第3章传递函数矩阵的结构特性

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4 几点讨论
（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、 极点时， 可以不形成对消。例
s 2 s3 G( s) 0 0 1 s 2
（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是 它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极 点，也是G(s)的极点。“一致性”
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定义： S zp {s | s C, i (s) 0, i (s) 0, i 1,2,, r} 则 S zp 是G(s)的有限极点和零点的集合。
diag{
S zp
i
i }可表为

1 ( ) r ( ) M ( s ) diag {( s ) , , ( s ) }
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（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管 有时相同。 （4）若s=是G(s)的零点，则必有
rankN( s) |s rankG( s) rankB( s) |s rankG( s) 但不一定rankG(s= )<rankG(s).
如：
s 2 s3 G( s) 0 0 1 s 2
G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点 的依据。 2018/10/15 11
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 极点的性质
SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简
约实现—{A,b,c,d}的单变量系统
定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存 在一个初始状态 x0 ，使得系统输出的零输入响应
y(t ) ret , t 0, r为非零常数
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定理的意义： • 若是g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产 生模态 e t ,而不必施加任何输入； • 若不是g(s)的极点，则不能产生。在输出端产 生 e t 的唯一途径是在输入端施加 e t 对MIMO系统，有相同的结论。 即：考虑具有正则传递矩阵G(s)及不可简约实现 {A,B,C,D}的多变量系统。 数是G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个 初始状态 x0 ，使得系统输出端的零输入响应为 y(t ) ret ，其中r为非零向量。
G(s) N (s)D1 (s) A1 (s)B(s)
G(s)的极点：detD(s)=0的根，或detA(s)=0的根 G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。
（注：该定义等价于Rosenbrock定义）
证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则
M ( s) U ( s)G ( s)V ( s) E ( s)r ( s) 2018/10/15 1 ( s) 0 0 r ( s) 0 1 ( s) 0 r ( s) 0 I
1 1
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则
G ( s ) U 1 ( s ) M ( s )V 1 ( s ) U 1 ( s ) E ( s )r ( s )V 1 ( s ) [U 1 ( s ) E ( s )][V ( s )r ( s )]1 N 0 ( s ) D01 ( s ) G ( s ) N 0 ( s ) D01 ( s )为右不可简约MFD 另一不可简约矩阵分式 描述G ( s ) N ( s ) D 1 ( s )中, N ( s ) N 0 ( s )W ( s ) U 1 ( s ) E ( s )W ( s ) D( s ) D0 ( s )W ( s ) V ( s )r ( s )W ( s ) 故rankN( s ) rankE( s ), det D( s ) c det r ( s ) 由Rosenbrock 定义, G ( s )的零点 i ( s ) 0的根, i 1,2, r 使E ( s )降秩的s值 使N ( s )降秩的s值
i 1
m
(s p
j 1
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n
j
) 0的根 p j 作为G ( s )的极点.
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定义：
零点——当输入u为有限值时，使输出y(s) 为0的那些s值。
显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为 的那些s值。 对MIMO系统，则要复杂得多。
s ( s 2) 2 s ( s 2) 2 0 2 s ( s 2)
所以，零点：s=0处有三个零点； 极点：s=-1处有两个极点； s=-2处有三个极点。
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二. 其它对零极点的定义
1. 基于不可简约矩阵分式描述的定义
G ( s )的极点 det (sI A) 0的根 sI A G ( s )的零点 使 C 2018/10/15 B 降秩的s值 0
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3. 方便计算的定义
（1）G(s)的极点 G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s) 的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根就是G(s)的极 点. （2）G(s)的零点 当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分 子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)， z(s)=0的根，即为G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。
定义：G(s)的极点为M(s)中 i (s) 0 的根，i=1,2,…,r G(s)的零点为M(s)中 i (s) 0 的根，i=1,2,…,r
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• 例如
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 G( s) s 2 ( s 2 ) Sm ith Mcm illan 形 s ( s 1) 2 ( s 2) 2 M (s) 0
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3.3 无穷远处的零极点
一. 无穷远处零极点的定义
SISO系统：s时，若G(s)趋于0，则在处有零点； 若G(s)趋于，则在处有极点（非真时）。
MIMO系统：在G(s)中，以 s 1 代入，化成H()有理
~ 分式矩阵，对应的Smith-Mcmillan标准形为 M ( )
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而
G( s)的极点 i ( s) 0的根, i 1,2, r det r ( s) 0的根 det D( s) 0的根
对左不可简约MFD有同样的结论。
2.基于状态空间描述的定义
G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能 控，能观，则
( s 1) 2 1 ( s 2)
2处的结构指数为{2, 1} 1处的结构指数为{2, 0}
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0处的结构指数为{1, 2}
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二 对结构指数的几点讨论
（1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角 阵形式。 i ( ) 0 在处有零点 i ( ) 0 在处有极点 i ( ) 0 在处既无零点 , 也无极点 （2）零极点的重数 在s=处的极点重数={ i ( ) }中负指数之和取 绝对值。 在s=处的零点重数={ i ( ) }中正指数之和
2 s=处极零点重数 G(s)在s=处极点重数
1 (0),, r (0)}中负指数之和绝对值 {
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一. Rosenbrock对零极点的定义
给定 G(s)q p , rankG(s) r min(q, p)
其Smith-Mcmillan形为：
1 ( s ) ( s) 1 U ( s)G ( s)V ( s) M ( s ) r ( s) r ( s) 0 0 0
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2.零点的性质
考虑严真G(s)及不可简约实现{A,B,C}, 为G(s)的任一零点，则对满足
cx0 0 的x0 , u0 , ( z0 I A) x0 Bu0 系统对u (t ) u0 e 的一类输入, 输出y (t )
z0t
z0
恒为0.
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第3章 传递函数矩阵的结构特性
3.1 3.2 3.3 3.4 传递函数矩阵的有限极点和零点 传递函数矩阵的结构指数 无穷远处的极点和零点 传递函数矩阵的评价值
3.1 传递函数矩阵的有限极点和零点
SISO系统：
G (s) K ( s zi )
i 1 m
(s p
j 1
n
j
)
以 ( s zi ) 0的根 zi作为G ( s )的零点;
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3.2
传递函数矩阵的结构指数
一. 结构指数的定义 给定 G(s)q p , rankG(s) r min(q, p)
1 ( s) ( s ) 1 M ( s) r (s) r ( s) 0 i ( s) 0 0 diag i ( s ) 0 0 0
i ( )为包括0在内的整数
由 i ( s ) | i 1 ( s ), i 1 ( s ) | i ( s )可知, { i ( )}是一个非降序列
1 ( ) 2 ( ) r ( ) 称{ 1 ( ), 2 ( ), , r ( )}为G ( s )在处的结构指数 .
则：
~ ~ ( ) 0的零根, i 1,2,, r G ( s)在处的极点 M ( )中 i ~ ~ ( s) 0的零根, i 1,2,, r G ( s)在处的零点 M ( )中 i
注：只需确定无穷远处零极点的个数。 2018/10/15