第二章材料中晶体结构资料
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无机材料科学基础___第二章晶体结构
第 2 章结晶结构一、名词解释1．晶体：晶体是内部质点在三维空间内周期性重复排列，具有格子构造的固体2．空间点阵与晶胞：空间点阵是几何点在三维空间内周期性的重复排列晶胞：反应晶体周期性和对称性的最小单元3．配位数与配位多面体：化合物中中心原子周围的配位原子个数成配位关系的原子或离子连线所构成的几何多面体4．离子极化：在离子化合物中，正、负离子的电子云分布在对方离子的电场作用下，发生变形的现象5．同质多晶与类质同晶：同一物质在不同的热力学条件下具有不同的晶体结构化学成分相类似物质的在相同的热力学条件下具有相同的晶体结构6．正尖晶石与反尖晶石：正尖晶石是指2价阳离子全部填充于四面体空隙中，3价阳离子全部填充于八面体空隙中。
反尖晶石是指2价阳离子全部填充于八面体空隙中，3价阳离子一半填充于八面体空隙中，一半填充于四面体空隙。
二、填空与选择1．晶体的基本性质有五种：对称性，异相性，均一性，自限性和稳定性（最小内能性）。
2．空间点阵是由 C 在空间作有规律的重复排列。
（ A 原子 B离子 C几何点 D分子）3．在等大球体的最紧密堆积中有面心立方密堆积和六方密堆积二种排列方式，前者的堆积方式是以（111）面进行堆积，后者的堆积方式是以（001）面进行堆积。
4．如晶体按立方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 4 ，八面体空隙数为 4 ，四面体空隙数为 8 ；如按六方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 6 ，八面体空隙数为6 ，四面体空隙数为 12 ；如按体心立方近似密堆积，单位晶胞中原子的个数为 2 ，八面体空隙数为 12 ，四面体空隙数为 6 。
5．等径球体最紧密堆积的空隙有两种：四面体空隙和八面体空隙。
一个球的周围有 8个四面体空隙、 6 个八面体空隙；n个等径球体做最紧密堆积时可形成 2n 个四面体空隙、 n 个八面体空隙。
不等径球体进行堆积时，大球做最紧密堆积或近似密堆积，小球填充于空隙中。
6．在离子晶体中，配置于正离子周围的负离子数（即负离子配位数），决定于正、负离子半径比（r ＋/r －）。
第二章材料的晶体结构 107页PPT文档
• 晶面间的距离越大，晶面上的原子排列
越密集。
• 同一晶面族的原子排列方式相同，它们
的晶面间的间距也相同。
晶面间距（3）
正交晶系
dhkl
1
h2 a
k b
2
l
2
c
立方晶系
dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
hk a2
节点(原子)数。
2.晶面的原子密度（面 密度） ：该晶面单位
面积上的节点(原子)数。
3.晶带和晶带轴：相交和平行于某一晶向的所有晶面 的组合称为晶带，此直线叫做它们的晶带轴。晶带 用晶带轴的晶向指数表示。
在立方晶系中有：
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
晶带定律的应用（1）
晶格：描述晶体中原子排列规律的空间 格架称之为晶格。
晶胞：空间点阵中能代表 原子排列规律的最小的几 何单元称之为晶胞，是构 成空间点阵的最基本单 元。——能表达晶体结构 的最小重复单位。
换言之：晶胞在三维空 间有规则地重复排列组成 了晶体。
选取原则： 1. 能够充分反映空间点阵的对称性； 2. 相等的棱和角的数目最多； 3. 具有尽可能多的直角； 4. 体积最小。 晶格常数—点阵常数
表示方法：用尖括号<uvw>表示 。 举例：
可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 相互垂直。
试说明一个面心立方等于一个体心四方 结构。
在立方系中绘出｛110｝、｛111｝晶 面族所包括的晶面，及（112）和（12 0） 晶面。
越密集。
• 同一晶面族的原子排列方式相同，它们
的晶面间的间距也相同。
晶面间距（3）
正交晶系
dhkl
1
h2 a
k b
2
l
2
c
立方晶系
dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
hk a2
节点(原子)数。
2.晶面的原子密度（面 密度） ：该晶面单位
面积上的节点(原子)数。
3.晶带和晶带轴：相交和平行于某一晶向的所有晶面 的组合称为晶带，此直线叫做它们的晶带轴。晶带 用晶带轴的晶向指数表示。
在立方晶系中有：
晶面(hkl)和其晶带轴[uvw]的 指数之间满足关系：
晶带定律的应用（1）
晶格：描述晶体中原子排列规律的空间 格架称之为晶格。
晶胞：空间点阵中能代表 原子排列规律的最小的几 何单元称之为晶胞，是构 成空间点阵的最基本单 元。——能表达晶体结构 的最小重复单位。
