图论第四章 平面图及着色
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
图的平面图与图的着色
图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。
图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。
一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。
也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。
平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。
经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。
如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。
该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。
其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。
除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。
二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。
在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。
色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。
色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。
图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。
因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。
三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。
在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。
在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。
在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。
在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
图论4-6-平面图ppt课件
证明 假设K3,3图是平面图。
在K3,3中任取三个结点，其中必有两个结点不 邻接，故每个面的次数都不小于4， 由4r≤2e，r≤e/2，即 v-e+e/2≥v-e+r=2， v-e/2≥2， 2v- e ≥ 4， 2v4≥e。
在K3,3中有6个结点9条边， 2v-4=2×6-4=8<9,与 2v-4≥e 矛盾， 故 K3,3不是平面图。
整理后得: e≤3v – 6
本定理的用途:判定某图是非平面图。
说明：这是简单 图是平面图的必 要条件。 •图论4-6-平面图
例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e>3v-6， 所以K5不是平面图。
定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满 足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12， e≤3v-6成立），但K3,3不是平面图。 证明K3,3图不是平面图。
例如图
deg(r1)=3 deg(r2)=3 deg(r3)=5 deg(r4)=4 deg(r5)=3
deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)
=18
•图论4-6-平面图
3.定理4-6.1 设G为一有限平面图，面的次数之 和等于其边数的两倍。 证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界 （贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次）
•图论4-6-平面图
一、平面图 1、定义4-6.1 如果无向图G=<V,E>的所有结点和边 可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处 相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面图。
有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不 能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看 有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是 一个平面图。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
图的平面图与染色问题
图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。
图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。
一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。
平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。
一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。
为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。
图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。
在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。
二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。
在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。
最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。
为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。
其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。
染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。
另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。
三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。
