Maple解方程组有哪些算法

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积分和微分方程的MAPLE求解

x e
2 1
2
2 x

dx,

0
sin t dt , t

e
x2
dx
七微分方程求解
> ?dsolve ode1:=t*diff(y(t),t) =y(t)*ln(t*y(t))-y(t);
> dsolve(ode1,y(t));
ode2:=diff(y(t),t,t)
+2*diff(y(t),t)+3*y(t)=a*sin(t);
> Int(exp(t)/t,t)=int(exp(t)/t,t);
定积分
Int(exp(-x),x=a..b);
int(exp(-x),x=a..b);
I1:=Int(exp(-x^2),x=0..1)
=int(exp(-x^2),x=0..1);
> ?erf > evalf(I1); ## 求近似值
课堂练习
1. y xy x e ,
2 2x
y (0) 2;
2. y 3 y 2 y x 2e x ; dx1 dt x2 x1 (0) 1 dx2 3. 4 x1 4 x2 2 x3 , x2 (0) 0 dt x3 (0) 1 dx3 2 x x x 1 2 3 dt
> dsolve(sys2, {f,g,h});
微分方程组的初值问题求解
> ######### solve the system of ODES with initial value conditions
> IC_1 := {x(a)=A,y(b)=B}; > ans1 := dsolve(sys1 union IC_1,{x(t),y(t)});

利用Maple对方程进行求解的命令

利用Maple对方程进行求解的命令
Maple的运算功能非常强大，在运算时能够解决各种各样的数学问题，对于一般的函数而言能够解决，同样的，也能够对方程进行求解。

下面介绍Maple求解方程的一些命令。

更多Maple基本功能介绍与操作过程请访问Maple中文版官网。

Maple解方程时经常用到下面几个命令：
solve（方程，未知数）；fsolve（方程，未知数，选项）；解数值解
选项：plex复数域上求根，2.fulldigits保持精度，3.maxsols=n求n个解，4.范围。

一．一元方程（省略“=”号为=0）
二．方程组
三．数值解
四．多项式分解因式、函数展开、合并、化简、转换：
factor（多项式，k），expand（函数），combine（函数），simplify（表达式），convert（表达式，形式，选项），取分子numer（分式），取分母denom（分式）
以上内容向大家介绍了Maple求解方程的常见命令格式，Maple对于一般的函数和方程都能够进行求解，甚至是复杂的方程也能进行求解，Maple符号计算尤其突出，这方面是所有的计算软件都无法比拟的。

如果需要了解更多Maple应用实例，可以参考Maple中文版官网教程：利用Maple如何进行金融建模。

用数学软件Maple做线性代数(2013.5.15)

用数学软件Maple做线性代数作者：徐小湛四川大学数学学院xuxzmail@目录前言第一章行列式行列式克拉默法则第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的转置逆矩阵矩阵方程第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的行最简形矩阵的秩齐次线性方程组基础解系非齐次线性方程组求通解用Solve求线性方程组的解第四章向量组的线性相关性向量的线性表示极大无关组第五章相似矩阵及二次型正交矩阵矩阵的特征值矩阵的特征向量矩阵的对角化二次型的标准化补充：向量参考文献前言Maple是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。

