （ q 为量化等级）的量化
噪音。其频谱具有非常宽的频带，所以不容易滤出。可以通过提高量化精度，
减小 q 来减小 A/D 变换的量化误差。
（2） 计算系数的量化误差：滤波器和其他运算中的系数（常量）的表示有一定
的误差。该误差与机器的字长有关。这一误差会改变系统特性，甚至可能引
*A/D变换器一般都是输出定点编码数据（如定点补码），相当于对理想数 据进行截尾和舍入后的值。所以和实际采样值有一定的误差，并且会产生一 种量化噪声。是数字信号系统的一种主要误差。
2020/8/19
课件
3
3、根据 e(n) 的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号，其特性可以
用均值和方差来描述：
关。即与系统实现结构有关。
2020/8/19
课件
8
8.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
IIR滤波器的实现是一个输入序列和输出序列的有反馈叠代运算。如果是采 用有限字长定点运算，那么在计算过程会有截尾误差。根据上面的分析相当 于在系统中引入了误差噪声信号。
通过一个例子来分析有限字长效应。
教学课件第八章数字信号处理中的有限字长效应
➢ ⑶ 根据处理精度和速度的要求，选择合适的 数字器件，在设备价格和系统要求之间做合适 的折衷选择等；
6
▪ 精度问题（小数）
➢ 1/3、㏒2 2
1/3=0.33333… 4bit: 0.0101 (0.3125) 8bit: 0.0101010 (0.328125)
▪ 动态-128~127
16bit: -32768~32767
2
8.1 引言
▪ 数字系统中因有限字长的影响，引起系统 误差的三个因素：
➢字的长短
字长越长精度越高
➢ 数的表示方法
定点制，浮点制 原码，补码，反码
4
8.1 引言
➢尾数的处理
舍入，截尾
➢ 可采用的运算方式 如乘除法中的溢出问题
➢ 系统结构等 如滤波器的结构问题，采用级联结构
5
8.1 引言
▪ 研究有限字长效应的意义：
➢ ⑴ 字长一定，分析误差，获得处理可信度信 息；
➢ ⑵ 字长一定，分析误差，选用合适的系统结 构和运算方式；
8.1 引言
▪ 有限字长效应的概念 所有的数字软硬件处理、参与计算的参
数以及输入、输出信号都是存储在有限字 长的存储单元中的，也就是说参与数字处 理的所有参量都是有限字长的。
因此，相对于理论情况，数字信号处理 都只能是有限精度的，都是有误差的。
这就是DSP中的有限字长效应。
1
8.1 引言
▪ 有限字长
➢ ⑴ A/D变换中的量化效应； ➢ ⑵ 诸如数字滤波器等数字处理系统中系数等
用有限位二进制数表示时产生的量化效应； ➢ ⑶ 在DSP处理中，如加、乘运算，为限制位数
而进行的尾数处理(如截断和舍入)，为防止溢 出而压缩信号电平的有限字长效应等；
6
▪ 精度问题（小数）
➢ 1/3、㏒2 2
1/3=0.33333… 4bit: 0.0101 (0.3125) 8bit: 0.0101010 (0.328125)
▪ 动态-128~127
16bit: -32768~32767
2
8.1 引言
▪ 数字系统中因有限字长的影响，引起系统 误差的三个因素：
➢字的长短
字长越长精度越高
➢ 数的表示方法
定点制，浮点制 原码，补码，反码
4
8.1 引言
➢尾数的处理
舍入，截尾
➢ 可采用的运算方式 如乘除法中的溢出问题
➢ 系统结构等 如滤波器的结构问题，采用级联结构
5
8.1 引言
▪ 研究有限字长效应的意义：
➢ ⑴ 字长一定，分析误差，获得处理可信度信 息；
➢ ⑵ 字长一定，分析误差，选用合适的系统结 构和运算方式；
8.1 引言
▪ 有限字长效应的概念 所有的数字软硬件处理、参与计算的参
数以及输入、输出信号都是存储在有限字 长的存储单元中的，也就是说参与数字处 理的所有参量都是有限字长的。
因此，相对于理论情况，数字信号处理 都只能是有限精度的，都是有误差的。
这就是DSP中的有限字长效应。
1
8.1 引言
▪ 有限字长
➢ ⑴ A/D变换中的量化效应； ➢ ⑵ 诸如数字滤波器等数字处理系统中系数等
用有限位二进制数表示时产生的量化效应； ➢ ⑶ 在DSP处理中，如加、乘运算，为限制位数
而进行的尾数处理(如截断和舍入)，为防止溢 出而压缩信号电平的有限字长效应等；
有限字长效应数字信号处理课件
详细描述
在数字信号处理中，许多算法涉及到大量的 数值计算和数据运算，这些运算的精度和稳 定性对算法的结果产生重要影响。有限字长 效应可能会影响算法的稳定性，导致算法性 能下降或结果不准确。因此，在数字信号处 理中需要充分考虑有限字长效应对算法稳定 性的影响。
04
有限字长效应的优化方法
动态范围压缩技术
有限字长效应数字信号处理 课件