换言之：晶胞在三维空 间有规则地重复排列组成 了晶体。
选取原则： 1. 能够充分反映空间点阵的对称性； 2. 相等的棱和角的数目最多； 3. 具有尽可能多的直角； 4. 体积最小。 晶格常数—点阵常数
表示方法：用尖括号<uvw>表示 。 举例：
可见任意交换指数的位置和改变符号后的所有结 果都是该族的范围。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 相互垂直。
试说明一个面心立方等于一个体心四方 结构。
在立方系中绘出｛110｝、｛111｝晶 面族所包括的晶面，及（112）和（12 0） 晶面。
第二章晶体结构
为6个晶胞所共有，上下底面中心的原子为2个晶胞所共有，
所以六方柱晶胞所包含的原子数为：
12
1 6
2
1 2
3 6
二、非金属元素单质的晶体结构
1.惰性气体元素的晶体 惰性气体在低温下形成的晶体为A1（面心立方）型 或A3（六方密堆）型结构。由于惰性气体原子外层为满 电子构型，它们之间并不形成化学键，低温时形成的晶 体是靠微弱的没有方向性的范德华力直接凝聚成最紧密 堆积的A1型或A3型分子晶体。
－填充在八个小立方体的体心。
Ca2+的配位数是8，形成立方配位多面体[CaF8]。F－的配位数
是4，形成[FCa4]四面体，F－占据Ca2+离子堆积形成的四面体
空隙的100%。 或F－作简单立方堆积，Ca2+占据立方体空隙的一半。 晶胞分子数为4。 由一套Ca2+离子的面心立方格子和2套F－离子的面心立方格子
金
红
石
0 .4 1 4 ~ 0 .7 3 2
TeO 2 C oF2 SnO 2 O sO 2 VO2 M nO 2
（ T iO 2 ） 型
-方 石 英 型
0 .2 2 5 ~ 0 .4 1 4
S iO 2
1.萤石（CaF2）型结构及反萤石型结构
立方晶系，点群m3m，空间群Fm3m，如图2-10所示。 Ca2+位于立方晶胞的顶点及面心位置，形成面心立方堆积，F
（a）面心立方 （A1型）
（b）体心立方 （A2型）
（c）密排六方 （A3型）
图2-1 常见金属晶体的晶胞结构
面心立方结构
常见面心立方的金属有Au、Ag、Cu、Al、-Fe 等，晶格结构中原子坐标分别为[0,0,0]，[0,1/2,1/2]，
材料科学基础第2章材料中的晶体结构
材料科学基础第2章材料中的晶体结构晶体是由原子、离子或分子按照一定的规则排列而成的固体。
晶体结构是指晶体中原子，离子或分子的排列方式。
晶体结构的特点是重复性和周期性。
晶体结构可以通过晶体的晶胞来描述，晶胞是晶体中最小重复单元，是由若干个原子，离子或分子组成的。
晶体结构的分类可以根据晶体的对称性进行。
常见的晶体结构类型有立方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、三斜晶系、六角晶系和三角晶系。
立方晶系是最常见的晶体结构类型，它具有最高的对称性。
立方晶系包括体心立方晶体、面心立方晶体和简单立方晶体。
体心立方晶体每个晶胞中有一个原子位于立方体的中心，面心立方晶体每个晶胞中有一个原子位于每个立方体的面心，简单立方晶体每个晶胞中只有一个原子。
四方晶系的晶体中，晶胞的底面为矩形，其中一个边与底面垂直。
正交晶系的晶胞基本上和四方晶系相似，但它的底面为正方形。
单斜晶系的晶胞有一个倾斜的边，它是在不同轴上分别有两面成直角。
三斜晶系的晶体是最复杂的结构类型，它的晶胞没有任何对称性。
六角晶系的晶体结构可以看作是体心立方晶体和单斜晶体的组合，晶胞为底面呈六角形的棱柱。
三角晶系的晶体结构最特殊，晶胞为三角形。
晶体结构的研究对于材料科学非常重要。
通过了解晶体结构，我们可以预测和解释材料的物理性质，如硬度、热膨胀系数和电导率等。
晶体结构还对材料的合成和制备起到了指导作用。
例如，通过改变晶体结构，可以改变材料的性质，如增加或减少导电性。
总之，材料中的晶体结构是材料科学基础中的重要内容。
了解晶体结构有助于我们理解材料的性质和行为，并为材料设计和合成提供基础。
晶体结构的研究对于材料科学的发展非常重要，并在材料的合成和制备中起到了指导作用。
材料科学基础 第二章 材料中的晶体结构
f)金红石TiＯ２型
11924C
第三节 离子晶体的结构
2. CsCl晶型 3.闪锌矿(立方ZnS)晶型 4.纤锌矿(六方ZnS)晶型 5.萤石(CaF2)晶型 6.金红石(TiO2)晶型
11924C
第三节 离子晶体的结构
图2-24 Al2O3的晶体结构
11924C
第四节 共价晶体的结构
一、共价晶体的主要特点 二、典型共价晶体的结构 1.金刚石晶型 2. ZnS晶型 3. SiO2晶型
图2-3 晶胞、晶轴和点阵矢量
11924C
第一节 晶体学基础
二、晶系和布拉菲点阵
表2-1 14种布拉菲点阵与七个晶系
11924C
第一节 晶体学基础
三、晶向指数和晶面指数
