《微积分一》洛必达法则
洛必达法则的无穷小性质
洛必达法则的无穷小性质洛必达法则是微积分中的一条重要定理，它描述了函数在某一点的导数与极限的关系。
在许多应用中，我们需要计算一个函数在某一点的极限，但是直接计算时可能会遇到一个无穷形式，而洛必达法则就是一种有效的解决方法之一。
在这篇文章中，我们将探讨洛必达法则的无穷小性质，即当函数趋近于某一点时，它的大小比起某个无穷小更能准确地描述函数的行为。
首先，让我们回顾一下洛必达法则的表述。
设$f(x)$和$g(x)$是在某个点$a$附近可导的两个函数，而且$g(x)$在该点的导数不为零。
则当$x$趋近于$a$时，$\frac{f(x)}{g(x)}$的极限等于$\frac{f'(a)}{g'(a)}$。
这个定理的应用十分广泛，可以用来计算诸如$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$和$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}$这样的极限。
然而，当我们企图使用洛必达法则来计算一个极限时，我们也许会遇到一些奇怪的情况。
比如说，考虑函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$和$g(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x$。
当$x\to\infty$时，$f(x)$显然趋近于0，而$g(x)$则趋近于$\frac{1}{2}$。
然而，如果我们直接应用洛必达法则，我们会得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+x+1}-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{\frac{1}{2}(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}-1}$$当$x\to\infty$时，分母趋近于$-\frac{1}{2}$，因此分式极限不存在。
但是事实上，我们知道$f(x)$趋近于0的速度比$g(x)$趋近于$\frac{1}{2}$的速度要快得多。
因此，虽然$f(x)$和$g(x)$都趋近于有限数，但是它们的趋势是不同的。
高数微积分洛必达法则
柯西定理 在(a, x)内至少存在点 ,使
f (x) F(x)
f (x) f (a) F(x) F(a)
f ( ) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a, (3) lim f ( x) A
例
求 lim x
sin 2 x
cos
1 x x
( 1
)
x ln sin
2
cos
1
解 原式 lim e x
x
x
还有别的方法吗?
lim1
1
x
e
x x
lim x ln sin 2 cos 1 (0 )
e x x
ex x2(
)
lim
x
ex
(
2x
)
lim e x x 2
.
例
求
lim
x
x(
2
arctan x).
(
0
)
解
原式
lim
x
2
arctan x 1
(
0 0
)
x
lim
1
1 x
2
x
1
x2
x2
lim x 1
x2
1
2. 型 步骤: 1 1 0 0 0
一、0 型, 型未定式 0
定理1 设函数 f ( x)及F( x)满足条件
(1)lim f ( x) 0(或), lim F( x) 0(或);
洛必达法则对数法
洛必达法则对数法1. 介绍洛必达法则和对数法洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是微积分中的一条重要定理，用于求解极限。
它是由法国数学家洛必达（Guillaume François Antoine, Marquis deL’Hôpital）在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如00或∞∞的极限。
对数法（Logarithmic Differentiation ）是一种求导的方法，它将复杂的函数转化为对数函数，从而简化求导过程。
这种方法常用于高阶导数的计算以及含有多个变量的函数求导。
2. 洛必达法则2.1 00型极限当计算一个极限时，如果直接代入得到00的形式，可以使用洛必达法则来求解。
具体步骤如下：1. 对于给定的函数f (x )和g (x )，当x 趋向某一特定值a 时，若f (a )=g (a )=0或f (a )=g (a )=∞，即得到00的形式。
2. 计算f′(x )和g′(x )。
3. 如果存在极限lim x→a f′(x )g′(x )，且lim x→a f′(x )g′(x )存在或为无穷大，则原极限lim x→a f (x )g (x )也存在且与之相等。
2.2 ∞∞型极限当计算一个极限时，如果直接代入得到∞∞的形式，可以使用洛必达法则来求解。
具体步骤如下：1. 对于给定的函数f (x )和g (x )，当x 趋向某一特定值a 时，若f (a )=g (a )=∞，即得到∞∞的形式。
2. 计算f′(x )和g′(x )。
3. 如果存在极限lim x→a f′(x )g′(x )，且lim x→a f′(x )g′(x )存在或为无穷大，则原极限lim x→a f (x )g (x )也存在且与之相等。
3. 对数法对数法是一种求导的方法，在某些情况下可以简化复杂函数的求导过程。
具体步骤如下：1. 对于给定的函数f (x )，先取对数：y =ln(f (x ))。
证明洛必达法则
证明洛必达法则洛必达法则，也称为洛必达韦尔斯特拉斯定理，是微积分中的一个重要工具，用于求解极限问题。
它可以帮助我们判断当函数间的比值无穷大或无穷小时，两个函数之间极限的大小关系。
洛必达法则的数学表述如下：设函数f(x)和g(x)在某点a的某个去心邻域内可导，且g'(x) ≠ 0。
如果当x → a时，f(x)和g(x)的极限都存在且g(x) ≠ 0，则有：lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)现在我们来证明洛必达法则。
我们设定一个函数f(x)和它的倒数函数g(x)。
我们要证明当f(x)和g(x)在一个点a的邻域内都可导，且g'(x) ≠ 0时，有洛必达法则成立。