本文档用Maple来进行线性代数中的各种运算。

本文档中所有的例子都是用Maple 8编程和计算的。

如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件与作者讨论。

邮箱：xuxzmail@2012-5-11返回目录第一章行列式行列式 det(A)例计算三阶行列式124221342A -=---（同济5版，3页）输入：with(linalg):A:=matrix([[1,2,-4],[-2,2,1],[-3,4,-2]]);detA:=det(A);输出： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥12-4-221-34-2:= detA -14例计算四阶行列式3112513420111533A ---=---（同济5版，12页）输入：with(linalg):A:=matrix([[3,1,-1,2],[-5,1,3,-4],[2,0,1,-1],[1,-5,3,-3]]);detA:=det(A);输出： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥31-12-513-4201-11-53-3，:= d e t A 40例求解方程211123049x x =（同济5版，3页）输入：with(linalg):A:=array([[1,1,1],[2,3,x],[4,9,x^2]]);solve(det(A)=0,x);输出：,32例计算行列式2324323631063a b c da ab a bc a b cd a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++++++++++++++（同济5版，13页）输入：with(linalg):A:=array([[a,b,c,d],[a,a+b,a+b+c,a+b+c+d],[a,2*a+b,3*a+2*b+c,4*a+3*b+2*c+d],[a,3*a+b,6*a+3*b+c,10*a+6*b+3*c+d]]); DetA:=det(A);输出： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥a b c d a + a b + + a b c + + + a b c d a + 2a b + + 3a 2b c + + + 4a 3b 2c d a + 3a b + + 6a 3b c + + + 10a 6b 3c d ,,:= DetA a 4例计算行列式000000000000000000000000a b a b a bc dc d c d （同济5版，15页）输入：with(linalg):A:=array([[a,0,0,0,0,b],[0,a,0,0,b,0],[0,0,a,b,0,0],[0,0,c,d,0,0],[0,c,0,0,d,0],[c,0,0,0,0,d]]);DetA:=det(A);输出： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥a 0000b 0a 00b 000a b 0000c d 000c 00d 0c 0000d ,:= DetA () - d a b c 3 返回目录克拉默法则例用克拉默法则解线性方程组：123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩（同济5版，22页）输入：with(linalg):A:=array([[2,1,-5,1],[1,-3,0,-6],[0,2,-1,2],[1,4,-7,6]]); b:=array([8,9,-5,0]);A1:=augment(b,col(A,2),col(A,3),col(A,4));A2:=augment(col(A,1),b,col(A,3),col(A,4));A3:=augment(col(A,1),col(A,2),b,col(A,4));A4:=augment(col(A,1),col(A,2),col(A,3),b);x1:=det(A1)/det(A);x2:=det(A2)/det(A);x3:=det(A3)/det(A);x4:=det(A4)/det(A);输出： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥21-511-30-602-1214-76 := b [],,,89-50:= A1⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥81-519-30-6-52-1204-76 := A2⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥28-51190-60-5-1210-76:= A3⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥21811-39-602-521406 :=A4⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥21-581-30902-1-514-70方程组的解： := x13 := x2-4 := x3-1 := x41返回目录第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算 matadd(A,B) 或 evalm(A+B); k*B例设352078A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，3912418B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求A B +和43A B +输入：with(linalg):A:=array([[2,5,-2],[0,7,-8]]);B:=array([[-3,9,12],[-4,1,8]]);matadd(A,B);evalm(A+B);matadd(4*A,3*B);evalm(4*A+3*B);输出： := A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥25-207-8 := B ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-3912-418⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-11410-480 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-11410-480 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-14728-1231-8 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-14728-1231-8 返回目录矩阵的乘法 multiply(A,B) 或 evalm(A&*B)例设10312102A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，410113201134B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求AB输入：with(linalg):A:=array([[1,0,3,-1],[2,1,0,2]]);B:=array([[4,1,0],[-1,1,3],[2,0,1],[1,3,4]]);AB:=multiply(A,B);AB:=evalm(A&*B);结果： := A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥103-12102, := B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥410-113201134,:= AB ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥9-2-19911 := AB ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥9-2-19911例设2412A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2436B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，求AB 和BA （同济5版，35页）输入：with(linalg):A:=array([[-2,4],[1,-2]]);B:=array([[2,4],[-3,-6]]);AB:=multiply(A,B);BA:=multiply(B,A);结果： := A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-241-2, := B ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥24-3-6, := AB ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-16-32816, := BA ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥0000例证明：cos sin cos sin sin cos sin cos n t t nt nt tt nt nt --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（同济5版，38页）解取n=7输入 with(linalg):A:=array([[cos(t),-sin(t)],[sin(t),cos(t)]]);evalm(A^7);map(combine,%);结果： := A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥()cos t -()sin t ()sin t ()cos t()- () - ()cos t 2()sin t 224()cos t 2()sin t 2[()- () - ()cos t 2()sin t 2()cos t 2()cos t ()sin t 24() - ()cos t 2()sin t 2()cos t ()sin t () + 2()cos t 2()sin t () - ()cos t 2()sin t 2()sin t - ,() - () - ()cos t 2()sin t 224()cos t 2()sin t 2()- - () - ()cos t 2()sin t 2()sin t 2()cos t 2()sin t 4() - ()cos t 2()sin t 2()cos t ()sin t () - () - ()cos t 2()sin t 2()cos t 2()cos t ()sin t 2 - ]4() - ()cos t 2()sin t 2()cos t ()sin t () - () - ()cos t 2()sin t 2()cos t 2()cos t ()sin t 2 + [()- () - ()cos t 2()sin t 224()cos t 2()sin t 2() + 2()cos t 2()sin t () - ()cos t 2()sin t 2()sin t ,4() - ()cos t 2()sin t 2()cos t ()sin t ()- - () - ()cos t 2()sin t 2()sin t 2()cos t 2()sin t + ()- () - ()cos t 2()sin t 224()cos t 2()sin t 2() - () - ()cos t 2()sin t 2()cos t 2()cos t ()sin t 2]化简的结果：⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥()cos 7t -()sin 7t ()sin 7t ()cos 7t返回目录矩阵的转置 transpose(A)例设120311A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求其转置矩阵T A （同济5版，39页）输入：with(linalg):A:=array([[1,2,0],[3,-1,1]]);B:=transpose(A);结果：原矩阵： := A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥1203-11 转置矩阵: := B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥132-101例设201132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，171423201B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()T AB ，并验证：()T T TAB B A= （同济5版，39页）输入with(linalg):A:=array([[2,0,-1],[1,3,2]]);B:=array([[1,7,-1],[4,2,3],[2,0,1]]); transpose(multiply(A,B));multiply(transpose(B),transpose(A)); 结果： := A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥20-1132, := B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥17-1423201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥0171413-310这是()T AB ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥0171413-310这是T TB A 可见：()T T T AB B A =返回目录逆矩阵 inverse(A) 或 evalm(A^(-1))例设123221343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求其逆矩阵1A -，并验证1AA E -=（单位矩阵）（同济5版，44页）输入：with(linalg):A:=array([[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]]);B:=inverse(A); C:=evalm(A^(-1)); AB:=multiply(A,B); CA:=multiply(C,A);结果: := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥123221343, 逆矩阵： := B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥13-2-3-3511-1 := C ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥13-2-3-3511-1验证1AA E -=： := AB ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥10001001，:= CA ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥100010001 返回目录矩阵方程例设123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2153B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132031C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且AXB C =，求矩阵X （同济5版，45页）解 11AXB C X A CB --=⇒=输入with(linalg):A:=array([[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]]); B:=array([[2,1],[5,3]]);C:=array([[1,3],[2,0],[3,1]]);X:=multiply(inverse(A),C,inverse(B));结果： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥123221343,:= B ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥2153, := C ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥132031, := X ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥-2110-4-104例设213122132A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112025B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求解矩阵方程AX B =（同济5版，65页）解 1AX B X A B -=⇒=输入with(linalg):A:=array([[2,1,-3],[1,2,-2],[-1,3,2]]); B:=array([[1,-1],[2,0],[-2,5]]); X:=multiply(inverse(A),B);结果： := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥21-312-2-132, := B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥1-120-25, := X ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥-4201-32 返回目录第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的行最简形和标准型阶梯形： gausselim(A)行最简形：gaussjord(A) 或 rref(A)，例设21112112144622436979B --⎛⎫⎪-⎪= ⎪--⎪-⎝⎭，求B 的阶梯形和秩（同济5版，59页）输入：with(linalg):B:=array([[2,-1,-1,1,2],[1,1,-2,1,4],[4,-6,2,-2,4],[3,6,-9,7,9]]);GL:=gausselim(B);输出： := B ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥2-1-11211-2144-62-2436-979 阶梯形： := GL ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥2-1-1120-44-40000-1300000 阶梯形有一行全为零，矩阵的秩为3。

Maple13中的方程求解介绍

求解方程西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2009您可以在Maple帮助系统中找到本文的交互式工作表源文件：，更多的应用范例见 .本文通过各种范例演示Maple强大的方程求解器，solve。

solve命令介绍求解代数方程或代数方程组，常用的 Maple 命令是 solve。

求解关于的方程 eqn=0 的命令格式为：solve(eqn，x);Solve命令的调用格式：solve(equations, variables)参数equations - 方程或不等式，或者是方程组或不等式组variables - （可选项）一个未知量名称或未知量名称集合；要求解的未知量描述solve 函数求解一个或多个方程或不等式的未知量。