目录
• 有限字长效应概述 • 有限字长效应在数字信号处理中的应用 • 有限字长效应对数字信号处理的影响 • 有限字长效应的优化方法 • 有限字长效应的未来研究方向
01
有限字长效应概述
定义与特性
定义
有限字长效应是指由于数字信号处理 过程中量化误差、截断误差等导致的 信号失真现象。
更精确的量化技术
总结词
量化是数字信号处理中的重要环节，精确的量化能够更 好地保留信号信息，提高处理效果。未来需要研究更精 确的量化技术。
详细描述
通过改进量化方法和优化量化参数，可以减小量化误差 ，提高数字信号处理的精度和效果。此外，还可以结合 机器学习和人工智能等技术，实现自适应量化，进一步 提高处理效果。
05
有限字长效应的未来研究方向
更高效的算法设计
要点一
总结词
随着数字信号处理技术的发展，对算法效率的要求越来越 高。为了提高算法的执行效率，需要研究更高效的算法设 计方法。
要点二
详细描述
通过优化算法结构、减少冗余计算和采用并行处理等技术 ，可以显著提高数字信号处理算法的执行效率，从而缩短 处理时间，提高实时性能。
更深入的理论研究
总结词
数字信号处理是一门理论和实践并重的学科，理论研 究是推动学科发展的重要驱动力。未来需要更深入地 研究有限字长效应的理论基础。
数字信号处理(英文版)9-有限字长效应分析
§9.1 Quantization Process and Error
• For example in fixed-point arithmetic, product of two b-bit numbers is 2b bits long, which has to be quantized to b bits to fit the prescribed wordlength of the registers • In fixed-point arithmetic, addition operation can result in a sum exceeding the register wordlength, causing an overflow • In floating-point arithmetic, there is no overflow, but results of both addition and multiplication may have to be quantized
Introduction
• These nonlinear equations, in principle, are almost impossible to analyze and deal with exactly • However, if the quantization amounts are small compared to the values of signal variables and filter parameters, a simpler approximate theory based on a statistical model can be applied
• Due to product quantization, the actual output of the multiplier of the implemented filter is
9数字信号处理中的有限字长效应
量化误差
(1 2b ) x(n) (1 2b )
2
2
e(n) Q[x(n)] x(n) x (n) x(n)
24
9.3 A/D变换器中的量化效应
Ａ／Ｄ变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表 示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：
2
eR
(n)
2
,
2b
对于补码截尾处理，Ａ／Ｄ变换器的量化误差为：
x(n) Axa (t) | t nT Axa (nT )
23
9.3 A/D变换器中的量化效应
设量化器输出抽样值表示成(b+1)位的补码定点小
数，二进制小数点后为b位．输入到量化器的精确抽样值
x(n)要舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样 值 x (n) ，量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：
0 eT , x 0
17
（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按2b
的间距被量化，即两个数间最小非零差是Δ，舍入是选择靠得
最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、