根据洛必达法则的定义，我们需要证明当x → a时，f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
我们先假设f(x)和g(x)在a的某个去心邻域内可导，且g'(x) ≠ 0。
根据函数的可导性定义，我们可以得到以下两个极限：lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a) = f'(a)lim(x→a) (g(x)-g(a))/(x-a) = g'(a)我们将以上两个等式分别两边乘以(x-a)，得到：(f(x)-f(a)) = f'(a)(x-a)(g(x)-g(a)) = g'(a)(x-a)接下来，我们将上述两个等式使用除法，得到：(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)) = (f'(a)(x-a))/(g'(a)(x-a))利用分式的性质，我们可以消去(x-a)，得到：(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)) = f'(a)/g'(a)现在，我们可以取x → a，这样(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))的极限等于f'(a)/g'(a)。
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
叙述洛必达法则
洛必达法则（L'Hopital's Rule）是一种求极限的方法，应用于解决未定式极限问题。
它的核心思想是通过求导和求极限的过程，将未定式转化为可求极限的形式。
洛必达法则的应用范围广泛，是微积分学中的重要知识点。
洛必达法则的基本表述如下：设函数f(x)和F(x)在点a的邻域内可导，且当x趋近于a时，f(x)和F(x)都趋近于零，且F'(x)不为零。
如果当x趋近于a时，极限存在（或为无穷大），那么此时极限的结果为：lim (f(x) / F(x)) = lim (f'(x) / F'(x))换句话说，当两个函数在某一点附近趋近于零时，我们可以通过求导并求极限的方式，来确定这两个函数的比值的极限。
在使用洛必达法则时，需要注意以下几点：1. 检查是否满足使用条件：在使用洛必达法则之前，首先要确保给定的函数满足极限存在的条件，如0/0或∞/∞型未定式。
否则，滥用洛必达法则会产生错误。
2. 连续多次使用：洛必达法则可以连续多次应用，直到求出最终的极限。
每次应用洛必达法则时，都要确保满足使用条件。
3. 适用范围：洛必达法则适用于解决一系列未定式极限问题，但并非所有极限问题都可以用洛必达法则求解。
当极限形式不满足0/0或∞/∞时，洛必达法则不适用。
此时，需要寻求其他求解方法，如泰勒公式等。
4. 化简结果：在求解过程中，可能需要对结果进行化简，以得到最终的极限值。
5. 举例说明：例如，求极限：lim (sin x / x)我们可以先求导，得到：lim (sin'(x) / 1) = lim (cos x / x) 再求导，得到：lim (cos'(x) / 1) = lim (-\sin x / x^2) 继续求导，得到：lim (-\cos x / 2) = lim (-\sin'(x) / 2x) 最后，我们可以看到，当x趋近于0时，极限存在，且满足洛必达法则的条件。
洛必达法则通俗理解
洛必达法则通俗理解洛必达法则，又称为洛必达定理，是微积分中的基本定理之一。
它是由法国数学家洛必达于1696年提出的。
洛必达法则用于求解极限问题，是微积分中非常重要的工具之一。
下面我们来通俗理解洛必达法则。
我们需要了解一下极限的概念。
在数学中，极限是指函数在某一点无限接近于某个值的过程。
而洛必达法则则是用来求解某些特定函数在极限点处的极限值的方法。
洛必达法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的极限之商的形式，从而更加方便地计算。
洛必达法则的具体表述是：如果函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心邻域内都可导，且g'(x)不等于0，那么当x趋近于a时，f(x)除以g(x)的极限等于f'(x)除以g'(x)的极限。
这个表述可能有些抽象，下面我们通过几个具体的例子来说明洛必达法则的应用。
我们来计算极限lim(x->0) (sinx)/x。
根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->0) cosx/1。
因为cosx在x=0处可导，且cos(0)=1，那么根据洛必达法则，上述极限的值为1。
接下来，我们来计算极限lim(x->∞) (x^2+3x)/(2x^2+5)。
根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->∞) (2x+3)/(4x)，因为x^2在x趋近于无穷大时增长的速度远远大于x，所以x^2+3x 和2x^2+5的极限值相等。
那么根据洛必达法则，上述极限的值为1/2。
我们来计算极限lim(x->0) (e^x-1)/x。
根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->0) e^x/1，因为e^x在x=0处可导，且e^0=1，那么根据洛必达法则，上述极限的值为1。
通过以上几个例子，我们可以看出洛必达法则在求解极限问题中的重要性和实用性。
它能够将复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更便于计算。
当然，在使用洛必达法则时，我们需要注意一些条件，比如函数可导性和分母不等于0等。
《微积分一》洛必达法则
说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) f (x) f ( x) lim A (或) 则必有 lim xa g ( x) xa g( x) 简要证明 令 f(a)g(a)0 于是 f(x) 及 g(x) 在点 a 的某邻域 内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有
0
?