输出如果第二个参数是一个变量名，那么单个方程的解将以一个表达式序列的形式返回。

如果第二个参数是一个列表，那么解将以一个列表的形式返回。

如果第二个参数是一个变量名，那么方程组的解将以方程组序列的形式返回。

如果第二个参数是一个列表，那么解将以方程组列表的形式返回。

如果 solve 函数不能发现任何解，并且如果第二个参数是一个变量名，那么将返回空序列 (NULL)，如果第二个参数是一个列表，那么将返回一个空列表。

这种情况意味着没有解，或者是 solve 函数不能找到解。

后面的情况将显示一条警告信息，同时全局变量 _SolutionsMayBeLost 被设置为 true。

如果 solve 函数的输出是一个分段表达式，那么可以使用 assuming 函数分离期望的解。

但是，因为您不能假设常数条件，所以如果解是一个常数，那么假设条件将被忽略。

参考下面的例子。

对于高阶多项式方程，Maple 将返回隐式 RootOf 形式的解。

(2.2)(1.2)(2.5)(2.1)(1.1)(1.4)(2.3)(2.4)(1.3)小心求解方程(2.7)(3.1)(2.6)(3.5)(3.4)(3.2)(3.3)(2.5)如果我们想要得到上述方程的通解，我们必须把环境变量EnvAllSolutions的值在通常情况下，Maple 用代表整数，代表非负整数，代表二值(0/1)。

经典数值算法及其maple实现

经典数值算法及其maple实现经典数值算法是计算机科学中常用的一种算法，用于解决数值计算问题。

这些算法被广泛应用于科学计算、工程计算、金融计算等领域。

下面列举了10个经典数值算法及其Maple实现。

1. 二分法（Bisection Method）二分法是一种求解方程根的迭代算法。

通过将区间不断地二分，确定方程在给定区间内的根的近似值。

具体实现如下：```Maplebisection := proc(f, a, b, tol)local c, fc;while abs(b - a) > tol doc := (a + b) / 2;fc := evalf(f(c));if f(a) * fc < 0 thenb := c;elsea := c;end if;end do;return (a + b) / 2;end proc;```2. 牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种求解方程根的迭代算法。

通过利用函数的切线逼近方程的根，求得根的近似值。

具体实现如下：```Maplenewton := proc(f, x0, tol)local x, fx, dfx;x := x0;repeatfx := evalf(f(x));dfx := evalf(D(f)(x));x := x - fx / dfx;until abs(fx) < tol;return x;end proc;```3. 高斯消元法（Gaussian Elimination）高斯消元法是一种求解线性方程组的算法。

通过将线性方程组转化为阶梯形矩阵，再利用回代法求解方程组的解。

具体实现如下： ```MaplegaussianElimination := proc(A, b)local n, i, j, k, factor;n := RowDimension(A);for k from 1 to n-1 dofor i from k+1 to n dofactor := A[i, k] / A[k, k];for j from k+1 to n doA[i, j] := A[i, j] - factor * A[k, j];end do;b[i] := b[i] - factor * b[k];end do;end do;return A, b;end proc;```4. 欧拉方法（Euler's Method）欧拉方法是一种求解常微分方程初值问题的算法。

怎样利用Maple对方程进行求解

怎样利用Maple对方程进行求解
Maple的运算功能非常强大，在运算时能够解决各种各样的数学问题，对于一般的函数而言能够解决，同样的，也能够对方程进行求解。

下面介绍Maple求解方程的一些命令。

Maple中的微分代数方程求解

Part10：Maple中的微分代数方程求解西希安工程模拟软件（上海）有限公司，200810.0 Maple中的微分方程求解器介绍Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题：常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP)，可以通过参数项选择求符号解 (解析解) 或数值解。

ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。

了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve, dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。

使用Maple的PDE工具可以完成对PDE系统的结构分析和指数降阶处理。

了解更多信息，参考帮助系统中的 pdsolve and pdsolve/numeric.微分-代数方程 (DAEs): dsolve/numeric 命令是符号-数值混合求解器，使用符号预处理和降阶技术，让Maple能够求解高指数的DAE问题。

Maple内置三个求解器用于处理DAEs：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法，2）Rosenbrock 方法，以及 3）修正的拓展后向差分隐式方法。

10.1 Maple中的微分代数方程(DAEs)更多亮点：大部分情况下，通过识别是否存在因变量的纯代数方程，dsolve命令可以判断给定的问题是否是微分代数方程，而不是常微分方程。

如果输入是一个不含有纯代数方程的微分代数方程，使用solve求解时需要用method参数指定对象是一个微分代数方程。

dsolve 有三种数值方法求解DAEs。

默认的 DAE IVP 方法是 modified Runge-Kutta Fehlberg method (rkf45_dae)，另两个方法是 rosenbrock_dae 和 Modified Extended Backward-Differentiation Implicit method (mebdfi)，可以通过 method 参数项指定。

Maple解方程组有哪些算法

Maple解方程组有哪些算法Maple解方程组有哪些算法勿庸质疑Maple符号计算功能是非常强大的，因此Maple能够进行大量的复杂运算。

这些复杂运算中会用到不同的算法，那么Maple 是怎么解方程组的呢？更多Maple常见命令和基本操作介绍请访问Maple中文版网站。

Maple可以解决很多方程和方程组的问题，在这个过程中Maple 会使用很多不同的技术：1.在封闭解时使用符号方法2.在近似解时使用数值方法3.混合符号和数值算法共同运用事业解决那些单独使用其中一种无法解决的问题。

Maple启动界面示例在需要精确的、封闭解的情况下使用符号运算Maple的符号求解器使用状态算法来解决代数方程问题，包括运用F4算法来计算Gr?bner 和三角集合来分解算法。

在Maple中你可以：解方程和方程组；解不等式和不等式组；对多种类型的参数方程和不等式找到约束解。

使用普通变量或者函数作为未知量。

当未知量是一个函数时，Maple返回出一个可以解方程的函数。

求解恒等式、参数方程、非线性系统和级数。

控制解的形式。

近似解时使用数值方法：在寻找方程的近似解时，Maple的数值求解器使用工业标准技术，包括集成数值算法组（NAG）中的求解器。

使用Maple你可以：解方程和方程组；设置在运算过程上使用数值的位数；指定初始值；指定一个解的区间；指定你正在寻找的真正的根或者复杂的根；对有一个变量的多项式方程返回出来有限个数的解。

