道路施工测量竖曲线的测设
工程测量技术专业《3.3线路竖曲线测量教学设计 (2)385》
②懂得路基竖曲线实测方法及精度要求；
③学会线路竖曲线计算方法。
。
设计—实施
〔课内1h,课外8h〕
1结合京石、石武高速铁路竖曲线案例讲解竖曲线测量作业指导书内容及要求；
2答复学生在设计中遇到的技术问题；
3点评学生学习小组初步设计存在的问题；
4提出学习小组设计方案继续改进建议。
5纠正学生在实施过程中的不当之处；
根据实习报告质量进行评定；综合以上评价，占25%。
得分
成绩
教师签名
学生自评：
学生根据自己在工程实施过程中的作用及表现进行自评，占10%。
小组互评：
根据工作表现，发挥的作用，协作精神等小组成员互评，占15%。
教师评价：
根据考勤、学习态度、吃苦精神、协作精神，职业道德等进行评定；
根据工程实施过程每个环节及结果经进行评定；
根据实习报告质量进行评定；综合以上评价，占25%。
1以小组为单位，在老师的指导下，学习水准仪、全站仪操作及使用
2 结合案例以及建立的高速铁路线路模拟实训场提供的资料，建议设计——实施每小组按照如下三阶段进行：
①第一阶段〔课内30m，课外2h〕
每一小组学生先制定路基竖曲线测量初步设计方案。在老师的参与下，每个小组介绍各自的设计方案，通过研讨查找各自方案的问题，在老师点评的根底上，修改设识关键点，使学生通过网络、讲义、案例、讨论对关键知识点初步了解课外2h；
4每个小组简要汇报对知识点了解情况课内：15m；
5．结合小组汇报情况、结合施工企业常用的竖曲线测量作业方法，主要讲解如下知识点：
①线路竖曲线测量的意义课内10m
②水准仪测量线路竖曲线的原理及精度要求课内2021
一、控制桩完好性统计
道路工程测量(圆曲线、缓和曲线、竖曲线计算公式)
（二）道路施工测量(road construction survey)
按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。
本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。
二、中线测量(center line survey)
1、平面线型：由直线和曲线（基本形式有：圆曲线、缓和曲线）组成。
2、概念：通过直线和曲线的测设，将道路中心线的平面位置测设到地面上，并测出其里程。即测设直线上、圆曲线上或缓和曲线上中桩。
1、曲线要素的计算
若已知：转角α及半径R，则：
切线长： ；
曲线长：
外距： ；
切曲差：
2、主点的测设
（1）主点里程的计算
ZY里程=JD里程-T；YZ里程=ZY里程+L
QZ里程=YZ里程-L/2；JD里程=QZ里程+D/2（用于校核）
（2）测设步骤：
1）JDi架仪，照准JDi-1，量取T，得ZY点；照准JDi+1，量取T，得YZ点。
重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法
难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。
§9.1交点转点转角及里程桩的测设
一、道路工程测量概述
分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey)和道路施工测量(road construction survey)。
道路定测曲线测设
兰州资源环境职业技术学院教师授课教案【相关知识】五、圆曲线放样无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。
当线路方向改变时，在转向出需要用曲线将两直线连接起来。
因此，线路工程总是有直线和曲线所组成，如图2-16(a)所示。
曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。
道路曲线分为平面曲线(平曲线)和立面曲线(竖曲线)。