结束
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
定理41(洛必达法则I) (L’Hospital，1661-1704，法国数学家) 设函数f(x)与g(x)满足条件
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0
x a x a
(2)在点 a 的某去心邻域内可导 且 g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) 则必有 lim
xx lim 2 x 0 x
1
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
ln x (n0) 例 9 求 lim 例11. x x n
1 1 0 解 lim lnnx lim x lim x x x nx n1 x nx n
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
四、洛必达法则失效的情况
洛必达法则的基本形式
洛必达法则的基本形式洛必达法则是微积分中非常重要的概念，它可以帮助人们求得在某一点附近的函数极限值。
起初，洛必达法则可能会让人感到困惑，因为它涉及到许多复杂的公式和概念。
但实际上，如果掌握了它的基本形式，就能轻松地理解和运用。
基本形式：0/0在洛必达法则中，一个重要的概念是不定式。
不定式是一个数学式子，它具有形式“函数f(x)除以函数g(x)”。
不定式的值可以是一个具体的数字，也可以是无穷大、无穷小或无极限。
在洛必达法则中，我们通常关注的是不定式的极限值。
在探究洛必达法则的基本形式之前，先来看一下不定式的一些例子。
例如：f(x) = x² - x，g(x) = x - 1，则不定式为f(x)/g(x) = (x² - x) / (x - 1)。
如果我们想求不定式在x = 1处的极限，即lim[x→1](x² - x) / (x - 1)，这个问题根本无法回答。
因为当x趋近于1时，分母趋近于0，分子也趋近于0，我们无法得出确切的答案。
这个时候，洛必达法则就派上用场了。
洛必达法则的基本形式为0/0。
当不定式的分子和分母在某一点附近同时趋近于0时，就可以使用洛必达法则来求得不定式的极限。
举个例子，如果让f(x) = sin(x)和g(x) = x，那么不定式为f(x)/g(x) = sin(x) / x。
我们可以发现，当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0。
而此时，不定式的极限值就可以通过洛必达法则求得：lim[x→0]sin(x)/x = lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0)/1 = 1在这个例子中，我们使用了洛必达法则来求解不定式的极限。
由于不定式的极限是0/0型的，所以我们对分子和分母同时求导数，并将所得的结果代入原式重新求解。
在这里，我们得到了不定式的导数为cos(x)/1，再求导一次就得到了极限值。
需要注意的是，只有当不定式满足基本形式0/0时，我们才可以采用这样的方法进行求解。
微积分洛必达法则
注意：洛必达法则的使用条件．
例12 求 lim x cos x .
x
x
错 解 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
洛必达法则失效。
极限不存在
正确解法:
原式 lim(1 1 cos x) 1 0 1.
x
x
思考与练习
1. 设
lim f (x) g(x)
()
解 原式 lim x sin x lim x sin x
x0 x sin x
x0
x2
1 cos x
sin x
lim
lim
0.
x0
2x
x0
2
3. 00 ,1 ,0 型
步骤: 00
0 ln 0
1
取对数
ln1
0 .
0
0 ln
例9 求 lim x x . ( 00 )
x0
1
解
x ln x
原式 lim e e e e x0
lim x ln x
x0
lim ln x x0 1
x
lim x
x0
1 x2
lim ( x)
e x0
e0 1.
1
例10 求lim x 1 x .