混合方法：除了单独使用标准的数值技术之外，Maple还可以通过使用混合符号-数值的方法来拓展数值求解器的能力和速度。

如果一个问题在某种形式下无法使用标准数值或符号方法来求解，Maple就会象征性地尝试将问题转换成一个可以用数值方法求解的等价形式。

混合技术也可以用来对数值求解器中选择近似初始值，这样可以使它们更快得出答案。

这种混合运算的方法已经被完全集成到数值求解器的算法中了，在需要时会自动应用。

其他求解器除了对代数方程的常规求解方法外，对于微分方程、代数微分方程、整数方程、整数取余方程、递推方程、级数解和q差分方程等，Maple还有很多包括常规解法在内的专业门的求解方法。

maple数学软件8

3、浮点数转化为有理数、 convert(float,fraction); 如: convert(1.23456,fraction); onvert也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换. 也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换如: convert(64,binary); convert(63,octal); convert(65535,hex); convert(FFFF,decimal,hex);
7.1 多项式
1、多项式的定义、 (1) 赋值 f:=x^4-3*x^2+2*x-5; f:=x->(x-1)^3+2*x-3; (2) 随机生成 f:=randpoly(x); g:=(x,y)->randpoly([x,y]);
2、多项式的操作、 (1) 提取多项式的系数可以用函数coeff提取多项式的系数提取多项式的系数, 可以用函数提取多项式的系数格式: 格式 coeff(p,x,n),coeff(p,x^n); 多元多项式用coeffs(p); 多元多项式用如: f:=randpoly(x); g:=(x,y)->randpoly([x,y]): coeff(f,x);coeff(f,x^2);coeff(f,x,3); coeffs(g(x,y));
Step2: 求根的近似值求根的近似值. a:=0.;b:=1.; while abs(b-a)>=10^(-10) do c:=(a+b)/2; if f(c)* f(a)>0 then a:=c;b:=b; elif f(c)*f(b)>0 then a:=a;b:=c; else a:=c;b:=c; end if; 'a'=a,'b'=b,'c'=c; end do; 通过计算，求得方程根的近似值为通过计算，求得方程根的近似值为0. 6706573107.

Maple函数用法

Maple函数用法Maple函数用法一、基本命令重新开始：restart 命名：名字：= 引用前值：% 字符连接：|| 保护命名：protect 解除保护命名：unprotrct 变量类型：whattype 检验命名：assigned 别名：alias 宏：macro 帮助：？函数名map把命令作用到每一个元素，seq生成序列，add生成和，mul生成积二、基本运算1. 近似计算：evalf（表达式，小数位数），用Digits命令提前设定小数位数2. 取整运算：round四舍五入，trunc向0取整， ceil向-∝取整，floor向∝取整3. 范围限定：assume（限定变量范围）frac小数部分4. 绝对值（模）：abs（表达式），复数求其模5. 同余：mod（数1，数2），或者：数1 mod 数26. 平方根：sqrt（表达式），平方根最接近整数：isqrt（表达式）7. 分解质因数：ifactor（数），分解质因数成组ifactors（数）8. 商与余数：商iquo（除数，被除数），余数irem（除数，被除数）9. 最大公约数：igcd（数1，数2），最小公倍数：ilcm（数1，数2）10.形如as+bt=（a，b）分解：igcdex（a，b，’s’,’t’）11.数组最大最小值：max（数1，数2，…），min（数1，数2，…）12.实部、虚部与幅角：实部Re（复数），虚部Im（复数），幅角argument13.共轭复数：conjugate（复数）14.形如a+bi整理：evalc（表达式）15.并集：集合1 union 集合2，交集：intersect，差集：minus16.元素个数：nops（集合），用op可把集合转化成表达式三、多项式1. 降幂排列：sort（多项式），字典排序plex（第三个参数）2. 次数：degree（多项式），系数：coeff（多项式，项），首项系数：lcoeff尾项系数：tcoeff，所有系数：coeffs（多项式，变量，‘power‘）3. 合并同类项：collect（多项式，合并参数）4. 商式：quo（除式，被除式，变量），余式：rem，整除检验：divide5. 最大公因式：gcd（多项式1，多项式2），最小公倍式lcm6. 因式分解：factor（多项式），可用第二个参数限定数域缺省代表有理数域7. 分母有理化：rationalize（多项式），有理分式化简：normal 或者factor8. 化简表达式：simplify，带假设化简：simplify（表达式，assume=范围）附加关系化简：simplify（表达式，{条件}）代换：subs（条件，表达式）9. 展开与合并：展开expand（表达式），合并combine（表达式）10.等价转换：convert（函数，转化成的函数）四、解方程1. 方程（组）：solve（{方程（组）}，{未知量（缺省对所有变量求解}）2. 数值解：fsolve（方程，变量范围（可缺省），数域（可缺省））3. 三角方程：添加＿EnvAllSolutions：=ture以求得所有解4. 多项式方程解的区间：realroot（多项式）5. 不等式（组）：solve（{不等式（组）}，{变量}）6. 整数解：isolve（方程，变量）7. 模m的解：msolve（方程，模m）8. 递推关系的通项：rsolve（{递推关系，初值}，{通项}）9. 函数方程：solve（函数方程，函数）10.系数匹配：match（式子1=式子2，变量，’sln’）11.Grobner基原理：先调用with（grobner），此命令将方程的解等价化简Gsolve（{式子1，式子2，…}，[变量1，变量2，…]12.微分方程：dsolve（{方程，初值（可缺）}，函数，’explicit’(可缺)）13.微分方程组：dsolve（{方程1、2，…，初值}，{函数1，函数2，…}）14.拉普拉斯变换法：dsolve（{微分方程}，函数，method=laplace）15.微分方程级数解：dsolve（{微分方程}，函数，type=series）16.微分方程数值解：dsolve（{微分方程}，函数，type=numeric）17.微分方程图形解：DEplot图形表示微分方程，dfielplot箭头表示向量场，phaseportrait向量场及积分曲线，DEplot3d三维空间图形表示微分方程18.偏微分方程：pdsolve（偏微分方程，求解函数）19.分离变量解偏微分方程：pdsolve（方程，函数，HI NT=’*’,’build’）20.偏微分方程图形解：PDEplot（方程，函数，ini边界s，s范围）五、数据处理1. 统计软件包：先调用程序包with(stats) ，有7个子包:anova方差分析，describe描述数据分析，fit拟合回归分析，transform数据形式变换，random分布产生随机数，statevalf分布的数值计算，statplots统计绘图2. 基本命令：平均值mean，方差variance，标准差standarddeviation，中位数median，众数mode，数据求和sumdata，协方差covariance，相对标准差(标准差/平均值)coefficientofvariation，计数(非缺失)count，计缺失数countmissing，范围range，几何平均值geometricmean，线性相关数linearcorrelation3. 统计图形：直方图histogram，散点图scatter2d、quantile2（先从小到大排序再作图），箱式图boxplot4. 统计分布函数值：正态分布随机分布命令normald[期望，方差]先调用程序包with（statevalf）用法statevalf（分布函数，求解函数）连续分布:cdf累积密度函数，icdf逆累积密度函数，pdf概率密度函数离散分布：dcdf离散累积概率函数，idcdf逆离散累积函数，pf概率函数5. 插值：整体插值命令f：=interp（数据1，数据2，变量）分段插值命令f：=spline（数据1，数据2，变量，次数）6. 回归：leastsquare[[x,y],y=多项式，{多项式系数}]（[数据1，数据2]） f:=fit（数据1，数据2，拟合函数，变量）六、微积分1.函数定义：函数名：=->表达式，复合函数：f（g（x））：=f@g2. 表达式转换成函数：unapply（表达式，函数变量）3. 极值：极大值maximize（函数，变量，范围，location=true （极值点））极小值minimize（函数，变量，范围，location=true（极值点））条件极值：extreme（函数，约束条件，{变量}，’s’(极值点)）4. 极限：limit（函数，x=趋值，方向（省缺，left，right，complex））5. 连续性：判断iscont（函数，x=范围）第三个参数closed表示闭区间求解discont（函数，变量）6. 微分：显函数diff（函数，变量）对x多次求导用x&n 微分算子D隐函数implicitdiff（函数，依赖关系y（x），对象y，变量x）7. 切线作图：showtangent（函数，x=点，view=[x范围，y范围]）8. 不定积分：int（函数，积分变量），定积分：int（函数，x=下限..上限）9. 复函数积分：先求奇点solve（denom（函数）），再用留数规则求解2*Pi*I（residue（f，z=奇点1）+ residue（f，z=奇点2）+…）10.定积分矩形：下矩形：作图leftbox（f，x=范围，块数）面积leftsum（f，x=范围，块数）。