连接不同方向线路的曲线称为平曲线；当相邻两段直线段存在坡度时，也必须用曲线连接，这种连接不同坡度的曲线称为竖曲线。
平曲线按其线形可分为圆曲线、缓和曲线、综合曲线等。
圆曲线又分为单曲线和复曲线两种：具有单一曲率半径的曲线称为单曲线；具有两个或两个以上不同曲率半径的曲线称为复曲线，如图2-16(b)所示。
（a ）线路曲线(b)复曲线 (c)回头曲线 图2-16 线路曲线图在一般情况下，为了保证车辆运输的安全与平顺，都要在直线与圆曲线之间设置缓和曲线。
缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐过渡到圆曲线半径R 的。
在与直线连接处的半径为∞,与圆曲线连接处的半径为R 。
铁路线路及厂区内的线路除联络线外均采用圆曲线；国等级铁路和厂区外的专用铁路线路，当曲线半径超过一定的数值时，也可以只采角圆曲在公路线路上，2JD公里数前加注“K ”。
曲线上各点的里程都是从一已知里程的点开始沿曲线逐点推算的。
一般已知交点JD 的里程是从前一直线段推算而得，然后再由交点的里程推算出其他各主点的里程。
由于路线中线不经过交点，所以圆曲线的终点、中点的里程必须从圆曲线起点的里程沿着曲线长度推算。
根据交点的里程和曲线放样元素，就能够计算出个主点的里程，如图2-17所示。
图 2-17 圆曲线示意图⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==+==)(2qDK QZ DK 2L-DK YZ DK QZ L DK ZY DK YZ T -DK JD DK 校核JD ZY (2-2) 例2-1 已知某交点的里程为DK4+542.36m ，测得偏角"'︒=362530右α，圆曲线的半径R=150m ，求圆曲线的元素和主点里程。
竖曲线测设
浙江广厦建设职业技术学院20 /20 学年第一学期所属分院课程名称授课教师教研室主任课题：第九章道路工程测量第三讲道路工程施工测量课型：讲授教学目的与要求：1．了解道路施工测量含义及任务。
2．理解路线中线的恢复；竖曲线测设数据的计算。
3．掌握施工控制桩的测设；路基边桩的测设。
教学重点、难点：重点：路线中线的恢复；竖曲线测设数据的计算；施工控制桩的测设；路基边桩的测设。
难点：路基边桩的测设；竖曲线测设数据的计算。
采用教具、挂图：多媒体课件复习、提问：1．道路施工测量的主要任务包括哪些？2．施工控制桩的测设方法及各自的适用条件？3．路基边桩的测设方法及各自的适用条件？4．路基边坡的测设的步骤？5．竖曲线设置的位置及目的？课堂小结：本次课主要学习了道路工程施工测量，应使学生重点掌握路线中线的恢复；竖曲线测设数据的计算；施工控制桩的测设；路基边桩的测设。
作业：8课后分析：第四节道路工程施工测量道路施工测量就是利用测量仪器和设备，按照设计图纸中的各项元素（如道路平、纵、横元素），依据控制点或路线上的控制桩的位置，将道路的“样子”具体地标定在实地，以指导施工作业。
道路施工测量的主要任务包括：恢复中线测量、施工控制桩测设、路基边桩和边坡测设、竖曲线测设等。
一、路线中线的恢复道路勘测完成到开始施工这一段时间内，有一部分中线桩可能被碰或丢失，因此施工前应进行复核并进行恢复。
在恢复中桩时，应将道路附属物，如涵洞、检查井和挡土墙的位置一并确定。
对于部分改线地段，应重新定线，并绘制相应的纵横断面图。
二、施工控制桩的测设因中线桩在路基施工中都要被挖掉或堆埋，为了在施工中能控制中线位置，应不易受施工干扰，便于引用、易于保存桩位的地方测设施工控制桩，测设方法如下：1、平行线法平行线法是在路基以外测设两排平行于中线的施工控制桩，如图9-22所示，此法多用于地势平坦、直线段较长的线路图9-222、延长线法延长线法是在道路转弯处的中线延长线上或者在曲线中点至交点连线的延长线上，测设两个能够控制交点位置的施工控制桩，如图9-23所示。
竖曲线测量