( 1 )
x1
解
原 式
lim e
1 1 x
ln x
lim
e x1
ln x 1 x
x1
1 lim x
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
洛必达法则的极限运算法则
洛必达法则的极限运算法则洛必达法则是微积分中经典的极限运算法则，其广泛应用于求极限的过程中。
而在极限运算中，极限运算法则则是解题的重点之一。
本文将从极限运算法则的基本概念、洛必达法则的原理以及洛必达法则的应用场景方面详细阐述。
一、极限运算法则的基本概念极限运算中，我们需要掌握一些基本的运算法则，这些运算法则在解题中起到非常重要的作用。
这些基本的运算法则包括：1. 常数函数的极限运算法则对于一个数a，其常数函数f(x) = a，当x趋向于某一点时，其极限值即为a。
2. 一次函数的极限运算法则对于一个一次函数f(x) = kx + b，其中k和b为常数，则其极限值为kx + b当x趋向于某一点时的极限值。
3. 基本等式的极限运算法则对于两个函数f(x)和g(x)，满足lim f(x) = a，lim g(x) = b，则lim [f(x) ± g(x)] = a ± b，lim [f(x)g(x)] = ab，lim [f(x)/g(x)] = a/b （b≠0）。
4. 无穷小的极限运算法则若lim f(x) = 0，lim g(x) = 0，则lim [f(x)·g(x)]为0类无穷小，lim [f(x) ± g(x)]为±0类无穷小，lim [f(x)/g(x)]为0/0型。
5. 复合函数的极限运算法则若存在有限极限lim g(x) = a和lim f(u) = b，则由函数复合可以得到：lim[f(g(x))] = b。
以上几点是极限运算中最基本的运算法则，掌握这些基本法则是做极限运算的前提。
二、洛必达法则的原理洛必达法则是用函数导数的概念来计算极限的方法。
其应用前提是如果一个函数的极限不能用基本的运算法则计算，那么我们就需要用到这种方法。
对于一个函数f(x)，在求其在某一点x0处的极限lim f(x)(x→x0)的时候，我们有如下的洛必达法则：lim [f(x)/g(x)] = lim [f'(x)/g'(x)] (g'(x) ≠ 0)其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数，如果满足如上条件，则可以为求出函数f(x)在x0处的极限提供便利。
《微积分一》洛必达法则PPT文档25页
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
《微积分一》洛必达法则
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
洛必达法则的有限和无穷大
洛必达法则的有限和无穷大洛必达法则是微积分学中的基本规律之一，它描述了在某一点附近两个函数的增长趋势之间的关系。
简单来说，它告诉我们当一个函数在某一点趋近于另一个函数时，它们的增长趋势是类似的。
这个法则有很多应用，包括在求导和极限中的应用。
在微积分中，我们将洛必达法则分为有限和无穷大两种情况。
在有限情况下，洛必达法则告诉我们，当一个函数在某一点趋近于另一个函数时，它们在该点的导数之比等于它们在该点的函数值之比。
换句话说，如果两个函数f(x)和g(x)在x=a处都有定义，且g(a)≠0，则在x=a处，有：lim [f(x) / g(x)] = L，即f(x)和g(x)趋近于同一极限，L为有限数。
则有：lim [f(x) / g(x)] = lim [f'(x) / g'(x)] = L其中f'(x)表示f(x)在x=a处的导数，g'(x)表示g(x)在x=a处的导数。
这个式子的意义是，如果两个函数在某一点处的导数比例等于它们在该点的函数值比例，则它们在该点处趋近于相同的极限值。
这个法则有许多重要的应用。
例如，在求解极限时，我们可以使用洛必达法则来简化问题，以便找到正确的极限值。
在求导数时，我们也可以使用洛必达法则来简化问题，以便找到导数的值。
而当函数在某一点处趋近于无穷大时，洛必达法则的表达形式也不同。
此时其表达式如下：lim [f(x) / g(x)] = lim [f'(x) / g'(x)] = ∞/∞ or 0/0意即，在从x=a处趋于∞或-a处趋于-∞时，如果f(x)和g(x)都趋于∞或-a处趋于-∞，那么这个比值也描述了它们的增长趋势。
如果比值的极限是无穷大，那么f(x)的增长趋势比g(x)快，否则它们增长趋势相同。
这个法则非常常用，因为当我们用极限来描述无穷大的行为时，洛必达法则是最常见的技巧之一。
例如，在求解某些无穷大极限时，我们可能需要将函数变形，以满足洛必达法则的条件。
洛必达法则
解 属于 0 型，先将函数 sinx 用等价无穷小代换成x，再将函数x倒置,
极限转化为 型，再使用洛必达法则求解，即
lnx
原式
lim sinx lnx lim
x0
x0
1
lim x0
x
0
x
3. 1 ，00 ，0 型
1 ，00 ，0 型均是幂指函数形式，即 f x gx ，求极限时可直接采
当 x π 时，原式类型转化为0 型，使用洛必达法则求解，得
2
0
原式 lim 1 sinx lim cosx 0
xπ cosx xπ sinx
2
2
2.