为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。
[理学]图论第四章 平面图及着色
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v=2,e=1,r=1
v=1,e=1,r=2
(2)下用数学归纳法证明.
假设公式对n条边的图成立.设G有n+1条边. 若G不含圈,任取一点x,从结点x开始沿路行走.因G 不含圈,所以每次沿一边总能达到一个新结点,最后会 达到一个度数为1的结点,不妨设为a,在结点a不能再继 续前进.删除结点a及其关联的边得图G’,G’含有n条边. 由假设公式对G’成立,而G比G’多一个结点和一条边,且 G与G’面数相同,故公式也适合于G. 若G含有圈C,设y是圈C上的一边,则边y一定是两个 不同面的边界的一部分.删除边y得图G’,则G’有n条边. 由假设公式对G’成立而G比G’多一边和多一面,G与G’ 得顶点数相同.故公式也成立.
解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由
推论1知,K5是非平面图. 显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边, 因而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面 图，则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。 证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w) 从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重 复计算了w-1次.).所以有: V-e+r+(w-1)=2w 整理即得: v- e+ r=1+w.
定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。 证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两个 面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的边 界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边界 是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立. 定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平面 图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立.
图论课件-图的顶点着色
AC
所以， (G) 4
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的
一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。 属于同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此不 相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图G 正常着色，称为对图G的最优点着色。
若G1是非正则单图，则由数学归纳，G1是可Δ (G)顶点 正常着色的，从而，G是可Δ (G)正常顶点着色的。
(2) 容易证明：若G是1连通单图，最大度是Δ ，则
(G) (G)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) Δ (G)≥3
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1), (v3 )=3
v1
v6
v5
(2),C(v4)=3,C C(v4) 1, 2, 4,5, k 1
(1), (v4 )=1
v2
(2),C(v5)=1,C C(v5) 2,3, 4,5, k 2
v
块
块
块
G -v
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由于G本身2连通，所以G-xn的每个仅含有一个割点的块 中均有点与xn邻接。设分属于H1与H2中的点x1与x2，它们与 xn邻接。由于x1与x2分属于不同块，所以x1与x2不邻接。又 因为Δ ≥3，所以G-｛x1, x2｝连通。
数学中的图的着色问题与四色定理
数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。
图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。
在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。
四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。
这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。
证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。
其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。
这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。
通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。
四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。
人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。
四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。
这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。
除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。
比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。
这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。
图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。
比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。
在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。
这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。
总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。
图论_6_平图及着色
•
面着色
• 定义1 设e是图G的一条边，如果 ω(G－e)＞ω(G图 4.1
• 定义２ 一个没有割边的连通平图，称为 地图。