将竖曲线上各等分点到切点的距离 x 代入公式（6—25）中，便可求得各等分点的标高 改正数 y。在凹形竖曲线，y 为正，在凸形竖曲线，y 为负。取 y 与切线上对应的设计点 的设计标高代数和，便得该点在竖曲线上的设计标高。 根据公式（6—25）可得竖曲线中点的标高改正数为：
T2 2R
E=
E 也是竖曲线的外矢距。
1 2
R·Δ i=
1 2
×2000×23‰=23m DK1+00－23＝ DK0+77 DK1+00＋23＝DK1＋23 46.93+23×3‰=46.999m 46.93+23×20‰=47.390m
竖曲线起点里程 竖曲线终点里程 竖曲线起点标高 竖曲线终点标高
竖曲线上各等分点标高的计算。因为是凹形竖曲线，所以标高数都是正值。可按 R、Δ i 为公式计算 T、E 值。 竖曲线上各点标高计算
0.000 0.002 0.016 0.042 0.081 0.132 0.081 0.042 0.016 0.002 0.000
47.00 46.99 46.99 47.00 47.03 47.06 47.11 47.17 47.25 47.33 47.39 点
中 点
终
备
注
竖曲线 如图所示的 A、B。欲求竖曲线的起点和终点，须先知切线长 T。由公式知 ： T=R·tan
2
这里 R 是竖曲线的半径，α 为相邻两坡线之交角（以弧度计） ，因坡度的数值都不大， 可以为此交角等于该两坡度的代数差，即α =i1-i2 其中 i1 与 i2 分别是相邻两坡道的坡度， 当上坡 i 为正值，下坡时 i 为负值，计算时取代数差，计算结果取绝对值。因此计算切 线长的公式可写为： T=R·tan
公路测量曲线和竖曲线要素计算方法
1.某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为K5＋030，高程为427.68m ，%51=i ，%42-=i ，竖曲线半径R ＝2000m 。
试计算竖曲线各要素以及桩号为k5＋000和K5＋100处的设计高程。
解：⑴计算竖曲线要素09.005.004.012-=--=-=i i ω，为凸形竖曲线。
曲线长20000.09180L R m ω==⨯=切线长m L T 9021802=== 外距2290 2.03222000T E m R ===⨯ ⑵计算设计高程竖曲线起点桩号＝（K5+30）－90=K4+940竖曲线起点高程＝427.68－90×0.05＝423.18m桩号K5+000处：横距m K K x 60)9404()0005(1=+-+= 竖距m R x h 9.040006022211=== 切线高程＝423.18＋60×0.5＝426.18m设计高程＝426.18－0.9＝425.28m桩号K5＋100处：横距m K K x 160)9404()1005(2=+-+= 竖距m R x h 4.6400016022222=== 切线高程＝423.18＋160×0.05＝431.18m设计高程＝431.18－6.4＝424.78m2．某山岭区二级公路，已知JD1、JD2、JD3的坐标分别为（40961.914,91066.103）、（40433.528,91250.097）、（40547.416,91810.392），并设JD2的R=150m ，Ls=40m ，求JD2的曲线要素。
解：⑴计算出JD2、JD3形成的方位角fwj2，︒=--=48966.11528.40433416.40547097.91250392.91810arctan 2fwj 计算出JD1、JD2形成的方位角fwj1， ︒=--=19908.289914.40961528.40433103.91066097.91250arctan1fwj 曲线的转角为α＝360＋fwj2－fwj1＝82.29058°⑵由曲线的转角，计算出曲线的切线长T ，曲线长L 及超距J3322402019.9882240240150s s L L q R =-=-=⨯ 24243340400.444242384241502384150s s L L p R R =-=-=⨯⨯ ︒===639.7150406479.286479.280R L s β 438.151988.19229058.82tan )444.0150(2tan )(=++=++=q p R T α 0150(2)2(82.2905827.639)240290.526180180s RL L ππαβ⨯=-+=-⨯+⨯= 781.49150229058.82sec )444.0150(2sec )(=-+=-+=R p R E α下面总结范文为赠送的资料不需要的朋友，下载后可以编辑删除！