补码、反码，误差总是在 eR表示舍入误差，则：
之 间 /。2 QR[·]表示舍入处理，
eR QR[x] x
x ai 2i i 1
用Q[·]表示量化处理，加下标T后，表示截尾量化处理，有：
b
QT [x] ai 2i i 1
若以eT表示截尾误差，则有：
b1
eT QT [x] x ai 2i 0 i b 1
当被弃位为1时，最大截尾误差：
b1
eT max ai 2i (2b 2b1 ) 0 i b 1
me h(m) 0 m0
2 f
2019-北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-dsp02-离散时间系统和离散信号的变换-PPT文档资料-文档资料
北 京
过取样（Oversampling）
邮 电 大
过取样就是用远高于奈奎斯特频率的频率去采样，K×fs/2 好处：
学
简化了抗混叠滤波器设计；
信 息 与
过采样、噪声成形（Noise Shaping） 、数字滤波和抽取（丢点 Decimator）是 ADC 降低噪声，并产生高分辨率输出的重要方法。
11
2. 1.1 取样和取样定理：频域分析
北
京 邮 电 大
p (t)1ejn st T n
且 ej st 2( s)
学
信
息 与 通 信
P()2Tn (ns)
其中
2 s T
工 程 学 院
X ˆa()21Xa()P()T 1Xa()n (ns)
北
京 邮
取样函数定义为:
电 大 学 信 息
p(t)1com b(t)(tnT)
T
T n ------ T ：取样间隔
与 通 信
则：
xˆa(t) xa(t)p(t) xa(t)(t nT)
工
n
程
学 院
xa(nT)(t nT)
多
n
媒
体 中 心 门 爱
若 xa(t) 是一带限函数
邮 电 大 学 信 息 与
Xa()
Xa(),
0,
s
2
s
2
通 信
只要取样频率足够高，当满足以下条件时
工 程 学 院
s
max 2
---------（奈奎斯特定理）
多
媒 体 中 心
七、量化误差
量化误差及运算中的舍入误差是数字信号处理中的特殊 现象。尽管使用高精度的A/D转换器可以大大减轻这些误差 及其影响，但掌握这些误差的特性，了解它们对数字系统性 能的影响---有限字长效应，对数字信号处理的工作者来说 还是很有必要的。当量化间隔与信号值和滤波器参数相比很 小时，可用基于统计模型的简单近似理论来分析和处理。
k 0 m0
假定 e(n) 为白噪声序列，则有
2 v
q2 12
n 0
h( n)
2
结论：信号的量化误差通过LSI系统后，输出的 方差依然和字长有关，同时，也和系统的能量有关。 对给定的字长， q2 12 始终为一常数，由此可定 义归一化的输出量化噪声的方差
v2,n
v2 2 2 h( n) e n 0
令：
H1 ( z ) 0.4 /(1 0.9 z 1) H 2 ( z ) 1/(1 0.8 z 1)
H1 ( z ) 的输入是x(n)，输出是w(n) H 2 ( z ) 的输入是w(n)，输出是y(n)
两个一阶系统对应的差分方程分别是： w(n)=0.9w(n-1)+0.4x(n) y(n)=0.8y(n-1)+w(n) ……………………a ……………………b
e x (n) x(n)
R R
( b 1) 2 b 1
i b 2Fra bibliotek i 2 i ,
i 0,1
若舍入误差 eR 也是均匀分布的随机变量，与信号不相关 若 b 1 1, b 2 ... 0
则 eR q / 2 是舍入误差的正的最大值 若 b 1 0, b 2 ... 1 则 eR 接近舍入误差的最小值 q / 2 若 b 1, b 2, ..., 有0有1
k 0 m0
假定 e(n) 为白噪声序列，则有
2 v
q2 12
n 0
h( n)
2
结论：信号的量化误差通过LSI系统后，输出的 方差依然和字长有关，同时，也和系统的能量有关。 对给定的字长， q2 12 始终为一常数，由此可定 义归一化的输出量化噪声的方差
v2,n
v2 2 2 h( n) e n 0
令：
H1 ( z ) 0.4 /(1 0.9 z 1) H 2 ( z ) 1/(1 0.8 z 1)
H1 ( z ) 的输入是x(n)，输出是w(n) H 2 ( z ) 的输入是w(n)，输出是y(n)
两个一阶系统对应的差分方程分别是： w(n)=0.9w(n-1)+0.4x(n) y(n)=0.8y(n-1)+w(n) ……………………a ……………………b
e x (n) x(n)
R R
( b 1) 2 b 1
i b 2Fra bibliotek i 2 i ,
i 0,1
若舍入误差 eR 也是均匀分布的随机变量，与信号不相关 若 b 1 1, b 2 ... 0