积分和微分方程的MAPLE求解

> ans1 := combine(dsolve(sys1 union IC_1,{x(t),y(t)}),trig);
> IC_2 := {x(a)=A,diff(x(a),a)=B}; > ans2 := combine(dsolve(sys1 union IC_2,{x(t),y(t)}),trig);
> Int(exp(t)/t,t)=int(exp(t)/t,t);
定积分
Int(exp(-x),x=a..b);
int(exp(-x),x=a..b);
I1:=Int(exp(-x^2),x=0..1)
=int(exp(-x^2),x=0..1);
> ?erf > evalf(I1); ## 求近似值
微分方程组求通解
> ######## solve the system of ODES
> sys1:= {diff(y(t),t) =-x(t),diff(x(t),t)=y(t)};
> dsolve(sys1, {x(t),y(t)}); sys2 := {diff(f(x),x) = cos(f(x)), diff(g(x),x) = -f(x)^(1/2), diff(h(x),x,x) = g(x)/f(x)};
> dsolve(sys2, {f,g,h});
微分方程组的初值问题求解
> ######### solve the system of ODES with initial value conditions
> IC_1 := {x(a)=A,y(b)=B}; > ans1 := dsolve(sys1 union IC_1,{x(t),y(t)});

maple中fsolve的用法

maple中fsolve的用法FSolve是Maple中一个用于解方程的函数。

FSolve的全称是“floating point solve”，它是基于数值求解方法的，适用于复杂多项式方程。

本文就来详细介绍FSolve在Maple中的用法。

1. 简单用法首先，我们来看一个简单的例子。

假设我们有一个方程x^2 + 2x – 4 = 0，我们想求解x的值。

我们可以使用FSolve函数来解决这个问题。

首先，我们要先输入这个方程，然后再用FSolve函数进行求解。

具体的代码如下：> eqn := x^2 + 2*x - 4 = 0;> fsolve(eqn, x);运行这些代码后，Maple就会返回一个x的值，解为x=-2.414213562。

2. 复杂用法在实际应用中，我们经常会遇到复杂的方程，这时候就需要使用更加灵活的FSolve用法。

例如，在下面的例子中，我们要求解一个包含三个未知数的方程组：{sin(2x) + y*z^2 = 0, z^2 + y^2 - 1 = 0, x^3 + y*z^3 = 1}我们可以使用FSolve函数来求解这个方程组。

具体的代码如下：> eqns := {sin(2*x) + y*z^2 = 0, z^2 + y^2 - 1 = 0, x^3 +y*z^3 = 1};> fsolve(eqns, {x, y, z});运行这些代码后，Maple就会返回一个有三个元素的解向量。

这个解向量就是这个方程组的解。

3. 高级用法如果我们要进行更加复杂的求解，或者需要对FSolve函数的参数进行更加精细的控制，那么就需要使用FSolve函数提供的更高级的用法。

例如，我们可以使用FSolve函数的最大迭代次数、误差容限等参数来控制求解的精度。

具体的代码如下：> fsolve(x^2 - 2 = 0, x, maxiters = 100, tolerance = 1e-10);在这个代码中，我们要求解的方程是x^2-2=0，我们要求的未知数是x，我们限制了最大的迭代次数为100，误差容限为1e-10。

maple 微分方程组

maple 微分方程组微分方程组是数学中的一个重要概念，是描述物理、生物、工程等领域中某些变量之间关系的方程组。

其中，maple是一种常用的数学软件，可以用于求解微分方程组。

本文将介绍微分方程组的基本概念以及如何利用maple求解微分方程组的方法。

微分方程组是包含多个未知函数及其导数的方程组。

一般地，微分方程组可以用以下形式表示：\[\begin{cases}F_1(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\F_2(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots \\F_n(x, y_1, y_2, \ldots, y_n, y_1', y_2', \ldots, y_n') = 0 \\\end{cases}\]其中，\(y_1, y_2, \ldots, y_n\)是未知函数，\(y_1', y_2', \ldots, y_n'\)是它们的导数，\(F_i\)是关于这些未知函数及其导数的函数。