祝各位朋友生活愉快！员工年终工作总结【范文一】201x年就快结束，回首201x年的工作，有硕果累累的喜悦，有与同事协同攻关的艰辛，也有遇到困难和挫折时惆怅，时光过得飞快，不知不觉中，充满希望的201x年就伴随着新年伊始即将临近。
线路竖曲线测量
T i1
yE
i2
D
A
B
x
F
R α 2 O
第五部分
竖曲线的标高改正值计算公式
竖曲线的标高改正值计算公式
如图所示：
由于α很小 可认为Y方向与半径方向一致 可认为它是切线上与曲线上的高程差。
则：（R+y）2=R2+x2
故： 2Ry=x2-y2
又y2与x2 相比，其值甚微，可略去不计。故有：
Cα
T i1
Cα
T i1
yE
i2
D
A
B
x
F
R α 2 O
第六部分
竖曲线测设计算案例
竖曲线测设计算案例
例：设i1= -1.114%，i2= +0.154%，为凹曲线，变坡点的桩号为
K1+670,高程为48.60，欲设置R=5000m的竖曲线，
求：各测设元素、起点、终点的桩号和高程、曲线上每隔10间距
里程桩的标高改正数和设计高程。
按上列公式求得：
T
1 2
R
i1
i2
1 2
5000
1.114%
0.154%
31.7m
L R i1 i2 5000 1.114% 0.154% 63.4m
E T 2 31.70 2 0.10m 2R 2 5000
竖曲线测设计算案例
然后根据R=5000m和相应的桩距Xi，即可求得竖曲线上 各桩的标高改正数Yi，计算结果列于下表：
yE
i2
D
A
B
x
F
R α 2 O
竖曲线的标高改正值计算公式
当中桩位于竖曲线范围内，应对其坡道高程进行 修正。竖曲线的标高改正值计算公式为：
道路施工测量竖曲线的测设
道路施工测量竖曲线测设在路线纵坡改变处, 考虑到行车视距要求和行车平稳, 在竖直面内应用曲线衔接起来, 这种曲线称为竖曲线, 如图所表示, 路线上有3条相邻纵坡1i , 2i , 3i , 在1i 和2i 之间设置凸形竖曲线, 在2i 和3i 之间设置凹形竖曲线。
竖曲线通常采取较简单圆曲线, 这是因为在通常情况下, 相邻坡度差都较小, 而选择竖直线半径又较大, 所以采取其她复杂曲线所得到结果, 基础上与圆曲线相同。
如图所表示, 两相邻纵坡坡度分别为1i , 2i , 则竖曲线坡度转角α为: 21arctan arctan i i -=α因为α角很小, 上式可简化为:21i i -=α。
考虑到竖曲线半径R 较大, 而转角α又较小, 故竖曲线测设元素也能够按下列近似公式求得:又因α很小, 故可认为y 坐标轴与半径方向一致, 也认为它是曲线上点与切线上对应点高程差, 由上图不难得到:()222x R y R +=+即222y x Ry -=因2y 与2x 相比, 其值甚微, 可略去不计, 故有22xRy =, 求得高程差y 以后, 即可按下式计算竖曲线任一点P 高程p H :p p y H H ±=式中 H ——该点在切线上高程, 也就是坡道线高程;p y ——该点高程更正, 当竖曲线为凸形曲线时, p y 为负; 反之为正。
例: 设某竖曲线半径R=5000m, 相邻坡段坡度%114.11-=i , %154.02+=i , 为凹形竖曲线, 变坡点桩号为K1+670, 高程为48.60m, 假如曲线上每个10设置一桩, 试计算竖曲线上各点高程。
