高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案文新人教A版选修1-2

合集下载

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_2

课题：综合法与分析法
【教学目标】
1．知识与技能
（1）了解直接证明的两种基本方法之一综合法。

（2）了解综合法得思维过程和特点。

（1）通过对实例的分析，归纳与总结，增强学生的理解思维能力。

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题，解决问题的能力。

3．情感，态度与价值观
通过本节课的学习了解直接证明的基本方法——综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。

【教学重难点】
重点：综合法的思维过程及特点；
难点：综合法的应用。

【学法指导】遵循中学生的心理特征及认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成七个小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐·
【教具准备】多媒体与投影仪
【教学过程】
ABC所在平面.
板书设计
一．导入新课五.应用举例
二．提出问题六.反馈练习
三．概念形成七.课堂小结
四．概念深化八.巩固提升。

人教版高中数学选修1-2 2.2直接证明与间接证明(教案)(共3课时) .doc

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....na a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,abc R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： ① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B为锐角，且tan tan tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.板书设计课题知识点小结例题练习教学反思第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

人教版高中数学选修1-2 教学案：直接证明与间接证明

第1课时综合法和分析法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc ”的证明过程，思考下列问题：①该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题：①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？提示：不是．③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)(2)分析法 ①分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法．②分析法的框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件[问题思考](1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立．这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法．[课前反思](1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？.讲一讲1．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [尝试解答] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2 ≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．练一练1．已知x ＋y ＋z ＝m .求证：x 2＋y 2＋z 2≥m 23.证明：∵x ＋y ＋z ＝m ，∴(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝m 2. 又∵x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，z 2＋x 2≥2xz ， ∴2(x 2＋y 2＋z 2)≥2(xy ＋yz ＋zx )，即x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋zx ，∴m 2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤3(x 2＋y 2＋z 2)． ∴x 2＋y 2＋z 2≥m 23.[思考1] 分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．[思考2] 分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是： “要证……，只需证……，只需证……， …由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．讲一讲2．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[尝试解答] 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a ＞0，故只需证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只需证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．练一练2．当a ≥2时，求证：a ＋1－a <a －1－a －2. 证明：要证a ＋1－a <a －1－a －2，只需证a ＋1＋a －2<a ＋a －1，只需证(a ＋1＋a －2)2<(a ＋a －1)2，只需证a ＋1＋a －2＋2a ＋a －<a ＋a －1＋2a a －，只需证a ＋a －<aa －，只需证(a ＋1)(a －2)<a (a －1)，即证－2<0，而－2<0显然成立，所以a ＋1－a <a －1－a －2成立．讲一讲3．已知a ，b ，c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，求证：a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m .先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明．[尝试解答] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m .只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m ＞0即可．而a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＝ab ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m.因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0，所以(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0.因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2.因为△ABC 中任意两边之和大于第三边，所以a ＋b －c ＞0，所以(a ＋b －c )m 2＞0，所以2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0，所以a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m .对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．练一练3．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明：要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )，由0<x <1知，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由基本不等式得a ＋b 2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．————————————[课堂归纳——感悟提升]———————————1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用综合法解决问题，见讲1； (2)利用分析法解决问题，见讲2； (3)利用分析综合法解决问题，见讲3.3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1 综合法的应用1．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选C 由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cos C ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．2．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B 由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.3．在锐角△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由正弦定理及条件，可得3sin B ＝23sin A sin B . ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin B ≠0.∴3＝23sin A ．∴sin A ＝32. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝cos C ，且B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴B ＝C .又B ＋C ＝2π3，∴A ＝B ＝C ＝π3.从而△ABC 是等边三角形．题组2 分析法的应用 4. 3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( )A ．ab (b －a )>0B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab (b －a )<0 解析：选D3a －3b <3a －b ，⇔(3a －3b )3<(3a －b )3， ⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ， ⇔3ab 2<3a 2b ，⇔ab 2<a 2b ， ⇔ab (b －a )<0.5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0，所以2a ＋1·2b ＋1≤a ＋＋b ＋2＝a ＋b ＋2＝2.即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．题组3 综合法与分析法的综合应用7．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：法一：要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因为a ＋b ＞0，所以只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立．即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab . 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )．所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫ab ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[能力提升综合练]1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数．2．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m ＞n B ．m ＝n C ．m ＜n D ．不能确定解析：选A 由a ＞0，b ＞0，得ab ＞0，所以a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ，所以(a ＋b )2＞(a ＋b )2，所以a ＋b 2＞a ＋b2，所以lga ＋b 2＞lg a ＋b2，即m ＞n ，故选A.3．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝3a －4a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a ＜34B ．a ＜34，且a ≠－1C ．a ＞34或a ＜－1D ．－1＜a ＜34解析：选D ∵f (x )以3为周期， ∴f (2)＝f (－1)．又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)，则f (2)＝f (－1)＝－f (1)．再由f (1)＞1，可得f (2)＜－1，即3a －4a ＋1＜－1，解得－1＜a ＜34.4．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b ＜cd ，则( )A.a b ＜a ＋c b ＋d ＜cd B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜c d C.a b ＜c d ＜a ＋c b ＋dD ．以上均可能解析：选A 先取特殊值检验，∵a b ＜cd ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b ＜a ＋c b ＋d ＜cd .要证a b ＜a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )＜b (a ＋c )，即证ad ＜bc . 只需证a b ＜c d .而a b ＜cd 成立，∴a b ＜a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d ＜c d . 故A 正确．5．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2xy ＝________.解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x y 2－5⎝⎛⎭⎫x y ＋4＝0，所以x y ＝4或x y ＝1. 又x ＞2y ，故x y ＝4，所以log 2xy ＝log 24＝4.答案：46．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________.解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答案：－7257．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(3)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，求证：T n ＜74.解：(1)当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)证明：2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n .①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)．②①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n . 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a nn＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知a nn ＝n ，即a n ＝n 2.∵1a n ＝1n 2＜1nn －＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.8．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，即只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b (中间结果)，由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b2a 关于y 轴对称．所以－b2a －1＝－⎝⎛⎭⎫－b 2a . 于是得a ＝－b (中间结果)．所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．第2课时反证法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 42～P 43的内容，回答下列问题．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？提示：反证法思想． 2．归纳总结，核心必记 (1)反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[问题思考](1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a 、b 、c 都是偶数”的否定是什么？提示：a 、b 、c 不都是偶数．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)反证法的定义是什么？；(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？.讲一讲1．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根．[尝试解答] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤练一练1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数，又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．讲一讲2．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.[尝试解答] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0. 所以－a ＋b2＞－a b ＞14＝12. 同理－b ＋c 2＞12，－c ＋a 2＞12. 三式相加得－a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c ) a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”练一练2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.讲一讲3．已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[尝试解答]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．练一练3．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A 还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．—————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1；(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2；(3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3.3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：选C根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2， S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 又p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr .(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13.答案：136．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋yx 中至少有一个小于2.解：假设1＋x y 与1＋yx 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又∵x >0，y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．所以假设不成立，所以1＋x y 与1＋y x 中至少有一个小于2.题组3 用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D 因为a 、b 、c 都是正数，则有⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6.故三个数中至少有一个不小于2. 4．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，∴不存在n 使得a n ＝b n .5．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交6．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则有a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．设a ，b 是异面直线，在a 上任取两点A 1，A 2，在b 上任取两点B 1，B 2，试证：A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．8．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的非零实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．证明：假设存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0. ∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝⎛⎭⎫k 2，3k 2.这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．所以假设不成立，故不存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_6

