全称量词与存在量词(有答案)
1-5 全称量词与存在量词(精讲)(解析版)
1.5 全称量词与存在量词（精讲）考点一 判断全称、特称量词命题的真假【例1-1】（2021·全国高一课时练习）判断下列全称量词命题的真假: (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (3)对任意负数2,x x 的平方是正数; (4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题. (3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题 (4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题. 【例1-2】（2021·江苏无锡市·）有下列四个命题： ①x R ∀∈10>； ②2,0x N x ∀∈>； ③x N ∃∈，2x x ≤；④2,2x Q x ∃∈=.其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，x R ∀∈110≥>，故命题成立；对于②，显然当0x =时满足x ∈N ，但20x =，故命题为假； 对于③，显然0x =时满足x ∈N ，200≤成立，故命题为真；对于④，22x =的实数根为x =. 综上，真命题的个数为2. 故选：B. 【一隅三反】1．（2021·山东潍坊市）（多选）下列命题中是假命题的是（ ）． A ．x R ∀∈，30x ≥ B ．0x R ∃∈，303x = C ．x Q ∀∈，31x ≥ D ．0x N ∃∈，303x =【答案】ACD【解析】取12x =-，3108x =-<，所以选项A ，C 不正确；由303x =得0x =是无理数，所以选项B 正确，选项D 不正确， 故选：ACD2．（2021·淮安市）（多选）下列命题是真命题的有（ ） A ．2,x R x x ∃∈> B ．2,x R x x ∀∈> C ．20,320x x x ∃<-+< D ．2,20x R x x ∀∈++>【答案】AD【解析】对选项A ，当2x =时，满足2,x R x x ∃∈>，故A 为真命题； 对选项B ，当12x =时，不满足2,x R x x ∀∈>，故B 为假命题； 对选项C ，2320x x -+<，解得12x <<， 所以不满足20,320x x x ∃<-+<，故C 为假命题.对选项D ，因为22172024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立， 所以满足2,20x R x x ∀∈++>，故D 为真命题. 故选：AD3．（2021·云南省云天化中学高一开学考试）（多选）下列命题正确的有（ ） A ．0x ∃<，2210x x --=B ．0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C ．x R ∀∈xD ．1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件 【答案】AB【解析】对于A ，2210x x --=，解得1x ==，所以0x ∃<，2210x x --=，所以A 正确； 对于B ，“0m =”时，函数()21f x x =+是偶函数，“函数()21f x x mx =++是偶函数时，由()()f x f x -=得到0m =，故B 正确．对于C x =，所以x R ∀∈x 不正确，所以C 不正确． 对于D ，1x >可得()()120x x -+>，反之不成立，所以D 不正确． 故选：AB ．4．（2021·浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（ ） A ．x ∃∈Z ，143x << B ．x ∃∈Z ，22310x x -+= C ．x ∀∈R ，210x -= D ．x ∀∈R ，2220x x ++>【答案】AC【解析】A. 由143x <<，得1344x <<，故错误； B.由22310x x -+=得：12x =或1x =，故正确；C. 由210x -=得：1x =±，故错误；D. 由()2222110x x x ++=++>，故正确； 故选：AC考点二 命题的否定【例2-1】（2021·云南丽江市·高一期末）命题2,10x R x ∃∈+≤的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210xB ．x R ∃∈，210xC ．x R ∀∈，210x +≥D ．x R ∃∈，210x +≥【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题“2,10x R x ∃∈+≤”的否定是“2,10x x ∀∈+>R ”.故选：A【例2-2】（2021·全国高一单元测试）写出下列命题的否定： （1）:p x ∃∈R ，210x +≥； （2）p ：所有自然数的平方都是正数；（3）p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根； （4）p ：有些分数不是有理数.【答案】（1）:p x ⌝∀∈R ，210x +<；（2）:p ⌝有些自然数的平方不是正数；（3）:p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；（4）:p ⌝一切分数都是有理数. 【解析】（1）:p x ⌝∀∈R ，210x +<； （2）:p ⌝有些自然数的平方不是正数；（3）:p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根； （4）:p ⌝一切分数都是有理数. 【一隅三反】1．（2021·全国高三其他模拟）命题“22,26x x ∀>+>”的否定（ ） A ．22,26x x ∃≥+> B ．22,26x x ∃≤+≤ C ．22,26x x ∃≤+> D ．22,26x x ∃>+≤【答案】D【解析】因为原命题“22,26x x ∀>+>”，所以其否定为“22,26x x ∃>+≤”，故选：D.2．（2021·四川遂宁市）设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为（ ）A ．2,310x R x x ∀∈-+≥B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.【答案】A【解析】命题0:p x R ∃∈，20310x x -+<， 由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则p ⌝为：x R ∀∈，2310x x -+．故选：A ．3．（2021·黑龙江大庆市）命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.4．（2021·浙江高一期末）命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ） A ．20,10x x ax ∃≥+-< B ．20,10x x ax ∃≥+-≥ C ．20,10x x ax ∃<+-< D ．20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”. 故选：C考点三 求含有量词的参数【例4】（1）（2021·全国高一课时练习）若“,x R ∃∈有21k x -+≤ 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________（2）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【答案】（1）1k ≤（2）5【解析】（1）由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.（2）当3x ≥时，26215x x ≥⇒-≥，因为“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，所以5m ≤.故答案为：5 【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习（文））若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 2．（2021·安徽芜湖市·高一期末）已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.【答案】(]3,0-【解析】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题.当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-. 故答案为：(]3,0-.3．（2021·江西）已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >4．（2021·福建高一期末）若命题“2,220x R x mx m ∀∈+++≥”为真命题，则m 的取值范围是______ 【答案】[1,2]-【解析】依题意可得，命题等价于2220x mx m +++≥恒成立， 故只需要()2=4420m m ∆-+≤解得12m -≤≤，即1,2m故答案为：[]1,2-5．（2021·河北）已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）412m -≤≤；（1）存在，08m ≤≤【解析】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素， 假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-， 解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤. （2）存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 则B ⊆A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤，所以m 的取值范围为08m ≤≤.。
初升高数学衔接教材 第01章 第05节 全称量词与存在量词(解析版)
第一章第五节全称量词与存在量词一、电子版教材二、教材解读知识点一 全称量词命题和存在量词命题的判断1.全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么全称量词命题“对M 中任意一个x ，p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”，可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．【例题1】（2020·全国高一）判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.【例题2】（2020·全国高一）把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.【例题3】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；（2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题.知识点二 含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )；存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【例题4】（2020·全国高一）写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）2,10x x x ∀∈++>R ；（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x x x ∃∈-+=R ．【解析】（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，所以其否定是“有的人不晨练”．（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题， 所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．（4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题，所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．【例题5】（2020·全国高一）写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x ∈Z ，2x 的个位数字不等于3.【解析】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【例题6】（2020·四川省泸县五中高二月考（理））命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”的否定是（ ）A ．∀x ＞0，x 2+x +1≤0B ．∀x ＞0，x 2+x +1＞0C ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0D ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1＞0【答案】C【解析】命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”为全称命题，故其否定为：∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0【例题7】（2020·天津一中高二期末）“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，2210x x ++≤B ．x R ∀∈，2210x x ++<C ．0x R ∃∈，使得200210x x ++<D ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤【答案】D【解析】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，故“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，使得200210x x ++≤”三、素养聚焦1．命题“[1,2]x ∀∈,2320x x -+≤”的否定是（ ）A ．[1,2]x ∀∈,2320x x -+>B ．[1,2]x ∀∉,2320x x -+>C ．0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>D ．0[1,2]x ∃∉,200320x x -+>【答案】C【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>，2．设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ）A ．0x ∃>，sin x x ≤B ．0x ∀>，sin x x ≤C ．0x ∃≤，sin x x ≤D ．0x ∀≤，sin x x ≤ 【答案】A【解析】命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤.3．已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀≥-≥，则p ⌝为（ ） A ．21,2log 1xx x ∀<-< B ．21,2log 1xx x ∀≥-< C ．21,2log 1xx x ∃<-<D ．21,2log 1xx x ∃≥-<【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.4．命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≥，都有1x e x <-+B ．0x ∀<，都有1x e x ≥-+C ．00x ∃≥，01xe x <-+D ．00x ∃<，01xe x <-+【答案】C 【解析】命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，∴命题p 的否定为00x ∃≥，01x e x <-+，5．命题p ：对任意一个x ∈Z ，21x +是整数，则p ⌝为（ ） A ．对任意一个x Z ∉，21x +不是整数 B ．对任意一个x Z ∉，21x +是整数 C ．0x Z ∃∈，021x +不是整数 D ．0x Z ∃∉，021x +不是整数【答案】C 【解析】命题p 为全称命题，∴p ⌝为“0x Z ∃∈，021x +不是整数”.6．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.7．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【解析】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.8．命题“,x R ∃∈使得21x =-”的否定是（ ） A ．x R ∀∉都有21x =- B ．x R ∃∉使得21x =- C ．,x R ∃∈使得21x ≠- D ．,x R ∀∈都有21x ≠-【答案】D【解析】命题“,x R ∃∈使得21x =-”的否定是“,x R ∀∈都有21x ≠-”. 9．已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ﹁为( )A ．00x ∃≤，使得00(1)1xx e +≤B ．00x ∃>，使得00(1)1xx e +≤C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤，使得(1)1x x e +≤【答案】B【解析】因为命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，所以p ﹁：00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤.10．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3 C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【答案】D【解析】因为命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3是全称命题， 所以其否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3.11．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(-∞B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤-⎣⎦D ．3λ=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而22112x x x x +=+≥=12x x =，即2x =时取等号），即λ≤ A. 12．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是（ ） A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 13．已知命题p ：“0a ∀>，都有1a e ≥成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1a e ≥成立 C ．0a ∃>，有1a e ≥成立 D ．0a ∃>，有1a e <成立 【答案】D【解析】全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，1a e ≥的否定为1a e <．命题p ⌝为0a ∃>，有1a e <成立14．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥ 【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ．15．命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，210x x ++>B ．x R ∀∉ ，210x x ++≤C ．0x R ∃∈，20010x x ++>D ．0x R ∃∉， 20010x x ++≤【答案】A【解析】因为命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”为特称命题,所以其否定为“x R ∀∈，210x x ++>”.16．