利用二次函数求实际生活中的最值问题

利用二次函数求实际生活中的最值问题

江苏刘顿

二次函数是函数大家庭中的重要成员，在我们的日常生活有着广泛地应用，特别是在处理最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值，即要求我们在分析和表示不同背景下，确定实际问题中变量之间的二次函数关系，再运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.现举例说明.

例1（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今

年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

销售价

x（元/

千克）…25 24 23 22 …

销售量y（千克）…2000 2500 3000 3500 …

（1）在如图1的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点.连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

简析（1）正确描点、连线，如图2.由图象可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，因为点（25，2000），（24，2500）在图象上，所以

200025,

250024.

k b

k b

=+

⎧

⎨

=+

⎩

解得

500,

14500.

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

所以y＝

－500x+14500.

（2）P＝(x－13)·y＝(x－13)·(－500x+14500)＝－500x2+21000x－188500＝－500(x－21)2+32000.所以P与x的函数关系式为P＝－500x2+21000x－188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润.

说明解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：一是设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；二是问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

例2（2006十堰市中考试题）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图3所示的一次函数关系式.

（1）试求出y与x的函数关系式；

（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出答案）.

图1 图2 图3

简析（1）设y＝kx+b由图象可知，30400, 40200. k b

k b

+=

⎧

⎨

+=⎩解得

20,

1000.

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

所以y＝－20x+1000

（30≤x≤50）.（2）P＝(x－20)·y＝(x－20)·(－20x+1000)＝－20x2+1400x－20000.因为a

＝－20＜0，所以P有最大值.当x＝－

1400

2(20)

⨯-

＝35时，P最大值＝4500.即当销售单价为35

元/千克时，每天可获得最大利润4500元.（3）31≤x≤34或36≤x≤39.

说明本题在求解的过程首先要从图象中捕捉有用的信息，以此为突破口确定出y与x 的函数关系式，进而使问题求解.

例3（2006年河北省中考试题）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.

简析（1）依题意，当每吨售价是240元时，此时的月销售量45+260240

10

-

×7.5＝60

（吨）.（2）因为该经销店的月利润为每吨材料售价减去每售出一吨建筑材料共需支付厂家

及其它费用，再乘以月销售量，所以y与x的函数关系式为y＝(x－100)( 45+260

10

x

-

×7.5)，

化简，得y＝－3

4

x2+315x－24000.（3）y＝－

3

4

x2+315x－24000＝－

3

4

(x－210)2+9075，所

以利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.（4）我认为，小静说的不

对.理由：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额W＝x( 45+260

10

x

-

×7.5)＝－

3

4

(x

－160)2+19200来说，当x为160元时，月销售额W最大.所以当x为210元时，月销售额W 不是最大.即小静说的不对.

说明在回答第（4）小问时也可以这样来考虑：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元.因为17325＜18000，所以当月利润最大时，月销售额W不是最大.即小静说的不对.