2、2、1综合法与分析法教案结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法了解综合法的思考过程、特点；培养学生逻辑推理能力六、教学内容分析：本节课是选修1—2中第二章第一课时，本章是重点，可以和其他知识联系在一起。

学习重点：综合法证明数学问题的方法为主一. 引入合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义二.新知探索1、综合法的定义2、框图表示()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论三、典型例题1、证明不等式教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用不等式证明不等式问题变式训练学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。

设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想)(2:,,,,,1222zx yz xy z c b a y b a c x a c b Rc b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证、已知：例4)11)(( ,, ≥++++∈+c b a c b a R c b a 求证：已知222222c c a a b x x y y z z a b b c c+++++若不等式左边分解成b a证明有关三角问题教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：应用综合法证明三角问题教师活动：老师分析题目，引导学生找到解题思路学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。

2013-2014学年高二数学教案：第二章 2.2 直接证明与间接证明 5 (新人教A版选修1-2)

§2.2.1 综合法和分析法【教学目标】加强不等式证明的训练，要求学生初步掌握用综合法和分析法证明不等式．【教学重点】综合法和分析法证明不等式．【教学难点】综合法和分析法证明不等式．【教学过程】一、复习引入：1.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性.常见的直接证明方法有综合法与分析法.2.综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维模式。

二、讲解新课：综合法1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法. 分析法1.分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.例题分析例1. 已知：c b a ,,是不全相等的正数,求证: ()()()abc ba c a cbc b a 6222222>+++++证明：综合法 ()abcc b a a bc c b 20,22222≥+∴>≥+Θ 同理：()()abcb ac abcc a b 222222≥+≥+ 因为c b a ,,是不全相等的正数,所以上述三个等号不会同时成立. ()()()abc b a c a c b c b a 6222222>+++++∴ .3)2cot()2tan(4sin 22sin .2=-+=οοοααα，求证已知例证明：综合法 )]2()2sin[(2)]2()2sin[(οοοο--+=-++αααα由已知得73+525273<+()()225273<+2021210<+10212<521<2521<证明:因为和都是正数,所以为了证明只需证明展开得因为成立,所以成立2521<5273<+ )2cos()2sin()2sin()2cos(3οοοο-+=-+αααα展开整理得3)2sin()2cos()2cos()2sin(=-+-+∴οοοοαααα,即3)2cot()2tan(=-+οοαα 小结:（结论）（已知）综合法证题步骤：nP P P P ⇒⇒⇒⇒Λ210.5273.3<+例证明：分析法(略)小结 .21（已知）（结论）分析法证题步骤：nB B B B ⇐⇐⇐⇐Λ.11114c b a c b a abc c b a ++<++=求证：，为互不相等的正数且、、已知例 .222222.ab ac bc c b a ab ac bc c b a ++<++++<++也就是证明立，即证证明：要证原不等式成..2222222222221222所以，原不等式成立相加得；；；所以，为互不相等的正数且、、因为ab ac bc c b a b c ab bc ab a bc a ab ac c abc ac bc abc c b a ++<++=>+=>+=>+=三、课堂练习： .313tan )tan(0cos 5)2cos(8.1=+=++αβαββα求证，已知 .3213.2---<--≥a a a a a ，求证：已知四、课堂小结：综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，常把它们结合起来使用.即当遇到较难的新命题时，应当先用分析法来探求解法，然后将找到的解法用综合法叙述出来.五、作业：（略）。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_16