则 eR q / 2 是舍入误差的正的最大值 若 b 1 0, b 2 ... 1 则 eR 接近舍入误差的最小值 q / 2 若 b 1, b 2, ..., 有0有1
9第九章数字信号处理中的有限字长效应
z1 z2 0.863
两极点对a2变化的灵敏度为
z1 1 1 3.3333e j90 a2 z1 z2 j0.3 z2 1 1 3.3333e j90 a2 z2 z1 j0.3
可以看出a2对两极点的大小影响是相同的。只考虑大 小时用绝对值表示，有
z2
z2 a2
a2
因此
a2
z2 z2 / a2
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生 等幅序列形式的极限环震荡。
总结
由于存储数字的位数总是有限的，所以数字信 号处理不可避免地出现有限字长效应。
有限字长效应引入的误差：
1. 输入信号的量化误差 2. 系数的量化误差 3. 运算过程中的运算误差。
请通过实验深入领会有限字长效应引入的误差。
0.0373 z1 0.745
z
2
1
0.0373 a1z 1 a2
z
2
利用a2变化造成的极点灵敏度，为保持极点在其正常 值的0.5%内变化，试确定所需要的最小字长。
解： 令H(z)的分母为零，11.7z1 0.745z2 0
求得极点为 z1 0.85 j0.15, z2 0.85 j0.15
IIR DF 的极限环振荡
由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变 的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
产生极限环震荡的原因 量化使下式成立
y[k] y[k 1] x[k]
Q[ y[k 1]] y[k 1] ( 0取, 0取)
即系统的差分方程变为
y[k] x[k] y[k 1]
2.有限字长效应
在量化和运算过程中，由于有限字长必然产 生误差。
这些误差给数字信号处理的实现精度 和滤波器稳定性带来不良影响，称为有限字
两极点对a2变化的灵敏度为
z1 1 1 3.3333e j90 a2 z1 z2 j0.3 z2 1 1 3.3333e j90 a2 z2 z1 j0.3
可以看出a2对两极点的大小影响是相同的。只考虑大 小时用绝对值表示，有
z2
z2 a2
a2
因此
a2
z2 z2 / a2
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生 等幅序列形式的极限环震荡。
总结
由于存储数字的位数总是有限的，所以数字信 号处理不可避免地出现有限字长效应。
有限字长效应引入的误差：
1. 输入信号的量化误差 2. 系数的量化误差 3. 运算过程中的运算误差。
请通过实验深入领会有限字长效应引入的误差。
0.0373 z1 0.745
z
2
1
0.0373 a1z 1 a2
z
2
利用a2变化造成的极点灵敏度，为保持极点在其正常 值的0.5%内变化，试确定所需要的最小字长。
解： 令H(z)的分母为零，11.7z1 0.745z2 0
求得极点为 z1 0.85 j0.15, z2 0.85 j0.15
IIR DF 的极限环振荡
由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变 的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
产生极限环震荡的原因 量化使下式成立
y[k] y[k 1] x[k]
Q[ y[k 1]] y[k 1] ( 0取, 0取)
即系统的差分方程变为
y[k] x[k] y[k 1]
2.有限字长效应
在量化和运算过程中，由于有限字长必然产 生误差。
这些误差给数字信号处理的实现精度 和滤波器稳定性带来不良影响，称为有限字
数字信号处理 第九章
数的正负，数的本身只有小数部分，它称为“尾数”。
定点制的特点：
① 大数的表示
比例因子归一化
② 加法运算会产生溢出: 0.1001+0.1101=1.0110，溢出 ③ 乘法运算字长会加倍； ④ 尾数处理：舍入法和截尾法； 舍入法：将尾数第 b+1位，逢1进位，逢0舍去 如: x(nT)=0.110101101，留取5位(b=5)得：Q[x(n)]=0.11011 截尾法：将尾数的第 b+1位起全部舍去 如: x(nT)=0.110101101，留取5位(b=5)得：Q[x(n)]=0.11010 使用不同的尾数处理方法，量化误差是不同的。
影响极点偏移的因素： (1) 极点偏移与系数量化误差的大小有关：