命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x ++≥B ．0x ∀≤，210x x ++<C ．0x ∀>，210x x ++<D ．0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定为：“0x ∀>，210x x ++≥”.17．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.18．下列说法：①命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是“0x ∃≤，20x x ->”；②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真；③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“3x <”是“3x <”成立的充分条件，其中错误的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是“0x ∃>，20x x ->”，故①错误一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，同真假性，故②正确 对角线相等的等腰梯形不是矩形，故③错误由3x <推不出3x <，如4x =-时，满足3x <，但推不出3x <，故④错误 所以错误的个数是319．下列有关命题的说法正确的是（ ）．A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】对于A ：命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．因为否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误．对于B ：“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．因为21560x x x =-⇒--=，应为充分条件，故B 错误．对于C ：命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”． 因为命题的否定应为x R ∀∈，均有210x x ++≥．故C 错误． 由排除法得到D 正确．20．已知命题2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为( )A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x R x x ∀∈++≤C ．2,220 x R x x ∃∈++≤D ．2,220x x x ∃∈++>R【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，命题2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为：2,220x x x ∀∈++>R .21．已知命题1,20x p x R -∀∈>：，则命题p ⌝为（ ） A ．1,20x x R -∀∈≤B ．1,20x x R -∃∈≤C ．1,20x x R -∃∈≠D ．1,20x x R -∀∈<【答案】B【解析】因为命题1,20x p x R -∀∈>：所以命题:p ⌝1,20x x R -∃∈≤22．若命题“存在0x R ∈，使220x x m --≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．[]11-， D ．【答案】D 【解析】命题“存在0x R ∈，使220x x m --≤0”是假命题， ∴不等式220x x m --≤0无解， ()2240m ∴∆=-+<，解得1m <-，∴实数m 的取值范围是，23．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥ D ．x R ∀∈，2210x x -+<【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题20",210"x R x x ∃∈-+<的否定是“2,210x R x x ∀∈-+≥”.24．（多选题）下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 【答案】ABD【解析】对于A ，1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错； 对于D ，00ab a ≠⇔≠，且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 25．（多选题）在下列命题中，真命题有（ ） A ．x R ∃∈，230x x ++= B ．x Q ∀∈，211132x x ++是有理数 C ．,x y Z ∃∈，使3210x y -= D ．x R ∀∈，2||x x >E.命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” 【答案】BCE【解析】A 中，221113024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，故A 是假命题； B 中，x Q ∈，211132x x ++一定是有理数，故B 是真命题； C 中，4x =，1y =时，3210x y -=成立，故C 是真命题；对于D ，当0x =时，左边=右边=0，故D 为假命题；E 命题否定的形式正确，故为真命题． 故真命题有BCE ．26．（多选题）下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”C ．数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是6D ．当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解【答案】ABD【解析】选项A ，1x >，则有21x >，但21x >，则1x >或1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，选项A 正确； 选项B ，命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是 “00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以选项B 正确； 选项C ，数据128,,,x x x 的平均数为6， 则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是7，所以选项C 错误；选项D ，当3a =-时，方程组为32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以有无数个解，所以选项D 正确.27．（多选题）给出下列命题，其中真命题有（ ） A ．存在0x <，使|x|>x B ．对于一切0x <，都有|x|>x C ．存在0x <，使||x x ≤D ．已知2a n =，3b n =，则存在*n ∈N ，使得a b = E.已知*{|2,}A a a n n ==∈N ，*{|3,}B b b n n ==∈N ，则A B =∅【答案】AB【解析】对A ，当1x =-时，11>-成立，故A 正确； 对B ，对0x <都0|x|>，显然有|x|>x ，故B 正确；对C ，命题“存在0x <，使||x x ≤”，是B 中命题的否定，所以C 为假命题，故C 错误； 对D ，“存在*n ∈N ，使得a b =”的否定是“对于任意的*n ∈N ，都有a b ”，由于23a b n n n -=-=-，所以对于任意的*n ∈N ，都有a b <，即a b ≠，故D 为假命题；对E ，已知*{|2,}A a a n n ==∈N ，*{|3,}B b b n n ==∈N ，易知6A ∈，6B ∈，因此E 为假命题；28．（多选题）下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.29．（多选题）关于下列命题正确的是（ ）A ．一次函数320kx y k ++-=图象的恒过点是213⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．3322,,()()a b R a b a b a ab b ∀∈+=+++ C ．(2,4),(2)(4)x y x x ∀∈-=+-的最大值为9 D ．若p 为假命题，则()p ⌝⌝为真命题 【答案】AC【解析】对A ，由320kx y k ++-=，即(1)320k x y ++-=，可令10x +=，即1x =-，320y -=，可得23y =，故直线320kx y k ++-=恒过定点2(1,)3-，故A 正确； 对B ，由两数的立方和公式可得a ∀，b R ∈，3322()()a b a b a ab b +=+-+，故B 错误；对C ，(2,4)x ∀∈-，可得20x +>，40x ->，则224(2)(4)()92x x y x x ++-=+-=，当且仅当1x =时y 取得最大值为9，故C 正确；对D ，若p 为假命题，则p ⌝为真命题，()p ⌝⌝为假命题，故D 错误． 30．（多选题）已知下列命题其中正确的有（ ） A ．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” B ．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C ．“至少存在一个实数x ，使得||0x ≥0”是含有存在量词的真命题 D ．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题 【答案】BCD【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A 错误. 对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B 正确;对于C, “至少存在一个实数x ，使得||0x ≥0”含有存在量词,且为真命题,所以C 正确; 对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D 正确. 综上可知,正确命题为BCD。
(新教材学案)第2章2.3全称量词命题与存在量词命题含答案
2.3全称量词命题与存在量词命题学习任务核心素养1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义．2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1．通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．知识点1全称量词与全称量词命题(1) “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．知识点2存在量词与存在量词命题(1) “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M,_p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示]是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．()(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．()(3)三角形内角和是180°是存在量词命题．()[答案](1)√(2)×(3)×知识点3全称量词命题与存在量词命题的否定语句p(x)是对语句p(x)的否定．一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．2.已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是________．[答案]∃x∈R，sin x>1知识点4全称量词命题与存在量词命题的真假的判定(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．3.下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2 019<1D．∃x∈R,2x＞2B[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．]类型1全称量词命题和存在量词命题的判断【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使1x－1＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝1 2.[解](1)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使1x－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝12，所以该命题是真命题．判断全称量词命题与存在量词命题的方法是什么？[提示](1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．[跟进训练]1. 判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.[解](1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．类型2全称量词命题和存在量词命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2(1)C(2)D[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x ∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． [跟进训练] 2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. [解] (1) p ：∃x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＜0，假命题． 因为∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，所以p 是假命题． (2)q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0，真命题．因为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r 是真命题．(4) s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．因为x ＝－1时，x 3＋1＝0，所以s 是假命题．类型3 全称量词命题与存在量词命题的应用【例3】 对于任意实数x ，函数y ＝x 2＋4x －1的函数值恒大于实数m ，求m 的取值范围．[解] 令y ＝x 2＋4x －1，x ∈R ，则y ＝(x ＋2)2－5，因为∀x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立，所以只要m <－5即可．所以所求m 的取值范围是{m |m <－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1) 对于全称量词命题“∀x ∈M ，a ＞y (或a ＜y )”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y 的最大值(或最小值)，即a ＞y max (或a ＜y min )．(2)对于存在量词命题“∃x ∈M ，a ＞y (或a ＜y )”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y 的最小值(或最大值)，即a ＞y min (或a ＜y max )． [跟进训练] 3．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题．∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)>0”是真命题．即判别式Δ＝12－4×4×14(a －2)<0.即a >94.1．设非空集合P ，Q 满足P ⊆Q ，则表述正确的是( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∈P ，有x ∈QC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉QB [因为P ⊆Q ，则由子集的定义知集合P 中的任何一个元素都在Q 中，所以选B.]2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )A ．∃x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，使x 能同时被2和3整除C ．有的三角形没有外接圆D ．某些四边形不存在外接圆C [A 中，x ＝－1或x ＝3满足题意，是真命题；B 中，x ＝6满足题意，是真命题；C 中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D 中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.]4．能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a －b ＝ab ”是真命题的一组有序数对(a ，b )为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13(答案不唯一) [存在两个不相等的正数a ，b ，如a ＝12，b ＝13，使得a －b ＝ab 是真命题．]5．若命题“∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．{a |a >4} [∵命题∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0为假命题，∴方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根．则Δ＝(－4)2－4a <0，解得a >4.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是什么？[提示] 看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．2．你是怎样判断命题的真假的？[提示] 对集合M 中的每一个元素x 验证P (x )都成立即为真命题．对于假命题只要举出一个反例即可．3．如何否定全称量词命题与存在量词命题？[提示] 第一步 否定量词(全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词)．第二步 否定命题的结论．。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词
第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。
1.5 全称量词与存在量词(精炼)(解析版)
1.5 全称量词与存在量词（精炼）【题组一全称命题判断】1．（2020·全国高一）下列命题中是全称命题的是()A．圆有内接四边形B>C<D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形【答案】A【解析】A命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称命题．其余三命题均不为全称命题．故选A．2．（2020·全国高一课时练习）下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称命题，③含有“存在”，是特称命题．3．（2019·全国高一课时练习）下列命题中，全称量词命题的个数为（）①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二（1）班绝大多数同学是团员．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题②可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题③为存在量词命题④可改写为“高二（1）班有的同学不是团员”，为存在量词命题∴全称量词命题为：①②本题正确选项：C【题组二 特称命题的判断】1．（2019·鱼台县第一中学高一月考）下列语句是存在量词命题的是（ ） A ．整数n 是2和5的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若370x -=,则73x = D ．,()x M p x ∀∈【答案】B【解析】对于A ，无特称量词． 对于B ，命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词”存在” ,故B 是特称命题．对于C ，无特称量词．对于D ，无特称量词． 故选：B ． 2．（2019·湖北十堰.高二期末（文））下列命题是特称命题的是（ ） A ．每个正方形都是矩形 B ．有一个素数不是奇数 C ．正数的平方必是正数 D ．两个奇数之和为偶数【答案】B【解析】选项A ，每个指所有，全称选项C ，正数的平方指所有正数的平方，全称选项D ，两个奇数之和指任意两个两个奇数之和，全称 选项B ，有一个素数指存在一个素数，是特称命题.故选：B 。