0 0
型 型的极限的求法是将极限为∞的函数倒置，转化为
0型，或将极限
0
为0的函数倒置转化为 型，如下例:
例1.8 求极限 lim sinx lnx。 x0
lim
x1
lnx' x 1'
lim
x1
1 x
1
故,此极限属于 0 型。 由洛必达法则 Ⅰ，得 0
lim
x1
lnx x 1
lnx'
lim
x1
x
1'
1
例1.2 求极限
lim
x0
ex
cosx x2 。
解 属于0 型，用洛必达法则Ⅰ得原式 lim
ex cosx
'
ex sinx
lim
0
x0
lim
x0
1 ex
lim
x0
2e 2 x
ex x2
3x
1
lim
x0
2e2x ex 3x 1 ' x2 '
(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）法则1 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1) lim x ®af x ()=0 及lim x ®ag x ()=0；(2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；(3) limx ®a ¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A 。
法则2 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1)()lim x ag x →=∞； (2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；(3) limx ®a¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+a，x ®-a洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0⋅∞型： lim x ®0+x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞∞型)=lim x ®0+1x 1ln x(化为00型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®p 2tan x -sec x ()=lim x ®p2sin x -1cos x =lim x ®p 2cos x-sin x =0(通分后化为00型)1∞型： lim x ®0cos x ()1x 2=e limx ®0lncos xx 2=elimx ®0-sin xcos x ×2x=e-12(化为0型) 0∞型： lim x ®+¥x sin1x=elim x ®+¥sin 1x ×ln x =elimx ®+¥ln xx=elimx ®+¥1x=1(化为∞∞型) 0型：lim x ®0+x sin x=elimx ®0+ln x csc x elimx ®0+1x-csc x cot x ()=elim x ®0+-sin xx×tan x =1(化为∞∞型)变形举例: limx ®-lim x ®-¥-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xf x e x ax =---。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xx lim 2 x 0 x
1
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
ln x (n0) 例 9 求 lim 例11. x x n
1 1 0 解 lim lnnx lim x lim x x x nx n1 x nx n
x3 3x 2 例4. 求 lim 3 验型 . 2 x 1 x x x 1 3 2 x xx 3 x 2 x 3 3 x 6x (e 1) e 1 e lim lim 23 lim 解 lim lim 1 x 1 2 lim 2 2 x 1 x 1 x0 x x 0 ( x 2x 6x 2 xx x x1 x) 3 x x0 2 x1 1 3 6 lim 1 2 x 1 6 ln( 1 x) 例 5. lim 例 5 求 2 x0 x 1 1 x) 1 x lim 1 解 lim ln( lim x0 x0 2x x0 2x(1 x) x2
0
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
定理42(洛必达法则II) 设函数f(x)与g(x)满足
x a x a
三、“ ”型未定式的极限
(1) lim f ( x) lim g ( x) (2)在点 a 的某去心邻域内可导 且 g(x)0
f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) f ( x) f ( x) lim A (或) 则必有 lim xa g ( x) xa g( x)
但是要结合各种方法，以求最捷方式. 1）等价无穷小替换法 2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必 达法则的运算. 3）过程中注意化简. 2. 只要满足条件，可多次使用洛必达法则. f ( x) 0 若 仍属 型, 且f ( x), g ( x)满足定理的条件, 则 g ( x) 0 f ( x) f ( x) f ( x) lim lim lim . g ( x) g ( x) g ( x) 但每次使用前都必须检验极限类型是否为 0 型.
所以
xsin x e 1 lim x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 lim x0 arcsin x 3 x0 x0 x0 6x 6 x3 3x 2
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
注： 1. 洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,
0
?