《教学设计之综合法和分析法》设计背景：基于学生在学习的过程当中也不同程度接触学习了证明题。

一、复习梳理推理的几种形式（归纳、类比、三段论）和提及证明的几种方法。

设计意图：为了让学生形成知识的体系，道出推理的不足，从而引出证明的必要性，并且让他们明了常用的有几种证明方法。

二、直接证明的概念设计意图：直接给出直接证明的概念是因为本节课的重点不是直接证明，而是直接证明的细化：综合法和分析法，因此化简处理。

三、探究综合法首先来一条实例，再综合法的相关内容，最后紧跟着例题和练习题设计意图：实例是为让学生养成在学习的过程要善于观察，勤于思考和懂得总结，也让概念性的新知有一个实例的背景支撑着。

简易化、图示化及幽默化综合法的相关内容，只是让学生不会觉得新知的烦琐与无味。

例题多是为了加强学习对于概念的理解，不断地强化这种证明方法在证明中的运用，并有深刻地体会。

再给一道几何证明练习，我们知道几何证明是高考的必考内容，我们目前所学的内容都是为了那时做好铺垫的，所以现在拿来练习也是不错的。

四、探究分析法首先一道实例，再分析法的相关内容，最后一道例题和一道练习题。

设计背景：实例的目的是让学生由具体到抽象，再到后面具体的习题。

在分析法的相关内容中重点注意分析法的证明格式。

减少例题的数目是因为在证明的过程中用得比较多的证明方法是综合法，而分析法是分析问题的重要方法，它能够锻炼学生分析问题，解决问题的能力，可以为综合法服务。

五：区别综合法和分析法设计意图：既然学习了两种方法，那么就需要区别它们的相同点和不同点，不能混淆。

如果混淆那么那么这节课的学习将会失去了意义，还不如不学。

六：跟踪练习设计意图：强化所学的内容，遵循人的记忆的遗失规律。

人教版高中选修1—2数学2.2直接证明与间接证明教案(3)

导学案：2.2分析法与综合法
教学目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
教学重点、难点：分析法与综合法的应用
知识链接：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为和
2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，
公里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。

而分析法是一种从
追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。

综合法是由导，分析法是执索。

例题讲解：
例1．已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）。

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计背景在高中数学中，直接证明和间接证明是一项重要的内容。

在初学阶段，学生可能会对这两种证明方式感到困惑，并将其视为难以理解的概念。

因此，在高中选修1课程中，适当地引入这些概念，有助于提升学生的证明能力，加深对数学的理解。

教学目标•了解直接证明和间接证明的含义和定义。

•掌握直接证明和间接证明的基本结构和方法。

•能够运用直接证明和间接证明的方法证明一些简单的数学命题。

教学内容直接证明•手动沙盘演示•直接证明的定义和特点•直接证明的基本步骤•示例讲解：证明“两角相等则对边相等”间接证明•手动沙盘演示•间接证明的定义和特点•间接证明的基本步骤•示例讲解：证明“正整数的平方不是偶数”教学实施本教学设计中，我们主要采用了手动沙盘演示的方法，来帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的过程以及步骤。

直接证明•首先，我们在黑板上画一个三角形，并画出对边。

•然后，我们在沙盘上放置一个形状类似的三角形。

•接下来，我们让学生沿着直接证明的基本步骤，依次证明两个三角形的相等性，即可从直接证明中得到结论。

•在讲解示例时，我们还可以让学生自己尝试证明一些简单的数学命题，如“同弧度圆周角相等”等。

间接证明•在沙盘上摆放一些正整数的平方以及偶数。

•接下来，我们让学生依照间接证明的基本步骤，用矛盾法来证明正整数的平方不是偶数。

•我们还可以鼓励学生们自己构造出一些有关平方数的证明问题，让他们自行尝试间接证明的方法。

教学效果通过本教学设计，我们得到了良好的教学效果。

不仅可以帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的定义和特点，而且可以在沙盘演示的过程中，使学生更好地了解证明的基本步骤，提升学生的证明能力。

同时，让学生自行构造有关数学证明的问题，也可以激发学生的思考能力，培养其数学兴趣。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_1

（二）新课讲授
合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明.
一.综合法
1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出
课题
综合法和分析法
课型
新ห้องสมุดไป่ตู้课
教学目标
知识与技能：了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析；
过程与方法：通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力；
重点
难点
教学重点：
综合法和分析法的思维过程及特点
教学难点：
综合法和分析法的应用
教具
准备
多媒体
课时
安排
1
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
（一）创设情境、引入新课
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．
3.框图表示：
（三）深度剖题
法1：已知，求证：
证明：∵ , ,
∴ .又∵ , ,
∴ ∴
象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法》优质课教案6

2.2.2 反证法教学设计（第一课时）教材内容分析:间接证明”的第二节课反证法。

证明一般包括直接证明与间接证明。

“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。

所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。

学生学习情况分析：本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

所教学生是艺术教育班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。

但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例1 有困难。

设计思想:本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。

教学目标:知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

教学重点与难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

学法指导：通过创设情景和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_19

第五节直接证明与间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法.(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)． 2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．提醒：辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． ( )(4)证明不等式2＋7＜3＋6最合适的方法是分析法．( )(5)用反证法证明结论“a ＞b ”时，应假设“a ＜b ”．( ) (6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．命题“对于任意角θ，cos 4 θ－sin 4 θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ－sin 2 θ)(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 4．(教材习题改编)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”．分析法的应用 [明技法]分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．[提能力]【典例】已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立． [刷好题]已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．综合法的应用 [明技法]综合法证题的思路[提能力]【典例】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若∠C ＝2π3，求证：5a ＝3b .证明：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2 B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以5a ＝3b . [刷好题](2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )．(1)解：f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)．则h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.所以h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．故h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．反证法的应用 [明技法]用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立． [提能力]【典例】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证． [刷好题]已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 至少有一个不小于1.。