增加寄存器长度 (b) 减小极点偏移 (2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关： 特别是窄带滤波器一般极点会靠的很近，引起较大的极点偏移。 (3) 极点偏移与滤波器的阶数 N 有关：
阶数越高，系数的量化效应影响越大，极点偏移就越大。
所以二阶以上的滤波器最好不要用直接型结构， 而用一阶或二阶的基本网络进行级联或并联实现。
通用硬件实现：
通常人们希望数字信号处理器的通用性更强些，对各 种不同的信号处理任务，只要配备相应的软件和外围设备 都可实现。 数字信号处理器（DSP）就是满足这种要求的通用单 片微处理器，它集数字计算机的通用性和专用数字信号处 理器件的高速度于一身，大大缩短了信号处理系统硬件的
研制周期，降低了成本，提高了速度。
两个二阶网络的级联结构
2、考虑网络结构的软件实现 例2：如考虑网络结构，将信号流图的节点进行排序，把延时
支路输出节点以及网络输入节点排序k=0，网络中其它可以由
k=0节点变量计算出的节点排序k=1，然后由k=0、 k=1可以计
数字信号处理9
6
9.1.1 有限字长效应
对于一个线性系统，有限字长效应造成数字信号处理输 出的误差表现为： （一）如果被处理的是模拟信号,则需经过模/数转换器变成 某一种编码方式的二进制数序列。 取样和量化是模/数转换器的两个主要过程。 量化过程可以模型化为取样序列叠加上量化噪声，从而 得到量化信号。对于一个线性系统，量化后的信号经滤波后 得到的输出信号y(n)为两部分之和，一部分是输入信号x(n) 通过滤波器产生的输出:y(n)= x(n) *h(n),另一部分是量化 噪声e(n)通过滤波器产生的输出:e0=e(n)*h(n),这里h(n) 为是滤波器的冲激响应。即，输入信号的量化在滤波器输出 端引起了噪声，这个噪声的大小与输入信号量化时的字长有 关系。
8
9.1.1 有限字长效应
（三）采用“截尾”或“舍入”的处理方法将运算结果依据 寄存器字长的大小进行处理，这会引入截尾误差或舍入误差。 有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关： ①量化方式是截尾还是舍入； ②负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示； ③算术运算是用定点运算还是用浮点运算； ④采用什么类型的系统结构 (例如，对于数字滤波器来说， 是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结 构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。
20
9.1.3 A/D变换器中的量化效应
一般A/D变换器采用定点制，尾数采用舍入 法。若共有b+1位，符号占1位，尾数为b位， 量化步阶为q=2-b。为了简化分析，对该模 型做如下假设： （1）e(n)是白噪声序列； （2）e(n)与x(n)不相关； （3）e(n)在自己的取值范围 内呈均匀分布。
16
9.1.2 信号的量化误差
9.1.1 有限字长效应
对于一个线性系统，有限字长效应造成数字信号处理输 出的误差表现为： （一）如果被处理的是模拟信号,则需经过模/数转换器变成 某一种编码方式的二进制数序列。 取样和量化是模/数转换器的两个主要过程。 量化过程可以模型化为取样序列叠加上量化噪声，从而 得到量化信号。对于一个线性系统，量化后的信号经滤波后 得到的输出信号y(n)为两部分之和，一部分是输入信号x(n) 通过滤波器产生的输出:y(n)= x(n) *h(n),另一部分是量化 噪声e(n)通过滤波器产生的输出:e0=e(n)*h(n),这里h(n) 为是滤波器的冲激响应。即，输入信号的量化在滤波器输出 端引起了噪声，这个噪声的大小与输入信号量化时的字长有 关系。
8
9.1.1 有限字长效应
（三）采用“截尾”或“舍入”的处理方法将运算结果依据 寄存器字长的大小进行处理，这会引入截尾误差或舍入误差。 有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关： ①量化方式是截尾还是舍入； ②负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示； ③算术运算是用定点运算还是用浮点运算； ④采用什么类型的系统结构 (例如，对于数字滤波器来说， 是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结 构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。
20
9.1.3 A/D变换器中的量化效应