• 定义３ 设G是一个地图，对G的每个面着 色，使得没有两个相邻的面着上相同的颜 色，这种着色称为地图的正常面着色 • 地图G可用k种颜色正常面着色，称G是k面 可着色的 • 使得G是k面可着色的数k的最小值称为G的 面色数，记为χ*(G)，若χ*(G)＝k，则称G 是k面色的。
图 论
• 图——基本概念
– 图、路与连通、最短路、有向图、图的矩阵
• Euler图与Hamilton图 • 树
– 树、生成树、有向树
• 平面图 图的着色
– 平面图、对偶图、顶点着色、面着色
• 网络 匹配 独立集
平面图
• 定义1 如果一个图能画在平面上，使得它 的边仅在端点相交，则称这个图为平面图， 或说它是可平面嵌入的，平面图G的这样一 种画法，称为G的一个平面嵌入。 • 平面图G的平面嵌入称为平图。
• 地图的k面可着色问题，可以转化为平面图 的k可着色问题。 • 定理1*(五色定理)任何无自环的平面图G 是5可着色的。 • 证明：对顶点数归纳……
作业
• 证明地图G是２面可着色的，当且仅当它 是一个欧拉图。
• 定理２ 对于任意连通简单图G，有 χ(G)≤1＋△(G)。 • 证明 往证 G是1＋△(G)可着色的。对G的 顶点数施行归纳法， ……
作业
• • 证明 图G是2可着色的，当且仅当G中无 奇圈。 一个图G称为临界的，如果对G的每个真 子图Ｈ，有χ(Ｈ)＜χ(G)。k色的临界图称 为k临界图。证明若G是k临界图，则δ≥k －1。 证明 每个k色图至少有k个度不小于k－1 的顶点。
图论图着色
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
图论-总结
第一节 图论发展概述-----了解
第二节 图的基本定义
设V是一个非空集合，V的一切二个元素所构成 子集记为P2(V)，即P2(V)={A|AV且|A|=2}；
２.１无向图
定(义V,1E)设称V为是一一个个无非向空图有。限集合，EP2(V)，二元组 2.2 顶点的度 定义2 设v为图G=(V，E)的任一顶点，G中与v邻接的
习题
1. 2.设G是无向图，证明：若δ(G)≥m，则图中包含 长至少为m+1的圈。
3.每个自补图必有4n或4n+1个顶点(n为正整数) 4. 设A={v1,v2,…,vp}，q≤p(p-1)/2。试求以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数。 5.设m,n是正整数，则 (1) m,n满足什么条件时，Km,n是偶拉图？ (2) m,n满足什么条件时，Km,n是哈密顿图？ 6. 对于P个顶点的完全图Kp，则 (1)Kp一定是完全图吗？ (2)Kp一定是哈密顿图吗？
第二节 生成树 2.1生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图T=(V，F)是 树，则称T是G的生成树。
2.2 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
2.3 怎样求(最小)生成树(破圈法) 2.4 树的弦
定义3 设T是连通图G的生成树，G的不是T的边称为T的弦。 说明: (1) 若G是一个(p,q)连通图，T是G的生成树，则T有
个命题正确吗？为什么？ 5.设树中有2n个度为1的顶点，有2n个度为2的顶，
有n个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多 少条边？ 6.恰有两个顶点的度为1的树是一条通路。
第四章 平面图和图的着色
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
应用离散数学图论平面图及图的着色题库试卷习题及答案
§5.6 平面图与图地着色 习题5.61． 假定一个连通平面图有8个顶点,每个顶点地度数都为3。
请问,这个图地平面嵌入将平面分成多少个面？解 根据条件有8=p ,122/83=⨯=q ,从而根据欧拉定理有62=+-=p q f 。
2．设G 是具有k 个连通分图地)(q p ，平面图地一个平面嵌入,其面数为f ,证明：1+=+-k f g p解 下面用数学归纳法证明如下：（1）1=k 时即为欧拉公式,所以成立。
（2）假设m k ≤时公式成立。
（3）当1+=m 时,将图G 看成两个图1G 与2G 地并,其中1G 为一个连通分图, 2G 为其余m 个连通分图地并,根据上面地假设,对图1G 与2G 有：11111+=+-f q p ,1222+=+-m f q p ,将上两式相加得： 1)1()1()()(212121++=-+++-+m f f q q p p注意到图1G 与2G 共用一个外部面,我们即得1+=+-k f g p 。
3.假定一个)(q p ，图是连通地平面二部图,且p ≥3,则q ≤42-p 。
证;由于二部图中每个回路地长度都是偶数。
当p ≥3时,即每个面地围数至少是4。
据定理,2q ≥4f=4(2-p+q) 从而q ≤42-p 。
4．图5.42地4个图是平面图吗？如果是,给出一个平面嵌入;如果不是,找出与5K 或K 3,3同胚地子图。
图5.42 习题4地图解 图（1）,（2）,（4）改画如下：从而知图（1）,（2）是可平面图,图（4）是5阶完全图5K ,从而是非可平面图。
图（3）也是一个非可平面图,可用库拉托斯基定理证明如下：5．一个简单图地交叉数是指在平面里画这个图且不允许任何三条边在同一点交叉时,各边交叉地最少次数。
求以下非平面图地交叉数：3,3K , 5K , 6K , 7K , 4,3K , 4,4K , 5,5K解：3,3K 地交叉次数是15K 地交叉次数是56K 地交叉次数是107K 地交叉次数是184,3K 地交叉次数是84,4K 地交叉次数是115,5K 地交叉次数是166．下面地算法可以用来为简单图点着色。
图论第四章(2)
(Ⅶ)
论
4.5 对偶图 1. 定义: 对于给定的平面图G，作相应 的一个图G’：在G的每个域内设置G’的一 个结点；对G中每条边e作G’相应的一条 边e’，联结以e为边界的G的两域中G’的两 个结点。这样得到的G’，称为G的对偶图。
• 对偶图的意义在于，关于域的问题可以 转换成关于结点的问题。 •注意：简单平面图的对偶图是平面图， 但不一定是简单图（可能含重边或环）。
3. 对偶图的应用 定理 每一个平面图G都是5 -可着色的。
证明的思路是作G的对偶图，使问题转化为一 个平面图的点着色问题(相邻点不同色)。因为环 和重边不影响点的着色，故可去掉环和重边，这 样只需要证明一个简单平面图的点5 -可着色即可。 可用数学归纳法证之，具体证明过程略。
经验表明，一张实际的彩色地图使用四种不同颜色即 可区别相邻国家的疆域。“四色猜想”断言，对于任何 一个平面图 (地图)这个结论成立。 四色猜想已由美国数学家阿佩尔与黑肯(1976年)用计 算机程序证明，但尚未找到数学方法给予简练证明。
3)色数多项式
给定图G,如果最多使用t 种颜色对它的结点进行着色, 满足相邻结点着以不同颜色,其着色的不同方案数用f(G,t) 表示。称f(G,t)为G的色数多项式。
• 显然，当t < (G) 时f(G,t)=0；满足f(G,t)>0的最少颜色
数t= (G). • 对平面图G: 五色定理断言 f(G,5)>0， 四色定理断言 f(G,4)>0。
作原图的对偶图(红图)。问题相当于问，其对 偶图中是否存在Euler回路。由于图中有结点度数 为奇，故不存在Euler回路。
例 对平面连通图G的无限域边界上的任意 两结点i和j，求G中分离i和j的所有割集。
离散数学第四篇7图 5-6平面图及图的着色
7-6-2 图中顶点的着色