结束
《微积分》(第三版) 教学课件
首页Biblioteka 上一页下一页定理41(洛必达法则I) (L’Hospital，1661-1704，法国数学家) 设函数f(x)与g(x)满足条件
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0
x a x a
(2)在点 a 的某去心邻域内可导 且 g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) 则必有 lim
x2 当x 0时， 1 cos x ~ 2
1 2 x 1 2 lim 2 x 0 3x 6
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
(1 x)a 1 例3. 2 求 lim x0 x (1 x)a 1 [(1 x)a 1] a(1 x)a 1 lim lim a 解 lim x0 x 0 x0 x ( x) 1
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
四、洛必达法则失效的情况
( ) lim
x sin x 1 cos x lim x x sin x x 1 cos x
极限不存在
出现循环
x x x x x x e e e e e e ( ) lim lim x x lim x x x e x e x x e e x e e
f ( x) f ( x) f (a ) f ( ) lim lim lim x a g ( x) x a g ( x) g (a) x a g ( )
f (x) f ( ) f ( x) lim lim lim A (或) x x a a g ( x) a a g( ) x x a a g( x)
首页 上一页 下一页 结束
《微积分》(第三版) 教学课件
0 二、“ ”型未定式的极限 0
x2 1 ( x +1)( x 1) x 1 1 lim 2 = lim lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1) x 1 x 3 2
3 2 x3 4 x 3 x x 3 x 3 x ( x 1) 3( x 1) lim 3 = lim lim x 1 x x 2 x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 x 2 ( x 1) ( x 1)
2
x0 x 2 (0 )型 2 1 1 )x 1 )x x 2x 2 lim 2 x x ( ) 型 lim ( 1 lim (xx a lim lim ( 1 lim x x a ) x lim (x 0 x0 xx x x x0 x x 0 0 ,1 0 型
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
4x 3 x 16 lim lim 3 例 1 求 求 2 x x 12 x x 2 x x 1 2 3 1 3 x 4 ( x 4 x 3) 解 原式 = lim lim 2 3 2 x 1 3 x 2 x 1 x 1 ( x x x 1) 2
例 求 lim tan x 例7 7. x tan 3x
2
存在非零因子
( sin x cos 3 x sin x cos 3 x ) 解：原式 = lim lim lim
x
2
sin 3 x cos x
x
2
sin 3x
化简
x
2
cos x
(0 0)
cos 3 x 1 lim cos x x
4 x3
x sin x 例2. 例 4 求 lim 3 x0 x ( x sin x ) x sin x 1 cosx lim sin x 1 解 lim lim lim 3 3 2 x 0 x 0 x 0 3x x 0 6 x 6 x ( x )
§4.2 洛必达法则
一、 未定式
0 二、“ 0 ”型未定式的极限 三、“ ”型未定式的极限
四、洛必达法则失效的情况
五、其他类型未定式的极限
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
一、未定式
如果在某一过程中 函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是 f (x) 无穷大 无穷小量 那么极限lim 可能存在、也可能不存在 F (x) 0或 通常把这种极限叫做未定式 并分别简记为 0 基本类型： 例如 下列极限都是未定式 0 ( )型 ( )型 x sin x ln x x sin x xn 0 lim ( 0) lim 3 3 lim lim nlnn (n 0) xx 00 x x xx x x n 其它类型： lim x n ln x (n0) lim(sec x tan x) x tan x) lim x ln x (n0) lim(sec x0 x
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
2 x 3x x2 sin 2 x ln(1 3 x) 例6. lim 3 x 2 x lim 3 x 2 x 6lim 3 x 2 x x 0 x 0 e x 0 e e e x e x e x
2x 2 12 6 lim 3 x 6 lim 3 x . 2 x 2 x x 0 3e x 0 9e 2e 1 4e 5
说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
例 10. 例 8 求 lim ln cotx x0 ln x
1 ( 1 ) 2 ln cot x cot x sin x 解 lim lim 1 x0 x0 ln x x tan x x lim 2 x 0 sin x
x e 例 12. 例 10 求 lim 2 x x x x x e e e 解 lim 2 lim lim x x x 2x x 2
结论：当x 时, ln x, e x , x n
都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：
x 时, ln x x n e x
sin x 1 x sin x 1 0 x lim lim 1 x x sin x x sin x 1 0 1 x e x e x 1 e 2 x 1 0 lim x x lim lim 1 2 x x e e x 1 0 x 1 e
3sin 3x lim 3 sin x x
2
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
2
2 sin x x sin x cos x 例 8. 求 lim 例 16 x0 x4 2 sin x x sin x cos x lim sin x sin x x cos x 解 lim x0 x0 x x4 x3
0 （ 型） 引例 1. 0
0 （ 型） 引例2. 0
( x 2 x 3)( x 1) 1 lim x 1 ( x 2 1)( x 1) 2