图2-4 14种布拉菲点阵的晶胞
1.晶向指数
11924C
第一节 晶体学基础
2.晶面指数
图2-5 晶向指数的确定
11924C
第一节 晶体学基础
图2-6 晶面指数的确定
11924C
第一节 晶体学基础
3.六方晶系的晶向指数和晶面指数
图2-7 六方晶系 a)晶面指数 b)晶向指数
11924C
第一节 晶体学基础
4.晶面间距 5.晶带
图2-8 ［012］和［123］晶向的确定
11924C
第一节 晶体学基础
图2-9 (012)和(123)晶面的确定
图2-21 元素的原子半径与原子序数的关系
11924C
第三节 离子晶体的结构
一、离子晶体的主要特点 二、离子半径、配位数和离子的堆积
表2-6 离子半径比、配位数与负离子配位多面体的形状
11924C
第三节 离子晶体的结构
第二章--节晶体结构与常见晶体类型
25
2r-+2r+= a0
2r-=x
2r- x
2r 2r 2x
2r 2r 2x
2r
x
r 0.414 r
正负离子相互 接触状态
26
当r+/r-=0.414时，正负离子刚好处于相互接触状态(临界 状态)； 当r+/r-<0.414时，负离子间相接触，而正、负离子相脱 离，负离子间斥力大，能量高，使结构不稳定; 当r+/r->0.414时，正、负离子间相接触，而负离子间相 脱离，这时正、负离子引力较大，负离子间斥力小，能 量较低，结构仍是稳定的。
对于面心立方晶胞，原子半径=R，
a 2 2R
V a3 16 2R3
V球
4 4 R3
3 100 % 74.05%
V晶胞 16 2R3
15
名称
堆积方式
配位 数
密排面
空隙
堆积 系数
六方密 堆积
ABAB……
12
∥ 四面体空隙 （0001） 八面体空隙
0.74
立方密 ABCABC…… 堆积 Nhomakorabea12
r + /r 0～0.155 0.155 ～0.225 0.225 ～0.414 0.414 ～0.732 0.732 ～1
1
配位数 2 3 4 6 8 12
配位多面体 直线 三角形 四面体 八面体 立方体
立方八面体
P29
23 23
※分析：对于NaCl晶体，Na+的配位数是6；对于CsCl晶 体 ， Cs+ 的 配 位 数 是 8 。 这 是 由 于 rCs+ ＞ rNa+ (0.182nm>0.110nm)。Cs+填入的空隙比八面体更大些， 即Cs+周围比Na+周围能排列更多的Cl-。所以，Cs+离子 的配位数大于Na+的配位数。
2r-+2r+= a0
2r-=x
2r- x
2r 2r 2x
2r 2r 2x
2r
x
r 0.414 r
正负离子相互 接触状态
26
当r+/r-=0.414时，正负离子刚好处于相互接触状态(临界 状态)； 当r+/r-<0.414时，负离子间相接触，而正、负离子相脱 离，负离子间斥力大，能量高，使结构不稳定; 当r+/r->0.414时，正、负离子间相接触，而负离子间相 脱离，这时正、负离子引力较大，负离子间斥力小，能 量较低，结构仍是稳定的。
对于面心立方晶胞，原子半径=R，
a 2 2R
V a3 16 2R3
V球
4 4 R3
3 100 % 74.05%
V晶胞 16 2R3
15
名称
堆积方式
配位 数
密排面
空隙
堆积 系数
六方密 堆积
ABAB……
12
∥ 四面体空隙 （0001） 八面体空隙
0.74
立方密 ABCABC…… 堆积 Nhomakorabea12
r + /r 0～0.155 0.155 ～0.225 0.225 ～0.414 0.414 ～0.732 0.732 ～1
1
配位数 2 3 4 6 8 12
配位多面体 直线 三角形 四面体 八面体 立方体
立方八面体
P29
23 23
※分析：对于NaCl晶体，Na+的配位数是6；对于CsCl晶 体 ， Cs+ 的 配 位 数 是 8 。 这 是 由 于 rCs+ ＞ rNa+ (0.182nm>0.110nm)。Cs+填入的空隙比八面体更大些， 即Cs+周围比Na+周围能排列更多的Cl-。所以，Cs+离子 的配位数大于Na+的配位数。
材料科学基础第二章
y
[111]
x
[111]
例：画出晶向
[112 ]
2.立方晶系晶面指数
晶面指数的确定方法
（a)建立坐标系，结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单位 （原点在标定面以外，可以采 用平移法）； (b)晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ； (c)计算其倒数 b1 b2 b3 ； (d)化成最小、整数比h：k：l ； 放在圆方括号(hkl)，不加逗号， 负号记在上方 。
3.六方晶系晶面和晶向指数
三指数表示六方晶系晶面和晶向的缺点：晶体学上等价的 晶面和晶向不具有类似的指数。 例：
晶面指数
(11 0)
（100）
[010] [100]