一般A/D变换器采用定点制，尾数采用舍入 法。若共有b+1位，符号占1位，尾数为b位， 量化步阶为q=2-b。为了简化分析，对该模 型做如下假设： （1）e(n)是白噪声序列； （2）e(n)与x(n)不相关； （3）e(n)在自己的取值范围 内呈均匀分布。
16
9.1.2 信号的量化误差
有限字长效应
分析：
y[k] y[k 1] x[k]
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k] x[k] Q{ y[k 1]}
设： y[1]=0
b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
一阶IIR DF输出
y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111
k 1
r 1
因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差
1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。
二、IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 aˆk ak ak , k 1, N
量化后极点位置
N
1 ak z k ak z k 0
4q
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差
截尾误差
ET Q[x] x
正数和补码负数截尾误差范围为
q ET 0
q 2b
原码负数和反码负数截尾误差范围为
舍入误差范围
0 ET q q 2 ER q 2
滤波器输入信号量化效应
▪ 问题的提出 ▪ 量化误差统计假设 ▪ 信噪比和字长的关系
1q
e[k ]
q 2 0
q2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
信号x[k]的平均功率为
2 x
量化误差方差
σe2
E
e2[k]
q2 12
输入信号的信噪比S/N为
S N
10
log
10
2 x 2 e
6.02b
10.79
10
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说明： *数字处理系统中数据的表示：定点制，浮点制。定点制便于硬件实现；
浮点制主要用于软件实现。 *定点制精度有限，需要对数字信号处理过程进行特别处理（有限字长效
应）。浮点制处理精度高，基本可以看成无限精度（特别是在32bit ，双精度 情况下），可以不考虑有限字长效应。所以本章讨论的有限字长效应只针对 定点制。
2 f
2 e
h2 (n)
n0
2 e
2
2
H (e j ) d
类似的输出信号特性：
2 y
2 x
h2 (n)
n0
所以可得系统输出信噪比： SNRo
2 y
2 f
2 x
h2 (n)
n0
2 e
h2 (n)
2 x 2 e
SNRi
n0
结论：量化信号通过 LTI 系统后，信号的信噪比不变。
6
8.3 系数乘积运算的有限字长效应
定点数据的乘积运算数学描述：
yˆ(n) Q[ax(n)] ax(n) ey (n) y(n) ey (n) ， 其中 yˆ(n) 为有限字长的数字信号（有限精度）。 根据定点数的运算规则，若 x(n) 为 Lx 位的定点数，a 为 La 位定点数，则 乘积 ax(n) 应为 Lx La 位数据。假如结果存储器长度小于 Lx La ，就需要 对结果进行截尾处理。这样就引入误差 ey (n) 。与量化误差类似 ey (n) 也是具
噪音。其频谱具有非常宽的频带，所以不容易滤出。可以通过提高量化精度，
减小 q 来减小 A/D 变换的量化误差。
（2） 计算系数的量化误差：滤波器和其他运算中的系数（常量）的表示有一定 的误差。该误差与机器的字长有关。这一误差会改变系统特性，甚至可能引
起系统不稳定。如 IIR 波器中系数误差可能使靠近单位圆的极点变化到单位
有白噪声特性的随机信号。
有限字长定点乘积运算过程：
x(n) ax(n)
y(n)
yˆ(n)
ey (n)
7
有限字长误差 ey (n) 的统计特性：
假定乘积结果为 L 位定长数据，（采取舍入截尾处理）。
均值 mey
0
，方差
2 ey
q2 12
(2L )2 12
。
对于 LTI 系统如果有 K 次乘积运算，每个乘积运算产生一个独立的噪声
0
，方差
2 e
q2 12
。
量化截尾处理：均值
me
q 2
，方差
2 e
q2 12
其中 q 2L 为 A/D 变换器的量化间距， L 为 A/D 字长 L 位。
量化噪声的信噪比（信号和噪声功率比）为：
SNR
10
log10
(
2 x 2 e
)
10
log10
(
q2
2 x
12
)
10
信号： ei (n) ， i 1 ~ K 。
