材料力学(单辉祖)第五章弯曲内力-上海大学2014版
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材料力学(单辉祖)课后习题答案
2-21 .......................................................................................................................................................8
第一章 绪 论
题号
页码
1-3 .....................................................................................................................................................1
= 152.8MPa
查题 2-6 图 σ − ε 曲线，知该杆的轴向应变为 ε = 0.0022 = 0.22%
拉力作用时，有
∆l = lε = (0.200m) × 0.0022 = 4.4 ×10−4 m = 0.44mm
拉力卸去后， ∆l = 0 2. F = 20kN 时
σ
=
F A
=
4 × 20 ×103 N π × 0.0102 m2
=
−49.2MPa
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
σ max = σ = 100MPa
τ max
=
σ 2
=
50MPa
2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定
材料的弹性模量 E、比例极限 σ p 、屈服极限 σ s 、强度极限 σ b 与伸长率 δ ，并判断该材料属于
分别为
FN
=
1 2
σmax A
材料力学-第5章 弯曲内力
材料力学
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
第5章-弯曲内力 45页PPT文档
M C 0 ,M F 1 ( b a ) F A b 0 y 故 M F A b yF 1 (b a )
n
FS (Fi )一侧
n
M (mCi)一侧
i1
i1
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 单辉祖,材料力学教的程外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正 12
F Sm , aF xS(0)F
dM d()F12l0
l 2
MmaxM2l F4l
单辉祖,材料力学教程
22
§5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系
FS , M 与 q 间的微分关系 利用微分关系画 FS 与 M 图 例题 微分关系法要点
单辉祖,材料力学教程
23
FS, M 与 q 间的微分关系
F y 0 ,F S q d x ( F S d F S ) 0(a)
M C 0 ,M d M q d x d 2 x F S d x M 0(b)
dFS q dx
dM dx
FS
41
曲梁内力
曲梁
轴线为平面曲线、且横截面的纵向对称轴均位于轴线 平面的杆件，称为平面曲杆。 以弯曲为主要变形的平面曲杆，称为平面曲梁。 曲杆内力
一般存在三内力分量－轴力FN; 剪力FS ; 弯矩M
FSFcos MFR sin FNFsin
单辉祖,材料力学教程
42
例题
例 5-9 试画刚架的弯矩图 解：在AB与BC段分别选取坐标， AB杆的弯矩方程为：
将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直 线所构成
均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定
05第五章 材料力学习题解答(弯曲内力)
a
a
(i)
解：(a) (1) 求约束反力
qa
2qa qa
C
A
B
q
a
a
a
a
(j)
MA
A x
2P
C
M0=Pa
B
RA
∑Y = 0 RA − 2P = 0
RA = 2P
∑ M A = 0 M A − 2Pa + M0 = 0
(2) 列剪力方程和弯矩方程
M A = Pa
Q(x)
⎧= ⎨⎩=
RA RA
= −
2P 2P
q
M2
C
a
求内力
P=qa
B
Q2 = P + qa = 2qa
M2
=
−P
×
a
−
qa
×
a 2
+
M
=
−
1 2
qa 2
(b) (1)求约束反力
P=200N
1
23
A
1C
DB
RA 200
23
200 200
RD
∑ MD = 0 RA × 400 − P × 200 = 0
RA = 100N
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
=
x 0
∈ (0,a) x ∈(a,
2a]
上海理工大学 力学教研室
3
M
(x)
⎧= ⎨⎩ =
RA RA
× ×
x x
+ +
MA MA
= −
2Px − Pa 2P × (x − a)
=
Pa
(3) 画 Q 图和 M 图
第5章-弯曲内力例题详解
剪力弯矩最大值: 剪力弯矩最大值
FS max = qa
M max
4. 讨论
作用处， 在 Me 作用处，左右横截面 上的剪力相同， 上的剪力相同，弯矩值突变
单辉祖,材料力学教程
M 右 − M左 = Me
5
例 5-4 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩 载荷可沿梁移动， 解：1. FS 与 M 图 ：
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 = bF l FS2 = − aF l
弯矩图: 弯矩图
M1 =
bF x1 l
M2 =
aF x2 l Fab = l
最大值: 最大值
FS,max
bF = （b > a 时） l
M max
4. 讨论
作用处, 在 F 作用处 左右横截面上 的弯矩相,
∑M
A
= 0,
∑F
y
=0
FAx = qa, FCy = FAy = qa/2
2. 建立内力方程 BC 段：
qa FS1 = − , 2
qa M1 = x1 2
AB 段：
FS2 = qx 2 ,
qa q 2 M 2 = a − x2 2 2 qa FN2 = 2
单辉祖,材料力学教程
14
3. 画内力图
FSA+ = − FAy = −2F
单辉祖,材料力学教程
M A+ = M e − FAy ⋅ ∆ = Fl
M D− = F ⋅0=0 =
1
FSD− = F
例 题
例 5-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 建立剪力与弯矩方程，
FAy = bF l FBy = aF l
解：1. 支反力计算 ： 2. 建立剪力与弯矩方程
10+第五章++弯曲内力——材料力学课件PPT
一般性步骤 对应关系 快速画法
15
第五章 弯曲内力
材料力学分析的基本路径
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
16
第五章 弯曲内力
F
梁的外力内力相同
(1)
梁的横截面积相同
F
(1)与(2)两种情况 那种情况对梁承
qa
a/2 +
A
- B-
C
qa
A
B-
C
qa2 5qa2/4 qa2
11
第五章 弯曲内力
例：已知弯矩图， 试画载荷图。
2qa qa
解：
1. 根据剪力图定集中与分布力 2. 根据弯矩图的跳跃值定集中
与分布力偶。
思考：是否能唯一确定载
a
a
a
qa
荷图的约束形式？
剪力图
2qa2
3 qa2 2
qa2 qa2
a
a
a
弯矩图
12
第五章 弯曲内力
两种特殊问题
例：利用微积分关系画 剪力弯矩图
3 qa2 2
A
qa q
思考： 1. 如何计算支座反力？
B
a
a
3 qa
1 qa
2
(a)
2
2. 计算支座反力后，利用
Fs
3 qa 2
1 qa 2
微积分关系画图时，是
x
否还要考虑中间支座？
3. 载荷作用在梁间铰上、 M 铰链左侧梁端，铰链右
1 qa 2 (a1)
1 qa2
8
x
侧梁端，剪力、弯矩图
有无区别？
3 qa2 2
(a2)
材料力学_弯曲内力PPT课件
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
存在平行于截面的内力（剪 力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
五弯曲内力-精品文档54页
M
l
B
结论：
① 剪力图为0次曲线时，弯矩图
M
为1次曲线；剪力图为1次时，弯 矩图为2次曲线；
l
x
② 凡是集中力（包括支反力）作
用处，剪力图有突变，突变值即为
该处集中力的大小；
③ 在集中力偶作用处，弯矩图有
x
突变，突变值即为该处集中力偶矩
的大小；
例6 图示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。 y
x
P
解：（1）先求出约束反力：
FA
M l
FB
M l
a
A
Mb
B
xC
x
（2）剪力方程和弯矩方程：
FA
l
FB
AC段：
M
FS
M
FS1(x) FA l
(0xa)
Mx
+
l
M1(x)FAx l (0xa)
x
CB段：
FS2(x)
FA
M l
(axl) M
M
Ma l
（M 32）(x)画出F剪Ax力M 、弯矩l图x(M axl)
一、梁的内力的引入
F
例：悬臂梁截面内的内力
剪力Fs(x): 抵抗剪切作用的内 力, 是与横截面相切的分布内力系 的合力.
弯矩M(x): 抵抗弯曲作用的矩, 是与横截面垂直的分布内力系的合
力偶矩.
M(x) Fs (x) F
注: 弯矩和扭矩的比较 共同点:力偶矩 不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲.
FS
ql
max
M
max
ql2 2
例4 画出图示梁的FS 图和M图。 解：（1）先求出约束反力：
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
材料力学课件 第五章弯曲内力
V
1 2
M e
全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为
M 2(x)
V l 2EI dx
§5–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相
互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。
2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正
R
P
极轴，表示截面m–m的位置。
A
B
O
x
M() Px P(R Rcos) PR(1 cos) (0 ) Q( ) P1 Psin (0 ) N( ) P2 Pcos (0 )
R
P
A
B
O
x
A
2PR
O
+
Q -diagram
M-diagram
B N-diagram
–
值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
l P1 P1a
[例6] 试作图示刚架的内力图。
P2
a
P1
B
C
P2 A
+
+ Q图
P1
– N图
P1a
M图 P1a+ P2 l
二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例7] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
（1） 计算支座反力，由平衡方程 M B (F) 0 ， FAl Me 0
解得 FA
Me l
FB
（2） 列剪力方程和弯矩方程
根据梁的受力情况，以集中力偶作用处C为界，分段列剪
第5章-弯曲内力
MC 0,
M
dM
qdx
dx 2
FSdx
M
0
(b)
dFS q dx
dM dx
FS
d2M dx 2
q
梁微段平衡方程
注意： q 向上为正 x 向右为正
单辉祖,材料力学教程
24
利用微分关系画 FS 与M 图
均布载荷下 FS 与 M 图特点
dFS q dx
dM dx
FS
线性分布载荷梁内力
dFS q dx
dM dx
FS
单辉祖,材料dd力2x学M2教程 q
FS 为 x 的二次函数，FS 图为抛物线 M 为 x 的三次函数，M 图为三次曲线
M 图的凹凸，由 q 的正负确定
34
例题
例 5-7 建立剪力弯矩方程, 画剪力弯矩图, 用微分关系校核
解: 1. 外力分析
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁
单辉祖,材料力学教程
8
§3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
单辉祖,材料力学教程
9
剪力与弯矩
FS－剪力
FR
q0l 2
FAy
q0l 6
2. 建立剪力与弯矩方程
FBy
q0l 3
q(
x)
q0 x l
FS
Байду номын сангаас
材料力学(单辉祖)第五章弯曲内力-上海大学2014版
杆件轴线变弯的变形称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
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限制移动的约束反力—水平支反力FRx 和垂直支反力 FRy
FRx FRy
FRx
FRy FRx
FRy
约束不类型
可动铰支端
这种支座使梁的端面丌能沿轴线的垂直方 向移动，但端面可沿轴线移动和转动
限制移动的约束反力——垂直支反力 FRy
FRy
FRy
FRy
FRy
FRy
约束不类型
静定梁的三种基本形式
悬臂梁
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
M
FAy
x
Pb x ab
FAy a
CB段截面上的内力为(右)
FS
FBy
Pa , ab
M
FBy (l x)
Pa (l x) ab
B x
b FBy
Example-1
剪力图和弯矩图
在集中力作用处，左 右两端的剪力发生突 变，突变量等于该集 中载荷
在集中力作用处，左 右两端的弯矩相同， 即弯矩连续变化
l
简支梁
l
外伸梁
l
支座之间的长度称为梁的跨度
约束不类型
杆件变形的三种基本形式 杆件的轴向拉压 杆件的扭转 杆件的弯曲
实际许多杆件变形为以上两种或三 种基本变形组合，称为组合变形
约束不类型
这种分析合理是有条件的
组
合
变
形
=
+
的
例
子 受力图 轴向压缩 平面弯曲
材料力学研究思路
材料力学思路：
从而得
FAy x
M FS
FS
FAy
3 4
P,
M
xFAy
3 4
Px
Example-1
A
同理，当 x > l/2 时，有
P
M0=Pl/4
B
x
Y 0,
FAy l/2
FS P FAy 0
MC 0,
M
P(x
l ) 2
FAy x
0
l/2
FBy
PM
得
FS
1 4
P,
M 1 P(2l x) 4
x FAy
1D
q
B
3x aa
FBy
Example-2
截面1处的内力Fs1、M1 (从左向右)
2a
FS1 FAy a q dx 0
M1 2 a FAy M
2a
(q dx)(2a x)
a
1 qa2 2
截面2处的内力Fs2、M2
D
FS2 FAy qa,
M=qa2A
2
M 2 FAyD M qa D qa2 FAy
约束不类型
梁的计算简化 荷载的简化
分布荷载——沿梁的轴线方向连续分布 的荷载，量纲为 N/m (牛顿/米) 分布荷载一般用q表示，当分布载荷沿轴 线变化时，表示为q(x)
q(x)
约束不类型
集中载荷——作用在梁横截面某一处的载荷， 量纲为 N（牛顿）
集中载荷一般用F表示
F
集中载荷的模型
xd
q(x) F x q(x)dx
杆件轴线变弯的变形称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
第五章 弯曲内力
主 讲人： 张能辉
5.1 概念不实例
工程实例
工程中的受弯构件
桥式起重机的主梁
工程实例
火车轮轴
工程实例
各类桥面
澳门桥
工程实例—概念
受风载的水塔
弯曲概念
受力特征—垂直
外力不杆件的轴线垂直 外力偶作用面在杆轴线的平面内或
外力偶矩矢方向不轴线垂直
弯曲概念
变形特征
杆件的轴线由原来的直线变为曲线
通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位 置的函数，可表示为 FS= FS(x)---剪力方程 M=M(x)-----弯矩方程
以梁轴线为横坐标，纵坐标表示梁横截 面剪力和弯矩的图分别称之为剪力图和 弯矩图
剪力图和弯矩图
剪力和弯矩的正值画在x轴的上侧， 负值画在x轴的下侧
绘制剪力图和弯矩图的基本方法
首先得到梁的剪力方程和弯矩方程 FS= FS(x)，M =M(x)
其次，画出相应的剪力图和弯矩图
内力图三要素：大小、单位、正负号
Example-1
绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。
解 首先计算支反力FAy和FBy
FAy
bP ab
,
FBy
aP ab
P A
xC
AC段截面上的内力为(左)
FS
FAy
Pb , ab
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
D
当D0时
M=qa2A
FS2 qa, FS3 qa M 2 qa2 M3 0
2 a
FAy
1D
q
B
3
x
aa
FBy
梁的剪力和弯矩
思考题：图示外伸梁截面B处的弯矩为
A. M B P(a R) B. M B Pa
C. M B PR
D. M B 0
A
B
5.4 内力方程不内力图
内力方程和内力图
FS和
FS
梁的剪力和弯矩
内力符号规则
方案一：静力学符号规则 同一截面由于选择研究对象 的丌同，内力会差一个正负 符号
m
m
+FS −FS
m
m
静力学符号矛盾
方案二：材料力学符号规则 对杆件产生相同变形效果的内力具有相同的符号
梁的剪力和弯矩
剪力的符号规定
横截面m-m左端对右端有相对向上的剪 切错动趋势时，截面m-m上左、右两端 的剪力皆为正(单元体有顺时针转动趋势)
m
m
m
+FS +FS
+FS
+FS
m
m
m
梁的剪力和弯矩
横截面m-m的左端对右端有相对向下的剪 切错动趋势时，截面m-m上左、右两端的 剪力皆为负(单元体有逆时针转动趋势)
m
m
m
+FS
+FS
−FS
−FS
m
m
m
−FS
−FS
剪力符号规则：顺正逆负
梁的剪力和弯矩
弯矩的符号规定
横截面m-m处使微梁有凹面向上的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为正 (下部受拉)
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
梁中任意截面的内力
FRy
任意截面上的内力是该截 面上应力的合力和合力矩
M
对于梁的弯曲变形，内力
一般由截面上的剪力 弯矩 M组成
F
d 0+, F=const d
约束不类型
集中力偶——作用在梁某一截面上的力偶，
量纲为N·m (牛顿·米) 集中力偶一般用M表示
M
集中力偶的模型
F M Pd
M
d 0+，M=const
F
d
约束不类型
通常用梁的轴线表示梁本身 支座形式的简化和支反力
根据约束的特性，平面弯曲梁的支座可 简化为以下三种基本形式
Example-1
A
同理，当 x > l/2 时，有
P
M0=Pl/4
B
x
Y 0, M C 0,
FAy l/2
FS FBy 0
M M 0 FBy (l x) 0
l/2
FBy
从而得
FS
1 4
P,
M 1 P(2l x) 4
FS
M0
M l−x FBy
梁的剪力和弯矩
依据梁内力的符号规定，无论取左端 梁，还是右端梁，计算所得梁的内力 是相同的
a a aa
Example-5
弯矩方程为
M
M A FAy x (2a x)FCy
1 2
qx
2
(
x
2a)
FCy
(4a x)FEy
0 xa
aaaa
2a x 3a 2a x 3a 3a x 4a
1 2
(2a x)F q(x a)2
1
1 2
F
F(2a x) (x 2a)
2
1
FRx FRy
FRx
FRy FRx
FRy
约束不类型
可动铰支端
这种支座使梁的端面丌能沿轴线的垂直方 向移动，但端面可沿轴线移动和转动
限制移动的约束反力——垂直支反力 FRy
FRy
FRy
FRy
FRy
FRy
约束不类型
静定梁的三种基本形式
悬臂梁
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
M
FAy
x
Pb x ab
FAy a
CB段截面上的内力为(右)
FS
FBy
Pa , ab
M
FBy (l x)
Pa (l x) ab
B x
b FBy
Example-1
剪力图和弯矩图
在集中力作用处，左 右两端的剪力发生突 变，突变量等于该集 中载荷
在集中力作用处，左 右两端的弯矩相同， 即弯矩连续变化
l
简支梁
l
外伸梁
l
支座之间的长度称为梁的跨度
约束不类型
杆件变形的三种基本形式 杆件的轴向拉压 杆件的扭转 杆件的弯曲
实际许多杆件变形为以上两种或三 种基本变形组合，称为组合变形
约束不类型
这种分析合理是有条件的
组
合
变
形
=
+
的
例
子 受力图 轴向压缩 平面弯曲
材料力学研究思路
材料力学思路：
从而得
FAy x
M FS
FS
FAy
3 4
P,
M
xFAy
3 4
Px
Example-1
A
同理，当 x > l/2 时，有
P
M0=Pl/4
B
x
Y 0,
FAy l/2
FS P FAy 0
MC 0,
M
P(x
l ) 2
FAy x
0
l/2
FBy
PM
得
FS
1 4
P,
M 1 P(2l x) 4
x FAy
1D
q
B
3x aa
FBy
Example-2
截面1处的内力Fs1、M1 (从左向右)
2a
FS1 FAy a q dx 0
M1 2 a FAy M
2a
(q dx)(2a x)
a
1 qa2 2
截面2处的内力Fs2、M2
D
FS2 FAy qa,
M=qa2A
2
M 2 FAyD M qa D qa2 FAy
约束不类型
梁的计算简化 荷载的简化
分布荷载——沿梁的轴线方向连续分布 的荷载，量纲为 N/m (牛顿/米) 分布荷载一般用q表示，当分布载荷沿轴 线变化时，表示为q(x)
q(x)
约束不类型
集中载荷——作用在梁横截面某一处的载荷， 量纲为 N（牛顿）
集中载荷一般用F表示
F
集中载荷的模型
xd
q(x) F x q(x)dx
杆件轴线变弯的变形称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
第五章 弯曲内力
主 讲人： 张能辉
5.1 概念不实例
工程实例
工程中的受弯构件
桥式起重机的主梁
工程实例
火车轮轴
工程实例
各类桥面
澳门桥
工程实例—概念
受风载的水塔
弯曲概念
受力特征—垂直
外力不杆件的轴线垂直 外力偶作用面在杆轴线的平面内或
外力偶矩矢方向不轴线垂直
弯曲概念
变形特征
杆件的轴线由原来的直线变为曲线
通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位 置的函数，可表示为 FS= FS(x)---剪力方程 M=M(x)-----弯矩方程
以梁轴线为横坐标，纵坐标表示梁横截 面剪力和弯矩的图分别称之为剪力图和 弯矩图
剪力图和弯矩图
剪力和弯矩的正值画在x轴的上侧， 负值画在x轴的下侧
绘制剪力图和弯矩图的基本方法
首先得到梁的剪力方程和弯矩方程 FS= FS(x)，M =M(x)
其次，画出相应的剪力图和弯矩图
内力图三要素：大小、单位、正负号
Example-1
绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。
解 首先计算支反力FAy和FBy
FAy
bP ab
,
FBy
aP ab
P A
xC
AC段截面上的内力为(左)
FS
FAy
Pb , ab
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
D
当D0时
M=qa2A
FS2 qa, FS3 qa M 2 qa2 M3 0
2 a
FAy
1D
q
B
3
x
aa
FBy
梁的剪力和弯矩
思考题：图示外伸梁截面B处的弯矩为
A. M B P(a R) B. M B Pa
C. M B PR
D. M B 0
A
B
5.4 内力方程不内力图
内力方程和内力图
FS和
FS
梁的剪力和弯矩
内力符号规则
方案一：静力学符号规则 同一截面由于选择研究对象 的丌同，内力会差一个正负 符号
m
m
+FS −FS
m
m
静力学符号矛盾
方案二：材料力学符号规则 对杆件产生相同变形效果的内力具有相同的符号
梁的剪力和弯矩
剪力的符号规定
横截面m-m左端对右端有相对向上的剪 切错动趋势时，截面m-m上左、右两端 的剪力皆为正(单元体有顺时针转动趋势)
m
m
m
+FS +FS
+FS
+FS
m
m
m
梁的剪力和弯矩
横截面m-m的左端对右端有相对向下的剪 切错动趋势时，截面m-m上左、右两端的 剪力皆为负(单元体有逆时针转动趋势)
m
m
m
+FS
+FS
−FS
−FS
m
m
m
−FS
−FS
剪力符号规则：顺正逆负
梁的剪力和弯矩
弯矩的符号规定
横截面m-m处使微梁有凹面向上的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为正 (下部受拉)
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
梁中任意截面的内力
FRy
任意截面上的内力是该截 面上应力的合力和合力矩
M
对于梁的弯曲变形，内力
一般由截面上的剪力 弯矩 M组成
F
d 0+, F=const d
约束不类型
集中力偶——作用在梁某一截面上的力偶，
量纲为N·m (牛顿·米) 集中力偶一般用M表示
M
集中力偶的模型
F M Pd
M
d 0+，M=const
F
d
约束不类型
通常用梁的轴线表示梁本身 支座形式的简化和支反力
根据约束的特性，平面弯曲梁的支座可 简化为以下三种基本形式
Example-1
A
同理，当 x > l/2 时，有
P
M0=Pl/4
B
x
Y 0, M C 0,
FAy l/2
FS FBy 0
M M 0 FBy (l x) 0
l/2
FBy
从而得
FS
1 4
P,
M 1 P(2l x) 4
FS
M0
M l−x FBy
梁的剪力和弯矩
依据梁内力的符号规定，无论取左端 梁，还是右端梁，计算所得梁的内力 是相同的
a a aa
Example-5
弯矩方程为
M
M A FAy x (2a x)FCy
1 2
qx
2
(
x
2a)
FCy
(4a x)FEy
0 xa
aaaa
2a x 3a 2a x 3a 3a x 4a
1 2
(2a x)F q(x a)2
1
1 2
F
F(2a x) (x 2a)
2
1