从晶面指数上不能明确表示等同晶面，为了克服这一缺点， 采用a1、a2、a3及c四个晶轴， a1、a2、a3之间的夹角均 为120º ，晶面指数以（hkil）表示。 根据立体几何，在三维空间中独立的坐标轴不会超过三 个可证明 ： i= - (h+k) 或 h+k+i=0
六方晶系
d hkl
h k l a b c
2 2 2
d hkl
a h2 k 2 l 2
1 l c
2
4 h 2 hk k 2 3 a2
注：以上公式是针对简单晶胞而言的，如为复杂晶胞， 例如体心、面心，在计算时应考虑晶面层数增加的影 响，如体心立方、面心立方、上下底（001）之间还有 一层同类型晶面，实际
[1 00 ]
[0 1 0]
[010]
[1 00]
y
[100]
x
[00 1]
第2章：材料晶体结构
思考题
• 什么叫晶格、晶胞、晶格常数？ • 一般金属的晶格常数为多大？ • 什么叫晶向、晶面？怎样表示？ • 什么叫晶向族、晶面族？怎样表示？ • 什么叫单晶和多晶，二者有什么异同？ • 什么叫滑移？滑移使得晶体产生弹性变形还是塑性变
形？ • 面心立方晶格、体心立方晶格、密排六方晶格的原子
排列形势是什么？ • 普通低碳钢是单晶还是多晶？力学性质各项异性还是
（5）晶向与晶面的原子密度
（a)晶向的原子排列密度
(b) 晶面的原子排列密度
2.5 单晶与多晶
单晶是指晶体内部原子有规则排列的位向不发生改变的 晶体。多晶体是由许多外形不规则的单晶组合而成。
单晶体 图2.2.7
多晶体
纳米多晶铜原子排列示意图
Lu, Sui & Lu, Science, 2000, 287:1463-1466
6(
6 4 r3 3
3a / 4) a c
=
6 4 ( 1 a)3 32
6 3 1.633a3
74%
4
2.4 立方晶格中的晶向与晶面
• 晶向：晶体中通过原子中 心连成的许多表示不同空 间方位的直线称为晶向；
• 晶面：同过原子中心构成 的二维平面称为晶面。
（1）晶向表示法
2.2.4 切应力引起晶体塑性变形示意图
切向力引起的晶体塑性变 形示意图。
2.2.5 滑移与位错的运动
金属 Cu Ag Au Ni Mg Zu
理论计算值(MPa)
6272 4410 4410 10780 2940 4704
实测值(MPa) 理论/实测
0.98
6400
0.588 7500
0.902 4900
《材料科学基础》课件之第二章--------02材料中的晶体结构
（ hkl ）
晶面族：原子排列相同，但
位向不同的各族晶面。
{ hkl } 2021/4/9
10
晶向指数化过程
2021/4/9
建立坐标系（以某一 阵点为原点O,以三个 基矢为坐标轴,以晶胞 边长作为坐标轴的长 度单位） 作直线OP（平行于 待标定的晶向或晶向 直线通过坐标原点） 确定通过原点直线上 任一点的坐标值并化 为最小整数， [UVW]
2021/4/9
c
βα
aγ
b
表征：晶轴、点阵常数、夹角、基矢
ru
vw u
avbw 5
c
晶系和Bravais点阵
2021/4/9
6
三斜 六方 x 1 菱方
单斜 四方 x 2
立方 x 3
正交 x 4
2021/4/9
7
最小化原则 eg.为什么没有底心和面心四方？？？
2021/4/9
8
晶格和晶体结构
2021/4/9
47
金刚石结构
SiC结构
2021/4/9
48
菱形层状结构 As,Sb,Bi
螺旋链状：Se,Te
2021/4/9
AB2 型 : 排 列 与 金
刚石结构相同，每
两个Si原子间加入
一个O原子.
49
思考题
1. 名词解释：空间点阵，晶胞，金属晶体和离子晶体配位 数，原子半径和离子半径，致密度，晶向和晶向族，晶面 和晶面族
11
常用晶向
a
[100]
c
[111]
[110]
100 [10] 0[01] 0[00]1 [10]0[010][001]
b
2021/4/9
12
晶面族：原子排列相同，但
位向不同的各族晶面。
{ hkl } 2021/4/9
10
晶向指数化过程
2021/4/9
建立坐标系（以某一 阵点为原点O,以三个 基矢为坐标轴,以晶胞 边长作为坐标轴的长 度单位） 作直线OP（平行于 待标定的晶向或晶向 直线通过坐标原点） 确定通过原点直线上 任一点的坐标值并化 为最小整数， [UVW]
2021/4/9
c
βα
aγ
b
表征：晶轴、点阵常数、夹角、基矢
ru
vw u
avbw 5
c
晶系和Bravais点阵
2021/4/9
6
三斜 六方 x 1 菱方
单斜 四方 x 2
立方 x 3
正交 x 4
2021/4/9
7
最小化原则 eg.为什么没有底心和面心四方？？？
2021/4/9
8
晶格和晶体结构
2021/4/9
47
金刚石结构
SiC结构
2021/4/9
48
菱形层状结构 As,Sb,Bi
螺旋链状：Se,Te
2021/4/9
AB2 型 : 排 列 与 金
刚石结构相同，每
两个Si原子间加入
一个O原子.