则它们在输出信号中的噪声信号为：
K
K
f (n) fi (n) ei (n) hi (n) ，其中 hi (n) 是从误差源 ei (n) 输入点结论：
LTI 系统的有限字长效应（有限字长误差在输出信号中的影响）与 hi (n) 有
*A/D变换器一般都是输出定点编码数据（如定点补码），相当于对理想数 据进行截尾和舍入后的值。所以和实际采样值有一定的误差，并且会产生一 种量化噪声。是数字信号系统的一种主要误差。
3
8.2 A/D变换的量化效应 8.2.1 A/D变换的量化效应分析
1、A/D 变换过程数学描述： A/D 变换用于对采样信号进行数字化。其数学描述为：
xˆ(n) Q[xa (nT )] x(n) e(n) ， 其中 xˆ(n) 为量化后的数字信号（有限精度）， x(n) 为采样得到的离散信号（无
限精度）， e(n) 为量化误差信号（无限精度）。
xa (t ) 采样
x(n)
xˆ(n)
e(n)
2、量化误差信号 e(n) 的特性：（输入信号 xa (t) 是一个非等幅值信号） * e(n) 是一个平稳随机序列（即 e(n) 的统计特性不随时间变化）。
5
8.2.2 量化噪声通过线性时不变（LTI）系统
量化信号通过 LTI 系统：
yˆ(n) xˆ(n) h(n) [x(n) e(n)] h(n) y(n) f (n)
其中， f (n) e(n) h(n) 为量化噪声输出。
根据随机信号分析方法，量化噪声输出信号的统计特性参数为：
关。即与系统实现结构有关。
8
8.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
圆上或圆外，引起系统不稳定。所以在系统设计过程中，就应考虑允许的系
数误差。
2
（3） 中间计算结果的有限字长误差：由于机器的数据都是有限字长表示在迭代
计算过程中，该误差会积累，使系统输出逐渐偏离正常范围。特别是定点制运
算时误差影响更明显。 在系统中尽量采用较高精度的浮点数表示；改变计算
过程减小误差积累；计算过程中进行误差修正等都是常用的方法。
数字信号处理
第9章
数字信号处理多媒体教学系统 版权所有：yuning
数字信号处理2003。中3 第2版的有限字长效应
1
8.1 引 言 在数字系统的数值化运算中，主要有三种计算和量化误差： A/D变换的量化误差、计算系数的量化误差和中间结果的有限字长效应。
（1） A/D 变换的量化误差：
相当于在信号中加入了均值为 0，方差为 q2 12 （ q 为量化等级）的量化
* e(n) 与输入信号 xa (t) 不相关（即 e(n) 的统计特性不随 xa (t) 变化）。 *不同时刻 n 之间的值 e(n) 不相关。 * e(n) 具有等概率密度分布特性。
4
3、根据 e(n) 的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号，其特性可以
用均值和方差来描述：
量化舍入处理：均值 me
log10
(12
2
2
L
2 x
)
6.02
L
10
.79
10
log10
(
2 x
)
dB
可知，A/D 量化字长每增加 1 位（L+1），信噪比可提高约 6dB 。
A/D 量化的字长越长，则量化噪声越小。但 A/D 器件的量化的字长受 其集成电路特性限制。一般字长越长，器件工作速度越慢。目前的 A/D 器件，在音频范围内，字长在 10~16bit。在视频范围内，字长在 6~12bit。
浮点制主要用于软件实现。 *定点制精度有限，需要对数字信号处理过程进行特别处理（有限字长效
应）。浮点制处理精度高，基本可以看成无限精度（特别是在32bit ，双精度 情况下），可以不考虑有限字长效应。所以本章讨论的有限字长效应只针对 定点制。
2 f
2 e
h2 (n)
n0
2 e
2
2
H (e j ) d
类似的输出信号特性：
2 y
2 x
h2 (n)
n0
所以可得系统输出信噪比： SNRo
2 y
2 f
2 x
h2 (n)
n0
2 e
h2 (n)
2 x 2 e
SNRi
n0
结论：量化信号通过 LTI 系统后，信号的信噪比不变。
6
8.3 系数乘积运算的有限字长效应
定点数据的乘积运算数学描述：
yˆ(n) Q[ax(n)] ax(n) ey (n) y(n) ey (n) ， 其中 yˆ(n) 为有限字长的数字信号（有限精度）。 根据定点数的运算规则，若 x(n) 为 Lx 位的定点数，a 为 La 位定点数，则 乘积 ax(n) 应为 Lx La 位数据。假如结果存储器长度小于 Lx La ，就需要 对结果进行截尾处理。这样就引入误差 ey (n) 。与量化误差类似 ey (n) 也是具
噪音。其频谱具有非常宽的频带，所以不容易滤出。可以通过提高量化精度，