在使用maple求解微分方程组时，首先需要定义微分方程组。

可以使用"DEtools"包中的"diffeq"命令来定义微分方程组，具体的语法格式如下：\[\text{{diffeq}}(\{F_1, F_2, \ldots, F_n\}, \{y_1, y_2, \ldots, y_n\}(x))\]其中，\(\{F_1, F_2, \ldots, F_n\}\)表示方程组的左侧，\(\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\)表示未知函数，\(x\)表示自变量。

微分方程的maple求解

1、常用函数1)求解常微分方程的命令dsolve.dsolve(常微分方程)dsolve(常微分方程，待解函数，选项)dsolve({常微分方程，初值}，待解函数，选项)dsolve({常微分方程组，初值}，{待解函数}，选项)其中选项设置解得求解方法和解的表示方式。

求解方法有type=formal_series(形式幂级数解)、type=formal_solution(形式解)、type=numeric(数值解)、type=series(级数解)、method=fourier(通过Fourier变换求解)、method=laplace(通过Laplace变换求解)等。

解的表示方式有explicit(显式)、implicit(隐式)、parametric(参数式)。

当方程比较复杂时，要想得到显式解通常十分困难，结果也会相当复杂。

这时，方程的隐式解更为有用，一般也要简单得多。

dsolve为标准库函数。

2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol.在Maple中求解一阶线性方程既可以用dsolve函数求解，也可以用Detools函数包中的linearsol函数求解。

linearsol是专门求解线性微分方程的命令，使用格式为: linearsol(线性方程，待解函数)linearsol的返回值为集合形式的解。

3)偏微分方程求解命令pdsolve.pdsolve(偏微分方程，待解变量，选项)pdsolve(偏微分方程，初值或边界条件，选项)pdsolve为标准库函数，可直接使用。

如果求解成功，将得到几种可能结果：方程的通解；拟通解(包含有任意函数，但不足以构造通解)；一些常微分方程的集合；2、方法1)一阶常微分方程的解法a 分离变量法 I 直接分离变量法。

如()()dyf xg y dx=，方程右端是两个分别只含x 或y 的函数因式乘积，其通解为()()dyf x dx Cg y =+⎰⎰。

II 换元法之后再用分离变量法。

(仅供参考)Maple提高教程B3- Maple中的偏微分方程求解

B3: Maple中的偏微分方程求解西希安工程模拟软件（上海）有限公司，200811.0 Maple中的微分方程求解器介绍Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题：常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP)，可以通过参数项选择求符号解 (解析解) 或数值解。

ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。

了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve, dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。

使用Maple的PDE工具可以完成对PDE系统的结构分析和指数降阶处理。

Maple内置三个求解器用于处理DAEs：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法，2）Rosenbrock 方法，以及 3）修正的拓展后向差分隐式方法。

11.1 求解偏微分方程PDE问题(BVP和IVP)Maple 求解经典力学难题的能力是非常著名的，它的数值和符号偏微分方程求解器是其中的重要工具。

例子：在不同的边界条件下，求波动方程的数值解、解析解、和图形解。

11.1.1 初始化下面的Maple代码定义了一个名为P X的程序，生成函数的周期展开。

PX := proc(h::{algebraic,procedure},g::{range,name=range})local L, D, var;if type(g,'range') then L := lhs(g); D := rhs(g) - L;(1)(2)if not type(h,'procedure') then var := indets(h,'name');if nops(var) <> 1 then error "need to specify a variable"; end if; var := op(var); end if;else L := lhs(rhs(g));D := rhs(rhs(g)) - L;var := lhs(g); end if;if type(h,'procedure') then proc(x::algebraic) h(x - floor((x-L)/D)*D); end; else proc(x::algebraic) eval(h, var = x - floor((x-L)/D)*D); end; end if;end:11.1.2 数值解和图形解一个空间变量的波动方程是：假设初始形状由下面的函数给出：对应的图形如下：(4)(3)Maple中的命令pdsolve 将求解单变量演化方程（双曲和抛物）的数值解（有限差分）。

第5章微分方程(Maple)

第5章微分方程5.1 常微分方程5.1.1 常微分方程的求解和作图命令z 求解微分方程命令dsolve在微分方程中，我们称只有一个自变量的微分方程为常微分方程，具有两个或两个以上自变量的微分方程为偏微分方程。

例如：描述物体冷却过程的数学模型)(0u u k dtdu−−= 含有自变量t 、未知函数u 以及一阶导数dudt，是一个常微分方程。

Maple 中求解常微分方程的命令为dsolve 函数，其用法有dsolve （常微方程）dsolve （常微方程，待解函数，选项）dsolve （{常微方程，初值}，待解函数，选项） dsolve （{常微方程组，初值}，{待解函数}，选项）z 方程数值解作图命令odeplot要做出常微分方程数值解的图象，请使用odeplot 函数。

odeplot 在程序包plots 中，可通过with(plots)或plots[odeplot]调出。

odeplot （数值解，被绘函数，参数范围，选项）5.1.2 一阶常微分方程z 可分离变量方程若一阶微分方程有形式)()(y g x f dxdy=，则称为可分离变量方程。