49
思考题
1. 名词解释：空间点阵，晶胞，金属晶体和离子晶体配位 数，原子半径和离子半径，致密度，晶向和晶向族，晶面 和晶面族
11
常用晶向
a
[100]
c
[111]
[110]
100 [10] 0[01] 0[00]1 [10]0[010][001]
b
2021/4/9
12
第2章 材料中的晶体结构
b. 已知两不平行晶向[u1v1w1]和[u2v2w2 ]，由其决定的 晶面指数(hkl)为：
h v1 w 2 v 2 w 1 , k w 1u 2 w 2 u 1, l u 1 v 2 u 2 v1
补充
cos
2
(对于立方晶系)
两个晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）之间的夹角φ
h h
1 2
k k
1 2
2
2
ll
1
2 2 2
(h1
k
2 1
l1 )
(h 2
k
l
2 2
)
两个晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]之间的夹角θ
cos
2
u u
1
2
vv
1 2
2
w w
1 2
2
(u 1
v
2 1
w1)
(u 2
v
2 2
w
2 2
)
晶面（hkl）与晶向[uvw]之间的夹角ψ
晶向指数用[uvtw] 来表示。其中 t =－（u＋v）
120° 120°
晶面指数的标定
1.求晶面与四个轴的截距
2.取倒数
3.再化成简单整数
4.用圆括号括起来（h k i l）
六方系六个侧面的指数分别为：
(1 1 00),(01 1 0),(10 1 0),(1 100),(0 1 10),(1 010)
(210)
(012)
(362)
注意
选坐标原点时，应使其位于待定晶面以外，防止 出现零截距。 已知截距求晶面指数，则指数是唯一的；而已知 晶面指数，画晶面时，这个晶面就不是唯一的。
第二章材料中的晶体结构
TiO2
体心四方
1个正离子 2个负离子
6
3
八面体 VO2, NbO2, MnO2, SnO2, PbO2, …
7. MgAl2O4(尖晶石)晶型
8.Al2O3(刚玉)晶型
第四节 共价晶体的结构
一、共价晶体的主要特点 1. 共价键结合，键合力通常强于离子键 2. 键的饱和性和方向性，配位数低于金属和离 子晶体 3. 高熔点、高硬度、高脆性、绝缘性
(2) 求投影．以晶格常数为单位，求待定 晶向上任一阵点的投影值。
(3) 化整数．将投影值化为一组最小整数。
(4) 加括号．［uvw］。
2.晶面指数及其确定方法
1) 晶面指数 — 晶体点阵中阵点面的 方向指数。 2) 确定已知晶面ห้องสมุดไป่ตู้指数。
(1) 建坐标．右手坐标，坐标轴为晶胞 的棱边，坐标原点不能位于待定晶面内。
cph
a=b≠c
a 2r
5. 致密度 — 晶胞中原子体积占总体积的分数
bcc
fcc
cph
3 0.68
8
2 0.74
6
2 0.74
6
6. 间隙 — 若将晶体中的原子视为球形，则相 互接触的最近邻原子间的空隙称为间隙。
间隙内能容纳的最大刚性球的半径称为
间隙半径 rB。 间隙大小常用间隙半径与原子半径 rA之
比 rB / rA 表示。
1) 面心立方结构晶体中的间隙 正八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及体心位置.
一个晶胞中共有4个.
rB / rA 0.414
正四面体间隙：位于晶胞体对角线的四分之一处. 一个晶胞中共有8个.
rB / rA 0.225
2) 体心立方结构晶体中的间隙 扁八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及面心处. 一个晶胞中共有6个. rB / rA 0.155
大学材料科学基础第二章材料中的晶体结构
反过来： U = u - t; V = v - t; W = w
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，律应用举例
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，律应用举例
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
材料科学基础第二章材料中的晶体结构
28
（3）特别说明
1) 应用公式的条件：各晶系中的简单点阵，如简单立 方点阵、简单四方点阵、简单正交点 阵、简单六 方点阵等。
2) 对于非简单点阵，其某些面的面间距与简单点阵的 相同，某些却是简单点阵的分数倍。
如，对于简单立方， d100 = a 对于面心立方， d100 = a / 2
3) 较为稳妥的方法是利用下式计算：
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
22
• 第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个坐标轴作垂直投 影，给 C轴的投影值乘以 3/2，再将四个投影值化为一组最小整 数，即为 [uvtw]
23
• 课堂练习: 写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞表 面交线的指数
一个晶胞中共有4个。 rB / rA ≈ 0.414
45
• 正四面体间隙：位于晶胞体对角线的四分之一处。 一个晶胞中共有8个。rB / rA ≈ 0.225
46
（2）体心立方结构晶体中的间隙 • 扁八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及面心处。
一个晶胞中共有6个。 rB / rA ≈ 0.155
47
• 四面体间隙：位于晶胞各面中线的四分之一处。 一个晶胞中共有12个。rB / rA ≈ 0.291
20
(2)确定已知晶向的指数[uvtw] • 移步法 • 公式换算法 • 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： • 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定晶
向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
21
• 先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
（3）特别说明
1) 应用公式的条件：各晶系中的简单点阵，如简单立 方点阵、简单四方点阵、简单正交点 阵、简单六 方点阵等。
2) 对于非简单点阵，其某些面的面间距与简单点阵的 相同，某些却是简单点阵的分数倍。
如，对于简单立方， d100 = a 对于面心立方， d100 = a / 2
3) 较为稳妥的方法是利用下式计算：
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
22
• 第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个坐标轴作垂直投 影，给 C轴的投影值乘以 3/2，再将四个投影值化为一组最小整 数，即为 [uvtw]
23
• 课堂练习: 写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞表 面交线的指数
一个晶胞中共有4个。 rB / rA ≈ 0.414