新人教A版选修(2-2)2.2《直接证明与间接证明》word教案

高三一轮复习文科数学学案姓名：班级：使用时间：课题： §9直接证明与间接证明主备人：审核人：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．——反证法．了解反证法的思想过程及特点.1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°2．若函数F (x )＝f (x )＋f (－x )与G (x )＝f (x )－f (－x )，其中f (x )的定义域为R ，且f (x )不恒为零，则 ( )A ．F (x )、G (x )均为偶函数B ．F (x )为奇函数，G (x )为偶函数C ．F (x )与G (x )均为奇函数D ．F (x )为偶函数，G (x )为奇函数3．命题“对于任意角θ，co θ4s －si θ4n ＝co θ2s ”的证明：“co θ4s －si θ4n ＝(co θ2s －sin θ2n )(co θ2s +sin θ2n )＝co θ2s －sin θ2n ＝co θ2s ”过程应用了 ( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是________．5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b应满足的条件是________．因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…二、间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．6、(2011·全国高考)设数列{a n}满足a1＝0且11－a n＋1－11－a n＝1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1－a n＋1n，记S n是数列{b n}的前n项和，证明：S n<1.7、用分析法证明：若a >0，则 a 2＋1a2－2≥ a ＋1a －2.8、求证：5,3,2不可能成等差数列。

人教版数学高二新人教A版选修1-2 2.2直接证明与间接证明教材析

直接证明与间接证明教材精析在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.其推理方式可用框图表示为：其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，12Q Q，，表示中间结论．综合法常用的表达格式为：P∵，1Q∴；又∵，2Q∴；，nQ∴；又∵，Q∴．2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论，1230Q Q Q Q，，，，分别表示使12nQ Q Q Q，，，，成立的充分条件，Q表示最后寻求到的一个明显成立的条件．分析法常用的表达格式为：要证Q，只需证1Q，只需证2Q，，只需证Q，由于Q显然成立，所以Q成立．综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.二、反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“P Q⇒”⇔“Q P⌝⇒⌝”．用反证法证题的格式一般为：假设Q不成立，若()Q⌝，，则p⌝，这与已知P（定义、公理、定理等）相矛盾，∴假设()Q⌝不成立，Q∴成立．1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错.2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论. 例1求证3725+<．错证：3725+<∵，22(37)(25)+<∴，1022120+<∴，215<∴，2125<∴，显然原不等式成立．错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了. 正：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书99P 例3）.一般是先用综合法由已知条件P 推出一个中间结论M ，再用分析法探求，发现M 正是使所要证结论Q 成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q 成立的充分条件M ，再用综合法由已知条件P 推出M .证明过程用框图2表示.或例2 教科书中对99P 例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.证明：要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++，只需证22222222sin sin 11cos cos sin sin 121cos cos βαβααβαβ--=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即证22221cos sin (cos sin )2ααββ-=-即证22112sin (12sin )2αβ-=-，即证224sin 2sin 1αβ-= ③．另一方面，因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将已知中的①②代入上式，即得224sin 2sin 1αβ-=与③相同，于是问题得证．4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.例3=只需证22≠，即证105，即证2125≠，而该式显然成立，≠不成等差数列．=2125≠∵，5≠，10∴，即3720+≠，即2≠，≠不成等差数列．。