一般可以通过对方程dx x f y g dy)()(=两边分别积分，得到方程的隐式解。

例：求解微分方程sin()'()sin()x y x y =。

> eq:=diff(y(x),x)=sin(x)/sin(y(x));显然，这是可分离变量的常微分方程。

用Detools 程序包中的odeadvisor 函数检测方程的类型，输出结果_separable 说明方程类型是可分离变量的。

> DEtools[odeadvisor](eq);[_separable]用dsolve 函数求解方程，得到方程的通解。

> dsolve(eq);设定选项implicit ，得到方程的隐式解。

> dsolve(eq,implicit);附加初始值y(0)=1，得到方程的准确解。

maple_chap7

这是一个不定方程组，我们用isolve来得到它的整数解：
整数解中以下滑线开始的变量可以取任意整数。然后，我们将结果在代入到我们所需要的无量纲量中去：
Maple对于幂的连乘积的化简规则是把相同底数的项合并起来，而在这里，为了得到相互无关的无量纲量，需要将相同指数的项合并起来（因为_N1，_N2，_N3是相互独立的整数）。可以编写一小段程序实现这个功能。我们知道，对连乘积求对数后，原来的指数都变成了对数项的系数，然后，我们就可以用函数collect将相同系数的项合并。最后，再用exp函数获得我们所需要的形式。
在这一章中，我们将学习在Maple中实现的各种求解方程和方程组的方法。再学习方程的精确解法的同时，也将介绍各种数值解法，并通过例子使读者能够快速的掌握它们的用法。对于许多常微分方程（组），Maple都可以显式或隐式地给出它的们解析解。而在Maple中，许多常用的近似解法也都予以了实现，例如级数方法，渐进解法等等。我们还将介绍利用Maple解决一部分偏微分方程问题的方法。
7.3
在数学中，常微分方程是这样定义的，它具有一般形式：F ( y, y', y", ..., y(n), x ) = 0，其中y, y', y", ..., y(n)是一元函数y (x)对其自变量x的各阶导数，F是定义在Rn+2上的实值函数。称该常微分方程为线性的，当且仅当F对其前n+1个变元而言是线性函数，亦即可以表示成为如下的形式：
函数realroot还有一个可选参数，它是用来限制区间的最大长度的，为了保证使用数值求解方法时收敛，我们可以用它限制区间的最大长度。
7.2.2
Maple的函数isolve是用来求解方程或方程组的整数解的，它常常被用来求解不定方程。作为它的一个简单应用，我们来看一个量纲分析的小例子。

Maple微分方程的求解

题目：微分方程的求解——基于Maple工具姓名:学号:专业:学科:老师:目录一、简介 (3)概况： (3)Maple 主要技术特征： (3)1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 (3)2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 (4)3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 (4)4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 (4)二、Maple在微分方程中的应用 (5)1、常用函数 (5)1)求解常微分方程的命令dsolve. (5)2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. (5)3)偏微分方程求解命令pdsolve. (6)2、方法 (6)1)一阶常微分方程的解法 (6)2)二阶线性常微分方程的解法 (7)3、作图 (8)1)常微分方程数值解作图命令odeplot (8)2)偏微分方程作图命令PDEplot (8)三、各种方程的求解 (8)第一部分:一阶常微分方程 (8)1、可分离变量方程 (8)2、齐次方程 (9)3、线性方程 (10)4、Bernoulli方程 (10)第二部分:二阶线性常微分方程 (11)1、二阶常系数线性齐次方程 (11)2、二阶常系数线性非齐次方程 (12)3、Euler方程(变系数) (12)第三部分:偏微分方程 (13)1、波动方程 (13)2、热传导方程 (14)3、作图 (14)四、总结 (15)一、简介概况：Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。

Maple 在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域，用户渗透超过96％的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。

Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。

MAPLE方程求解[宝典]