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)
§2.3 全称量词命题与存在量词命题 题型一：全称命题的否定及其真假判断1．已知命题p ：∃n ∃N ，n 2>3，则﹁p 为（ ）A ．∃n ∃N ，n 2≤3B ．∃x ∃N ，n 2≤3C ．∃n ∃N ，n 2>3D ．∃n ∃N ，n 2＝3【答案】A【点拨】根据特称命题的否定形式，即可判断选项.【详解】根据特称命题的否定形式，可知:p x N ⌝∀∈，23n ≤.故选：A2．命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是（ ）A ．x ∀∈R ，12y <≤B ．x ∃∈R ，1y <或2y >C ．x ∀∈R ，1y ≤或2y >D ．x ∃∈R ，1y ≤或2y >【答案】C【点拨】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是x ∀∈R ，1y ≤或2y >.故选：C.3．命题“∃实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．∀实数x ，都有1x >B ．∃实数x ，使1x <C ．∀实数x ，都有1x ≤D ．∃实数x ，使1x ≤【答案】C【点拨】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案．【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃实数x ，使1x >”的否定是“∀实数x ，都有1x ≤”.故选：C ．4．命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，2230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．0x ∃>，2230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥一维练基础【答案】D【点拨】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是“0x ∀>，2230x x -+≥”，故选：D5．命题:p x Z ∃∈，0x <，则p ⌝是（ ）A ．x Z ∀∈，0x ≤B ．x Z ∀∈，0x ≥C ．x Z ∃∈，0x ≤D ．x Z ∃∈，0x ≥【答案】B【点拨】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题:p x Z ∃∈，0x <，为特称量词命题，其否定为x Z ∀∈，0x ≥；故选：B题型二：特称命题的否定及其真假判断1．命题“0x ∀>，220x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∃>，220x +<B ．0x ∀>，220x +<C ．0x ∃≤，220x +<D ．0x ∀≤，220x +<【答案】A【点拨】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】0x ∀>，220x +≥的否定是0x ∃>，220x +<．故选：A ．2．命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，210x -B ．x ∃∈R ，210x -C ．x ∃∈R ，210x -D ．x ∀∈R ，210x -<【答案】B【点拨】全称量词命题的否定，是把全称量词改成存在量词，并把后面的结论否定.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是“x ∃∈R ，210x -”. 故选：B.3．命题p ：(0,),310x x ∀∈+∞+<则命题p 的否定为（ ）A ．(0,),310x x ∀∈+∞+>B ．(0,),310x x ∃∈+∞+>C ．(0,),310x x ∀∉+∞+≥D ．(0,),310x x ∃∈+∞+≥【答案】D【点拨】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p 的否定为(0,),310x x ∃∈+∞+≥.故选：D.4．命题“20,10x x x ∀>-->”的否定是（ ）A ．20,10x x x ∃>--≤B ．20,10x x x ∀>--≤C ．20,10x x x ∃≤--≤D ．20,10x x x ∀≤--≤【答案】A【点拨】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，命题“20,10x x x ∀>-->”是全称量词命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“2“0,10x x x ∃>--≤”.故选：A.5．命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是（ ） A ．0x ∀≠，222x x +<B ．0x ∃=，222x x +≥ C ．0x ∃≠，222x x +<D ．0x ∃=，222x x+< 【答案】C【点拨】全称命题的否定是特称命题，按规则否定即可【详解】命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是： 0x ∃≠，222x x+<， 故选：C1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）A ．矩形的两条对角线垂直B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2 ≥ 2（a ﹣b ﹣1）C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤ 2成立二维练能力【答案】B【点拨】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误. C,D 选项是特称量词命题，故错误.B 选项是全称量词命题，用反证法证明，因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确. 故选:B.2．下列选项中，可以作为a b >的必要不充分条件的是（ ）A ．0x ∃≤，a x b +>B ．0x ∃<，a x bC ．0x ∀≥，a b x >-D ．0x ∀≥，a b x -≥【答案】D【点拨】根据充要条件和必要条件的概念，直接判定即可.【详解】A ，B ，C 选项均等价于a b >，D 选项等价于a b ≥，而a b ≥是a b >的必要不充分条件. 故选:D.3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）．A ．实数都大于0B ．有些菱形是正方形C ．三角形内角和为180°D ．有小于1的自然数【答案】C【点拨】B 、D 不是全称命题，A 、C 是全称命题而A 显然错误.【详解】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误；有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B 选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C 选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D 选项错误.故选：C.4．下列四个命题中的真命题为（ ）A ．0x Z ∃∈，0143x <<B ．0x Z ∃∈，0410+=xC ．∃x ∃R ，210x -=D ．∃x ∃R ，2220x x -+≥【答案】D【点拨】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可．【详解】若1＜04x ＜3，得14＜0x 34＜，则0Z x ∉，故A 错误， 由0410+=x 得0x 14=-，则0Z x ∉，故B 错误， 由210x -=得1x =±，故C 错误，()2222110-+=-+≥x x x 恒成立，故D 正确，故选：D ．5．已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，如果命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),3-∞【点拨】先由题意得到“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题，讨论0a <和0a ≥两种情况，即可求出结果.【详解】命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题.当0a <时，集合A =∅，符合A B =∅.当0a ≥时，因为230m +>，所以由m ∀∈R ，A B =∅，得23a m <+对于任意m ∈R 恒成立，又233m +≥，所以03a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(),3-∞.故答案为：(),3-∞.6．已知命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m【点拨】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到x ∃∈R ，220x x m -+≤为真命题，则0∆≥，从而求出参数的取值范围；【详解】解：因为命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，所以命题“x ∃∈R ，220x x m -+≤”为真命题，所以()2240m ∆=--≥，解得1m ；故答案为：1m7．若命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则p 的否定为_____________．【答案】2R,21x x x ∀∈-<-【点拨】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出p 的否定作答.【详解】命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则命题p 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p 的否定是：2R,21x x x ∀∈-<-.故答案为：2R,21x x x ∀∈-<-8．已知命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立；2:,10q x R x ax ∃∈-+<，若p ，q ⌝均为真，则实数a 的取值范围__________．【答案】[]1,2【点拨】根据题意得到命题p 为真命题，q 为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】根据题意，命题p ，q ⌝均为真命题，可得命题p 为真命题，q 为假命题，由命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立，可得21240a ∆=-≤，解得1a ≥；又由命题2:,10q x R x ax ∃∈-+<为假命题，可得22()40a ∆=--≤，解得22a -≤≤，所以12a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]1,2.故答案为：[]1,2.9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形的四个顶点在同一个圆上；(2)x ∀∈Q ，211123x x -+∈Q ； (3)所有能被3整除的数都是奇数；(4)1∃<a ，12a a+=； (5)不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根．【答案】(1)所有四边形的四个顶点不在同一个圆上(2)x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q (3)有些能被3整除的数不是奇数(4)1a ∀<，12a a+≠ (5)存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根【点拨】首先分析命题是全称命题还是特称命题，再根据全称命题和特称命题的否定形式，即可求解.【详解】（1）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“所有四边形的四个顶点不在同一个圆上”；（2）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q ”； （3）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“有些能被3整除的数不是奇数”；（4）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“1a ∀<，12a a+≠”； （5）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根”. 10．判断下列命题的真假：(1)Z x ∃∈，22x =；(2)R x ∃∈，22x =；(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(4)平面上任意两条直线必有交点．【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题；(4)假命题【点拨】解方程，即可判断（1）（2），根据垂直平分线的性质判断（3），根据平面内两直线的位置关系判断（4）；【详解】（1）解：若22x =，解得2x =±，因为2±不是整数，故命题“Z x ∃∈，22x =”为假命题； （2）解：若22x =，解得2x =±，因为2R ±∈，故命题“R x ∃∈，22x =”为真命题；（3）解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；（4）解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；1．命题“[]1,2x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【点拨】根据不等式恒成立求出命题为真命题时a 的范围，再选择其真子集即可求解.【详解】若“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题，得23a x ≤对于[]1,2x ∈恒成立，只需()2min 33a x ≤=，三维练素养所以2a ≤是命题“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”，则p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”B ．已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充要条件D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】C【点拨】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”，则，p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”满足命题的否定形式，所以A 正确；对于B 选项，已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”能够推出“1ab >，“1ab >”不能推出“1a >且1b >”，所以B 正确；对于C 选项，1x =时，2320x x -+=成立，反之，2320x x -+=时，1x =或2x =，所以C 不正确；对于D 选项，若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D 正确．故选：C ．3．给出下面四个命题：∃x R ∀∈，11x +≥；∃x R ∀∈，0x x +≥；∃x R ∃∈，2x 的个位数字等于3；∃x R ∃∈，210x x -+=.其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【点拨】∃根据不等式性质和全称命题定义判断；∃根据不等式性质和称命题定义判断；∃用例举法判断；∃用一元二次方程根的判断式判断.【详解】对于∃，因为0x ≥，所以x R ∀∈，11x +≥，所以∃对；对于∃，当0x ≥时，20x x x +=≥，当0x <时，00x x +=≥，所以x R ∀∈，0x x +≥成立，所以∃对；对于∃，设10x a b =+，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9b ∈，()22210102x a ab b =++，2x 的个位数字等于2b 的个位数字， 所以2x 的个位数字都不等于3，所以∃错；对于∃，因数()2141130∆=--⨯⨯=-<，所以方程210x x -+=无实数解，所以∃错.故选：B. 4．下列四个命题中，假命题是（ ）A ．1,2x R x x∀∈+≥B ．2,5x R x x ∃∈-> C ．,|1|0x R x ∃∈+<D ．,|1|0x R x ∀∈+>【答案】ACD【点拨】取0x <，可判断A ；取3x =，可判断B ；根据绝对值的定义，可判断C ；取1x =-，可判断D【详解】对于A 中，当0x <时，10x x+<不成立，所以命题“1,2x R x x ∀∈+≥”是假命题； 对于B 中，取3x =时，265x x -=>，所以命题“2,5x R x x ∃∈->”为真命题；对于C 中，根据绝对值的定义，可得10x +≥恒成立，所以命题“,10x R x ∃∈+<”是假命题；对于D 中，当1x =-时，10x +=，所以命题“,10x R x ∀∈+>”为假命题.故选：ACD5．下列命题中，真命题的是（ ）A ．0a b +=的充要条件是1a b=- B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”D ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件【答案】BCD【点拨】根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断．【详解】0a b 时，0a b +=，但a b无意义，A 错； 1,1a b >>时一定有1ab >，而当2,3a b =-=-时，61ab =>，但1,1a b <<，充分性正确，B 正确； 由存在命题的否定是全称命题，命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”，C 正确；22(1)(2)0x x x x +-=-+>，2x <-或1x >，因此D 正确．故选：BCD ．6．下列语句是假命题的是______（填序号）．∃所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃存在一个实数0x ，使200360x x -+<成立； ∃存在一个实数0x ，使200360x x -+=． 【答案】∃∃【点拨】由二次方程2360x x -+=的判别式可得二次函数的性质，进而可判断∃∃∃是否正确，可得正确答案.【详解】因为在2360x x -+=中，()2346150=--⨯=-<∆，所以2360x x -+=无解，2360x x -+>恒成立．所以所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃是真命题，不存在实数0x ，使200360x x -+<成立，∃是假命题， 不存在实数0x ，使200360x x -+=，∃是假命题，所以∃∃是假命题．故答案为：∃∃.7．命题“对2,210x R ax x ∀∈++≥”为真命题，则实数a 的最小值是_______.【答案】1【点拨】分两种情况讨论a ，根据不等式恒成立，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.【详解】当0a =时，210x +≥不恒成立，为假命题，不符合题意；当0a ≠时，要使x R ∀∈，2210ax x ++≥为真命题，则需201440a a a >⎧⇒≤⎨∆=-≤⎩， 综上可得实数a 的最小值是1.故答案为：18．已知命题:p {|620}x x x ∃∈≤≤，2x a < ，命题:q 2R,20x x x a ∀∈+->.(1)若命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[1,3]-;(2)(,1)(3,)-∞-⋃+∞.【点拨】(1)先分别解出当命题p 、q 均为真时，实数a 的范围,再分p 真q ⌝为假和p 假q ⌝为真两种情况分别求解后取并集即可；(2)运用补集思想，结合(1)中p 假q 假的结论，即可求得结论.【详解】（1）解：当命题p 为真时有：26a >，解得3a >;当命题q 为真时有：440a ∆=+<，解得：1a <-，又命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，当p 真时，q ⌝为假，即p 真q 真，所以31a a >⎧⎨<-⎩，无解； 当p 假时，q ⌝为真，即p 假q 假，所以31a a ≤⎧⎨≥-⎩，解得13a -≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为：[1,3]-;（2）解：由(1)可知当p 假q 假时，13a -≤≤.所以当命题p 和命题q 至少有一个为真命题时，实数a 的取值范围为：(,1)(3,)-∞-⋃+∞。