解: 计算竖曲线元素, 可求得:m m i i R T 7.31%154.0%114.15000212121=--⨯⨯=-=4.63%154.0%114.1500021=--⨯=-=m i i R L()m m m R T E 10.0500027.31222=⨯== 起点桩号=K1+（670-31.7）=K1+638.30终点桩号=K1+（638.3+63.4）=K1+701.70起点高程=48.6m+31.7m*1.114%=48.95m终点高程=48.6m+31.7m*0.154%=48.65m按R=5000m 和对应桩距, 即可求得竖曲线上各桩高程更正数i y , 计算结果见表。
施工测量
施工测量一、道路施工测量道路施工测量主要包括恢复路线中线、路基边桩的测设、竖曲线的测设等项工作。
（一）、路线中线的恢复从路线勘测到开始施工这段时间里，往往会有一些中桩丢失，故在施工之前，应根据设计文件进行恢复工作，并对原来的中线进行复核，以保证路线中线位置准确可靠。
恢复中线所采用的测量方法与路线中线测量方法基本相同。
此外，对路线水准点也应该进行复核，必要时还应增设一些水准点以满足施工需要。
（二）、路基边桩的测设路基边桩测设就是在地面上将每一个横断面的路基边坡线与地面的交点用木桩标定出来。
边桩的位置由两侧边桩至中线的距离来确定。
常用的变桩测设方法如下。
1.图解法直接在横断面图上量取中桩至边桩的距离，然后在实地用皮尺沿横断面方向测定具体位置。
当挖填方不很大时，采用此法较简单。
2.解析法路基边桩至中桩的平距系通过计算求得。
（1）平坦地段路基边桩的测设：填方路基称为路堤。
如图12-1所示，路基边桩至中桩的距离为D=B/2+mh （12-1）挖方路基称为路堑。
如图12-2所示，路堑边桩至中桩的距离为D=B/2+S+mh （12-2）以上两式中：B—路基设计宽度；1：m—路基边坡坡度H—填土高度或挖土深度S—路堑边沟顶宽。
以上是断面位于直线段时计算D值的方法。
若断面位于曲线上有加宽时，在以上述方法求出D值后，还应于曲线内侧的D值中加上加宽值。
（2）倾斜地段路基边桩的测设，在倾斜地段，边桩至中桩的距离随着地面坡度的变化而变化。
如图12-3所示，路基边桩至中桩的距离为斜坡上侧D上=B/2+m（h中–h上）斜坡下侧D下=B/2+m（h中+h下）（12-3）如图12-4所示，路堑边桩至中桩的距离为斜坡上侧D上=B/2+S+m（h中+h上）斜坡下侧D下=B/2+S+m（h中- h下）（12-4）式中，B、S和m为已知，h中为中桩处的填挖高度，亦为已知。
h上、h下为斜坡上、下侧边桩与中桩的高差，在边桩未定出之前则为未知数。
道路勘探设计-竖曲线设计
dy i , dx
d2y 1
dx 2 k
抛物线上任一点的曲率半径 R = k（1+i2）3/2 竖曲线底部的切线坡度i1较小，故i2可略去不计 ， 则竖曲线底部的曲率半径R为：R ≈ k
5
当x=0时， i p i1
y
1 2R
x2
i1x
当x=L时，
ip
L k
i1
i2
则
k L L
R L
i2 i1
Lcz-BPDn-1 HT
Hn BPDn
HT
y
in-1
in
Lcz1
HSLcz2
in+1
BPDn-1 Hn-1
21
3. 逐桩设计高程计算
切线高程： H TH n 1 in(L cB zP n 1)D
H TH nin(Lc B z P n)D
设计高程： HS = HT ± y （凸竖曲线取“-”，凹竖曲线取“+”）
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05×(5100.00 - 5030.00)
= 431.18m 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
25
K5+100.00：位于下半支
②按变坡点分界计算：
横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝20m