45
• 正四面体间隙：位于晶胞体对角线的四分之一处。 一个晶胞中共有8个。rB / rA ≈ 0.225
46
（2）体心立方结构晶体中的间隙 • 扁八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及面心处。
一个晶胞中共有6个。 rB / rA ≈ 0.155
47
• 四面体间隙：位于晶胞各面中线的四分之一处。 一个晶胞中共有12个。rB / rA ≈ 0.291
20
(2)确定已知晶向的指数[uvtw] • 移步法 • 公式换算法 • 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： • 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定晶
向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
21
• 先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
2 《材料科学基础》第二章 晶体结构(下)
思考题
Ca2+：000，½ ½ 0，½ 0 ½ ，0 ½ ½ F
-
：¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾, ¾ ¾ ¾, ¼ ¼ ¾, ¼ ¾ ¼, ¾ ¼ ¼
思考题：
据晶体结构简要解释:
•为什么CaF2比NaCl容易形成弗仑克尔缺陷？
•为什么萤石结构中一般存在着负离子扩散机制？
了解
Al3+的分布原则符合鲍林规则：在同一层
和层与层之间， Al3+之间的距离应保持
最远。
空隙
α－Al2O3中的氧与铝的排列次序可写成： OAAlDOBAlEOAAlFOBAlDOAAlEOBAlFOAAlD……6层一个周期
Al3+的CN＝6， Z=
O2-的CN＝ 4
2
属于刚玉型结构的晶体：
• 硅酸盐结构的特点：
2/3八面体间隙(A、B) 1/2八面体间隙(A) l/8四面体间隙(B) 全部立方体中心 1/2立方体中心
尖晶石
反尖晶石 纤锌矿 砷化镍 刚 玉 钛铁矿 橄榄石 氯化铯 萤 石 硅石型
二、硅酸盐晶体结构
1. 岛状结构
2. 组群状结构
3. 链状结构 4. 层状结构 5. 架状结构
•硅酸盐晶体的组成表征:
4：6：4AB2O4
4：6：4B（AB）O4 4：4MO 6：6MO 6：4M2O3 6：6：4ABO3 6：4：4A2BO4 8：8MO 8：4MO2 4：2MO2
1/8四面体间隙(A) 1/2八面体间隙(B) 1/8四面体间隙(B) 1/2八面体间隙(A、B) 1/2四面体间隙 全部八面体间隙 2/3八面体间隙
8
性质：硬度最高、极好的导热性、具半导体性能 与其结构相同的有硅、锗、灰锡、合成立方氮化硼等
材料科学基础-2
[111 ]
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
材料科学基础课件第二章--晶体结构
16
小结
1. 晶体结构是指晶体中原子或分子的排列情况，由空间点阵 与结构基元构成，晶体结构的形式是无限多的。
2. 空间点阵是把晶体结构中原子或分子等结构基元抽象为周
围环境相同的阵点之后，描述晶体结构的周期性和对称性的
图像。
17
2.1.2 晶向指数和晶面指数
(1) 晶向指数 晶向（crystal directions）—通 过晶体中任意两个原子中心连 成直线来表示晶体结构的空间 的各个方向。
些晶向可归为一个晶向族，用〈ｕｖｗ〉表示。如
〈111〉 晶 向 族 包 括 [111] 、 [T11] 、 [1T1] 、 [11T] 、 [TT1]、[1TT]、[T1T]、[TTT]；〈100〉晶向族包括 [100]、[010]、[001]、[T00]、[0T0]、[00T] 。
(4)同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。
范德华键的特点及典型的分子晶体的性质：
范德华键（分子键）是通过“分子力”而产生的键合。分子力 包括三种力：葛生力（Keesen force）──极性分子中的固有 偶极矩产生的力，德拜力（Debye force）──感应偶极矩产生 的力，即极性分子和非极性分子之间的作用力，伦敦力 （London force）──非极性分子中的瞬时偶极矩产生的力。 当分子力不是唯一的作用力时，它们可以忽略不计。
2 晶体结构
晶体：物质是由原子、分子或离子按一定的空间 结构排列所组成的固体，其质点在空间的分布具 有周期性和对称性，因而晶体具有规则的外形。
1
晶体的宏观特征
石英
硫
2
钠长石 Na[AlSi3O8]
绿柱石 Be3Al2(SiO3)6
3
祖母绿Be3Al2[Si6O18]
小结
1. 晶体结构是指晶体中原子或分子的排列情况，由空间点阵 与结构基元构成，晶体结构的形式是无限多的。
2. 空间点阵是把晶体结构中原子或分子等结构基元抽象为周
围环境相同的阵点之后，描述晶体结构的周期性和对称性的
图像。
17
2.1.2 晶向指数和晶面指数
(1) 晶向指数 晶向（crystal directions）—通 过晶体中任意两个原子中心连 成直线来表示晶体结构的空间 的各个方向。
些晶向可归为一个晶向族，用〈ｕｖｗ〉表示。如
〈111〉 晶 向 族 包 括 [111] 、 [T11] 、 [1T1] 、 [11T] 、 [TT1]、[1TT]、[T1T]、[TTT]；〈100〉晶向族包括 [100]、[010]、[001]、[T00]、[0T0]、[00T] 。
(4)同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。
范德华键的特点及典型的分子晶体的性质：
范德华键（分子键）是通过“分子力”而产生的键合。分子力 包括三种力：葛生力（Keesen force）──极性分子中的固有 偶极矩产生的力，德拜力（Debye force）──感应偶极矩产生 的力，即极性分子和非极性分子之间的作用力，伦敦力 （London force）──非极性分子中的瞬时偶极矩产生的力。 当分子力不是唯一的作用力时，它们可以忽略不计。
2 晶体结构
晶体：物质是由原子、分子或离子按一定的空间 结构排列所组成的固体，其质点在空间的分布具 有周期性和对称性，因而晶体具有规则的外形。
1
晶体的宏观特征
石英
硫
2
钠长石 Na[AlSi3O8]
绿柱石 Be3Al2(SiO3)6
3
祖母绿Be3Al2[Si6O18]
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10
２、晶面指数
确定步骤：（确定已知晶面的指数） ①建立坐标：以晶胞的某一阵点O为原点，以过原
点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a、b、c为三个坐 标轴的长度单位。
★坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待 定晶面上。
②求截距：晶面与某坐标轴平行，截距为∞。 ③取倒数。 ④化整并加圆括号→(hkl)
11
uvw，并加括号[uvw]，负号在数值上方。
9
特别说明： 一个晶向代表相互平行、方向一致的所有晶向。 两晶向平行但方向相反→数字相同，符号相反。
如 [112]、[112] 晶体中原子排列相同，但空间位向不同的一组晶