2022-2023新高一初高中衔接假期过关《 全称量词与存在量词》讲义实训题(附答案)
2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 全称量词与存在量词知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____．三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x ，使得x 2+2x +3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x 2﹣8x +12＝0有一个根是奇数．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m 取什么实数，方程x 2+x -m =0必有实根.（4）存在一个实数x ，使x 2+x +4≤0.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R ∀∈，210x x ++>；（2）x R ∃∈，210x x -+=；（3）所有的正方形都是矩形.9．若命题“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，求实数a 的取值范围.10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．《全称量词与存在量词》答案及解析知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形答案 C解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形．例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2]解析 由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 答案 B解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B. 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0答案 C解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0的否定是“∃x ∈R, 2x 2－1≤0”．过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选：C二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为“不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立”，由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围.【详解】由题意知：不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立，当0a =时，可得30>，恒成立满足；当0a ≠时，若不等式恒成立则需2016120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得304a <<， 所以a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.思路点睛：形如()200ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析0a =的情况；（2）再分析0a ≠，并结合∆与0的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 【答案】1k ≤【分析】转化条件为()2max 1k x≤-+，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____． 【答案】20001,04∃∈-+≤x R x x 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可直接写出p ⌝.【详解】 由全称命题的否定为特称命题，已知21:,04∀∈-+>p x R x x ，所以20001:,04⌝∃∈-+≤p x R x x . 故答案为：20001,04∃∈-+≤x R x x .三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【答案】答案见解析【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合全称命题的否定是特称命题、特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为22++=++>23(1)20x x x所以该命题的否定是假命题．（Ⅱ）该命题是全称命题，该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．（Ⅲ）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.【答案】答案见解析.【分析】（1）按全称命题改写，再判断命题真假.（2）按特殊命题改写，再判断命题真假.（3）按全称命题改写，再判断命题真假.（4）按特殊命题改写，再判断命题真假.【详解】（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.（3）∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=212x⎛⎫+⎪⎝⎭+154>0恒成立，所以为假命题.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R∀∈，210x x++>；（2）x R∃∈，210x x-+=；（3）所有的正方形都是矩形.【答案】（1）存在x∈R，210x x++≤，假命题；（2）任意x∈R，210x x-+≠，真命题；（3）至少存在一个正方形不是矩形，假命题.【分析】（1）全称量词改为存在量词，大于改为小于等于；（2）存在量词改为全称量词，等于改为不等于；（3）全称量词改为存在量词，是改为不是.【详解】（1）存在x∈R，210++≤，真假性：假命题.x x（2）任意x∈R，210-+≠，真假性：真命题.x x（3）至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题.【点睛】关键点点睛：掌握全称量词的否定是存在量词，存在量词的否定是全称量词是解题关键.9．若命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，求实数a的取值范围.x a x-∞-+∞.【答案】(,1)(3,)【分析】根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，x a x则满足2a a a a--=-+>，a∆=-->，即223(3)(1)0(1)40解得1a>，a<-或3-∞-+∞.即实数a的取值范围(,1)(3,)10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）将文字改为符号即可，利用反例知原命题为假；（2）将文字改为符号即可，利用特殊值知原命题为真.【详解】（1）原命题可用符号表示为：x R ∀∈，20x >.当0x =时，20x =，可知原命题为假命题；（2）原命题可用符号表示为：0x Z ∃∈，0y Z ∈，0043x y +=.当03x =，00y =时，0043x y +=，可知原命题为真命题.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．【答案】（1）全称量词命题，p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，假命题；（2）存在量词命题，q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”，真命题．【分析】（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；（2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”， 因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x ∈R ，使210x x ++=成立， 即p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”， 因为=30∆-<，所以方程210x x ++=无实数解， 此命题为假命题．（2）由于“x R ∃∈”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x ，都有2350x x ++>成立． 即q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”． 因为=110∆-<，所以对x R ∀∈，2350x x ++>总成立， 此命题是真命题．。
全称量词和存在量词有答案
一、选择题
1.下列四个命题中的真命题为()
A.若sinA＝sinB，则A＝B
B.∀x∈R，都有x2＋1>0
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题.
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有 x＋y≠3”.
∵当x＝0，y＝3时， x＋y＝3，
(4)是特称命题.存在A＝{3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题.
1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.
③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.
④存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断.
2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题.
[再练一题]
1.(1)下列语句是特称命题的是()
个性化辅导讲义
学校：年级：课时数：2
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
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全称量词和存在量词
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全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 学案(含答案)
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题学案（含答案）2.32.3全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题22..3.13.1全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题学习目标1.理解全称量词.全称量词命题的定义.2.理解存在量词.存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有.任意.每一个存在.有的.有一个符号命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题一般形式xM，pxxM，px思考1全称量词命题中的“x，M与px”表达的含义分别是什么答案元素x可以表示实数.方程.函数.不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围px表示集合M的所有元素满足的性质如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“xN，x0”思考2“一元二次方程ax22x10有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题请改写成相应命题的形式答案是存在量词命题，可改写为“存在xR，使ax22x10”1“三角形内角和是180”是全称量词命题2“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题3“xR，x211”是真命题4存在量词命题“xR，x21,3x40成立；2对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；3有些整数既能被2整除，又能被3整除；4某个四边形不是平行四边形解1全称量词命题，表示为xx|x1,3x40.2全称量词命题，表示为a，bR，方程axb0恰有一解3存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除4存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形反思感悟判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题1凸多边形的外角和等于360；2矩形的对角线不相等；3若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；4有些实数a，b能使|ab||a||b|；5方程3x2y10有整数解解1可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题2可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题3若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题4含存在量词“有些”，故为存在量词命题5可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题二.全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2判断下列命题的真假1xZ，x30.解1因为1Z，且1311，所以“xZ，x30”是假命题反思感悟判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言1要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使px成立即可，否则命题为假2要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，px都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使px不成立即可跟踪训练2试判断下列命题的真假1xR，x212；2直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；3存在一对整数x，y，使得2x4y6.解1取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题2与x 轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题3取x3，y0，则2x4y6，故为真命题三.依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p“xB，xA”是真命题，求m 的取值范围解由于命题p“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以m12m1，m12，2m15，解得2m3.延伸探究1把本例中命题p改为“xA，xB”，求m的取值范围解p为真，则AB，因为B，所以m2.所以2m15，m2或22m15，m2，解得2m4.2把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由解由于命题p“xA，xB”是真命题，所以AB，B，所以m12m1，m12，2m15，解得m，所以不存在实数m，使命题p是真命题反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法1首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意2其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则424a0，解得a4.1多选下列命题是全称量词命题的是A任意一个自然数都是正整数B有的菱形是正方形C梯形有两边平行DxR，x210答案AC 解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题2下列命题中是存在量词命题的是A任何一个实数乘以0都等于0B任意一个负数都比零小C每一个正方形都是矩形D一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD 存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxca0的图象开口向下，也应排除，故应选C.4命题pxR，x22x50是________填“全称量词命题”或“存在量词命题”，它是________命题填“真”或“假”答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x22x50的判别式22450解析一次函数ykx2的图象过点0,2，若恒过第三象限，则k0.1知识清单1全称量词命题.存在量词命题的概念2含量词的命题的真假判断3依据含量词的命题的真假求参数的取值范围2常见误区有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体.全部”，存在量词命题强调“个别.部分”。
高考数学专题《全称量词与存在量词、充要条件》习题含答案解析
