运筹学第二章电子讲稿

目标函数变量的系数 约束条件右端项
例
max Ζ=2x1+x2+3x3+x4 s.t. x1+x2+x3+x4≤5 2x1-x2+3x3 =-4 x1 -x3+x4 ≥1 x1≥0,x2,x4无约束,x3 ≤0 min ω=5y1+4y2-y3 s.t. y1-2y2-y3 ≥2 y1+y2 =1 y1+3y2-y3 ≤3 y1 +y3 =1
θ=min j/alj alj<0 = k/alk
xk为换入变量。(保持对偶问题的可行性)
(4)以alk为主元素，按单纯形法在表中进 行迭代运算，得新的表.转(1)
例. min Ζ=3x1+4x2+5x3 s.t. x1+2x2+3x3≥5 2x1+2x2+x3≥6 x1,x2,x3≥0 [解]引进松驰变量，问题化为 min Ζ=3x1+4x2+5x3 s.t. x1+2x2+3x3-x4 =5 2x1+2x2+x3 -x5=6 x1,x2,x3,x4,x5≥0
(D) min ω=Yb YA≥C Y≥0
max min x1 x2 … xn y1 a11 a12 … a1n b1 y2 a21 a22 … a2n b2 ┆ ┆ ┆ ┆ ≤ ┆ ym am1 am2 … amn bm
c1 c2 … cn
例 写出下面问题的对偶问题 max Ζ=8x1+9x2 s.t. 4x1+x2≤5 2x1+3x2≤6 x1,x2≥0 对偶问题是： min ω=5y1+6y2 s.t. 4y1+2y2≥8 y1+3y2≥9 y1,y2≥0
XB=B-1b-B-1NXN
Ζ=CB(B-1b-B-1NXN)+CNXN
=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN
单纯形表 XB B-1b -CBB-1b I 0 XN B-1N CN-CBB-1N XS B-1 -CBB-1
§3.对偶问题的提出
原问题：有n种食物，每种食物含有m种 营养成分，第j种食物每个单位含第i种营养 成分为aij单位。现知每人每天需要第i种营养 成分为bi单位，第j种食物的单价为cj。试问 一个消费者如何选购食物，才能使得既满足 需要，又花费最小？
XB x4 x5 x4 x1 x2 x1
b –5 –6 –2 3 2 1
x1 x2 x3 –1 –2 –3 –2 –2 –1 –3 –4 –5 0 –1 –5/2 1 1 1/2 0 –1 -7/2 0 1 5/2 1 0 –2 0 0 –1
x4 1 0 0 1 0 0 -1 1 –1
x5 0 1 0 –1/2 –1/2 –3/2 1/2 –1 –1
^
^
5.对偶定理：若原问题有最优解，那么 对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。 6.互补松驰性(松紧定理) ：若X，Ŷ分别 ^ 是(P),(D)问题的可行解，那么X,Ŷ为最优解的 充要条件是： ^ ŶXS=0,YSX=0 ^ (即若 AiX<bi => Ŷi=0 ^ AiX=bi <= Ŷi>0 ^ ŶPj=Cj <= Xj>0 ^ ŶPj>Cj =>Xj=0)
7.1资源数量变化的分析 资源数量变化是指系数br发生变化，其 它参数不变。 原最优解为 b*=B-1b br的变化仅引起最优解的变化
XB’=B-1b’=B-1(b+Δ b) =B-1
b1 ┆ br+Δ br ┆ bm b1 ┆ br +B-1 ┆ bm 0 ┆ Δ br ┆ 0 0 ┆ Δ br ┆ 0
令Y=Y’-Y”，则上述问题变为
min ω=Yb s.t. YA≥C Y没有限制 一般，有下列结论
原问题（对偶问题） 目标函数 max z n个 变 ≥0 量 ≤0 无约束 约 m个 束 ≤ 条 ≥ 件 = 约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（原问题） 目标函数 min ω 约 n个 束 ≥ 条 ≤ 件 = m个 变 ≥0 ≤0 量 无约束
1 3/2 1 0 1 -1/2 2 –1 0 1 –1 1 -10 –2 0 0 –1 -1 由原问题的最终表可知， y1=1,y2=1(最 优解)， ys1=2
§5.对偶问题的经济解释——影子价格 设B是最优基， 则目标函数的最优值是 Ζ* =CBB-1b=Y*b
z * Y b
*
yi*的经济意义是：在其它条件不变的情 况下，单位资源变化所引起的目标函数最优 值的变化。
对于标准形式的线性规划问题 max Ζ=CX s.t. AX=b X≥0 其对偶问题是
min ω=Yb s.t. YA ≥ C Y无非负约束
[证]标准形式的线性规划问题可以写为
max Ζ=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0 其对偶问题为
min ω=Y’b-Y”b s.t. Y’A-Y”A≥C Y’,Y”≥0
y2
2
1
. .
