全称量词与存在量词(有答案)

姓 名 年级 性 别 学 校 学 科

教师

上课日期

上课时间

课题

9.1 全称量词与存在量词

知识点一、全称量词与全称命题

1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.

知识点二、存在量词与特称命题

1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．

2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.

知识点三、含有一个量词的命题的否定

类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断

例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．

(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1

x 0－1

＝0；

(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.

【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1

x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．

(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：

(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π

2

)，cos x ＜1；

(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π

2)，cos x ＜1为真命题．

(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝1

3

∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.

所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．

(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.

类型二 含有一个量词的命题的否定

例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；

【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.