2018暑假初一升初二数学补习资料

七年级升八年级数学暑期辅导材料

与三角形有关的线段知识点1三角形的边三角形的概念：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（三角形的表示、边、顶点、内角）三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2 ）按边分类（1）按角分类严锐角三角形三角形 Y 直角三角形匚钝角三角形（2）按边分类｛不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形考点1：认识三角形顶点A 、B 、C 所对的边分别是 _____________ ，用小写字母分别表示为2. 三角形按边分类可分为 ____________ 三角形， ____________ 三角为底与腰 __________ 的三角形和底与腰 ____________ 的三角形.3. AB 为一边的三角形有（）A.3个B.4个『F cC.5个D.6个考点2:三角形三边关系4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，5，8C.3，4，5D.4，5，105. （ 2008 •福州）已知三角形的两边长分别为 4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm 6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（）A.1 : 2 : 4B.1 : 3 : 4C.3 : 4 : 7D.2 : 3 : 47.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（）A.15cm B .18cm C.15cm 或 18cm D.不能确定8.下列各组给岀的三条线段中不能组成三角形的是（）A.3， 4， 5B.3a ， 4a ， 5aC.3+a , 4+a ，5+aD.三条线段之比为 3 : 5 : 89. _____________________________________________________________ 三角形三边的比是 3 : 4 : 5,周长是96cm ，那么三边分别是 _____________________________________________________ cm. 10.已知等腰三角形的周长是 ____________________________ 25cm ，其中一边长为 10cm ，求另两边长.11. 某木材市场上木棒规格和价格如下表：形；等腰三角形分3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买底角一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？112、如图所示，已知P 是厶ABC 内一点，试说明PA+PB+PC> （AB+BC+AC ）.213、如图，从A 经B 到C 是一条柏油马路， AC 是一条小路，人们从 A 到C ,为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。

初一升初二数学暑假补习资料(华师版)

第一节平方根［情景引入］【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根是0；③负数没有平方根。

2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。

0=。

a 叫做被开方数，a 必⑤49151； ⑥0。

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根：①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；（3）()()3252100-=--x （4）13=x的值。

例6、x 为何值时，x x +-1有意义。

例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。

请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？）。

D ．0或1 ）。

3± D ．39±=± 2 D ．61 6．下列说法正确的是（）。

A ．4的平方根是±2 B ．2a -一定没有平方根C ．0.9的平方根是±0.3D ．12+a 一定有平方根二、填空题： 1．49的算术平方根是，平方根是。

23 4 5 6 7３．解下列方程：（１）()016922=--x ；（２）0125252=+-x ；6．为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28㎡，那么花坛的半径应为多少米？（π取3.14）1．下列各式中，正确的是（）。

A ．525±=B ．()332-=-2．平方根是±31的数是（）A ．±91B ．91 3．对于14-x ，当 4．当一个数a 为合适的数） 5．一个数的算术是。

七升八级暑期数学辅导

目录八年级数学上册课时分布第一讲第二讲第三讲第四讲全等三角形第五讲全等三角形的判定(一)第六讲全等三角形的判定(二)第七讲全等三角形的判定(三）第八讲全等三角形的判定（四）第九讲全等三角形的判定综合第十讲角的平分线的性质第十一讲全等三角形复习测试卷第十二讲轴对称第十三讲等腰三角形第十四讲等边三角形第十五讲如何做几何证明题(1)第十六讲如何做几何证明题(2)第十七讲如何做几何证明题(3)第十八讲如何做几何证明题(4)第十九讲测试第二十讲试卷评讲及复习八年级（上）（62）第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1三角形的内角 7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1多边形 11.3.2 多边形的内角和数学活动小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1等腰三角形 13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动小结（2）第14章整式的乘法与因式分解（14）14.1整式的乘法（6）14.1.1同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1平方差公式 14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14.3.1提公因式法 14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动小结（2）第15章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动小结（2）第一讲全等三角形（一）知识要点1、全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。

七年级升八年级数学暑期辅导材料

与三角形有关的线段知识点1：三角形的边三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（三角形的表示、边、顶点、内角）三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类（1）按角分类锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形（2）按边分类不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形考点1：认识三角形顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________.2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形. 3.AB 为一边的三角形有（） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个考点2：三角形三边关系4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（） A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm 6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4C.3∶4∶7D.2∶3∶4 7.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（） A.15cm B .18cm C.15cm 或18cm D.不能确定8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（） A.3，4，5B.3a ，4a ，5aC.3+a ，4+a ，5+aD.三条线段之比为3∶5∶89.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm ，那么三边分别是________cm. 10.已知等腰三角形的周长是25cm ，其中一边长为10cm ，求另两边长__________. 11.小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买腰腰底边顶角底角底角A一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？12.如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC>12(AB+BC+AC).13、如图，从A经B到C是一条柏油马路，AC是一条小路，人们从A到C，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。