7-6-3 地图的着色与平面图的点着色 7-6-4 边着色 本章小结 习 题
4
7-5-1 平面图的基本概念
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 定义7-5-1 G可嵌入曲面S——如果图G能以这样的方式画在曲面S上 ，即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图——若G可嵌入平面。
证明
设G的连通分支分别为G1、G2、…、Gk，并设Gi的顶点数、 边数、面数分别为ni、mi、ri、i=1，2，…，k。
由欧拉公式可知: ni-mi+ri = 2，i=1，2，…，k 易知， m mi，n ni
i 1 i 1 k k
(7-5-1)
由于每个Gi 有一个外部面，而G只有一个外部面，所以G的面数 k r ri k 1
(3)设m＝k(k≥1)时成立，当m＝k+1时，对G进行如下讨论。 若G是树，则G是非平凡的，因而G中至少有两片树叶。 设v为树叶，令G'=G-v，则G'仍然是连通图，且G'的边数 m'=m-1=k，n'=n-1，r'=r。 由假设可知 n'-m'+r'=2，式中n'，m'，r'分别为G'的顶点数， 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 若G不是树，则G中含圈。
R1
R0 R2
R3
平面图有4个面，deg(R1)=1,9deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。
定理7-6-1 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即
图论中的图着色问题算法
图论中的图着色问题算法图着色问题是图论中的一个重要研究课题，它的目标是给定一个无向图，为每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点拥有不同的颜色。
这个问题有着广泛的应用，例如地图着色、课程时间表安排以及调度等领域。
本文将介绍几种常见的图着色算法。
一、贪心算法贪心算法是解决图着色问题最直接且简便的方法之一。
其基本思想是从图的某个顶点开始，依次为每个顶点选择一个未被使用的最小颜色号。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的最小颜色号，并标记u为已着色。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被着色。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
该算法的缺点是可能得到的着色方案不是最优解。
二、回溯算法回溯算法是另一种常见的用于解决图着色问题的算法。
其基本思想是通过不断尝试不同的着色方案，直到找到一个满足条件的解。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的颜色号，并标记u为已着色。
3. 选择下一个未着色的顶点作为新的起始顶点，重复步骤2。
4. 如果无法为任何顶点着色，则回溯到上一步，修改之前的着色方案，为当前顶点选择一个新的颜色。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被着色。
回溯算法的时间复杂度取决于图的结构和颜色数目，一般情况下是指数级的。
该算法可以得到最优解，但在处理大规模问题时效率较低。
三、基于现有算法的改进除了贪心算法和回溯算法外，还存在一些基于这两种算法的改进方法，以提高图着色问题的求解效率。
例如，使用启发式算法、剪枝技术以及约束求解等方法。
启发式算法是一种非确定性的搜索算法，通过引入启发函数来指导搜索过程，以期望更快地找到一个不错的解。
典型的启发式算法包括Tabu搜索、模拟退火算法等。
剪枝技术是在搜索过程中通过判断某些分支的无效性，从而减少搜索空间，提高算法效率。
[理学]图论第四章 平面图及着色
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。
3 e10 2 f2 e1 f1 f5
e7
f 3 e6 e8 7
e4
4 5 e2 e3
1
e9
f4 e5
6
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
~ ~ 有平面表示 G ',使 G ' 的每条边都是直线. ~ 考虑 G ' 中边Pz1和Pz2,将它分裂成两个三角形(图(b) ~ 就是G的平面表示,而且每条 和图(c)).这样得到的图 G
边都是直线段.定理得证.
z3
z3 z2 z1 y x
z3
z1
p z2 z1 (c) z2
x (a)
y
(b)
推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图，其 中v3且没有长度为3的圈，则e2v-4。
证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的度数 至少为4.因此有2e=d(f)4r (1) 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e4(2-v+e) 即e2v-4。 例3 K5和K3.3都是非平面图。
(b)H
e
i
h
(a)
(c)K3,3
说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件,但用它并不能 判别一个图是否是平面图的有效算法. 定义2 设G是阶大于等于3的简单可平面图，若在任意两 个不相邻的结点vi,vj之间加入边{vi,vj}，就会破坏图的 平面性，则称G是极大平面图。极大平面图的平面表示称 为三角剖分平面图. 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G是极大平 面图的充要条件是: （1）G中每个面的度数都是3
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
离散数学-图论-平面图
例:面,边界,度,周线,相邻
边界为何不一定是圈?
因为割边的存在
面的度与边数
定理:平面图中面的度与图的边数m满足 fF(G) d(f ) = 2m
计算面的度时, 割边要算2次.
推论:平面图中奇度面数必为偶数.
欧拉公式
定理(欧拉1852):设G是连通平面图,它的顶点 数n, 边数m, 面数r 之间有 n–m+r=2 证明思想:以每次加入一条边的方式来构造G,可 得G1, G2, ... , Gm.归纳证明则Gk保持nk – mk + rk 2不变. 推论:若平面图G有k个连通支,则 n–m+r=k+12
面着色问题:对平面图的面涂色,要求相邻面具 有不同颜色. 定理:每一个平面图G都是5-可着色的. 四色猜想:平面图的着色只需四色?
1976年四色定理得到证明:Appel&Haken. 1996年Robertson, Sanders, Seymour和Thomas宣 布了一个更简单的证明并于1997年发表.
13
例:对偶图
对偶图的性质
性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图. 即使G不连通.
性质2: G*是连通图.
性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n*
3
面
定义: 平面图G的某些边围成一个封闭区域, 该区域内 任意两点间都可作一曲线相连,且该曲线不与任何顶点 和边相交,这种区域称为面.