2 y1
(1.2,0.2) 1
用图解法得最优解 y1=1.2, y2=0.2 根据松紧定理，原问题的最优解必满足 ^ ŶXS=0 及YSX=0
x5 (y1,y2) x6 =0 x1 及 (y3,y4,y5,y6) x2 =0 x3 x4
将y1=1.2,y2=0.2代入对偶问题的约束条件 ，得 y3≠0,y4≠0,所以x1=x2=0 又因y1>0,y2>0。所以x5=x6=0，即原问题 为等式约束
例 某工厂以一种贵重金属为原料生产两种 产品，两种产品都必须经过粗加工和精加工 两道工序，生产每件A产品需粗加工1小时， 精加工2小时，需贵金属3克，出厂价60元， 生产B产品需粗加工7小时，精加工4小时， 需贵金属2克，出厂价70元。在一个生产周期 中，按该厂的设备和人员，粗加工能力为140， 000小时，精加工能力为100，000小时，由 计划渠道供应的贵金属只有120公斤。每个粗 加工工时的成本计为1.5元，精加工工时为 2.5元，每克贵金属成本为10元。因本厂的工 人工资和设备折旧在同一个生产周期内是固
YS1为对应原问题中基变量XB的剩余变量， YS2是对应问题中非基变量XN的剩余变量。 设B是原问题的一个可行基，则A=(B,N) max Ζ=CBXB+CNXN BXB+NXN+XS=b XB,XN,XS≥0 相应地对偶问题可表示为 min ω=Yb YB-YS1=CB YN-YS2=CN Y,YS1,YS2≥0
=B-1
=B-1b+B-1
若要所得的基还是最优基，必须XB’≥0，而 其若大于零，则得到的解必为最优解。
要XB’≥0,即要b*+B-1
0 ┆ B-1 Δ br ┆ 0 a1rΔ br ┆ = airΔ br ┆ amrΔ br
原问题(P)
max Ζ=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+…a2nxn≤b2 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ am1x1+am2x2+…amnxn≤bm xj≥0,j=1,2,…,n
(P) max Ζ=CX
AX≤b X≥0 对偶问题(D) min ω=b1y1+b2y2+…+bmym s.t. a11y1+a21y2+…+am1ym≥c1 a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2 ┆┆┆┆┆ a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cn yi≥0,i=1,2,…,m
由松驰变量的检验数可知：粗加工能力的影 子价格为0；精加工能力的影子价格为1.125， 单位是万元/千小时；贵金属的影子价格为 0.25万元/公斤。
§6.对偶单纯形法 对偶单纯形法的思想是：使对偶问题保 持可行， 而使原问题从非可行的基本解，逐 步达到基本可行解，这样就得到了两个问题 的最优解。
问题归结为 min CX s.t. AX≥b X≥0
xj—选购第j种食物的数量（单位） 对偶问题：设有一个制造商，要生产 m 种不同的药丸来代替上述 n 种不同的食物。 试问每种药丸的价格如何确定，才能获利最 大？ 设第i种药丸的价格为yi max w=Yb YA≤C Y≥0
§4.线性规划的对偶理论 4.1.原问题与对偶问题的关系
^
例1.求解下列线性规划问题 max Ζ=x1+2x2+3x3+4x4 s.t. x1+2x2+2x3+3x4≤20 2x1+x2+3x3+2x4≤20 xj≥0, j=1,2,3,4 [解]其对偶问题为 min ω=20y1+20y2 s.t. y1+2y2≥1 2y1+y2≥2 2y1+3y2≥3 3y1+2y2≥4 y1,y2≥0
其对偶问题为
y1≥0，y2无约束， y3 ≤0