专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件1．（全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．（2021·四川高三三模（理））命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”的否定p ⌝为（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x > B ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x ≤ C ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x > D ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x ≥【答案】B 【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”是全称量词命题,所以其否定是存在量词命题，即0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，00sin x x ≤． 故选：B3．（2021·上海高三二模）设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】练基础解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立， 故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件． 故选：A ．4．（2021·江西高三三模（理））设x ∈R ，则"22x -<<"是"12x <<"的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】用集合法判断即可. 【详解】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集， 所以“22x -<<”是“12x <<”的必要不充分条件． 故选：B.5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z 是复数，i 是虚数单位，则“z i =-”是“21z =-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果. 【详解】∵z i =-，∴()221z i =-=-； ∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件. 故选：A.6．（2021·四川高三二模（文））若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“//l m ”、“//l α”之间的充分、必要关系. 【详解】∵l ，m 是平面α外的两条不同的直线，//m α，∴若//l m ，则推出“//l α”；若//l α，则//l m 或l 与m 相交；∴若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的充分不必要条件. 故选：A.7.（2021·北京高三二模）“0a ≤是”“函数ln ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当0x >时，令()0f x =，则ln 0x =，1x ∴=， 当0x >时，()f x 有一个零点为1， 函数()f x 只有一个零点，∴当0x ≤时，()2x f x a =-+无零点，即2x a >或2x a <， ∴当0x ≤时，(]20,1x ∈，1a ∴>或0a ≤，0a ∴≤是函数()f x 只有一个零点的充分不必要条件，故选：A.8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2求出对应的m 值即可判断.【详解】若双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2，则当0m >且40m -<时，即4m >时，2=，解得5m =，当0m <且40m ->时，即0m <时，2=，解得1m =-，所以“双曲线C ：2214x y m m +=-的虚轴长为2”对应的m 值为5m =或1m =-，故“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选：A.9．（2021·上海高三二模）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 当2ϕπ=时，()2cos2f x x =，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，从而可得结果.【详解】 当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件， 故选：A.10．（2021·四川高三三模（理））已知数列{}n a 为等比数列，“650a a >>”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】当650a a >>，则651a q a =>，且5140aa q=>，则数列{}n a 为递增数列； 反之，当数列{}n a 为递增数列时，也有可能出现650a a >>，故为充分不必要条件. 故选：B1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线:0l x y a -+=，圆C ：222x y +=，则“2a =”是“l 与圆C 相切”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案． 【详解】圆C 的方程222x y +=，其圆心坐标为()0,0，半径为r =当2a =时，直线20l x y -+=:，圆心到直线的距离d r ===，此时，直线l 与圆C 相切，故充分性成立；当直线l 与圆C 相切时，圆心到直线的距离d ==所以2a =±，故必要性不成立，所以，“2a =”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：B ．练提升2.（2021·江西高三其他模拟（文））“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】先求出方程221x ny +=表示焦点在x 轴 上的圆锥曲线对应的n 的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系. 【详解】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >， 故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·湖南高三三模）设a ，b ，m 为实数，给出下列三个条件：①33a b >：②22am bm >；③11a b<，其中使a b >成立的充分不必要条件是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．①②③【答案】B 【解析】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于①，当33a b >时，a b >成立，而当a b >时，33a b >成立，所以33a b >是a b >的充要条件，所以①不合题意；对于②，当22am bm >时，由不等式的性质可知a b >成立，而当a b >，0m =时，22am bm >不成立，所以22am bm >是a b >的充分不必要条件，所以②符合题意；对于③，当1,1a b =-=时，11a b <成立，而a b >不成立，当1,1a b ==-时，a b >成立，而11a b<不成立，所以11a b<是a b >的既不充分也不必要条件，所以③不合题意， 故选：B4．（2021·浙江高三月考）在ABC 中，“ABC 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系. 【详解】取2,63A C B ππ===，则121cos cos 22A B -+=<<故“ABC 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>若cos cos A B +>若A 为钝角或直角，则cos cos B A >≥A 为锐角，同理B 为锐角. 若2A B π+≥，则022B A ππ<-≤<，故cos cos sin 2A B B π⎛⎫≤-=⎪⎝⎭，所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫+> ⎪⎝⎭.故2A B π+<即C 为钝角.故“cos cos A B +>能推出“ABC 为钝角三角形”，故选：B.5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数()cos(2)6f x x π=-向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】 分别从3πϕ=及()g x 为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.【详解】 当3πϕ=时，()cos[2()]sin 236g x x x ππ=+-=-，易知()g x 为奇函数，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的充分条件；当 “()g x 为奇函数”时，()cos[2()]cos(22)66g x x x ππϕϕ=+-=+-，则必有26232k k ππππϕπϕ-=+⇒=+，k Z ∈， 故3πϕ=只是其中一个值，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的不必要条件；故选：A6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（ ） A ．2,10x R x ∀∈--< B ．,,n Z m Z nm m ∀∈∃∈=C ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得213234x x =-+ 【答案】ABC 【解析】根据题意，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题； 对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题. 对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题. 故选：ABC.7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（ ）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-B ．二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C ．已知直线a ⊂平面α，则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D ．函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称【答案】AD 【解析】根据特称命题的否定求解方法可判断A ；令1x =代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B ；由于直线l 与α的关系不确定故能判断C ；判断()f x π-是否等于()f x ，就能判断D 是否正确．【详解】解：对于A ：命题:0,1∃<->xp x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-≤，故A 正确；对于B ：二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为55(12)3+=，故B 错误； 对于C ：已知直线a ⊂平面α，由于直线l 与α的关系不确定， 故“l a //”是//l α”的既不必要不充分条件，故C 错误； 对于D ：由于x 关于2x π=的对称点为x π-，故1()sin sin f x x x=+，满足11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-， 故函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称，故D 正确.故选：AD ．8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ） A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B ．若5x >，则10x >C ．已知a →是直线a 的方向向量，n →是平面α的法向量，若a α⊥，则a n →→⊥ D ．已知可导函数()f x ，若0()0f x '=，则()f x 在0x x =处取得极值 【答案】BD 【解析】只需判断必要性是否成立即可.【详解】对于A ，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立; 对于B ，x > 10时，x > 5,所以必要性成立;对于C ，若a n →→⊥，则a //a 或a ⊂a ，所以必要性不成立;对于D ，f (x )在0x x =处取得极值时，必有0()0f x '=，必要性成立. 故选： BD9.（2021·四川高三三模（文））已知函数2()2f x x ax b =-+，()x R ∈.下列四个命题： ①a R ∃∈，使()f x 为偶函数；②若(0)(2)f f =，则()f x 的图象关于直线1x =对称； ③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数； ④若220a b -->，则函数()()2h x f x =-有两个零点. 其中所有真命题的序号是___________. 【答案】①③ 【解析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可. 【详解】若()f x 为偶函数，则22()2()2f x x ax b f x x ax b -=++==-+，则22222224()0x ax b x ax b ax x b ++=-+⇒+=对x R ∀∈恒成立，则0a =， 故①正确；(0)f b =，(2)44f a b =-+，若(0)(2)f f =，即44b a b =-+，则441b a b a =-+⇔=或4422b a b a b -=-+⇔-=， 若取0,2a b ==-，则2()2f x x =-关于0x =对称，②错误； 若20a b -≤，函数22y x ax b =-+的判别式2440a b ∆=-≤，即220y x ax b =-+≥，22()22f x x ax b x ax b =-+=-+，由二次函数性质，知()f x 在区间[,)a +∞上是增函数，③正确；取0,4a b ==-，满足220a b -->，则22()4242f x x x =-=⇔-=或2-，解得x =，即()()2h x f x =-有4个零点，④错误；故答案为：①③10．（2021·浙江高一期末）命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是_______________；设a ，b ，c 分别是ABC 的三条边，且a b c ≤≤．我们知道ABC 为直角三角形，那么222+=a b c ．反过来，如果222+=a b c ，那么ABC 为直角三角形．由此可知，ABC 为直角三角形的充要条件是222+=a b c ．请利用边长a ，b ，c 给出ABC 为锐角三角形的一个充要条件是______________．【答案】x R ∃∈，210x x ++≤ 222a b c +>【解析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出ABC 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是x R ∃∈，210x x ++≤；设a ，b ，c 是ABC 的三条边，且a b c ≤≤，ABC 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>. 证明如下：必要性：在ABC 中，C ∠是锐角，过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图：根据图象可知()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-+- 2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-++-⋅=+-⋅<+，即222AB AC BC <+，222a b c +>可得证.充分性：在ABC 中，222a b c +>，所以C ∠不是直角.假设C ∠是钝角，如下图：过点A 作AD BC ⊥，交BC 延长线于点D ，则()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-++ 2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-+++⋅=++⋅>+，即222AB AC BC >+，222a b c +<，与222a b c +>矛盾.故C ∠为锐角，即ABC 为锐角三角形.1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．2．（2019·天津高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 练真题D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件．故选B ．3．（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； 0, 0a >b>a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 4a b +≤4ab ≤(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121k k k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题； 对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题， 14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题. 故答案为：①③④.。
全称量词与存在量词附答案
1.4 全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词 情景设计: 已知2():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >， （1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命题吗？为什么？ 点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累:1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。
对所有的 对任意一个 ∀ 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。
存在一个 至少有一个 ∃3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.全称命题 特称命题4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。
其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
,()x M p x ∀∈ ,()x M p x ∃∈问题与思考:题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 （2）所有的正方形都是矩形 （3）有的平行四边形是菱形 （4）有一个素数不是奇数答案：（1）（2）都是全称命题 ；（3）（4）都是特称命题题2： 判断下列命题的真假吗？（1）4,1x N x ∀∈≥有 （2）2,10x R x x ∀∈-+>有（3）1,2=+∈∃x x R x 使 （4）5,2=∈∃x Z x 使 答案：(1) 假命题 （2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]问题1: 你能用符号“∀”与“∃”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零_______________________________________②圆221x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________④对于数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：解： ①2,0x N x ∀∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ∃∈+==③,,2a b a b R ++∀∈≥; ④,10.01n n N a +∃∈-<名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ∀∈”，特称命题写成“,()x M p x ∃∈”， 其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
1.5 全称量词与存在量词(答案版)