1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。
y 1 x2 i x 2k
式中：k——抛物线顶点
处的曲率半径 ；
B
i——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度。
线路纵断面(竖曲线)测量设计
线路纵断面测量设计第一节基平测量与中平测量线路的纵断面测量设计就是把线路的各点中桩的高程测量出来，并绘制到一定比例尺的图上进行纵断面的拉坡设计、竖曲线设计、设计高程计算等。
一、基平测量当线路较长时，为保证测量中桩各点高程的准确性，通常需要把已知的高程点引测到整条线路的附近，每隔一定的距离引测一点，作为线路的基平点。
在此点附近的线路中桩高程都可以用此点作为基础高程进行测量。
这个引测得过程就称为基平测量。
如下图：图2-1实线为线路中心线，虚线为水准仪测量的路线。
BM0为已知水准高程点，BM1、BM2、……为线路基本点。
1、2、3、……为水准仪的测站点。
L1、L2、L3、……为高程传递点。
注意事项：1、水准仪在摆站时要注意整平，点位尽量落在与前视后视距离相近的位置，确保消除仪器的内部误差。
2、瞄准后视读数后，立即转向瞄准前视，这时还必须保持整平状态，若此时精平水准泡错开，则瞄准前视后，还必须在此状态下进行精平，然后再读数。
3、为确保测量的准确性，要求往返测量，精度在普通测量学的要求以内，读数方可使用。
也可以用双面尺的方法进行校核，在测量中尽量每站进行校核。
4、基平测量的数据应进行平差处理后方可使用。
具体平差方法见普通测量知识。
5、测量时，水准尺应该垂直，读数时应首先消除视差，司仪者读中丝卡位的最小数据，以保证读数最准确。
6、立尺的测量员必须保证尺的底端不带泥土，用塔尺时要注意尺间不脱节。
二、中平测量中平测量就是在基平测量的基础上，基平时引测的高程点作为基准高程，用水准仪测出每个中桩的地面高程，又称中桩抄平。
图2-2三、记录记录时应该注意的是要保证填写准确，判断哪些是前视，哪些是中视，哪些是后视。
传递高程的点应该既有前视也有后视，只有中视的点没有传递高程。
例题：按下图填写表格，并计算高程，1点高程100.00。
图2-3表2-1第二节拉坡设计拉坡设计就是在中平测量的基础上，利用中平测量的每个中桩高程的数据进行地面线的设计，由此计算各中桩的设计高程。
道路勘探设计-竖曲线设计共28页
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
道路勘探设计-竖曲线设计
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
线路施工测量 模块五：竖曲线测设
T R tan
2
L R
E
R ( s ec
1)
2
由于竖曲线的坡度转折角α很小，计算公式可简化 为
(i1 i2 )x/ tan
2 2
因此
1 T 2 R(i1 i2 ) L R(i1 i2 )
负值。
• 竖曲线的测设就是根据纵断面图上标注的里程及高程 ，以附近已放样出的整桩为依据，向前或向后测设各点 的水平距离值，并设置竖曲线桩。然后测设各个竖曲线 桩的高程。其测设步骤如下：
➢计算竖曲线元素T、L和E； ➢推算竖曲线上各点的桩号：
曲线起点桩号 = 变坡点桩号 – 竖曲线的切线长 曲线终点桩号 = 曲线起点桩号 +竖曲线长 ➢根据竖曲线上细部点距曲线起点（或终点）的弧长，求 相应的值，然后，按下式求得各点高程
终点桩号=Ｋ1+（638.3+63.4）=Ｋ1+701.70 起点高程=48.6+31.7*1.114%=48.95m 终点高程=48.6+31.7*0.154%=48.65m 按Ｒ=5000m和相应的桩距，即可求得竖曲线上各桩的高程 改正数。
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《隧道施工测量》
备课课件 模块五：竖曲线测设
思
考
如何在地面竖直方向上画一个圆弧?