向，称为晶向族，用<uvw>表示。 如立方<111>包括：[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111] 立方体４个体对角线。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示 的晶向可能不是同等的。如：正交晶系中[100]、 [010]、[001]不是等同晶向，因a≠b≠c，原子排列 的情况不同，不属于同一晶向族。
特别说明： (hkl)不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶
面。 平行晶面的面指数相同，或数字相同而正负号相反。 晶体中具有相同条件（原子排列和面间距完全相同）而
只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl}表 示。
{100如} 立(1方00晶) 系 (中01：0) (001) (100) (010) (001)
写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞 表面交线的指数
24
解: (1)求ABCDA晶面指数
1)四个轴的截距为:1, ∞, -1, 1 2)倒数:1, 0, -1, 1 3)整数化:(1 0 -1 1)
(2)BA晶向:(晶向采用公式法) 先求三轴坐标: 1)坐标原点为B点 2)A的三轴投影:-1, -1, 1[UVW] 3)公式转成四轴:-1/3, -1/3, 2/3,
14
B、写出BCD晶面指数
15
解： （1）以A点为原点建坐标系 （2）求截距：-1/2, -3/4, 1 （3）取倒数：-2，-4/3, 1 （4）化整数：-6，-4，3 （5）加括号(-6 -4 3)
16
C、写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数
17
3、六方晶系的晶向指数和晶面指数 (1)确定已知晶面的指数（hkil） ①建坐标．四轴坐标，坐标轴为 a1、a2 、
晶面 空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面。
8
用密勒（Miller）指数来表示晶向和晶面指 数。
1、晶向指数 确定步骤：（确定已知晶向的指数） ①建立坐标系：以待定晶向上的某一阵点为
原点，晶轴为坐标轴。 ②确定坐标值：确定距原点最近的一个阵点
的三个坐标值。 ③化整并加方括号：坐标值化为最小整数
20
(2)确定已知晶向的指数[uvtw]
移步法 公式换算法 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定
晶向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
21
先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
②点阵中任一阵点位置：
r rr r ruvw ua vb wc
r：原点到某阵点的矢量； u, v, w：沿三个点阵矢量方向平移的基矢数或坐标值。
6
二、晶系和布拉菲（A. Bravais）点阵 7个晶系（表2-1，P40）
14种空间点阵 （布拉菲点阵）
7
三、晶向指数和晶面指数
晶向 空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中 原子排列的方向。
对正交晶系，(100)、 (010)、 (001)原子排列情况不 同，晶面间距不等，不属于同一晶面族。
立方晶系，相同指数的晶向和晶面必定相互垂直，如 [100]⊥(100)，但不适应于其它晶系。
12
课堂练习： A、写出MN晶向指数
13
解： （1）选M点为原点，建立坐标系 （2）N点的坐标：-1/2, 1/2, 1 （3）化整数：-1，1，2 （4）加括号：[-1 1 2]
第二章 材料中的晶体结构
晶体可分为： ①金属晶体 ②离子晶体 ③共价晶体 ④分子晶体 晶体结构
晶体中原子（离子或分子）在三维空间的 具体排列方式。
1
主要内容:
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
2
第一节 晶体学基础
空间点阵和晶胞 晶系和布拉菲点阵 晶向指数和晶面指数 晶面间距 晶带及晶带定理
构成晶格的最基本单元，选取晶胞应满足的条 件： ①充分反映整个空间点阵的对称性； ②要具有尽可能多的直角； ③晶胞的体积要最小。
简单晶胞：只在八个角 点上有阵点； 复合晶胞：体心、面心 上也有阵点。
5
5、晶胞形状和大小的表达
①由三个棱边长度a、b、c（点阵常数）及其夹角α、β、γ六 个 参数完全表达。
3
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
晶体 → 点阵 → 晶格 →晶胞
1、空间点阵 人为地将晶体结构抽象为空间点阵。指由 几何点在三维空间作周期性的规则排列所 形成的三维阵列。
2、阵点（结点） 构成空间点阵的每一个点。
4
3、晶格
人为地将阵点用一系列相互平行的直线连接起来 形成的空间格架。
4、晶胞
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
22
第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个 坐标轴作垂直投影，给 C轴的投影值乘以 3/2， 再将四个投影值化为一组最小整数，即为 [uvtw]
23
课堂练习:
a3 和c ，坐标原点不能位于待定晶面内 ②求截距．以晶格常数为单位，求待定晶面
在坐标轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的截距值 ③取倒数．将截距值取倒数 ④化整数．将截距值的倒数化为一组最小整
数 ⑤加括号．（hkil），可以证明，i=－(h+k)
18
例题:
19
课堂练习 写出图中六方晶胞六个侧面的 MillerBravais指数，及其晶面族的指数．
1 4)整数化:[-1 -1 2 3] 5)AB=[11-2-3]
25
(3)BC晶向:
２、晶面指数
确定步骤：（确定已知晶面的指数） ①建立坐标：以晶胞的某一阵点O为原点，以过原
点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a、b、c为三个坐 标轴的长度单位。
★坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待 定晶面上。
②求截距：晶面与某坐标轴平行，截距为∞。 ③取倒数。 ④化整并加圆括号→(hkl)
11
uvw，并加括号[uvw]，负号在数值上方。
9
特别说明： 一个晶向代表相互平行、方向一致的所有晶向。 两晶向平行但方向相反→数字相同，符号相反。
如 [112]、[112] 晶体中原子排列相同，但空间位向不同的一组晶
向，称为晶向族，用<uvw>表示。 如立方<111>包括：[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111] 立方体４个体对角线。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示 的晶向可能不是同等的。如：正交晶系中[100]、 [010]、[001]不是等同晶向，因a≠b≠c，原子排列 的情况不同，不属于同一晶向族。