1.全称量词和全称量词命题(1)短语"所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.(2)将含有变量x 的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M 表示。
那么，全称量词命题“对M 中任意一个x, ,p(x)成立”可用符号简记为：)(,x x p M ∈∀2.存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.(2) 存在量词命题“存在M 中的元素x, p(x)成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∃3.全称量词命题和存在量词命题的否定(1) 全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“)(,x x p M ∈∀”，则它的否定为“并非)(,x x p M ∈∀”,也就是")(,x p M x ∈∃不成立”。
通常，用符号")(x p ⌝”表示"p(x)不成立".(2) 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：)(,x x p M ∈∀，它的否定：)(,x x p M ⌝∈∃,也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个” “至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一 个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“)(,x p M x ∈∃” ,则它的否定为“不存在M x ∈,使p(x)成立”，也就是“)(,x x p M ∈∀不成立”.(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：)(,x p M x ∈∃它的否定：)(,x x p M ⌝∈∀也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.全称量词与存在量词知识讲解例1：命题“，”的否定是 ．【答案】，【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，”的否定是“，”．一、选择题 1．下列语句是存在量词命题的是（ ）A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若370x -=,则73x = D ．,()x M p x ∀∈ 【答案】B 【解析】对于A ，无特称量词． 对于B ，命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词”存在” ,故B 是特称命题．对于C ，无特称量词．对于D ，无特称量词． 故选：B ．2．下列命题是特称命题的是（ ）x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤典型例题 同步练习A ．每个正方形都是矩形B ．有一个素数不是奇数C ．正数的平方必是正数D ．两个奇数之和为偶数【答案】B 【解析】选项A ，每个指所有，全称；选项C ，正数的平方指所有正数的平方，全称选项D ，两个奇数之和指任意两个两个奇数之和，全称；选项B ，有一个素数指存在一个素数，是特称命题. 3．下列命题中，全称量词命题的个数为（ ）①平行四边形的对角线互相平分；①梯形有两条边的长度不相等；①存在一个菱形，它的四条边不相等；①高二（1）班绝大多数同学是团员．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题①可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题①为存在量词命题①可改写为“高二（1）班有的同学不是团员”，为存在量词命题∴全称量词命题为：①①4.下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ）A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使30x >C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B 【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A 【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题，故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 6．（2020·浙江高一单元测试）命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +< C ．x R ∃∈，12x x +> D ．x R ∀∈，12x x+< 【答案】D 【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，12x x+<,故选D.7．（2020·江西省都昌县第一中学高二期中（文））已知命题p ：x R ∃∈，()()2110m x ++≤，命题q ：x R ∀∈，210x mx -+>恒成立.若p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．12m -<≤【答案】B 【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-；当命题q 为真时，24110m ∆=-⨯⨯<，解得22m -<<， 当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩.命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题.所以此时2m ≤-或1m >-.故选：B .8．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立， 所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 9．命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【答案】D 【解析】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D二、填空题1．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________；【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.2．“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________；【答案】1k ≤【解析】因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需()21min k x ≤+，即1k ≤，3．命题2:,20p x R x mx ∃∈++，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是_________.【答案】m -<【解析】由题意知，命题2:,20p x R x mx ∃∈++为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<4．若命题“p ：x R ∀∈,2210ax x ++>”是假命题,则实数a 的取值范围是______．【答案】(],1-∞【解析】若命题“p ：①x ①R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则①x ①R ，ax 2+2x +1≤0， 当a ＝0时，y ＝2x +1为一次函数，满足条件；当a ＜0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝下的二次函数，满足条件； 当a ＞0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x 轴有交点，即①＝4﹣4a ≥0，解得：0＜a ≤1 综上可得：实数a 的取值范围是：(],1-∞三、解答题1．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【解析】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤， 而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤，依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <；若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 2．已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】3a <【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，AB =∅”为真命题 当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅，当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅ 得23a m <+对于m R ∀∈恒成立，所以()233min a m <+=，则03a ≤<，综上，实数a 的取值范围为3a <.。
全称量词与存在量词(精讲)(解析版)
1.5 全称量词与存在量词【典例精讲】 考点一 全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（ ）A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小 【答案】C【解析】A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题； B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题； C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题； D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选：C. 2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（ ） A ．至少有一个x 使2210x x ++=成立 B ．对任意的x 都有2210x x ++=成立 C ．对任意的x 都有2210x x ++=不成立 D ．存在x 使2210x x ++=成立E.矩形的对角线垂直平分 【答案】BCE 【解析】A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B 、C 是全称量词命题； E 中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE考点二 特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数； （2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有2111x +；存在量词命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B . 2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（ ） A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z ，21x +是奇数 D ．存在x ∈R ，21x +是奇数【答案】C【解析】A 、B 、D 中都有存在量词，是存在量词命题，C 中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C .考点三 全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数y kx =图象恒过原点. 【答案】见解析【解析】(1)即“所有m R ∈，关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程20x x m +-=没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.【一隅三反】1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0【答案】BA 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A. 3．（2020·全国高一）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】(1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.考点四 命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“x A ∀∈，2x B ∉”的否定是 （ ) A ． x A ∃∈，2x B ∈ B ．x A ∃∉，2x B ∈ C ． x A ∀∉，2x B ∉ D ．x A ∀∉，2x B ∈【答案】A【解析】“x A ∀∈，2x B ∉”即“所有x A ∈，都有2x B ∉”，它的否定应该是“存在x A ∈，使2x B ∈”，所以正确选项为A.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（ ） A ．x ∃∈Z ，143x << B ．x ∃∈Z ，510x += C ．x ∀∈R ，210x -= D ．x ∃∈R ，2320x x ++=【答案】D【解析】对A ，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由143x <<得1344x <<，这样的整数x 不存在，故A 为假命题，其否定为真命题，故A 错误；对B ，510x +=，15x =-∉Z ，故B 为假命题，其否定为真命题，故B 错误； 对C ，210x -=⇒1x =±，故C 为假命题，其否定为真命题，故C 错误；对D ，存在1x =-或2x =-，使232(1)(2)0x x x x ++=++=，故D 为真命题，从而D 的否定是假命题，故D 正确.故选：D.2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥.故选：C.3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+> C ．2,240x R x x ∀∉-+≥ D ．2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词∀换为存在量词∃，不等号≤换为＞，可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”，故选：B.考点五 全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥B ．5a ≥C ．3a ≥D ．5a ≤（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】（1）B （2）B （3）D【解析】（1）[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使20x a -≤恒成立，则2a x ≥恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B 符合.故选：B.（2）由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. （3）由()22()211f x x x x =-=--，知 当1[1,2]x ∈-时，[]1()1,3f x ∈- 由()2(0)g x ax a =+>，知当[]21,2x ∈-时，[]2()2,22g x a a ∈-++ 由题意得：[][]1,32,22a a -⊆-++，即21223a a -+≤-+≥⎧⎨⎩，解得3a ≥综上，3a ≥.故选：D【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或 【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知1y x =-，x R ∀∈都有m y ≤”是真命题，则实数m 的取值范围是 （ ) A ．1m ≥- B ． 1m >- C ． 1m ≤- D ．1m <-【答案】C【解析】由已知1y x =-，得1y ≥-，要使x R ∀∈，都有m y ≤成立，只需1m ≤-，所以正确选项为C.3．（2020·广东高三其他（文））已知命题2000:,20p x R x x a ∃∈++≤，命题1:0,q x x a x∀>+>，若p 假q 真，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,2) D ．(1,2]-【答案】C【解析】命题0:p x R ∃∈，20020x x a ++≤为假命题，则2,20x R x x a ∀∈++>为真命题，满足2240a ∆=-<，解得1a >；命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题，由12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，可知2a <，故实数a 的取值范围为(1,2)， 故选：C.4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2)-∞【解析】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x ， 当12a<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意； 当12a>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意.故答案为：(,2)-∞。