4.2.对偶问题的基本性质 1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。
2.弱对偶性：若X和Ŷ分别为(P)，(D)的可行 解，则有 ^ Ζ=CX≤Ŷb=ω
3.无界性：若原问题(对偶问题)为无界解， 则其对偶问题(原问题)无可行解。 4.可行解是最优解的性质：若 X, Ŷ Hale Waihona Puke Baidu别是问 ^ ^ 题(P),(D)的可行解。并且CX=Ŷb，则X,Ŷ分 别为(P),(D)的最优解。
令Y=CBB-1，则 YS1=0 -YS2=CN-CBB-1N
例1.max Ζ=x1+4x2+3x3 s.t. 2x1+2x2+x3≤4 x1+2x2+2x3≤6 xj≥0 对偶问题为 min ω=4y1+6y2 s.t. 2y1+y2≥1 2y1+2y2≥4
y1+2y2≥3 y1,y2≥0 初始单纯形表为 4 2 2 1 1 0 6 1 2 2 0 1 0 1 4 3 0 0 对偶问题的基本解为y1=0,y2=0，ys1=-1， ys2=-4，ys3=-3 其最终表为
影子价格：在其它数据不变的条件下， 一个约束右边的项增加一个单位，目标函数
最优值的变化，称为与这个约束相联系的影 子价格。 在完全市场经济的条件下，当某种资源 的市价低于影子价格，企业应买进资源用于 扩大生产；而当某种资源的市价高于影子价 格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉， 因此影子价格有调节市场的作用。
x1=x2=0 x1+2x2+2x3+3x4=20 2x1+x2+3x3+2x4=20 即 x1=x2=0，x3=4,x4=4 ∴原问题的最优解 为(0,0,4,4)T 7.原问题单纯形表的检验数行对应其对 偶问题的一个基解.
其对应关系见表： XB XN 0 CN-CBB-1N YS1 –YS2
XS -CBB-1 -Y
max S1= 3x1+5x2 （S1=S+46） s.t. x1+7x2 140 (粗加工能力约束） 2x1+4x2 100 （精加工能力约束） 3x1+2x2 120 （贵金属用量约束） x1，x2 0 用单纯形法求解可得如下最优表：
XB b x2 7.5 x1 35 x3 52.5 -142.5 x1 0 1 0 0 x2 1 0 0 0 x3 x4 x5 0 0.375 -0.25 0 -0.25 0.5 1 -2.335 1.25 0 -1.125 -0.25
计算步骤：
(1)列出初始单纯形表，检验b列数字， 若其全部非负且检验数j≤0，则已得到最优 解，停止；若b列中至少有一个负分量，且 j≤0,转(2)
(2)按min (B-1b)i (B-1b)i<0 =(B-1b)l确 定换出变量xl； (3)确定换入变量
若xl所在行的各系数alj≥0(j=1,2,…,n),则无 可行解，停止； 若alj<0，则计算
所以最优解为x1=1,x2=2,x3=0，Ζmin=11
§7.灵敏度分析 问题：①当aij,bi,cj中的一个或几个发生变 化时，已求得的线性规划问题的最优解会有 什么变化？②这些系数在什么范围变化时， 线性规划问题的最优解或最优基不变？ 可按下表中的几种情况处理：
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 表中的解仍为最优解 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引入人工变量，编制新的单纯形 表求最优解
的，所以不论产品多少，都以其最大加工能 力的工时计入成本，而贵金属按实际使用量 计入成本。
如设A、B产品分别生产x1和x2千件，则利润 可按下式计算（单位：万元） S=6x1+7x2-[（3x1+2x2）+（141.5+ 102.5)] =3x1+5x2-46 使得毛利最大的生产计划即为如下线性 规划的最优解：