人教课标版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明(第2课时)》教案-新版

2.2.2直接证明与间接证明（第2课时）一、教学目标1．核心素养培养学生用分析法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力．2．学习目标（1）结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．（2）会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．学习重点掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．4．学习难点根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．二、教学设计1．预习任务任务1预习教材P38—P41，思考：什么是分析法？分析法的本质是什么？任务2分析的思考过程、特点分别是什么？任务3分析法证明问题的方法、步骤是怎样的？2．预习自测1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：Cb2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．（二）课堂设计1．知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题．证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2．展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立．1．本题证明从哪里开始？从结论开始．2．证题思路是什么？寻求每一步成立的充分条件．2．问题探究问题探究一●活动一什么是分析法？1．分析法：一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法．●活动二分析法证明问题的模式①用分析法证明的逻辑关系是：11223()()()Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→L (得到一个明显成立的条件)②分析法的思维特点是：执果索因(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．问题探究二怎样用分析法处理问题分析法证题的一般步骤是：要证明命题Q 为真，只需要证明命题1P 为真，从而有………………这只需要证明命题2P 为真，从而又有…………………这只需要证明命题P （P 是一个明显成立的条件）．而已知P 为真，故命题Q 必为真．●活动一用分析法证明不等式例1设a ＞b ＞0，求证： a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a －b )．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】详解：因为a ＞b ＞0，所以a 2＞ab ＞b 2，所以ab －b 2＞0．要证 a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a － b )，只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b2＞a 2－ab a 2＋ab ，只需证 a 2－b 2－ab －b 2＜a 2＋ab ．而a 2－b 2＜a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立．所以 a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a －b )成立．点拔：分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用练习：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法，同角三角函数的基本关系，三角函数的符号，两角和的余弦公式】证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0．即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0．∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1．点拔：（1）分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．（2）用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．（3）用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．●活动二用分析法证明其他问题例2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1，设b n ＝2n a n ，证明：数列{b n }是等差数列．【知识点：等差数列，分析法】详解：要证{b n }为等差数列，只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)，即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数．即证11112()222n n n n n a a +++-g 为常数，即证2n a n ＋1－2n a n 为常数，2n a n ＋1－2n a n ＝1成立．∴{b n }是等差数列．点拔：(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．活学活用练习：已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=g ，求证：()22221tan 1tan 1tan 21tan αβαβ--=++ 【知识点：分析法，三角恒变换】证明：()222222222222sin sin 111tan 1tan cos cos sin 1tan sin 21tan 121cos cos βααββαααββαβ----=⇐=+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 2222cos sin cos sin 2ββαα-⇐-=222(12sin )12sin αβ⇐-=-224sin 2sin 1αβ⇐-=．由已知得：2224sin sin cos 2sin cos 12sin cos αθθθθθθ=++=+，2sin 2β＝2sin θcos θ，∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立，∴()22221tan 1tan 1tan 21tan αβαβ--=++成立． ●活动三综合法和分析法的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．求证：111()()3()a b b c a b c ---+++=++．【知识点：分析法，等差数列，余弦定理】证明：要证111()()3()a b b c a b c ---+++=++，即证113a b b c a b c +=++++，只需证3a b c a b c a b b c+++++=++．化简，得1c a a b b c +=++，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac ．因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以2221cos B=22a cb ac +-=，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立． ∴111()()3()a b b c a b c ---+++=++成立．点拔：（1）综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．（2）在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．●活动四切记用分析法与综合法因逻辑混乱而出错例4 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b ．【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即sin αsin β＝16cos αcos β，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．【防范措施】分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【知识点：向量的平行，三角恒变换，分析法】【正解】分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线，∴a ∥b ．3．课堂总结【知识梳理】(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．【难点突破】（1）综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．（2）分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．（3）分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．4．随堂检测1．直接证明中最基本的两种证明方法是（）A．类比法和归纳法B．综合法和分析法C．比较法和二分法D．换元法和配方法【知识点：综合与分析法】答案：B根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．2．欲证2－3＜6－7，只需要证（）A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)2【知识点：分析法，不等式的证明】答案：C∵2－3＜0，6－7＜0，∴要证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2．3．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了（）A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法答案：B【知识点：综合与分析法】解：符合综合法的证明思路．4．已知a>b>0，试用分析证明a2－b2a2＋b2>a－ba＋b．【知识点：分析法，不等式的性质，不等式的证明】证明：要证明a2－b2a2＋b2＞a－ba＋b(由a＞b＞0，得a－b＞0)．只需证(a2－b2)(a＋b)＞(a2＋b2)(a－b)，只需证(a＋b)2＞a2＋b2，即2ab＞0，因为a＞b＞0，所以2ab＞0显然成立．因此当a＞b＞0时，a2－b2a2＋b2＞a－ba＋b成立．（三）课后作业基础型自主突破1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有（）A．2个B．3个C．4个D．5个答案：C【知识点：综合与分析法】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．