《微积分一》洛必达法则

4 x3
x sin x 例2. 例 4 求 lim 3 x0 x ( x sin x ) x sin x 1 cosx lim sin x 1 解 lim lim lim 3 3 2 x 0 x 0 x 0 3x x 0 6 x 6 x ( x )
0
?
结束
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
定理41(洛必达法则I) (L’Hospital，1661-1704，法国数学家) 设函数f(x)与g(x)满足条件
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0
x a x a
(2)在点 a 的某去心邻域内可导 且 g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) 则必有 lim
f (x) f ( x) lim A (或) xa g ( x) xa g( x)
说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效
《微积分》(第三版) 教学课件
wenku.baidu.com首页
上一页
下一页
结束
定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) f (x) f ( x) lim A (或) 则必有 lim xa g ( x) xa g( x) 简要证明 令 f(a)g(a)0 于是 f(x) 及 g(x) 在点 a 的某邻域 内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
2 x 3x x2 sin 2 x ln(1 3 x) 例6. lim 3 x 2 x lim 3 x 2 x 6lim 3 x 2 x x 0 x 0 e x 0 e e e x e x e x
2x 2 12 6 lim 3 x 6 lim 3 x . 2 x 2 x x 0 3e x 0 9e 2e 1 4e 5
例 求 lim tan x 例7 7. x tan 3x
2
存在非零因子
( sin x cos 3 x sin x cos 3 x ) 解：原式 = lim lim lim
x

2
sin 3 x cos x
x

2
sin 3x
化简
x

2
cos x
(0 0)
cos 3 x 1 lim cos x x
§4.2 洛必达法则
一、 未定式
0 二、“ 0 ”型未定式的极限 三、“ ”型未定式的极限
四、洛必达法则失效的情况
五、其他类型未定式的极限
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
一、未定式
如果在某一过程中 函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是 f (x) 无穷大 无穷小量 那么极限lim 可能存在、也可能不存在 F (x) 0或 通常把这种极限叫做未定式 并分别简记为 0 基本类型： 例如 下列极限都是未定式 0 ( )型 ( )型 x sin x ln x x sin x xn 0 lim ( 0) lim 3 3 lim lim nlnn (n 0) xx 00 x x xx x x n 其它类型： lim x n ln x (n0) lim(sec x tan x) x tan x) lim x ln x (n0) lim(sec x0 x
x e 例 12. 例 10 求 lim 2 x x x x x e e e 解 lim 2 lim lim x x x 2x x 2
结论：当x 时, ln x, e x , x n
都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：
x 时, ln x x n e x
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
4x 3 x 16 lim lim 3 例 1 求 求 2 x x 12 x x 2 x x 1 2 3 1 3 x 4 ( x 4 x 3) 解 原式 = lim lim 2 3 2 x 1 3 x 2 x 1 x 1 ( x x x 1) 2
0 （ 型） 引例 1. 0
0 （ 型） 引例2. 0
( x 2 x 3)( x 1) 1 lim x 1 ( x 2 1)( x 1) 2
因式分解复杂
0 （ 型） 0
x sin x 引例3. lim x 0 x3
对于 0 型极限有没有更简单、更一般的求解方法？
3sin 3x lim 3 sin x x
2
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
2
2 sin x x sin x cos x 例 8. 求 lim 例 16 x0 x4 2 sin x x sin x cos x lim sin x sin x x cos x 解 lim x0 x0 x x4 x3
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
四、洛必达法则失效的情况
( ) lim
x sin x 1 cos x lim x x sin x x 1 cos x
极限不存在
出现循环
x x x x x x e e e e e e ( ) lim lim x x lim x x x e x e x x e e x e e
f ( x) f ( x) f (a ) f ( ) lim lim lim x a g ( x) x a g ( x) g (a) x a g ( )
f (x) f ( ) f ( x) lim lim lim A (或) x x a a g ( x) a a g( ) x x a a g( x)
xx lim 2 x 0 x
1
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
ln x (n0) 例 9 求 lim 例11. x x n
1 1 0 解 lim lnnx lim x lim x x x nx n1 x nx n
说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
例 10. 例 8 求 lim ln cotx x0 ln x
1 ( 1 ) 2 ln cot x cot x sin x 解 lim lim 1 x0 x0 ln x x tan x x lim 2 x 0 sin x
0
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
定理42(洛必达法则II) 设函数f(x)与g(x)满足
x a x a
三、“ ”型未定式的极限
(1) lim f ( x) lim g ( x) (2)在点 a 的某去心邻域内可导 且 g(x)0
f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) f ( x) f ( x) lim A (或) 则必有 lim xa g ( x) xa g( x)
首页 上一页 下一页 结束
《微积分》(第三版) 教学课件
0 二、“ ”型未定式的极限 0
x2 1 ( x +1)( x 1) x 1 1 lim 2 = lim lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1) x 1 x 3 2
3 2 x3 4 x 3 x x 3 x 3 x ( x 1) 3( x 1) lim 3 = lim lim x 1 x x 2 x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 x 2 ( x 1) ( x 1)
所以
xsin x e 1 lim x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 lim x0 arcsin x 3 x0 x0 x0 6x 6 x3 3x 2
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
注： 1. 洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,
2
x0 x 2 (0 )型 2 1 1 )x 1 )x x 2x 2 lim 2 x x ( ) 型 lim ( 1 lim (xx a lim lim ( 1 lim x x a ) x lim (x 0 x0 xx x x x0 x x 0 0 ,1 0 型
x3 3x 2 例4. 求 lim 3 验型 . 2 x 1 x x x 1 3 2 x xx 3 x 2 x 3 3 x 6x (e 1) e 1 e lim lim 23 lim 解 lim lim 1 x 1 2 lim 2 2 x 1 x 1 x0 x x 0 ( x 2x 6x 2 xx x x1 x) 3 x x0 2 x1 1 3 6 lim 1 2 x 1 6 ln( 1 x) 例 5. lim 例 5 求 2 x0 x 1 1 x) 1 x lim 1 解 lim ln( lim x0 x0 2x x0 2x(1 x) x2
sin x 1 x sin x 1 0 x lim lim 1 x x sin x x sin x 1 0 1 x e x e x 1 e 2 x 1 0 lim x x lim lim 1 2 x x e e x 1 0 x 1 e
x2 当x 0时， 1 cos x ~ 2
1 2 x 1 2 lim 2 x 0 3x 6
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(1 x)a 1 例3. 2 求 lim x0 x (1 x)a 1 [(1 x)a 1] a(1 x)a 1 lim lim a 解 lim x0 x 0 x0 x ( x) 1
但是要结合各种方法，以求最捷方式. 1）等价无穷小替换法 2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必 达法则的运算. 3）过程中注意化简. 2. 只要满足条件，可多次使用洛必达法则. f ( x) 0 若 仍属 型, 且f ( x), g ( x)满足定理的条件, 则 g ( x) 0 f ( x) f ( x) f ( x) lim lim lim . g ( x) g ( x) g ( x) 但每次使用前都必须检验极限类型是否为 0 型.
cos x lim sin x x x0 x3 x sin x lim cos x cos x x0 3x 2 lim sin x 1 x0 3x 3
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
xsin x e 1 例 9. 求lim 例 18 x0 arcsin x3 解 这是一个0 型未定式 先进行等价无穷小量代换 0 因ex1~x (x0) 故有exsin x1~xsin x (x0) 因arcsin x~x (x0) 故有arcsin x3~x3 (x0)