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x (a)
y
(b)
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上, 由于每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对 应,G的顶点和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点 的度至少为3.由于G是一个平面图,则P的面就是G的 面,并且G的每一条边落在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F 来表示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的 数目.故欧拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的 Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
例3 K5和K3.3都是非平面图。
解:图K5有5个顶点10条边,而3*5-6=9,即10>9,由
推论1知,K5是非平面图.
显然K3,3没有长度为3的圈,且有6个顶点9条边,因 而9>2*6-4,由推论2知K3,3是非平面图. 推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面图， 则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。
即 f(G) (2/3)*q(G) =14/3 又f(G)为整数,所以f(G) 4,同理p(G) 4,所以p(G) +f(G) 8,矛盾.所以7条棱的凸多面体不存在.
现对k4,以k边形为底的棱锥即有2k条棱的凸 多面体进行讨论.若把底为k-1边形的棱锥中,底 角处的一个三角面“锯掉一个尖儿”,得到的是 一个有2k+1条棱的凸多面体,总之,当n 6,n7时, 才有n条棱的凸多面体.
证明:设G有v个顶点e条边.若e6,结论显然成立;若e>6, 假设G的每个顶点的度数6,则由推论1,有
6v 2e 6v-12
矛盾,所以 (G)5.
例4 平面上有n个顶点，其中任意两个点之间的距离 至少为1.证明 在这n个点中距离恰好为1的点对数 至多是3n-6。 证明:首先建立图G=<V,E>,其中V就取平面上给定的n 个点(位置相同),当两个顶点之间的距离为1时,两顶 点之间用一条直线段连接.显然,图G是一个n阶简单 图.
解:以多面体的顶点为图的顶点,以多面体的棱为图的边, 得到一个平面图G,若p(G),q(G),f(G)分别表示G的顶点数, 边数和面数,则p(G)4, f(G) 4,且每个面的度数是3,由 Euler公式易得q(G) 6,即没有棱小于6的凸多面体.四面 体是棱数为6的凸多面体.若有7条棱的凸多面体,则存在 满足上述条件, q(G) =7的平面图,由Euler公式p(G) +f(G)= q(G)+2=9,但G的每个面的度数至少是3,故 2q(G)=G(m) 3f(G)(m为G的面),
n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3
因为P是正多面体,所以存在两个正整数h(3) 和k(3)使F=Fh且V=Vk,因此,有 -8=(h-4)Fh+(k-4)Vk,且hFh=2E=kVk,因3h5.
(1)当h=3时,有12=(6-k)Vk,由3k5.
当k=3时,V3=4,F3=4,此时P是四面体.
由推论1,只要证明G为一平面图时即知结论成立. 反设G中存在两条不同的边{a,b}和{x,y}相交于非端点处o,如下
图(a)所示,其夹角为(0< <).
若 =,这时如下图(b),显然存在两点距离小于1,与已知矛盾,从而 0< <.由于a到b的距离为1,x到y的距离为1,因此a,b,x,y中至少有
v=2,e=1,r=1
v=1,e=1,r=2
(2)下用数学归纳法证明.
假设公式对n条边的图成立.设G有n+1条边.若G不 含圈,任取一点x,从结点x开始沿路行走.因G不含圈,所以 每次沿一边总能达到一个新结点,最后会达到一个度数 为1的结点,不妨设为a,在结点a不能再继续前进.删除结 点a及其关联的边得图G’,G’含有n条边.由假设公式对G’ 成立,而G比G’多一个结点和一条边,且G与G’面数相同, 故公式也适合于G.
Hale Waihona Puke 第三节 图的平面性检测 定义1 图G的H片:
设H是G的子图，在E(G)-E(H)上定义二元关系R
如下：xRy在G-E(H)中存在一条链W使得:
（1）W的第一条边为x，最后一条边为y； （2）W中只有两个端点属于H(即W的内部点不属于H). R是E(G)-E(H)上的等价关系。R确定E(G)-E(H)上的 一个划分设为S={ S1、S2、…Sm},由Si导出的 G-E(H)
若G含有圈C,设y是圈C上的一边,则边y一定是两个不 同面的边界的一部分.删除边y得图G’,则G’有n条边.由 假设公式对G’成立，而G比G’多一边和多一面,G与G’ 得顶点数相同.故公式也成立.