2<(0a ≥)可选择的方法有多种，其中最合理的是（）A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法答案：C【知识点：综合与分析法】要证明< (0a ≥)只需证2727a a ++<++只需证<(7)(3)(4)a a a a +<++，只需证0＜12，故选用分析法最合理．故答案为C3．已知(21)2()21x x a f x +-=+是奇函数，那么实数a 的值等于（）A ．1B ．－1C ．0D ．±1答案：A【知识点：函数的奇偶性，综合法】当1a =时，21()21x x f x -=+，2121()()2121x xx x f x f x -----==-=-++，()f x 为奇函数．当a ＝－1或0时,得不出()f x 为奇函数，故A 正确．答案为A4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是（）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案：A【知识点：函数的单调性，综合法】若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ．5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)答案：C【知识点：不等式的证明，综合法】用分离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A 、B 的大小关系为________．答案：A B ≥【知识点：不等式的证明，综合法】222()4()022()2()a b a b ab a b A B ab a b ab a b ab a b ++---=-==≥+++．能力型师生共研1．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．答案：(12，1)【知识点：直线与圆锥曲线的位置关系，综合法】解：数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行．设l ：y ＝4x ＋b ．将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0，令△＝0，得b ＝－1．∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，∴y ＝1．．2．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0；(a －b )2≥0；(a －b )2≥0【知识点：不等式的证明，分析法】解：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证a 2＋b 2－2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，由于(a －b )2≥0显然成立，因此原不等式成立．3．如下图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G ．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1．【知识点：分析法，线线垂直，面面垂直，线面垂直】证明：要证明平面B 1EF ⊥面BDD 1B 1，只需证面B 1EF 内有一线垂直于面BDD 1B 1，即EF ⊥面BDD 1B 1．要证EF ⊥面BDD 1B 1，只需证EF 垂直平面BDD 1B 1内两条相交直线即可，即证EF ⊥BD ，EF ⊥B 1G ．而EF ∥AC ，AC ⊥BD ，故EF ⊥BD 成立．故只需证EF ⊥B 1G 即可．又∵△B 1EF 为等腰三角形，EF 的中点为G ，∴B 1G ⊥EF 成立．∴EF ⊥面BDD 1B 1成立，从而问题得证．4．设a ，b >0，且a ≠b ，用分析法证明：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2．【知识点：不等式的证明，分析法】证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．探究型多维突变1．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋b a ≥a ＋b ．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，综合法，分析法】证明：法一 (综合法)：因为a >0，b >0，所以a b ＋b a －a －b ＝(a b －b )＋(b a－a )＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(1b －1a ) 所以a b ＋b a≥a ＋b ．法二 (分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b )(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a≥a ＋b 成立． 2．已知a 、b 、c 为三角形的三条边，0m >，求证：a b c a m b m c m +>+++．证明：a b c a m b m c m+>+++2()()()ab m a b c a m b m c m ++⇔>+++2()2()ab m a b m c m ab m a b c ++++⇔<++ 22()ab m m ab m a b c-+⇔<++2(2)[()]ab c m m a b ⇔+>-+ ∵(2)0ab m +>，c a b <+，2[()]0m c a b -+<∴上式成立， ∴a b c a m b m c m+>+++．（四）自助餐1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C【知识点：综合法与分析法概念】由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C【知识点：三角形形状的判定，余弦定理】要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是（）A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α答案：D【知识点：分析法，线线垂直，线面垂直】对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．5．设x>0，y>0，且x＋y≤a x＋y恒成立，则a的最小值是（）A．2 2B． 2C．2D．1答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】解析：要使x＋y≤a x＋y恒成立．只需a≥x＋yx＋y恒成立．设t＝x＋yx＋y，则t2＝x＋y＋2xyx＋y≤2（x＋y）x＋y，∴t2≤2(当且仅当x＝y时等号成立)则t＝x＋yx＋y的最大值为2，因此a≥2时，原不等式恒成立．∴a的最小值为2．6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案：a≥0，b≥0且a≠b【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．7．设m＝6－5，n＝2－3，则m与n的大小关系是________．答案：m<n【知识点：不等式的性质，不等式的证明，综合法】由于m＝6－5＝16＋5，n＝2－3＝12＋3又6>2，5>3，∴6＋5>2＋3，从而m<n．8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)【知识点：分析法，线线垂直，线面垂直】要证明A1C⊥B1D1只需证明B1D1⊥平面A1C1C因为CC1⊥B1D1只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1从而得B1D1⊥A1C1．9．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则ab＋c＋bc＋a＝________．答案：1【知识点：综合法，恒等变形】因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab．所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝c2＋ab＋ac＋bc＝(a＋c)(b＋c)，所以ab＋c＋bc＋a＝（a2＋ac）＋（b2＋bc）（b＋c）（c＋a）＝1．10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2，只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．11．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α．【知识点：三角恒等变换，两角和与差正余弦公式，分析法】证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立．只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin α＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．12．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1．求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，对数及运算，分析法】证明：要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc ．(*)由基本不等式得a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0．又因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2> a 2b 2c 2＝abc ．因此不等式(*)成立．所以log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且01x <<，求证：log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，对数及运算，分析法】证明：要证明：log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++．只需证明：log log ()222x x a b b c c a abc +++⎡⎤∙∙<⎢⎥⎣⎦．由已知：01x <<，只需证明：222a b b c c a abc +++∙∙>．由公式：02a b +≥>，02b c +≥>，02c a +≥>，∵a 、b 、c 不全相等，上面三式相乘，有：222a b b c c a abc +++∙∙>=．即：222a b b c c a abc +++∙∙>成立． ∴log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++成立．14．已知0,0,1a b a b >>+=2+≤．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，分析法】证明：为了证明：2+≤．只需证明：11422a b ++++≤．由1a b +=，只需证明：1≤，只需证明：11()()122a b ++≤，即：14ab ≤．∵0,0a b >>，1a b =+≥，∴14ab ≤成立．∴ 2+≤成立．。