1
பைடு நூலகம்
竖曲线测量
1、竖曲线的组成 在线路的纵坡变更处，为了满足视距的要求 和行车平稳，在竖直面内用圆曲线将两段纵 坡连接起来，这种曲线叫竖曲线。如图所示 为凸竖曲线和凹竖曲线。
2、竖曲线测设数据的计算 测设竖曲线时，根据路线纵断面图设计中所设计的
竖曲线测设
由于允许坡度的数值不大，纵断面上的曲 折角α可被认为
α = ∆ i = i1 − i2
α
2
α
（1）竖曲线切线长度T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T = R ⋅ tan
因为α很小，故
α
1 tan ≈ = ( i1 − i2 ) ，所以 2 2 2
1 R T = R ⋅ ( i1 − i2 ) = ⋅ ∆i 2 2
（2）竖曲线长度L。由于转折角α很小，所 以L≈2T （3）竖曲线上各点高程及外矢距E。
竖曲线
线路纵断面是由许多不同坡度的坡段连接 成的。坡度变化点称为变坡点。 在变坡点处，相邻两坡度的代数差称为变 坡点的坡度代数差 ∆ i，它对列车的运行有很 大的影响。 为了缓和坡度在变坡点处的急剧变化，使 列车能平稳通过，变坡点的坡度代数差 ∆ i 不应超过规定限值，若超过限值，则坡段 间应以曲线连接，这种在道路纵坡的变换 处竖向设置的曲线就叫做竖曲线。
x y= 2R
2
'
连接两相邻坡度线的竖曲线，可以用圆曲 线，也可以用抛物线。 我国《新建铁路测量工程规范》和《铁路 技术管理规程》中规定,在正线上采用的圆 曲 线 半 径 为 4000 、 3000 、 2500 、 2000 、 1800、1500、1200、1000、800、700、600 、550、500、450、400和350米。各级铁路 曲线的最大半径为4000米。Ⅰ、Ⅱ级铁路 的最小半径在一般地区分别为1000米和800 米，在特殊地段为400米；Ⅲ级铁路的最小 半径在一般地区为600米，在特殊困难地区 为350米。
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道路施工测量竖曲线的测设
在路线纵坡变化处，考虑到行车的视距要求和行车平稳，在竖直面内应用曲线衔接起来，这种曲线称为竖曲线，如图所示，路线上有3条相邻的纵坡1i ，2i ，3i ，在1i 和2i 之间设置凸形竖曲线，在2i 和3i 之间设置凹形竖曲线。
竖曲线一般采用较简单圆曲线，这是因为在一般情况下，相邻坡度差都较小，而选用竖直线的半径又较大，因此采用其他复杂曲线所得到的结果，基本上与圆曲线相同。
如图所示，两相邻纵坡的坡度分别为1i ，2i ，则竖曲线的坡度转角α为：
21arctan arctan i i -=α
由于α角很小，上式可简化为：
21i i -=α。
考虑到竖曲线半径R 较大，而转角α又较小，故竖曲线测设元素也可以按下列近似公式求得：
又因α很小，故可认为y 坐标轴与半径方向一致，也认为它是曲线上点与切线上对应点的高程差，由上图不难得到：
()222x R y R +=+
即2
22y x Ry -= 因2y 与2x 相比，其值甚微，可略去不计，故有22x Ry =，
求得高程差y 之后，即可按下式计算竖曲线任一点P 的高程p H ：
p p y H H ±=
式中 H ——该点在切线上的高程，也就是坡道线的高程；
p y ——该点高程改正，当竖曲线为凸形曲线时，p y 为负；反之为正。
例：设某竖曲线半径R=5000m ，相邻坡段的坡度%114.11-=i ，%154.02+=i ，为凹形竖曲线，变坡点的桩号为K1+670，高程为48.60m ，如果曲线上每个10设置一桩，试计算竖曲线上各点高程。
解：计算竖曲线元素，可求得：
m m i i R T 7.31%154.0%114.150002
12121=--⨯⨯=-=4
.63%154.0%114.1500021=--⨯=-=m i i R L
()m m m R T E 10.0500027.3122
2=⨯== 起点桩号=K1+（670-31.7）=K1+638.30
终点桩号=K1+（638.3+63.4）=K1+701.70
起点高程=48.6m+31.7m*1.114%=48.95m
终点高程=48.6m+31.7m*0.154%=48.65m
按R=5000m 和相应的桩距，即可求得竖曲线上各桩的高程改正数i y ，计算结果见表
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