推论1 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简 单图，其中v3，则e3v-6。 证明:由于G是简单图,则G中无环和无平行边.因此 G的任何面的度数至少为3.故
两个点,从交点o到这两点的距离不超过1/2,不妨设为a,x,则点a与x
之间的距离小于1,与已知矛盾,所以G中的边除端点外不再有其它 交点,即G为平面图.再据推论1,知结论成立. a x o
y b
a
x b y
(a)
(b)
第2节 库拉图斯基定理与极大平面
定义1 设G是一个平面图，通过删除G的一条边{x、 y},并增加一个新结点a和两条边{x 、a}与{a、y} （所获得的任何图也是平面图），这样的操作称为 初等细分。若可以从相同的图G通过一系列初等细 分来获得图G1和G2，称G1和G2是同胚的. 如下图G1,G2,G3是同胚的.
证明:必要性:因G是简单图,故G中没有环和平行边,故 不存在度数为1或2的面.假设G存在度数大于3的面f, 不妨设为内部面,如下图G,显然v1与v3不相邻,在面f内 加入面{v1,v3},图G的平面性显然没有改变,这与图G是 极大平面图矛盾.因此图G的每个面的度数为3,所以有 3r=2e且e=3v-6,r=2v-4(欧拉公式)
当k=4时,V4=6,F3=8,此时P是八面体 当k=5时,V5=12,F3=20,此时P是十二面体 (2)当h=4时,有8=(4-k)Vk,所以k=3,V3=8,F4=6,即 P是立方体. (3)当h=5时,有20=(10-3k)Vk,所以k=3,V3=20, F5=12,即P是十二面体.
例2 对哪些n,存在n条棱的凸多面体？
3
e1 f1 e 4 4 5 f5 e10 2 e7 f3 e6 f2 e8 e9 7
1
f4 e5
e2
e3 6
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
定理2 对任何平面图G，面的度数之和是边数的二倍。
证明:对内部面而言,因为其任何一条非割边同时在两 个面中,故每增加一条边图的度数必增加2.对外部面的 边界,若某条边不同时在两个面中, 边必为割边,由于边 界是闭链,则该边也为图的度数贡献2.从而结论成立.
定理3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的连通的平 面图，则 v-e+r=2。（欧拉公式） 证明:(1)当n=e=1时,如下图,结论显然成立.
充分性显然.
v2
v1
v5
v3
v4 G
•定理2
证明:只要对极大平面图G来证明定理即可(简单平面图是极 大平面图的子图).当v=3时,G是三角形,定理显然成立.假设 定理对所有阶数小于v的极大平面图成立,并设G是三角剖 分图.选取xV(G)使x不是外部剖面边界上的点.取边{x,y}. 则边{x,y}仅是某两个内部三角形的公共边.不妨设这两个 三角形分别为z1xy和z2xy.如图(b)所示.收缩边{x,y},且结点 x和y收缩为P,得图G’(图c).显然G’是平面图,且有E(G’)= E(G)-3=3(V(G)-1)-6= 3V(G)-9= 3V(G’)-6,即G’ ~ 是v-1阶极大平面图,由归纳假设,G’有平面表示 G '
~ 中每条边都是直线。 使G
~ G 设G是简单平面图，则G有平面表示
，
~ 的每条边都是直线. 使G ' ~ 考虑 G ' 中边Pz1和Pz2,将它分裂成两个三角形(图 ~ (b)和图(c)).这样得到的图 G 就是G的平面表示,而 且每条边都是直线段.定理得证.
z3
z1 z2 z1 y z3 x p z2 z1 (c) z2 z3
证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w)
从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重复计算了 w-1次.).所以有: V-e+r+(w-1)=2w
整理即得: v- e+ r=1+w.
推论4 设G是任意平面简单图，则(G)5。
G1
G2
G3
定理1一个图G是非平面的，当且仅当它包含一个 同胚于K3.3或K5的子图。（证略）
例1 说明彼得森图不是平面图。 解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图(b)H.而 H胚于K3.3,所以皮得森不是平面图.
a f g b a e i c d g h (b)H e h j f d e j f
第四章 平面图
第一节 平面图 定义1 如果图G能画在曲面S上且使得它的边仅在端 点处相交，则称G可嵌入曲面S。如果G可嵌入平面 上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图 G 称为G的平面表示。
可平面图G与G的平面表示 G 同构，都简称为平面 图。(球极投影)
定理1 图G可嵌入球面图G可嵌入平面。