自动控制原理课后答案2 西工大版

图 2-35 系统原理图
解
(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-2(a)所示。对A点有
k2 (x − y) + f 2 (x& − y&) = f1 ( y& − y&1 )
(1)
- 12 -
对 B 点有
f1 ( y& − y&1 ) = k1 y1
(2)
对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间
- 11 -
联立式（3）、（4）、（5），消去中间变量 I C (s) 和 I R (s) ，可得： U c (s) = R2C 2 s 2 + 2RCs + 1 U r (s) R2C 2 s 2 + 3RCs + 1
微分Leabharlann Baidu程为
duc2 dt 2
+
3 CR
duc dt
+1 C2R2
uc
=
dur2 dt 2
整理得
F (t) − ky(t) − f dy = m d 2 y
dt
dt 2
d
2 y(t) dt 2
+
f m
dy(t) dt
+
k m
y(t)
=
1 m
F (t)
（b）如图解 2-1(b)所示，取 A,B 两点分别进行
受力分析。对 A 点有
k1(x −
x1) =
f
( dx1 dt
−
dy ) dt
对 B 点有
（1）
f
(
dx1 dt
−
dy dt
)
=
k2
y
联立式（1）、（2）可得：
（2）
dy + k1k2 y = k1 dx dt f (k1 + k2 ) k1 + k2 dt
(c) 如图解 2-1(c)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有
F (t) − k(x − y) = m d 2 x
的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-4
如图
ud
2-36
所示，二极管是一个非线性元件，其电流 id
和电压 ud
之间的关系为
id = 10−14 (e0.026 − 1) ，假设电路在工作点 u(0) = 2.39V ，i(0) = 2.19 ×10−3 A 处做微小变
化，试推导 id = f (ud ) 的线性化方程。
解 将 i(0) = 2.19 ×10−3 A 代入 id = 10 −14 (eud / 0.026 − 1)
解得
ud 0 = 0.679V
将 id = 10 −14 (eud / 0.026 − 1) 在( ud 0 ， i0 )处展开为泰勒级数，
并取一次近似，有
id
= i0
+ Δid
= i0
+ 10−14
1 C1s
+
R1
⋅
1 C1s
R1
+
1 C1s
Uc (s) Ur (s)
=
R1R2C1C2 s 2 + (R1C1 + R2C2 )s + 1 R1R2C1C2 s 2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2 )s + 1
比较两系统的传递函数，如果设 R1 = 1 k1 ， R2 = 1 k2 ， C1 = f1 ， C2 = f 2 ，则两系统
第 2 章习题及解答
2-1 建立图 2-33 所示各机械系统的微分方程（其中 F (t) 为外力，x(t) 、y(t) 为位移； k 为弹性系数， f 为阻尼系数， m 为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦）。
图 2-33 系统原理图
解. （a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再
考虑重力影响），如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出
Uc (s) =
R2
U r (s) R1LCs 2 + (L + R1R2C)s + (R1 + R2 )
微分方程为
duc2 dt 2
+
L
+ R1R2C R1LC
duc dt
+
R1 + R2 R1LC
uc
=
R2 R1 LC
ur
2-3 证明图 2-35 中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的 数学模型）。
2-5
假设某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr
满足方程 dh dt
+α S
h
=
1 S
Qr ，式中 S
为液位容器的横截面积，α 为常数。若 h 与 Qr 在其工作点 (Qr0 , h0 ) 附近做微量变化，试 导出 Δh 关于 ΔQr 的线性化方程。
+2 CR
dur dt
+
1 C2R2
ur
(c) 由图解 2-2（c）可写出
Ur (s) = R1 [ I1(s) + I2 (s)] + (Ls + R2 )I2 (s) (6)
1 Cs
I1
(s)
=
(Ls
+
R2
)I
2
(s)
(7)
U c (s) = R2 I2 (s)
(8) 图解 2-2(c)
联立式（6）、（7）、（8），消去中间变量 I1 (s) 和 I 2 (s) ，可得：
(a) 应用复数阻抗概念可写出
Ur
(s)
=
R1
1 cs
R1
+
1 cs
I (s)
+Uc
(s)
I (s) = Uc(s) R2
联立式（1）、（2），可解得：
U c (s) = R2 (1 + R1Cs) U r (s) R1 + R2 + R1R2Cs
微分方程为:
duc dt
+
R1 + R2 CR1 R2
⋅ 1 ⋅ eud 0 / 0.026 0.026
⋅ Δud
图 2-36 二极管电路
Δid
=
10−14
⋅
1 0.026
⋅
eud
0
/
0.026
⋅
Δud
= 0.085⋅ Δud
- 13 -
即在( ud 0 ， i0 )附近 id = f (ud ) 的线性化方程为 Δid = 0.085 ⋅ Δud 。
uc
=
dur dt
+
1 CR1
ur
(b) 由图解 2-2（b）可写出
U
r
(s)
=
R
I
R
(s)
+
[I
R
(s)
+I
c(s)]
1 Cs
Ic (s)
1 Cs
=
RI R (s) −
RI c (s)
Uc
(s)
=
Ic
(s)R
+
[I R
(s)
+
Ic
(s)] 1
Cs
（3） （4） （5）
（c） （1） （2）
图解 2-2（b）
变量 y1 ，整理后得
f1 f2 s2 + ( f1 + f2 )s +1
Y (s)
=
k1k 2
k1 k2
X (s)
f1 f2 s2 + ( f1 + f2 + f2 )s +1
k1 k 2
k1 k2 k1
(b) 由图可写出
图解 2-3(a)
整理得
Uc (s) =
U r (s)
R2
+
1 C2s
R2
+
(3)
dt 2
- 10 -
对 B 点有
k(x − y) = m d 2 y dt 2
联立式（3）、（4）消去中间变量 x 可得：
（4）
d4y dt 4
+
2K m
d2y dt 2
=
K m2
F (t)
图解 2-1(c)
2-2 应用复数阻抗方法求图 2-34 所示各无源网络的传递函数。
（a）
（b）
图 2-34 无源网络