减小 q 来减小 A/D 变换的量化误差。
（2） 计算系数的量化误差：滤波器和其他运算中的系数（常量）的表示有一定 的误差。该误差与机器的字长有关。这一误差会改变系统特性，甚至可能引
起系统不稳定。如 IIR 波器中系数误差可能使靠近单位圆的极点变化到单位
有白噪声特性的随机信号。
有限字长定点乘积运算过程：
x(n) ax(n)
y(n)
yˆ(n)
ey (n)
7
有限字长误差 ey (n) 的统计特性：
假定乘积结果为 L 位定长数据，（采取舍入截尾处理）。
均值 mey
0
，方差
2 ey
q2 12
(2L )2 12
。
对于 LTI 系统如果有 K 次乘积运算，每个乘积运算产生一个独立的噪声
0
，方差
2 e
q2 12
。
量化截尾处理：均值
me
q 2
，方差
2 e
q2 12
其中 q 2L 为 A/D 变换器的量化间距， L 为 A/D 字长 L 位。
量化噪声的信噪比（信号和噪声功率比）为：
SNR
10
log10
(
2 x 2 e
)
10
log10
(
q2
2 x
12
)
10
信号： ei (n) ， i 1 ~ K 。
则它们在输出信号中的噪声信号为：
K
K
f (n) fi (n) ei (n) hi (n) ，其中 hi (n) 是从误差源 ei (n) 输入点结论：
LTI 系统的有限字长效应（有限字长误差在输出信号中的影响）与 hi (n) 有
*A/D变换器一般都是输出定点编码数据（如定点补码），相当于对理想数 据进行截尾和舍入后的值。所以和实际采样值有一定的误差，并且会产生一 种量化噪声。是数字信号系统的一种主要误差。
3
8.2 A/D变换的量化效应 8.2.1 A/D变换的量化效应分析
1、A/D 变换过程数学描述： A/D 变换用于对采样信号进行数字化。其数学描述为：
xˆ(n) Q[xa (nT )] x(n) e(n) ， 其中 xˆ(n) 为量化后的数字信号（有限精度）， x(n) 为采样得到的离散信号（无
限精度）， e(n) 为量化误差信号（无限精度）。
xa (t ) 采样
x(n)
xˆ(n)
e(n)
2、量化误差信号 e(n) 的特性：（输入信号 xa (t) 是一个非等幅值信号） * e(n) 是一个平稳随机序列（即 e(n) 的统计特性不随时间变化）。
5
8.2.2 量化噪声通过线性时不变（LTI）系统
量化信号通过 LTI 系统：
yˆ(n) xˆ(n) h(n) [x(n) e(n)] h(n) y(n) f (n)
其中， f (n) e(n) h(n) 为量化噪声输出。
根据随机信号分析方法，量化噪声输出信号的统计特性参数为：
关。即与系统实现结构有关。
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8.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
圆上或圆外，引起系统不稳定。所以在系统设计过程中，就应考虑允许的系
数误差。
2
（3） 中间计算结果的有限字长误差：由于机器的数据都是有限字长表示在迭代
计算过程中，该误差会积累，使系统输出逐渐偏离正常范围。特别是定点制运
算时误差影响更明显。 在系统中尽量采用较高精度的浮点数表示；改变计算
过程减小误差积累；计算过程中进行误差修正等都是常用的方法。
数字信号处理
第9章
数字信号处理多媒体教学系统 版权所有：yuning
数字信号处理2003。中3 第2版的有限字长效应
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8.1 引 言 在数字系统的数值化运算中，主要有三种计算和量化误差： A/D变换的量化误差、计算系数的量化误差和中间结果的有限字长效应。
（1） A/D 变换的量化误差：
相当于在信号中加入了均值为 0，方差为 q2 12 （ q 为量化等级）的量化
* e(n) 与输入信号 xa (t) 不相关（即 e(n) 的统计特性不随 xa (t) 变化）。 *不同时刻 n 之间的值 e(n) 不相关。 * e(n) 具有等概率密度分布特性。
4
3、根据 e(n) 的统计特性可知量化误差为一白噪声随机信号，其特性可以
用均值和方差来描述：
量化舍入处理：均值 me
log10
(12
2
2
L
2 x
)
6.02
L
10
.79
10
log10
(
2 x
)
dB
可知，A/D 量化字长每增加 1 位（L+1），信噪比可提高约 6dB 。
A/D 量化的字长越长，则量化噪声越小。但 A/D 器件的量化的字长受 其集成电路特性限制。一般字长越长，器件工作速度越慢。目前的 A/D 器件，在音频范围内，字长在 10~16bit。在视频范围内，字长在 6~12bit。