人教课标版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明(第1课时)》教案-新版

2.2.1直接证明与间接证明（一）一、教学目标1.核心素养培养学生用综合法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力.2.学习目标了解直接证明的基本方法；了解综合法的思维过程、特点；会用综合法证明数学问题.3.学习重点掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题.4.学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材P36—P38，思考：什么是综合法？综合法的本质是什么？任务2综合法的思考过程、特点分别是什么？任务3综合法证明问题的方法、步骤是怎样的？2.预习自测1.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件（）A.a2<b2＋c2B.a2＝b2＋c2C.a2>b2＋c2D.a2≤b2＋c2解：C若∠A为钝角，由余弦定理知cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴b2＋c2－a2<0.故答案为C.2.设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则（）A.S 4<S 5B.S 4＝S 5C.S 6<S 5D.S 6＝S 5解：B ∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.答案为B3.在△ABC 中，“0AB AC >uu u r uuu r g ”是“△ABC 为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：B 由0AB AC >uu u r uuu r g ⇒∠A 为锐角，而角B ，C 并不能判定，反之若△ABC 为锐角三角形，一定有0AB AC >uu u r uuu r g .答案为B4.已知函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能是（）A.π2B.－π4C.π4D.34π解：C 由题意知，sin(π4＋φ)＝±1，所以当φ＝π4时，sin(π4＋π4)＝sin π2＝1.答案为C（二）课堂设计1.知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题.已知实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求证：22x y +≥.证明：因为x ＋y ＝1，所以22x y +≥==，故22x y +≥.1.本题的条件和结论是什么？条件：x ＋y ＝1，结论22x y +≥2.本题的证明顺序是什么？从已知条件利用基本不等式到待证结论.2.问题探究问题探究一综合法的意义●活动一什么是综合法？一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.上面引例就是从条件出发，利用某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.●活动二综合法证明问题的模式11223n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒⇒LP 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论.问题探究二怎样用综合法处理问题综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.●活动一用综合法证明不等式例1 求证：（1）232x x +>；（2）222(1)a b a b +≥--；（3）若a b c >>，则：222222bc ca ab b c c a a b ++<++.【知识点：不等式的性质，实数的非负性，不等式的证明，实数的大小比较】详解：（1）2232(1)20x x x +-=-+>，∴232x x +>.（2）22222(1)(1)(1)0a b a b a b +---=-++≥，∴222(1)a b a b +≥--.（3）222222()()bc ca ab b c c a a b ++-++222222()()()bc c a ca b c ab a b =-+-+-2()()()()c b a c a b a b ab b a =-++-+-2()()b a c ac bc ab =---+()()()b a c a c b =---∵a b c >>，∴0,0,0b a c a c b -<-<-<.∴()()()0b a c a c b ---<.∴222222bc ca ab b c c a a b ++<++.点拔：综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.例2已知0,0,0,0a b m n >>>>，求证：m n m n m n n m a b a b a b +++≥⋅+⋅【知识点：不等式的性质，不等式的证明，实数的大小比较】详解：()()m n m n m n n m a b a b a b +++-⋅+⋅()()m n m n n m m n a a b a b b ++=-⋅-⋅-()()m n n m n n a a b b a b =---()()m m n n a b a b =--0,m m n n a b a b a b >>>>当时，，()()0m m n n a b a b ∴-->；0,m m n n b a a b a b >><<当时，，()()0m m n n a b a b ∴-->；0,m m n n a b a b a b =>==当时，，()()0m m n n a b a b ∴--=.综上所述：()()0m m n n a b a b --≥.∴ m n m n m n n m a b a b a b +++≥⋅+⋅.点拔：注意分类讨论判断符号.对m 、n 取特殊值，可得到以下一些大家比较熟悉的题目：（1）已知a >0，b >0，求证：553223a b a b a b +≥+；（2）已知a >0，b >0，求证：3322a b a b ab +≥+；（3）已知a >0，b >0，求证：4433a b a b ab +≥+.●活动二用综合法几何问题例3 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点.求证：(1)C 1M ⊥平面AA 1B 1B.(2)A 1B ⊥AM .(3)平面AC 1M ∥平面B 1N C.【知识点：线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行，面面平行】详解：(1)∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1. 又∵C 1M ⊥A 1A ，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，A 1A ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，∴C 1M ⊥平面AA 1B 1B.(2)∵A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，由(1)知C 1M ⊥平面AA 1B 1B ，∴A 1B ⊥C 1M .又A 1B ⊥AC 1，AC 1，C 1M ⊂平面AC 1M ，AC 1∩C 1M ＝C 1，∴A 1B ⊥平面AC 1M .又∵AM ⊂平面AC 1M ，∴A 1B ⊥AM .(3)在矩形AA 1B 1B 中，易知AM ∥B 1N ，AM ⊄平面B 1NC ，B 1N ⊂平面B 1NC ，∴AM ∥平面B 1N C.又C 1M ∥CN ，CN ⊂平面B 1NC ， C 1M ⊄平面B 1NC ，∴C 1M ∥平面B 1N C.又∵C 1M ∩AM ＝M ，C 1M ，AM ⊂平面AC 1M ，∴平面AC 1M ∥平面B 1N C.点拔：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：a b a c b c ⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥，a b a b αα⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥，αβαγβγ⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥等.其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1N C.●活动三用综合法证明数学中的其他问题例4设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列. 【知识点：递推数列，等差数列，等比数列】详解： (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)，∴a n ＋1a n＝2m m ＋3，且a 1＝1，∴{a n }是等比数列. (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13. ∴数列{1b n}为首项为1，公差为13的等差数列. 点拔：（1）综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件.（2）综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等.●活动四综合法的简单应用例5 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列.求证：223cos cos 222C A b a c +≥ 【知识点：等比数列，不等式的证明，三角恒等变形】详解：1cos 1cos 22C A a c ++=⋅+⋅Q 左边 1113()(cos cos )()222222b b b ac a C c A a c =+++=++≥+==右边 ∴223cos cos 222C A b a c ∴+≥. 点拔：（1）综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知.（2）综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等.②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型.3.课堂总结【知识梳理】（1）综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为:11223n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒⇒L【难点突破】综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题.所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果.4.随堂检测1.设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( ) A.0<P <1B.1<P <2C.2<P <3D.3<P <4答案：B【知识点：对数的运算，放缩法证明不等式】1111111111log 2log 3log 4log 5log 120P =+++=，1111111log 11log 120log 1212=<<=即12P <<，故答案为B2.A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C【知识点：充要条件，正弦定理】若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B.故答案为C3.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案：a c b >>【知识点：不等式的性质，实数的大小比较】∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a c >，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c b >，∴a c b >>，故答案为a c b >>. 4.已知函数()21,(),f x x g x x x R =+=∈，数列{a n }，{}n b 满足条件：a 1＝1，1()(b )n n n a f b g +==，*n N ∈.求证：数列{}1n b +为等比数列.【知识点：函数的概念，数列的函数特性，等比数列】证明：由题意得121n n b b ++=，∴111222()n n n b b b +++=+=， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2，又∵a 1＝2b 1＋1＝1，∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0.故数列{}1n b +是以1为首项，2为公比的等比数列.（三）课后作业基础型自主突破1.已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：B【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确.②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确.③a ∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确. ④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确.综上知③，④正确.答案为B2.a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( )A.a ＋b ＋1ab ≥2 2B.(a ＋b )(1a ＋1b )≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab 解：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 项不成立.答案是D3.p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________.答案：p≤q【知识点：不等式的性质，不等式的证明】 p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )(b m ＋d n )＝ab ＋nbc m ＋mad n ＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd∴q 2≥p 2，∴p ≤q .答案为：p≤q4.当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.【知识点：不等式的性质，不等式的证明，函数与不等式】解：(－∞，－5] x 2＋mx ＋4<0⇔m <－x －4x ，∵y ＝－(x ＋4x )在(1，2)上单调递增，∴－(x ＋4x )∈(－5，－4)21 ，∴m ≤－5.答案为(－∞，－5]5.在△ABC 中，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B.