特别说明： (hkl)不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶
面。 平行晶面的面指数相同，或数字相同而正负号相反。 晶体中具有相同条件（原子排列和面间距完全相同）而
只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl}表 示。
{100如} 立(1方00晶) 系 (中01：0) (001) (100) (010) (001)
写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞 表面交线的指数
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解: (1)求ABCDA晶面指数
1)四个轴的截距为:1, ∞, -1, 1 2)倒数:1, 0, -1, 1 3)整数化:(1 0 -1 1)
(2)BA晶向:(晶向采用公式法) 先求三轴坐标: 1)坐标原点为B点 2)A的三轴投影:-1, -1, 1[UVW] 3)公式转成四轴:-1/3, -1/3, 2/3,
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B、写出BCD晶面指数
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解： （1）以A点为原点建坐标系 （2）求截距：-1/2, -3/4, 1 （3）取倒数：-2，-4/3, 1 （4）化整数：-6，-4，3 （5）加括号(-6 -4 3)
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C、写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数
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3、六方晶系的晶向指数和晶面指数 (1)确定已知晶面的指数（hkil） ①建坐标．四轴坐标，坐标轴为 a1、a2 、
晶面 空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面。
8
用密勒（Miller）指数来表示晶向和晶面指 数。
1、晶向指数 确定步骤：（确定已知晶向的指数） ①建立坐标系：以待定晶向上的某一阵点为
原点，晶轴为坐标轴。 ②确定坐标值：确定距原点最近的一个阵点
的三个坐标值。 ③化整并加方括号：坐标值化为最小整数
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(2)确定已知晶向的指数[uvtw]
移步法 公式换算法 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定
晶向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
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先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
②点阵中任一阵点位置：
r rr r ruvw ua vb wc
r：原点到某阵点的矢量； u, v, w：沿三个点阵矢量方向平移的基矢数或坐标值。
6
二、晶系和布拉菲（A. Bravais）点阵 7个晶系（表2-1，P40）
14种空间点阵 （布拉菲点阵）
7
三、晶向指数和晶面指数
晶向 空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中 原子排列的方向。
对正交晶系，(100)、 (010)、 (001)原子排列情况不 同，晶面间距不等，不属于同一晶面族。
立方晶系，相同指数的晶向和晶面必定相互垂直，如 [100]⊥(100)，但不适应于其它晶系。
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课堂练习： A、写出MN晶向指数
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解： （1）选M点为原点，建立坐标系 （2）N点的坐标：-1/2, 1/2, 1 （3）化整数：-1，1，2 （4）加括号：[-1 1 2]
第二章 材料中的晶体结构
晶体可分为： ①金属晶体 ②离子晶体 ③共价晶体 ④分子晶体 晶体结构
晶体中原子（离子或分子）在三维空间的 具体排列方式。
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主要内容:
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
2
第一节 晶体学基础
空间点阵和晶胞 晶系和布拉菲点阵 晶向指数和晶面指数 晶面间距 晶带及晶带定理
构成晶格的最基本单元，选取晶胞应满足的条 件： ①充分反映整个空间点阵的对称性； ②要具有尽可能多的直角； ③晶胞的体积要最小。
简单晶胞：只在八个角 点上有阵点； 复合晶胞：体心、面心 上也有阵点。
5
5、晶胞形状和大小的表达
①由三个棱边长度a、b、c（点阵常数）及其夹角α、β、γ六 个 参数完全表达。
3
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
晶体 → 点阵 → 晶格 →晶胞
1、空间点阵 人为地将晶体结构抽象为空间点阵。指由 几何点在三维空间作周期性的规则排列所 形成的三维阵列。
2、阵点（结点） 构成空间点阵的每一个点。
4
3、晶格
人为地将阵点用一系列相互平行的直线连接起来 形成的空间格架。
4、晶胞
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
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第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个 坐标轴作垂直投影，给 C轴的投影值乘以 3/2， 再将四个投影值化为一组最小整数，即为 [uvtw]
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课堂练习:
a3 和c ，坐标原点不能位于待定晶面内 ②求截距．以晶格常数为单位，求待定晶面
在坐标轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的截距值 ③取倒数．将截距值取倒数 ④化整数．将截距值的倒数化为一组最小整
数 ⑤加括号．（hkil），可以证明，i=－(h+k)
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例题:
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课堂练习 写出图中六方晶胞六个侧面的 MillerBravais指数，及其晶面族的指数．
1 4)整数化:[-1 -1 2 3] 5)AB=[11-2-3]
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(3)BC晶向: