节点电压法的解题步骤
6_节点电压法习题_叠加_替代
+
+
10V
4 u
4A
–
–
两个独立源，则 u= u´ + u´´
例 求电压I 、U 、 PR1。
I
R1 2
+ 12V
+ U
–
–
+ 2I – 3A 2
1 . 在运用叠加定理时,受控源不能像独立源那样单独 作用,而应和电阻一样,始终保留在电路内,并且在求分 量时,受控源的控制量要作相应的改变.
2 . 功率不能应用叠加定理计算,因为功率是电压、电 流的二次函数。
Us_
2
G4
3
G5
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
习题 2-23 用节点电压法列节点方程.
§2-5 叠加定理 (Superposition Theorem)
叠加定理是线性电路的一个重要定理,叠加性是线性电路的 根本属性。
从电路构成的角度来说,
线性电路
由独立源和线性元件组成的电路 从输入对电路响应的影响来说,
a1f(t) a2f(t)
a1 y(t) +a2y(t) N
电路响应 N
a y(t)
一、叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的 举例证明定理
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
电导之和
G12= G21 =-G3 节点1与节点2之间的互电导，等于接在节 点1与节点2之间的所有支路的电导 之和，并冠以负号
iS11=iS1-iS3 iS22=iS2+iS3
节点电压法
④联立求解节点电压，继而求出其余量。
当电路中含有无伴电压源的处理: 一、 ①把无伴电压源的电流作为附加变量列入 KCL方程。 ②增加一个节点电压与无伴电压源电压之间 的约束关系。 二、 ①将连接无伴电压源的两个节点的节点电压 方程合为一个。 ②增加一个节点电压与无伴电压源的约束关 系。
在电路中（具有n个结点）任意选择某一 结点为参考点，其他结点（(n-1)个结点） 为独立结点，此参考结点之间的电压称为结 点电压。
节点电压的符号用Un1或Una等表示。
结点电压的参考极性是已参考结点为负， 其余独立结点为正。
结点电压法： ①如果每一个支路电流都可以由支路电压来表示 ，那么它一定也可以用结点电压来表示。 ②在具有n个结点的电路中写出其中（n-1）个独 立结点的KCL方程，就得到变量为（n-1）个结点 电压的共（n-1）个独立方程（结点电压方程） 。 ③求解这些方程，得到结点电压，从而求出所需 的电压、电流。
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路 的节点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图 的方法直接写出结点方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的
电路，其节点方程的一般形式为：
G11un1 G21un1
+G12un2 +G22un2
+…+G1(n-1)u(n-1) +…+G2(n-1)u(n-1)
2
3 2
＋
－
110V
＋
V1=100V － V2=100+110=210V
100V (1/2+1/2)V3-1/2V2-1/2V1=20 解得：
1
弥尔曼定理求节点电压的步骤
弥尔曼定理求节点电压的步骤弥尔曼定理求节点电压的步骤，这可是个大学物理的难题啊！不过别担心，我这个老学霸可是信手拈来。
今天我就来给大家讲讲，怎么用弥尔曼定理求出节点电压，让大家轻松掌握这个知识点。
我们要明确什么是弥尔曼定理。
弥尔曼定理是关于电路中节点电压的一个定理，它告诉我们，在一个任意两点之间的电路中，通过这两个点的电流之和等于这两个点之间的电势差与电阻之积的比值。
也就是说，如果我们知道了一个节点的电流和另一个节点的电流，那么我们就可以用弥尔曼定理求出这个节点的电压了。
那么，我们怎么用弥尔曼定理求节点电压呢？其实步骤很简单，我们只需要分三步走就行了。
下面就让我来给大家详细讲解一下。
第一步，我们需要知道两个节点之间的电流。
这些电流可以是我们刚刚学到的基尔霍夫电流定律求出的，也可以是我们根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律推导出来的。
只要我们知道了两个节点之间的电流，我们就可以进行下一步了。
第二步，我们需要计算两个节点之间的电势差。
这个电势差可以用欧姆定律求出，就是电压除以电阻。
这个过程可能会比较复杂，但是我们可以根据公式一步一步地推导出来。
只要我们掌握了这个公式，就可以轻松求出电势差了。
第三步，我们用弥尔曼定理求节点电压。
这个过程就是把第一步和第二步的结果代入弥尔曼定理的公式里，然后进行计算。
最后我们就可以得到这个节点的电压了。
好了，看到这里，大家是不是觉得弥尔曼定理求节点电压的过程很简单呢？其实吧，这个过程就像是解一道数学题一样，只要我们掌握了正确的方法和步骤，就可以轻松求出答案。
所以，大家一定要认真学习哦！学习物理可不是一件容易的事情。
有时候我们会遇到很多难题，让我们感到很困惑。
但是没关系，只要我们勇敢地面对困难，不断地努力学习，总会有一天我们能够掌握这些知识的。
就像那句话说的：“世上无难事，只怕有心人。
”希望大家都能够成为那些有心人，勇攀科学高峰！弥尔曼定理求节点电压的过程虽然有点复杂，但是只要我们掌握了正确的方法和步骤，就可以轻松应对。
节点电压法
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。 由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路，其节点 方程的一般形式为：
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下：
1 ．选定参考结点。标出各节点电压，其参考方向总是独 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 3．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 流和支路电压。 5.根据题目要求,计算功率和其他量等.
i1 i4 i5 iS1 i2 i5 i6 0 i3 i4 i6 iS 2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
代入KCL方程中，经过整理后得到：
写成一般形式为
其中G11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部
电导的总和。 此例中G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33=
5u1 2u 2 u3 12V 2u1 11u 2 6u3 6V u 6u 10u 19V 2 3 1
解得结点电压
u1 1V u 2 2V u 3V 3
求得另外三个支路电压为：
u 4 u3 u1 4V u5 u1 u 2 3V u u u 1V 3 2 6
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列
电工技术：节点电位的概念;节点电位法解题思路
二、节点电压法的解题思路
1.节点电压法:以（n-1）个节点电压为未知量，运用KCL列出（n-1）个电流 方程，联立解出节点电压，进而求得其它未知电压和电流的分析方法称为节 点电压法，简称节点法。 2.节点电压法的推导
V0 0
节点电压：U10、U20
应用KCL可写出：
节点1： I1 I 2 I 3 I S1 节点2： I3 I 4 +I 5
（3）解方程组得
U10 40V U 20 42V
三、利用节点电压法求解各支路电流的一般步骤
（4）求各支路电流。
I1 I2 I3 I4 U 10 40 8A R1 5 U 10 40 2A R2 20 U 10 U 20 40 42 1A R3 2 U 20 42 1A R4 42
电流为负，说明实际方向与参考方向相反
3. 求解方程得到节点电压
4. 求解其它待求量
如果要求其它量，利用求出的节点电压进一步求解。
三、利用节点电压法求解各支路电流的一般步骤
例1：求如图所示电路中各支 路电流。已知： I S1 9 A，
U S 5 48V , R1 5 R2 20解：（1）选节点0为参考节点，其余两个节 点的电压分别是U10、U20 。
（2）列出该电路的节点电压方程
1 1 1 1 U 10 U 20 I S1 R R2 R R 3 3 1 1 U 1 1 1 U 20 S 5 U 10 R R3 R5 3 R4 R5
R3 2, R5 3, R4 42
U 20 G4U 20 R4 U 20 U S 5 G5 (U 20 U S 5 ) R5
第 8 讲 支路电流法网孔电流法节点电压法
I1
I3
b
图7
列结点电压公式的规律： ■ 列结点电压公式的规律：
（1）分子部分： 分子部分： 两节点间各支路的电动势与该支 路的电导乘积的代数和。 （其中，当支路电动势的方向与结 点电压的方向相反时取“+”，相同 时取“—”） （2）分母部分： 分母部分： 两节点间各支路的电导之和。 （分母总为“+”）
图2
例3
试用支路电流法求解如图3电路中各支路电流，列出方程。（P191 9-13题）
图3
支路电流法小结
1 解题步骤 对每一支路假设 1. 2. 一未知电流 列电流方程： 列电流方程： 对每个节点有 结论 假设未知数时，正方向可任意选择。 假设未知数时，正方向可任意选择。 原则上， 个未知数。 原则上，有B个支路电流就设B个未知数。 （恒流源支路除外） 恒流源支路除外） 2 若电路有N个节点， 若电路有N个节点， 例外？ 例外？
例5 用网孔电流法求解图6电路中各支路电流。
解：（1）确定网孔。并设定网孔电流的绕行方向。 如图6所示，规定网孔电流方向和顺时针方向。 （2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。
图6 （3）解方程求各网孔电流。 解此方程组得：
（4）求支路电流得： （5）验算。列外围电路电压方程验证。
三、 节点电压法
作 业： 第190页 9-6（用支路电流法求解） 9-14 9-15
（3）求支路电流。 I1=（E1-U）/ R1 I2=（E2-U）/ R2 I3=（E3-U）/ R I4=U/ R4
A
RS R1 I1
I2
对于含恒流源支路的电路， 列节点电压方程时应按以下 规则：
R2
分母部分： 分母部分：按原方法编写， 但不考虑恒流源支路的电 阻。
2.4 节点电压法
节点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析 节点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析 电压为未知量 电路的方法。适用于结点较少的电路。先求出节点电 电路的方法。适用于结点较少的电路。先求出节点电 然后应用欧姆定律求出各支路电流的方法。 压，然后应用欧姆定律求出各支路电流的方法。 节点电压：在电路中选定一个参考点， 节点电压：在电路中选定一个参考点，其它节点与参 考点的电位差即为节点电压， 考点的电位差即为节点电压，方向为从独立节点指向 参考结点。 参考结点。 基本思路：选定一个参考点，以剩余(n-1)个节点电压 基本思路：选定一个参考点，以剩余 个节点电压 为未知量， 个独立节点列写KCL方程，先求出 方程， 为未知量，对(n-1)个独立节点列写 个独立节点列写 方程 节点电压，再求其他量。 节点电压，再求其他量。
例：试列写电路的节点电压方程 1 GS + 2 Us _ G4 G5 G1 G3 G2
3 (G1+G2+GS)un1-G1un2－Gsun3=GSUS (G1 +G3 + G4)un2-G1un1-G4un3 =0 (G4+G5+GS)un3－GSun1-G4un2 =-USGS
用节点电压法求图中各电阻支路电流。 例：用节点电压法求图中各电阻支路电流。
-i3+i5=－iS2
i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2
把支路电流用结点 电压表示： 电压表示：
iS2
1
iS1
i2 R2 R1 R4
i3 R3
2 i 4
3
i1
R5 i5 + uS _
06节点电压法
R5 _ US5 +
U S1 U S 2 U S 5 R1 R2 R5 Un 1 1 1 1 （ ) R1 R2 R4 R5
一般形式
Un
I G
S
弥 尔 曼 定 理
3.3
节点电压法
节点电压法例题
例1:用节点电压法求 电流i和电压u。 解 节点电压
2、列写方程
Un2 补充：I R4
3.3
节点电压法
练习 试分别用节点电压法和回路电流法求电流I。
1Ω + U 1Ω 2A _ 1Ω 4U
1Ω I + 1Ω 4V _
3.3
节点电压法
节 点 电 压 法
Un1 1Ω Un2 _ + U 1Ω
2A
Un3 1Ω I
4U
1Ω
+ 1Ω 4V _
1 1）U n1 U n 2 2 （ U n1 (1 1)U n 2 4U 4 (1 1)U n 3 4U 1
3.3
节点电压法
五、含两个节点的电路
Un
R1 R2 + US2 _ R4 R5 _ US5 +
+ US1 _
U S1 U S 2 U S 5 1 1 1 1 （ )U n R1 R2 R4 R5 R1 R2 R5
3.3
节点电压法
Un R1 + US1 _ R2 + US2 _ R4 R5 _ US5 +
3.3
节点电压法
G5 G2
Un1 IS1
Un2 I +
US _ Un3 IS2
G3
节点电压法
写成一般形式为
其中G 称为节点自电导 节点自电导， 其中 11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中 11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= 电导的总和。 此例中G G3+ G4+ G6。 G i j ( i≠j )称为节点 i 和 j 的互电导 是节点 和j 间电导总和的负 称为节点 的互电导,是节点 是节点i 称为 此例中G 值。此例中 12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例 是流入该节点全部电流源电流的代数和。 中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S + 1S + 0.5S)u = 5A + 5A
解得
u=
10A = 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
(1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 i = 0
整理得到:
5u1 2u2 u3 = 12V 2u1 + 11u2 6u3 = 6V u 6u + 10u = 19V 2 3 1
电路基础-§2-4节点电压法
第二章电阻电路§2-4 节点电压法一、节点电压法（一）节点电压的概念任意选择电路中某一节点为参考节点，其他节点称为独立节点，各独立节点与参考节点之间的电压称为节点电压。
节点电压的参考方向一般选择为独立节点指向参考节点，因此节点电压就是节点电位。
一旦选定节点电压，各支路电压均可用节点电压表示，连在独立节点与参考节点之间的支路电压等于相应节点的节点电压。
连在独立节点之间的支路电压等于两个相关节点的节点电压之差。
电路中所有支路电压都可以用节点电压表示。
（二）节点电压方程⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=++333332321312232322212111313212111s n n n s n n n s n n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++=+++=+++snn nn nn n n n n s nn n n n s nn n n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G 2211222222121111212111（三）节点电压法的解题步骤（1）指定参考节点，其余节点独立节点与参考节点之间的电压即为节点电压，其参考方向时由独立节点指向参考节点。
（2）求出各节点的自电导、各相邻节点间的互电导、各节点电源电流，按式（2-14）方法列写节点方程。
（3）求解节点电压方程，得出各节点电压值。
（4）指定支路电流的参考方向，根据支路电流与节点电压的关系，求出各支路电流。
（5）如果电路中含有电压源与电阻的串联组合时，先将其等效变换为电流源与电阻并联的组合，然后再列写节点电压方程，进行计算。
（6）如果电路中含有电压源并没有电阻与之串联，可用下列方法：①尽可能选用电压源支路的负极性端作为参考节点，这时该支路另一端的节点电压就已知（节点电压等于电压源电压），该节点方程也就不用列写了，其余节点方程仍按一般方法列写；②假设流过电压源的电流为，增加了一个变量，同时补充一个节点电压与电压源电压关系的方程，这样就能可以解出节点电压。
电工基础- 网络分析方法(2)--节点电压法
教学重点：
节点电压法的应用
任务2 网孔分析法--节点电压法
1、节点电压
在电路中任选一节点为参考节点(零电位点)， 其余每一节点到参考点间的电压。
IS3
G3 I3
设Vc = 0 变量:
a
I4 b
IS1
I1 G4 I2
模块二 直流电路的分析方法
任务二 网络分析法（2）
复习：
● 网孔电流法 ：
设网孔电流为变量，列网孔KVL方程求解 电路的方法 。
应用步骤：
设网孔电流 为变量
m个
列未知网孔电流 的KVL方程
解方程 求解电路
R自I本 - R互I邻 = Us(升）
教学内容：
节点电压法
教学要求：
1. 知道节点电压法所设的变量和所列的方程是 什么
IS2
Va、Vb
G1
G2
c
Ua、Ub
2、节点电压法
IS3
以节点电压为变量，列
G3 I3
独立节点的KCL方程求解
a
I4 b
电路的方法。
IS1
I1 G4 I2
IS2
节点电压数： n-1
G1
G2
c
（G1 + G3+ G4）Va–(G3+G4)Vb = IS1 + IS3 （1） （G2 + G3 + G4）Vb –(G3+G4)Vb = IS2 - IS3 （2）
100V 20k
40V
30k
a
60k
–60V
(
1 30
+
节点电压法一般步骤
节点电压法一般步骤针对电子工程专业初学者《节点电压法一般步骤》同学们，今天咱们来聊聊节点电压法。
这可是电路分析里的一个重要方法哦！想象一下，你有一个电路，就像一个错综复杂的迷宫。
节点电压法就是帮你找到走出迷宫的路。
第二步，列出节点电压方程。
这就像是在每个路口做个标记，告诉你该怎么走。
比如说，对于一个节点，流入的电流等于流出的电流。
第三步，解方程。
这就像拿着地图，算出从起点到终点的路线。
把方程里的未知数解出来，你就知道每个节点的电压啦。
比如说，一个简单的电路，有两个电阻和一个电源。
通过节点电压法，咱们就能轻松算出每个电阻两端的电压，是不是很神奇？加油哦，同学们，多练练，这个方法就会变得超级简单！《节点电压法一般步骤》嘿，刚接触电路分析的小伙伴们！今天咱们来搞定节点电压法。
假设你正在组装一个电路玩具，节点电压法就是你的组装说明书。
然后呢，根据电路里的元件，列出节点电压方程。
这就像把每个零件的位置和连接方式写下来。
比如说，有个电路里有三个电阻和一个电池，用节点电压法，很快就能算出各个部分的电压，让电路在你眼前变得清清楚楚。
多试试，你会发现这一点儿也不难！《节点电压法一般步骤》小伙伴们，咱们一起来学节点电压法！想象一下，电路就像一个城市的交通网，节点就是各个路口。
第二步，算每个节点流入和流出的电流，列出方程，就像记录每个路口的车流量。
第三步，解这些方程，就知道每个路口的交通状况啦，也就是节点的电压。
举个例子，一个电路里有灯泡和电池，用节点电压法就能知道灯泡能有多亮。
是不是挺有趣？快来试试吧！《节点电压法一般步骤》同学们，准备好探索电路的奥秘了吗？今天来讲节点电压法。
比如说你有个电路，就像一个拼图。
第二步，根据电流的进出，写出节点电压方程，这就是拼图的小块。
第三步，把方程解出来，整个拼图就完整啦，你也就知道每个节点的电压了。
像那种有几个电阻和电容的电路，用这个方法，一下子就清楚啦。
加油，相信你们能行！《节点电压法一般步骤》亲爱的小伙伴们，咱们要攻克节点电压法啦！假设电路是个大花园，节点就是花朵。
结点电压法全解
3
1
Us + _ 2 G4 3 G5
3. 无伴电压源支路的处理
（1）以电压源电流为变量，增 补结点电压与电压源间的关系
G1
G3
G2
I
Us
1 G3 G2
+
_
G1
(G1+G2)U1-G1U2 =I -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -G4U2+(G4+G5)U3 =－I 增补方程
无伴电流源：（1）设 无伴电流源电压；增补 方程用回路电流表示无 伴电流源电流值（2） 选择基本回路使无伴电 流源所在支路为连支
无伴电压源：（1）设 无伴电压源电流；增补 方程用结点电压表示无 伴电压源电压值（2） 选择参考结点为无伴电 压源的负极
受控源
（1）把受控源当独立源处理置于方程右侧 （2）增补方程用未知量（回路电流、结点电压） 表示控制量
(2) 用结点电压表示控制量。
uR 2 un1
例
列写电路的结点电压方程。
1 4U un1 (1 0.5 )un 2 0.5un 3 1 3 2 5
un1 4V
0.5un 2 (0.5 0.2)un3 3 A
1 ＋ 1V － 2
1
注：与电流源串接的 电阻不参与列方程 增补方程：
G33=G3+G5 G12= G21 =-G2
结点1的自电导，等于接在结点1上所有 支路的电导之和。 结点2的自电导，等于接在结点2上所有
支路的电导之和。 结点 3的自电导，等于接在结点 3 上所有 支路的电导之和。 结点1与结点2之间的互电导，等于接在 结点1与结点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。 结点2与结点3之间的互电导，等于接在结 点2与结点3之间的所有支路的电导之和， 为负值。
2-5 节点电压法
附加方程:I4=U①/R4
①
把上面三式代入数据,得
1 1 3 ( + )= U 3 0.5 + I 4 U① 4 4 4
r I4 g U3
IS2
U3
② R4
R3
I4=U ① /R4 = U ① /4 U3 = U ① /4
I4
解得 U① =-8V, I4 = U1/R4 = -2A
U②= -αU3
R4
R5 I5
④
R6
I4 Us 4
(1/R2+1/R3+1/R5)U③- U②/R2-U④/R5=0 (1/R4+1/R5) U④- U③/R5=- US4 /R4-βI5
α U3
附加方程 U3 = - U③ I5 = (U③- U④)/R5
②
I1
①
U3
I3
R3
R2
③
βI5
R5 I5
a点:
令US=12V,则 U c = b2 × 2 2 + b1 × 21 + b0 × 20
U c = 1 × 2 2 + 1 × 21 + 1 × 20 = 7 倘若二进制代码为"111",则
倘若二进制代码为"100",则
U c = 1 × 2 2 + 0 × 21 + 0 × 20 = 4
讨论:含受控源电路
1)把受控源视为独立电源列 写节点电压方程; 2)增加附加方程,建立受控 源的控制变量与节点电压之 间的关系.
①
r I4
g U3
IS2
R4
U 3 R 3 I4
3第三节 节点电压法
（4）选定各支路电流的参考方向，根据节点电压与支路电流的关系求各支路电流或其它需要求的电量。
2.注意事项
（1） 注意各节点电压的参考方向都是由独立节点指向参考节点。
（2）对有n 个节点的电路，能列 (n-1) 个节点电压方程。
（3）以节点电压为独立变量根据 KCL 列写独立节点的节点电流方程，方程的左边是无源元件电流的代数和，自导上的电流恒为 “ + ” ，互导上的电流为 “ - ” ；方程右边为独立电流源的代数和，当电流源的正方向指向该节点时取 “+” ，反之取 “ － ” 。
4.应用四：电路中某条支路含有受控源时，节点电压法的应用。
例4用节点电压法求电路中的电流I。
图3.11
解：以0点为参考节点，列节点电压方程为
U=U20
解方程组得：U10=-24V U20=8V
所求的支路电流为：
各支路电流值分别为：
I3=I1-I2=-2A
I4=3A
3.应用三：若电路中某一支路是理想电流源串联电阻时，节点电压法的应用。
例3 电路如下图所示，用节点电压法求各支路电流。
图3.10
解：该电路有三个节点，以0号节点为参考节点，节点1,2的节点电压方程为：
解方程组得U10=4V、U20=-4V
各支路电流为：
第三节 节点电压法
组织教学
复习旧课内容：
图3.6
以上图为例，让学生们复习前面学习的回路电流法和支路电流法。
新课导入
新授课内容
一、定义及应用范围
节点电压法：以电路的节点电压为未知量来分析电路的一种方法。
节点电压：在电路的n个节点中,任选一个为参考点,把其余(n-1)个各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。电路中所有支路电压都可以用节点电压来表示。
节点电压法分析的原理
节点电压法分析的原理节点电压法是一种电路分析方法，用于求解电路中各个节点的电压。
它基于简单的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，通过列写节点电流方程和节点电压方程来建立电路方程组，然后通过求解这个方程组来得到节点的电压。
节点电压法的主要原理是根据基尔霍夫电流定律和电压定律建立电路方程组，然后通过求解这个方程组来求解节点的电压。
首先，将电路中的节点选取为未知量，对每个节点写出基尔霍夫电流定律式。
根据基尔霍夫电流定律，对于一个节点来说，进入该节点的电流之和等于离开该节点的电流之和。
然后，对于每个节点，用该节点的电压减去相邻节点的电压，得到节点间的电压差。
再根据基尔霍夫电压定律，对于一个回路来说，电动势之和等于电动势之和。
根据这个定律，可以对每个回路写出方程。
通过对每个节点和回路写出方程，最后得到一个电路方程组。
这个方程组的未知量是各个节点的电压。
解这个方程组，就可以得到电路中各个节点的电压。
节点电压法的步骤如下：1. 选择一个节点作为参考节点，通常选取一个地节点或电源的负极作为参考节点。
2. 对于除参考节点外的每个节点，写出基尔霍夫电流定律的方程。
这些方程描述了该节点进入和离开的电流之和为零。
3. 对于每个回路，写出基尔霍夫电压定律的方程。
这些方程描述了回路上各个电动势之和为零。
4. 根据节点和回路的方程写出电路方程组。
5. 解电路方程组，求解各个节点的电压。
节点电压法的优点是适用范围广，可以分析复杂的电路。
它可以处理非线性电路和含有电流源的电路。
同时，它也更加直观，可以方便地得到节点的电压值。
然而，节点电压法也有一些局限性。
首先，对于大规模的复杂电路，方程组往往庞大复杂，求解困难。
其次，节点电压法要求选择参考节点，如果选择不当可能导致方程组的复杂性增加。
另外，节点电压法要求对电路进行合理的简化和变换，以便更好地应用该方法，这需要有一定的电路分析经验。
总的来说，节点电压法是一种常用的电路分析方法。
它以节点作为未知量，通过基尔霍夫电流定律和电压定律建立电路方程组，再通过求解这个方程组得到节点的电压。
专题三、节点电压法
弥尔曼定理 应用举例
电路中含电流源的情况
设：U B 0 则：
E1 IS R1 UA 1 1 1 R1 R 2 RS
A I2
当电路中含有无伴电压源或受控源时的处理:
1.对含有无伴电压源支路的电路的处理:(1)选取电压源“-”联接的节点作为 参考点，“+”端联接的节点电压等于电压源的电压，为已知量。不再列出该节 点的节点电压方程。（2）将电压源支路的电流作为未知量，视为电流源电流， 计入相应的节点电压方程中。
2。对含有受控源的电路，将受控源视为独立电源，列写节点电压方程，然 后将受控源的控制量用节点电压表示，计入节点电压方程中。
i 1A
类型6：支路电流源与电阻串联。
u3
列出如下节点方程（如图）
解：电路中含有与is（或受控电流 源）串联的电阻R2，
R4 R2 u1 R3 R1
+
R5
u2 is
R2所在支路电流唯一由电流源is确
定，对外电路而言，与电流源串联 的电阻R2无关，不起作用，应该去 掉。 所以其电导1/R2不应出现在节点方 程中，则节点电压方程如下所示：
般形式为：
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 1 ． 选 定 参考 结 点 。 标出各 节 点 电 压，其 参 考 方 向总是 独 立 结 点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 3．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压。 5.根据题目要求,计算功率和其他量等.
如图所示电路各支路电压可表示为:
u10=un1
u12=un1-un2 u23=un2-un3
节点电压法的解题步骤
节点电压法的解题步骤一、确定电路中的节点二、选择参考节点选参考节点也是个关键的步骤呢。
一般来说，我们会选择连接支路最多的节点作为参考节点，这样会让后面的计算相对简单一些。
这一步看起来很简单，但建议不要跳过，避免后续出现问题。
你是不是觉得有点疑惑，为啥要选连接支路最多的呢？其实这就像是找一个基准点，方便我们去衡量其他节点的电压。
三、对其余节点编号并设其电压为未知量接下来呀，对除了参考节点之外的节点进行编号。
然后设这些节点的电压为未知量，比如我们可以设为U_1、U_2等等。
这一步就像是给每个关键地点都取个名字，方便我们后面的计算。
在这一环节，你可以根据自己的习惯去编号，只要自己能清楚就行。
不过要注意哦，一旦设好了就不要随便改啦，不然容易乱套的！四、列写节点电压方程这一步是比较核心的啦。
我们要根据基尔霍夫电流定律（KCL）来列写节点电压方程。
对于每个节点，流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。
这听起来有点复杂，但其实只要按照前面设好的未知量和节点编号，一个一个来就好啦。
我通常会在这个环节花多一些时间，确保做得更仔细。
这里要特别小心哦！有时候可能会不小心少算了某条支路的电流，那就麻烦了。
五、求解方程方程列好后，就到了解方程的环节啦。
这一步可能会涉及到一些数学计算，如果你的数学基础还不错的话，应该不会太难。
如果在求解过程中遇到困难，不要着急，可以再检查一下前面列的方程有没有问题。
这一点真的很重要，我通常会再检查一次，真的，确认无误是关键。
六、根据求解结果分析电路最后呢，当你求出了节点电压的值之后，就可以根据这些值来分析电路啦。
比如计算支路电流啊，功率啊之类的。
这一步其实还蛮有趣的，就像是你已经解开了电路的密码，可以深入了解电路的各种情况啦。
你是不是也这么觉得呢？。
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节点电压法的解题步骤
综合以上分析，采用节点电压法的解题步骤如下：
(1) 在电路中选定一个参考节点，一般选取汇集支路数较多的节点为参考节点，其余节点为独立节点，将独立节点电压作为未知量，其参考方向由独立节点指向参考节点。
标出各节点电压的序号。
(2) 按节点电压方程的一般形式列出（n-1）个独立节点的电压方程。
注意自电导总为正，互电导总为负，流入独立节点的电流源电流取正，反之取负。
(3) 联立求解方程组，求各节点电压。
(4) 确定各支路电流的参考方向，根据欧姆动率由各节点电压求支路电流。
[例 2.9] 如图 2.17所示，1233,2,1R R R =Ω=Ω=Ω,127,3S S I A I A ==用节点电压法求解支路电流123,I I I 和。
解：选取节点0为参考节点，节点1,2为独立节点，列出节点电压方程分别为：
10201122
111()S U U I R R R +-= 10202223111S U U I R R R ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭
代入数据得： 1020111()7322U U +-= 10201
11322U U ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭
联立方程求得： 10=9U V , 201U V = , 1113U I A R =
= , 12224U U I A R -== , 233
1U I A R ==。