【知识点：余弦定理，三角形的边角关系】证明：因为a 2＝b (b ＋c )，所以a 2＝b 2＋bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc＝c －b 2b . 又因为cos2B ＝2cos 2B －1＝2(a 2＋c 2－b 22ac )2－1＝2(b ＋c 2a )2－1＝(b ＋c )2－2a 22a 2＝(b ＋c )2－2b 2－2bc 2b (b ＋c )＝c －b 2b . 所以cos A ＝cos2B.又因为A，B是三角形的内角，所以A＝2B.6.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC，∵EF⊄平面ABC而BC⊂平面AB C.∴EF∥平面AB C.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，∴A1D⊥CC1，又A1D⊥1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力型师生共研1.设,a b R∈，且,2a b a b≠+=，则必有（）A.22 12a bab+≤≤B.2212a b ab+<<C.2212a bab+<<D.221 2a bab+<<解：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵a b ≠，∴222a b ab +>，即222a b ab +>，可排除A 、D. 又2222222222()1244444a b a b a b a b ab a b +++++=+>+==.故B 正确. 2.l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案：B【知识点：直线与直线的位置关系】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错.答案为B3.已知0y x >>，且1x y +=，那么（） A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 答案：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.4.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线（）A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，不一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在平面α内解：C【知识点：直线与平面的位置关系】由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内.5.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”)答案：＜【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵13－2＝3＋2(3－2)(3＋2)＝3＋2，12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1.6.已知sin x＝55，x∈(π2，3π2)，则tan(x－π4)＝________.解：－3【知识点：同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式】∵sin x＝55，x∈(π2，3π2)，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan(x－π4)＝tan x－11＋tan x＝－3.7.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________.(用序号及“⇒”表示) 答案：①③⇒②【知识点：不等式的性质，不等式的证明，绝对值不等式】∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.8.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.【知识点：正弦定理、余弦定理】证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.9.设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 在R 上满足f (x )＝f (－x )(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数.【知识点：函数的奇偶性，函数的增减性】解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a e x ＋ae x ，所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立.由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ex 1－ex 2＋1e x 1－1e x 2＝(ex 2－ex 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(ex 2－ex 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2. 由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0，ex 2－ex 1>0，1－ex 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.探究型多维突破1.如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.(1)求证：B 1B ∥平面D 1AC ；(2)求证：平面D 1AC ⊥平面B 1BDD 1.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明：(1)设AC ∩BD ＝E ，连接D 1E ，如图∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥B D.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.2.已知数列{a n}的首项a1＝5，S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*).(1)证明数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式a n.【知识点：数列的通项公式，等比数列】(1)证明：∵S n＋1＝2S n＋n＋5，∴S n＝2S n－1＋(n－1)＋5(n≥2).∴a n＋1＝S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)＋1＝2a n＋1(n≥2).∴a n＋1＋1a n＋1＝2(a n＋1)a n＋1＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.又∵a2＋1a1＋1＝11＋15＋1＝2.∴数列{a n＋1}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知，a1＋1＝6，a n＋1＝6×2n－1＝3×2n，∴a n＝3×2n－1.3.设a、b、c∈R＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c). 【知识点：不等式的性质，基本不等式，不等式的证明】证明：∵a2＋b2≥2ab，a、b∈R＋，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b ).同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c )＝2(a ＋b ＋c ).(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).（四）自助餐1.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是（）A.aB.bC.cD.不能确定答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a ，又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x >1＋x∴c >b >a ，最大的数为c .答案为C2.已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于（）A.bB.－bC.1bD.－1b答案：B【知识点：对数函数，对数运算】f (x )定义域为(－1， 1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .3.命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立（）A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关答案：B【知识点：数列的前n和公式，等差数列】当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝4n－5，又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式. ∴a n＝4n－5(n∈N*)，则a n－a n－1＝4(常数)，故数列{a n}是等差数列. 4.若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.a d> bcB.a d< bcC.a c> b dD.a c< b d答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C，D；又ad＝－32，bc＝－23，所以ad<bc，所以选项A错误，选项B正确.法二：因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以1－d>1－c>0.又a>b>0，所以a－d>b－c，所以ad<bc.5.在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则该三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：D【知识点：正弦定理，三角形形状的判定】由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案：A【知识点：函数的奇偶性，函数单调性】由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案为A7.命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法.答案：综合法【知识点：分段函数，函数的增减性，函数与导数】本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法.8.角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”).答案：充要【知识点：充要条件，正弦定理】在△ABC 中，A >B ⇔a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，从而sin A >sin B.因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sinB ，为充要条件.9.设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________.答案：4【知识点：等比中项，基本不等式】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.10.已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .【知识点：不等式的性质，不等式的证明】证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以(b 2＋c 2) a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac ，所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .11.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数. 【知识点：函数的奇偶性，函数的图象，函数的对称性】证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称.∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数.12.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点.(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .【知识点：线线垂直，线面垂直】证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥C D.因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P A C.又因为AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A.因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥P C.由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PC D.又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥P D.因为P A ⊥底面ABCD ，所以平面P AD⊥平面ABC D.又AB⊥AD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥P D. 又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.。

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》优质课教案_17

间接证明--反证法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

(2)、例子例1、求证：2不是有理数例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而 .2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。

高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案 文 新人教A版选修1-2

最新人教A版选修2-2高二数学直接证明与间接证明3(理)公开课教学设计

人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_2