第四章方程求解1 代数方程(组)求解1.1 常用求解工具—solve求解代数方程或代数方程组, 使用Maple 中的solve 函数. 求解关于x 的方程eqn=0的命令格式为：solve(eqn, x);求解关于变量组vars 的方程组eqns 的命令为：solve(eqns, vars);> eqn:=(x^2+x+2)*(x-1);:= eqn () + + x 2x 2() - x 1> solve(eqn,x);,,1- + 1212I 7- - 1212I 7当然, solve 也可以求解含有未知参数的方程：> eqn:=2*x^2-5*a*x=1;:= eqn = - 2x 25a x 1> solve(eqn,x);, + 54a 14 + 25a 28 - 54a 14+ 25a 28 solve 函数的第一个参数是有待求解的方程或方程的集合, 当然也可以是单个表达式或者表达式的集合, 如下例： > solve(a+ln(x-3)-ln(x),x);3e a- + 1ea 对于第二个参数, Maple 的标准形式是未知变量或者变量集合, 当其被省略时, 函数indets 自动获取未知变量. 但当方程中含有参数时, 则会出现一些意想不到的情况：> solve(a+ln(x-3)-ln(x));{}, = x x = a - + ()ln - x 3()ln x很多情况下, 我们知道一类方程或方程组有解, 但却没有解决这类方程的一般解法,或者说没有解析解. 比如, 一般的五次或五次以上的多项式, 其解不能写成解析表达式. Maple 具备用所有一般算法尝试所遇到的问题, 在找不到解的时候, Maple 会用RootOf 给出形式解.> x^7-2*x^6-4*x^5-x^3+x^2+6*x+4;- - - + + + x 72x 64x 5x 3x 26x 4> solve(%);+ 15 - 15()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 1()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 2()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 3,,,,,()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 4()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 5,> solve(cos(x)=x,x);()RootOf - _Z ()cos _Z对于方程组解的个数可用nops 命令获得, 如：> eqns:={seq(x[i]^2=x[i],i=1..7)};:= eqns {},,,,,, = x 12x 1 = x 22x 2 = x 32x 3 = x 42x 4 = x 52x 5 = x 62x 6 = x 72x 7> nops({solve(eqns)});128但是, 有时候, Maple 甚至对一些“显而易见”的结果置之不理, 如：> solve(sin(x)=3*x/Pi,x);()RootOf - 3_Z ()sin _Z π此方程的解为0 ,6π±, 但Maple 却对这个超越方程无能为力, 即便使用allvalues 求解也只有下述结果：> allvalues(%);()RootOf , - 3_Z ()sin _Z π0.另外一个问题是, Maple 在求解方程之前,会对所有的方程或表达式进行化简, 而不管表达式的类型, 由此而产生一些低级的错误：> (x-1)^2/(x^2-1);() - x 12- x 21> solve(%);1但是, 大量实验表明, solve 的确是一个实用的方程求解工具, 但是也不可盲目相信它给出的一切结果, 特别是对于非线性方程而言, 对于给出的结果需要加以验证.下面通过几个例子说明在Maple 中非线性方程组的求解问题.例：求解方程组：⎩⎨⎧=-=+yx y x 925222> eqns:={x^2+y^2=25,y=x^2-5};:= eqns {}, = y - x 25 = + x 2y 225> vars:={x,y};:= vars {},x y> solve(eqns,vars);,,,{}, = x 0 = y -5{}, = x 0 = y -5{}, = y 4 = x 3{}, = y 4 = x -3也可用下面的语句一步求出：> solve({x^2+y^2=25,y=x^2-5},{x,y});,,,{}, = x 0 = y -5{}, = x 0 = y -5{}, = y 4 = x 3{}, = y 4 = x -3这个问题非常简单, 但通常遇到的非线性问题却不是这么简单, 例如要求解方程组：yx y x y x -=+=+,122> eqns:={x^2+y^2=1,sqrt(x+y)=x-y};vars:={x,y};:= eqns {}, = + x 2y 21 = + x y - x y:= vars {},x y> sols:=solve(eqns,vars);sols = y ()RootOf , + + 2_Z 24_Z 3 - -1.000000000.7071067812I ,{ := = x - - ()RootOf , + + 2_Z 24_Z 3 - -1.000000000.7071067812I 2}{}, = x 1 = y 0,可以看出, 方程解的形式是以集合的序列给出的, 序列中的每一个集合是方程的一组解, 这样就很利于我们用subs 把解代入原方程组进行检验：> subs(sols[2],eqns);{} = 11> sols2:=allvalues(sols[1]);:= sols2{}, = x - + 112I 2 = y - - 112I 2> simplify(subs(sols2,eqns));{}, = I 2I 2 = 111.2 其他求解工具1.2.1 数值求解对于求代数方程的数值解问题, Maple 提供了函数fsolve , fsolve 的使用方法和solve很相似:fsolve(eqns, vars, options);其中, eqns 表示一个方程、方程组或者一个程序, vars 表示一个未知量或者未知量集合,options 控制解的参数(诸如：complex: 复根; maxsols=n ：只找到n 阶最小根; intervals ：在给定闭区间内求根, 等).> fsolve(x^5-x+1,x);-1.167303978> fsolve(x^5-x+1,x,complex);-1.167303978 - -.1812324445 1.083954101I + -.1812324445 1.083954101I - .7648844336.3524715460I ,,,,+ .7648844336.3524715460I> fsolve(x^3-3*x+1,x,0..1);.3472963553对于多项式方程, fsolve 在默认情况下以给出所有的实数解, 如果附加参数complex , 就可以给出所有的解. 但对于更一般的其他形式的方程, fsolve 却往往只满足于得到一个解： > eqn:=sin(x)=x/2;:= eqn = ()sin x 12x> fsolve(eqn);0.> fsolve(eqn,x,0.1..infinity);1.895494267> fsolve(eqn,x,-infinity..-0.1);-1.895494267函数fsolve 主要基于两个算法, 通常使用牛顿法, 如果牛顿法无效, 它就改而使用切线法. 为了使fsolve 可以求得所有的实根, 我们通常需要确定这些根所在的区间. 对于单变量多项式, 函数realroot 可以获得多项式的所有实根所在的区间.> 4+6*x+x^2-x^3-4*x^5-2*x^6+x^7;+ + - - - + 46x x 2x 34x 52x 6x 7> realroot(%);[],,[],02[],24[],-2-1函数realroot 还有一个可选参数, 它是用来限制区间的最大长度的, 为了保证使用数值求解方法时收敛, 我们可以用它限制区间的最大长度：> realroot(%%,1/1000);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,11951024299256⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,331310241657512⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,-633512-12651024求解方程或方程组的整数解时使用函数isolve , 它常常被用来求解不定方程. 例如著名的“百钱买百鸡”问题♣的求解过程为：> isolve({x+y+z=100,5*x+3*y+z/3=100});{},, = z + 753_Z1 = x 4_Z1 = y - 257_Z1据此可得满足该问题的三组解为：{x, y , z}={4, 18, 78}, {x, y , z}={8, 11, 81}, {x, y, z}={12, 4, 84}1.2.2 整数环中的方程(组)求解利用Maple 中的函数msolve(eqns, vars, n), 可以在模n 的整数环中求解方程(组)eqns.例：在Z 7中求解Pell 方程2837-=x y> msolve(y^7=x^3-28,7);{}, = x 3 = y 6{}, = x 4 = y 1{}, = y 0 = x 0{}, = x 1 = y 1{}, = y 6 = x 6,,,,,{}, = x 2 = y 1{}, = y 6 = x 5, 再如下例：> msolve(y^4=x^3+32,5);,,,,{}, = x 2 = y 0{}, = x 4 = y 1{}, = x 4 = y 2{}, = x 4 = y 3{}, = x 4 = y 41.2.3 递归方程的求解在Maple 中, 可以求解有限差分方程(也称递归方程), 所需调用的函数是rsolve , 该函数使用的是一些比较通用的方法, 例如产生函数法、z 变换法以及一些基于变量替换和特征方程的方法. 作为例子, 求解Fibonacci 多项式:> eq:=f(n)=f(n-1)+2*f(n-2);:= eq = ()f n + ()f - n 12()f - n 2> rsolve({eq,f(0)=1,f(1)=1},f(n));+ 13()-1n 232n 当然, 并不是所有的递归形式的函数方程的解可以写成解析形式, 如果不能, Maple将保留原来的调用形式. 此时, 可用asympt 函数获得它的渐进表达式, 也就是1/n 的级数解. 例如, 对于一个具有超越形式的递归函数方程, 仍然可以得到解的渐进形式：> rsolve(u(n+1)=ln(u(n)+1),u(n));()rsolve , = ()u + n 1()ln + ()u n 1()u n> asympt(%,n,5);+ + + 21n+_C 23()ln n n 2 - + - + 1913_C 12_C 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + 23_C 29()ln n 29()ln n 2n 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪O 1n 41.2.4 不等式(组)求解求解一元不等式方程(组)使用命令solve ： > solve((x-1)*(x-2)*(x-3)<0,x);,()RealRange ,-∞()Open 1()RealRange ,()Open 2()Open 3> solve((x-1+a)*(x-2+a)*(x-3+a) < 0, {x});,{} < x - 1a {}, < - 2a x < x - 3a> solve(exp(x)>x+1);,()RealRange ,-∞()Open 0()RealRange ,()Open 0∞> solve({x^2*y^2=0,x-y=1,x<>0});,{}, = y 0 = x 1{}, = y 0 = x 1。

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