2023高考数学二轮复习专项训练《全称量词与存在量词》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《全称量词与存在量词》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）命题“∃x ∈R ,1<y ≤2”的否定形式是（ ）A. ∀x ∈R ，1＜y ≤2B. ∃x ∈R ，1＜y ≤2C. ∃x ∈R ，y ≤1或y ＞2D. ∀x ∈R ，y ≤1或y >;22.（5分）分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是( ) ①若a →//b →，则a →=b →； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →； ③若|a →|=|b →|，则a →//b →：④若a →=b →，则|a →|=|b →|.A. 0B. 1C. 2D. 33.（5分）如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为B 1C 1的中点，则下列说法正确的是( )A. CC 1与BD 是异面直线B. 几何体A 1DC 1−ABC 为棱台且体积为原棱柱体积的56 C. AC 1//面A 1BD D. CD ⊥平面A 1BD4.（5分）下列说法错误的是( )A. “x >0”是“x ⩾0”的充分不必要条件B. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”C. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1⩾0 5.（5分）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A. ∃x ∈A ，2x ∈BB. ∃x ∉A ，2x ∈BC. ∀x ∉A ，2x ∉BD. ∀x ∉A ，2x ∈B6.（5分）{a n }是等比数列，若“m +n =p +q(m,n,p,q ∈N +)”是“a m a n =a p a q ”成立的充分必要条件，则数列{a n }可以是( )①递增数列；②递减数列；③常值数列；④摆动数列A. ①①B. ①①①C. ①①①D. ①①①①7.（5分）有以下几种说法：(l 1、l 2不重合) ①若直线l 1，l 2都有斜率且斜率相等，则l 1//l 2； ②若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数； ③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ④只有斜率相等的两条直线才一定平行． 以上说法中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 08.（5分）下列有关命题的说法错误的是( )A. 若“p ∨q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若α,β是两个不同平面，m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；C. “sin x =12”的必要不充分条件是“x =π6”；D. 若命题p ：∃x 0∈R,x 02⩾0，则命题：¬p:∀x ∈R,x 2<0；9.（5分）命题“∀x ∈R ，(x −2)3⩾1”的否定是()A. ∃x ∈R ，(x −2)3⩾1B. ∃x ∈R ，(x −2)3<1C. ∀x ∉R ，(x −2)3<1D. ∀x ∈R ，(x −2)3<110.（5分）下列四个命题中正确命题的个数是( ) ①“函数y =sin2x 的最小正周期为π2”为真命题； ②∃x ∈R ，e x ⩽0；③“若a =π4，则tan a =1”的逆否命题是“若tan a ≠1，则a ≠π4”； ④“∃x ∈R ，x >1”的否定是“∀x ∈R ，x >1”．A. 0B. 1C. 2D. 311.（5分）下列选项中不正确的是( )A. ΔABC 中，A >B ，则sin A >sin B 的逆否命题为真命题；B. 若am 2<bm 2，则a <b 的逆命题为真命题；C. 若p:x ≠2或y ≠6，q:x +y ≠8，则q 是p 充分不必要条件；D. 若p ：∀x ∈R ，cos x ⩽1，则¬p ：∃x ∈R ，cos x >1 12.（5分）下列命题正确的个数为“∀x ∈R 都有x 2⩾0”的否定是“∃x 0∈R 使得x 02⩽0”；“x ≠3”是“x ≠3”成立的充分条件；命题“若m ⩽12，则方程mx 2+2x +2=0有实数根”的否命题( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0，则命题￢p 为： ______ ． 14.（5分）命题“∃x ∈R ，x ⩽1”的否定是 ______ ．15.（5分）命题“存在x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为______．16.（5分）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；①p是q的充分条件而不是必要条件；①r是q的必要条件而不是充分条件；①￢p是￢q的必要条件而不是充分条件；①r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是______．17.（5分）现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．①若0<x<1，则lgx+logx10的最大值为−2；②若a，3a−1，a−1是等差数列{a n}的前3项，则a4=−1；③“2x>3”的一个必要不充分条件是“x>log23”；④若x−y⩽0且x+y⩾4，则x+2y⩾6．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知c>0且c≠1，设命题p：函数y=c x在R上单调递减，命题q：不等式x2−√2x+c>0的解集为R，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．19.（12分）设命题p：实数m满足使方程x2a−m +y23a−m=1，其中a>0为双曲线：命题q：实数m满足m−3m−2⩽0．(1)若a=1且p∧q为真，求实数m的取值范围；(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.（12分）已知命题p：∃x∈R，x2+mx+m+1<0；命题q：已知f(x)=2x，g(x)=x2+1，对∀x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)⩽g(x2)+m恒成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若“￢p且q”为真命题，求实数m的取值范围21.（12分）已知m∈R，命题p:方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线，命题q:∃x∈R,x2+mx+m<0.(1)若命题p为真命题，求m取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求m取值范围．22.（12分）若集合M={x|−3≤x≤4}，集合P={x|2m−1≤x≤m+1}.证明：集合M与P不可能相等.23.（12分）已知命题p:∃x∈(−1,1)，使x2−x−m=0成立，命题q:关于x的方程x2+(m−3)x+m=0的一个根大于1，另一个根小于1.(1)分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围；(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）下列命题中正确的是()A. “x>1”是“x2+x−2>0”的必要不充分条件B. “x>0”是“x>sin x”的充要条件C. “∀x∈R，(12)x+1>0”是真命题D. “∃x∈R，x2−x+1>0”的否定是：“∀x∈R，x2−x+1<0”25.（5分）下列命题为真命题的是()A. 若p:∃n∈N,n2>2n，则¬p:∀n∈N,n2<2n；B. 若a>b>0,c<d<0，则ad <bc；C. 使不等式1+1x>0成立的一个充分不必要条件是：x<−1或x>1；D. 若a i,b i,b i(i=1,2)是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集相等”的充分不必要条件26.（5分）下列四种说法中正确的有()A. 命题“∀x∈R，3x>x2+1”的否定是“∃x∈R，3x<x2+1”；B. 若不等式ax2+bx+1>0的解集为\left{ x|−1<x<3}，则不等式3a x2+6bx+5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)；C. 复数z满足|z−2i|=1，z在复平面对应的点为(x,y)，则x2+(y−2)2=1D. 已知p：12⩽x⩽3，q：x2-(a+1a)x+1①0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)27.（5分）下列四个结论，其中错误的是()A. 若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα=2√55；B. 命题“存在x0∈R,x02−x0>0”的否定是“∀x∈R，x2−x⩽0；C. 若函数f(x)在(2019,2020)上有零点，则f(2019).f(2020)<0；D. “lo g a b>0(a>0且a≠1)”是“a>1,b>1”的必要不充分条件．28.（5分）下列命题中真命题是()A. “∃x0∈R，2x0⩽0”的否定B. ∀x∈R，lg(x2+1)⩾0C. 若x>0，则x2>xD. 若x<y，则x2<y2答案和解析1.【答案】D; 【解析】略2.【答案】B;【解析】解：对于选项①若a →//b →，则a →=b →；向量的共线不等于向量相等，但向量相等向量一定共线．故错误． 对于选项 ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；向量的模长相等，但向量不一定相等，故错误， 对于选项③若|a →|=|b →|，则a →//b →：向量的模长相等，向量不一定共线．故错误． 对于选项④若a →=b →，则|a →|=|b →|.向量相等，向量的模长一定相等．故：④正确． 故选：B ．直接利用向量的摸．向量的共线之间的关系求出结果．该题考查的知识要点：向量的共线和向量的模的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．3.【答案】C;【解析】解：对于A ，由D 为B 1C 1的中点，延长CC 1与BD ，交于一点O ， 如图1所示；所以CC 1与BD 不是异面直线，A 错误； 对于B ，几何体A 1DC 1−ABC 不是棱台， 因为它们的侧棱不能都交于一点，B 错误； 对于C ，连接AB 1，交A 1B 于点M ，连接DM ，如图所2示，则DM//C 1A ，所以AC 1//面A 1BD ，C 正确；对于D ，若CD ⊥平面A 1BD ，则CD ⊥DB ，由题意知，CD ⊥BD 不一定成立，D 错误． 故选：C ．A ，延长CC 1与BD 交于一点，CC 1与BD 是共面直线；B ，由题意知几何体A 1DC 1−ABC 不是棱台；C，连接AB1交A1B于点M，连接DM，由DM//C1A证明AC1//面A1BD；D，CD⊥DB不一定成立，不能得出CD⊥平面A1BD．此题主要考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，是综合题．4.【答案】C;【解析】这道题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的运算和推理能力，为基础题．A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B.根据逆否命题的定义进行判断，C.根据复合命题真假关系进行判断，D.根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．解：A.“x>0”是“x⩾0”的充分不必要条件，正确，故A正确，B.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，故B正确，C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D.命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1⩾0，故D正确，故错误的是C，故选C．5.【答案】A;【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是∃x∈A，2x∈B，故选：A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．这道题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．6.【答案】C;【解析】解：数列{a n}是等比数列，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则一定有a m a n=a p a q；即对于任意等比数列，一定有“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的充分条件，反之，在等比数列{a n}中，若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的必要条件，即由a m a n=a p a q，一定得到m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则等比数列的公比不等于1，如数列2，2，2，…，由a2a3=a5a6=4，不能得到2+3=5+6．∴数列{a n}可以是①递增数列；②递减数列；④摆动数列；不能是③常值数列．故选：C．由等比数列的性质结合充分必要条件的判定可知，若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的充分必要条件，则数列{a n}不可以是常值数列．该题考查充分必要条件的判断及应用，考查等比数列的性质，是中档题．7.【答案】B;【解析】解：①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，l1//l2；所以①正确；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；显然必须两条直线的斜率存在的前提下是正确的；所以②不正确；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；正确；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．不正确；当两条直线的倾斜角是90°时，直线没有斜率，但是平行．故选：B．利用直线的平行于斜率截距的关系判断命题的真假即可．该题考查直线的斜率与直线平行的关系，明确两条直线是指两条直线不重合的情况，考查命题的真假的判断．8.【答案】C;【解析】此题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题，充要条件，特称命题的否定，难度不大，属于基础题．根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据面面垂直的判定定理，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；根据特称命题的否定，可判断D.解：若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故A 正确； 根据面面垂直的判定定理可得B 正确；“sin x =12”时，“x =π6”不一定成立，“x =π6”时，“sin x =12”成立，故“sin x =12”的充分不必要条件是“x =π6”，故C 错误；若命题p ：∃x 0∈R ，x 02⩾0，则命题¬p ：∀x ∈R ，x 2<0，故D 正确；故选C.9.【答案】B;【解析】解：“∀x ∈R ，(x −2)3⩾1”的否定是∃x ∈R ，(x −2)3<1. 故选：B.任意改存在，将结论取反，即可求解． 此题主要考查全称命题的否定，属于基础题．10.【答案】B;【解析】解：对于①，函数y =sin2x 的最小正周期是T =π，∴命题①错误； 对于②，∀x ∈R ，e x >0是真命题，∴该命题的否定是假命题，∴命题②错误； 对于③，根据“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p”判定命题③正确； 对于④，“∃x ∈R ，x >1”的否定是“∀x ∈R ，x ⩽1”，∴命题④错误． ∴正确的命题的序号是③； 故选：B ．①中，求出函数y =sin2x 的最小正周期，判定命题①是否正确； ②中，由命题与命题的否定必一真一假，可以判定命题②是否正确； ③中，根据逆否命题的书写，判定③是否正确；④中，根据特称命题的否定是全称命题，判定④是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了正弦函数的周期性，命题的否定，逆否命题等问题，解题时应对每一个选项仔细分析，以便作出正确的选择．11.【答案】B; 【解析】此题主要考查了命题的逆命题、逆否命题、全称量词命题的否定、充分条件、必要条件的判断，属于基础题.解题时根据命题的关系、充分条件、必要条件的定义、全称量词命题的否定的定义，逐一判断即可确定结论.解：因为ΔABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以其逆否命题为真命题，A 正确; “若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m =0时am 2<bm 2不成立，所以B 不正确；因为p:x ≠2或y ≠6，q:x +y ≠8，所以¬p:x =2且y =6，¬q:x +y =8， 因此¬p 是¬q 的充分不必要条件，从而q 是p 充分不必要条件，C 正确； 若p ：∀x ∈R ，cos x ⩽1，则¬p ：∃x ∈R ，cos x >1，D 正确. 故选B.12.【答案】B;【解析】解：“∀x ∈R 都有x 2⩾0”的否定是“∃x 0∈R 使得x 02<0”，故第一个命题错误；由x ≠3⇔x ≠3，故“x ≠3”是“x ≠3”成立的充要条件，故命题“x ≠3”是“x ≠3”成立的充分条件错误；命题“若m ⩽12，则方程mx 2+2x +2=0有实数根”的否命题为：“若m >12，则方程mx 2+2x +2=0无实数根”．∵方程mx 2+2x +2=0的判别式Δ=4−8m ，当m >12时，Δ<0，方程无实根，故命题“若m >12，则方程mx 2+2x +2=0无实数根”为真命题．∴正确命题的个数是1个． 故选：B ．写出全程命题的否定判断第一个命题的真假；由互为充要条件的判定方法判断第二个命题的真假；写出命题的否命题判断第三个命题的真假．该题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判断方法，是基础题．13.【答案】∃x ∈R ，x 2+x +1<0;【解析】解：命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号⩾变为<即可． 故答案为：∃x ∈R ，x 2+x +1<0命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．该题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．14.【答案】∀x ∈R ，x >1;【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“∃x ∈R ，x ⩽1”的否定是：∀x ∈R ，x >1． 故答案为：∀x ∈R ，x >1．特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．该题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．15.【答案】任意实数x ，都有x 2+x+1≥0;【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为：任意实数x ，都有x 2+x +1⩾0． 故答案为：任意实数x ，都有x 2+x +1⩾0． 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．该题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．16.【答案】①②④;【解析】解：根据传递性(如图)可得： 对于①，s 是q 的充要条件，故正确；对于，①p 是q 的充分条件而不是必要条件，故正确； 对于，①r 是q 的充要分条件，故错；对于④，q 是p 的必要条件而不是充分条件，可得￢p 是￢q 的必要条件而不是充分条件，故正确；对于⑤，r 是s 的充要条件，故错．故答案为：①①①．画出关系图，根据传递性可得答案．该题考查了充分条件、充要条件的传递性，属于中档题，17.【答案】①④;【解析】解：若0<x <1，则lgx <0，lgx +lo g x 10=lgx +1lgx =−(−lgx +1−lgx )⩽−2， 当且仅当x =110时，等号成立，所以①正确；若a ，3a −1，a −1是等差数列{a n }的前3项，则a +a −1=2(3a −1)⇒a =14， a 4=2(a −1)−(3a −1)=−54，所以②不正确； 因为lo g 23=lo g 49>lo g 48=32，所以③不正确； 作出不等式组{x −y ⩽0,x +y ⩾4，表示的可行域，由图可知，当直线z =x +2y 经过点(2,2)时，z 取得最小值6，故z ⩾6.所以④也正确． 故所有正确结论的编号是①①． 故答案为：①①．利用基本不等式判断①；等差数列的通项公式求解判断②；充要条件判断③；线性规划判断④，推出结果．本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．18.【答案】解：若命题p：函数y=c x在R上单调递减，是真命题，则有0＜c＜1；若命题q：不等式x2−√2x+c＞0的解集为R，是真命题，则有△=2-4c＜0，得c＞12∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴两命题必为一真一假若p真q假，则有0＜c≤12若p假q真，则有c＞1综上，实数c的取值范围是0＜c≤12或c＞1;【解析】此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数c的取值范围该题考查命题的真假判断与应用，解答该题的关键是理解“命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题”，进行正确转化，求出实数c的取值范围，解答过程中能正确对两个命题中c的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或命题，且命题等，综合性较强19.【答案】解：（1）由方程x2a−m +y23a−m=1，其中a＞0为双曲线，得（3a-m）（a-m）＜0，又a＞0，所以a＜m＜3a，当a=1时，1＜m＜3，即p为真时，实数m的取值范围是1＜m＜3；q为真时实数m满足m−3m−2≤0．即q为真时实数m的取值范围是2＜m≤3；若p∧q为真，则p真且q真，所以实数m的取值范围是2＜m＜3．（2）若￢p是￢q的的充分不必要条件，即q是p的的充分不必要条件，即等价于q⇒p，p推不出q；设A={m|a＜m＜3a}，B={m|2＜m≤3}，则B⫋A；则a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是：{a|1＜a≤2}．;【解析】(1)若a=1，则p：1<m<3.q为真时实数m的取值范围是2<m⩽3；根据p∧q为真，可得实数m的取值范围．(2)利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．这道题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）因为p为真命题，所以△=m2-4（m+1）＞0，解得m＞2+2√2或m＜2-2√2；（2）若q为真命题，则f（x）max≤g（x）min+m，即4≤2+m，所以m≥2，若￢p为真命题，所以2-2√2≤m≤2+2√2，综上m∈[2，2+2√2]．;【解析】(1)∃x∈R，x2+mx+m+1<0⇔Δ=m2−4(m+1)>0，解不等式即可；(2)若q为真命题，则f(x)max⩽g(x)min+m，求出m⩾2，若￢p为真命题，所以2−2√2⩽m⩽2+2√2，取交集即可．该题考查命题真假判断与应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)若方程S=ab=2表示双曲线，则(m+1)(m−1)<0，即−1<m<1，即p：−1<m<1.(2)若命题q为真命题，则判别式Δ=m2−4m>0，即m>4或m<0，由(1)知p：−1<m<1.若命题{(y=kx+mx2 4+y2=1)为真命题，则命题p,q都为真命题，即{(−1<m<1m>4或m<0)，得−1<m<0，即m取值范围是(−1,0).;【解析】此题主要考查复合命题的真假应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．(1)根据方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线，则(m+1)(m−1)<0，即可求解m范围．(2)求出q为真时m的范围，若命题p∧q为真命题，则命题p，q都为真命题，建立关于m的不等式组，求解即可．22.【答案】证明：假设集合M=P ，则-3=2m-1，且4=m+1，即m=-1，且m=3，这不可能.故假设不成立，即集合与P 不可能相等.;【解析】略23.【答案】解：(1)当命题p 为真时，方程m =x 2−x 在(−1,1)有解，当x ∈(−1,1)时，(x 2−x)∈[−14,2),∴m ∈[−14,2)； 当命题q 为真时，f(x)=x 2+(m −3)x +m 满足f(1)<0，即2m −2<0，解得m <1.(2)若命题p 为真，同时命题q 为假，则{−14⩽m <2m ⩾1， 若命题p 为假，同时命题q 为真，则{m <−14或m ⩾2m <1， 所以当命题p 与命题q 一真一假时，m ∈[1,2)∪(−∞,−14).;【解析】此题主要考查命题的真假判断，考查二次函数的图象及性质，考查分析问题解决问题的能力及分类讨论的数学思想，属基础题．(1)命题p 为真时，该命题等价于方程m =x 2−x 在(−1,1)有解，进而得到m 的取值范围，命题q 为真时，该命题等价于f(x)=x 2+(m −3)x +m 满足f(1)<0，进而得解；(2)命题p 与命题q 一真一假，则分命题p 为真，同时命题q 为假，及命题p 为假，同时命题q 为两种情况讨论即可．24.【答案】BC;【解析】此题主要考查不等式，充分、必要、充要条件，命题真假判断，存在命题的否定，基础题型.由不等式及充分、必要条件判断A ，利用导数研究单调性判断B ，由指数函数性质判断C ，由存在命题的否定判断D.【解析】解：A.由“x 2+x −2>0”解得x <−2，或x >1，∴“x >1”是“x 2+x −2>0”的充分不必要条件，A 错误；B.令f (x )=x −sin x ，则f′(x )=1−cos x ⩾0，即f (x )=x −sin x 在R 内单调递增，所以，当x >0时，f (x )=x −sin x >f(0)=0，即x >sin x ；同理，当x >sin x 时，则f (x )=x −sin x >0，又f (0)=0，则x >0，∴“x>0”是“x>sin x”的充要条件，B正确.C.由指数函数性质知(12)x恒大于0，∴(12)x+1恒大于0，即对任意x，均成立.∴C正确.D.“∃x∈R,x2−x+1>0”的否定是：“∀x∈R,x2−x+1⩽0”，D错误.故选BC25.【答案】BC;【解析】此题主要考查了命题的真假判断，包含存在性命题的否定、不等式大小比较、充要条件等，知识的覆盖面比较广，考查了学生综合运用知识的能力和推理论证能力，属于中档题．由存在性命题的否定可判断A；由不等式的性质及作差法可判断B；根据不等式解集和充分必要条件，即可判断C；找反例，设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0)，当m<0时，充分性不成立，即可判断D.解：对于A，命题p：∃n∈N，n2>2n的否定为∀n∈N，n2⩽2n，即A错误；对于B，因为c<d<0，所以−c>−d>0，又a>b>0，所以−ac>−bd>0，即ac<bd.所以ad −bc=ac−bddc<0，即B正确;对于C，不等式的解集为{ x|x<−1或x>0}⫌{ x|x<−1或x>1}，故C正确.对于D，设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0)，则a1=ma2，b1=mb2，c1=mc2，所以不等式a1x2+b1x+c1>0等价为m(a2x2+b2x+c2)>0，当m<0时，有a2x2+b2x+c2<0，显然与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同，所以不是充分条件，即D错误.故选BC.26.【答案】BCD;【解析】此题主要考查命题的否定，考查充分条件的应用，考查复数的模和几何意义，属于中档题．选项A：根据全称命题的否定的概念可判断选项A的正误．选项B：由一元二次不等式与相应方程的关系可求出a，b，即可求解出不等式3a x2+6bx+5<0的解集．选项C：运用复数的模，复数的几何意义即可求解．选项D：化简条件p和q，由条件列出不等式组，即可解出实数a的取值范围．解：选项A：命题“∀x∈R，3x>x2+1”的否定应该是“∃x0∈R，3x0⩽x02+1”，故选项A错误；选项B ：因为不等式ax 2+bx +1>0的解集为{ x |−1<x <3}，所以方程ax 2+bx +1=0的两个根为−1和3，且a <0，则{−b a =21a =−3，解得{a =−13b =23， 所以不等式3a x 2+6bx +5<0可化为：−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，解得x <−1或x >5，所以不等式3a x 2+6bx +5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)，故选项B 正确； 选项C ：∵z 在复平面对应的点为(x,y )，∴z =x +yi ，∴z −2i =x +(y −2)i ，∴|z −2i |=√x 2+(y −2)2=1，即x 2+(y −2)2=1，故C 正确；由x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)得到：(x −a)(x −1a )⩽0， 当a ⩾1时，a >1a ，所以有q:1a ⩽x ⩽a ， 由题意可得：{1a ⩽12a ⩾3，解得a ⩾3； 当0<a <1时，a <1a ，所以有q:a ⩽x ⩽1a ， 由题意可得：{a ⩽121a⩾3，解得0<a ⩽13， 因此，实数a 的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)，故选项D 正确．故选BCD .27.【答案】AC;【解析】此题主要考查三角函数、全称量词与存在量词、函数与方程以及充分条件与必要条件.逐一分析选项即可得解.解：A.当a <0时，sinα=√a 2+(2a )2=−√5a =−2√55，A 错误； B.带量词命题的否定需要将命题的结论进行否定，且将存在量词和全称量词互换，所以B 正确；C.例如函数f(x)=(x −2019.1)(x −2019.9)，此时f(x)在(2019,2020)上有两个零点x 1=2019.1,x 2=2019.9，但f(2019).f(2020)>0，故C 错误；D.对充分性和必要性分别进行考虑：充分性：取a =0.5，b =0.5，则log a b >0，但此时“a >1，b >1"不成立，所以充分性不成立，必要性：当a >1，b >1时，log a b >0，所以必要性成立，D 正确.故错误的为AC ，故答案为AC.28.【答案】AB;【解析】此题主要考查了命题的真假，考查了推理能力，属于基础题.根据题意，逐项判断，即可得答案.解：对于A，“∃x0∈R，2x0⩽0”为假命题，故“∃x0∈R，2x0⩽0”的否定为真命题；对于B，lg(x2+1)⩾lg1=0，故“∀x∈R，lg(x2+1)⩾0”为真命题；对于C，当0<x<1时，x2<x，故“若x>0，则x2>x”为假命题；对于D，取x=−1,y=0，则x2>y2，故“若x<y，则x2<y2”为假命题．故选AB.。
专题05 全称量词与存在量词(讲)(解析版)
专题05全称量词与存在量词（讲）1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．3．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．4．命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．5．常见的命题的否定形式有：1．命题“对任意x∈R，都有221+<”的否定是（）x xA．对任意x∈R，都有221+≥x x+>B．对任意x∈R，都有221x xC．存在x∈R，使得221+≥x xx x+>D．存在x∈R，使得221【答案】D【解析】解：命题“对任意x∈R，都有221+≥.x xx x+<”的否定是存在x∈R，使得221故选：D.2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）A ． x R ∀∈，0x >B ． x R ∃∈，0x >C ．x R ∀∈，0x ≤D ．x R ∃∈，0x ≤【答案】C 【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C. 3．下列命题含有全称量词的是 （ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B 【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ） A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使30x > C ．任一无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－【答案】B【解析】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B.重要考点一：全称命题与特称命题的判定【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)对所有的实数a ，b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解． (2)存在实数x ，使得213234x x =-+ . 【答案】（1）假命题； （2）假命题.【解析】(1)该命题是全称命题．当a ＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题． (2)该命题是特称命题．∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴21132324x x ≤<-+. 故该命题是假命题．【题型强化】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: (1)勾股定理; (2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和; (2)所有三角形的内角和都是180°. 【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和； (2)所有三角形的内角和都是180°.【收官验收】用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】 (1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断【典型例题】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等； （3）{|x x x ∀∈是三角形},x 的内角和是180︒. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数0,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为60的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题；（3）{|x x x ∃∈是三角形},x 的内角和不是180︒，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为180︒,故此命题为假命题.【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直； （2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数； （3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数. 【收官验收】判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形， 而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题. 【名师点睛】 1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围【典型例题】若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或 【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .【题型强化】若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是____． 【答案】{|1}a a【解析】若“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题，则△＞0，即4+4a ＞0，解得a ＞﹣1． 故答案为{}1a a -【收官验收】已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】[0,1] 【解析】:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤.由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤<.1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].重要考点四：全称命题、特称命题的否定【典型例题】命题“0x ∀>，20x >”的否定是（ ） A ．20,0x x ∀>≤ B ．20,0x x ∃>≤ C ．20,0x x ∀≤≤ D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B【题型强化】命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定是“”.【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°. 【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°. 【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数. （2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°. 【名师点睛】1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．重要考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围【典型例题】已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围． 【答案】(3,)-+∞【解析】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a ++->在[1,2]上有解，令222y x a a x ++=-，所以max 0y >，又因为最大值在1x =或2x =时取到，∴只需1x =或2x =时，0y >即可，∴1220a a ++->或4420a a ++->，解得3a >-或2a >-， 即3a >-．故实数a 的取值范围为(3,)-+∞．【题型强化】若命题“12x ∀≤≤，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】{}1m m >-【解析】当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-， 所以实数m 的取值范围是{}1m m >-．故得解.【收官验收】已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x ≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．。
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课题
9.1 全称量词与存在量词
知识点一、全称量词与全称命题
1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.
知识点二、存在量词与特称命题
1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．
2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.
知识点三、含有一个量词的命题的否定
类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断
例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1
x 0－1
＝0；
(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.
【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1
x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：
(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π
2
)，cos x ＜1；
(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π
2)，cos x ＜1为真命题．
(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝1
3
∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.
所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．
(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.
类型二 含有一个量词的命题的否定
例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；
【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.。