七升八级暑期数学辅导

目录八年级数学上册课时分布第一讲第二讲第三讲第四讲全等三角形第五讲全等三角形的判定(一)第六讲全等三角形的判定(二)第七讲全等三角形的判定(三）第八讲全等三角形的判定（四）第九讲全等三角形的判定综合第十讲角的平分线的性质第十一讲全等三角形复习测试卷第十二讲轴对称第十三讲等腰三角形第十四讲等边三角形第十五讲如何做几何证明题(1)第十六讲如何做几何证明题(2)第十七讲如何做几何证明题(3)第十八讲如何做几何证明题(4)第十九讲测试第二十讲试卷评讲及复习八年级（上）（62）第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1三角形的内角 7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1多边形 11.3.2 多边形的内角和数学活动小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1等腰三角形 13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动小结（2）第14章整式的乘法与因式分解（14）14.1整式的乘法（6）14.1.1同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1平方差公式 14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14.3.1提公因式法 14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动小结（2）第15章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动小结（2）第一讲全等三角形（一）知识要点1、全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。

初一升初二寒暑假培训班数学教材

第1讲平方根月日姓名：【学习目标】 1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】例1、求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7例2、计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（3）()22.7 （4）()22-（5+（6）例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2）225121 （3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3+（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）（3）0和负数没有平方根（）（4）4是2的算术平方根（）（5）9的平方根是±3 （）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（）A.－(－2)3 －3 C.a0 D.－（a 2+1） 2、2a 等于（）A.aB.－aC.±a3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式． 5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________6、计算（1）- 16964 （2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第2讲立方根月日姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

初一升初二暑假数学辅导资料(二)

初一升初二数学暑假辅导资料（二）第十二章全等三角形学习内容： 12.1全等三角形学习目标: 1.能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。

2.能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。

3.能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。

学习重点：探究全等三角形的性质学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角一课前预习：阅读课本P31-32，解决下列问题 (一)、全等形、全等三角形的概念阅读课本P31内容，回答课本思考问题，并完成下面填空： 1．能够完全重合的两个图形叫做．全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2．全等三角形．两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1．平移翻折旋转甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．第（4）题图EBAE 第（1）题图E C BFC第（2）题图D A C B 2．全等三角形的对应元素（说一说）（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条） ——重合的（3）对应角（三个） ——重合的 3．寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；（3）有对顶角的，对顶角是；（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．简单记为：（1）大边对应大边，大角对应 ;(2) 公共边是对应边，公共角是，对顶角也是 ;4．“全等”用“ ”表示，读作“ ”如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．（三）、全等三角形的性质阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空：课堂探究（小组讨论合作交流）活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：（1）如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是，即可记为BC= 。

七年级升八年级数学暑期辅导材料

与三角形有关的线段知识点1：三角形的边三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（三角形的表示、边、顶点、内角）三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类（1）按角分类锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形（2）按边分类不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形考点1：认识三角形1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________，顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________.2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形.3.如图7.1.1-2所示，以AB 为一边的三角形有（） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个考点2：三角形三边关系4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶47.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（） A.15cm B.18cm C.15cm 或18cm D.不能确定图图腰腰底边顶角底角底角8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（） A.3，4，5 B.3a ，4a ，5aC.3+a ，4+a ，5+aD.三条线段之比为3∶5∶89.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm ，那么三边分别是________cm.10.已知等腰三角形的周长是25cm ，其中一边长为10cm ，求另两边长__________. 11.某木材市场上木棒规格和价格如下表：的木棒，还需要到某木材市场上购买一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？12. 如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明PA+PB+PC>12(AB+BC+AC).13、如图，从A 经B 到C 是一条柏油马路，AC 是一条小路，人们从A 到C ，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。

七升八暑期衔接班数学讲义(word版)

七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足：；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足：； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足：；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有；⑤∠AEC 是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） AB CD E FDEA BCFG①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 . (A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边a 的取值范围是；周长l 的取值范围是 . ④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 . 【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ). (A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .DAB CD ABC IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECAAAD14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCD I A B C DEIA BCI12CB AD A CB A FDH DAB C EHE D C B A第二讲与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 . 例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDABE F C D E A FC B 例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.ED C B AM EDC B AMEDCBAED C B AA BOD AE第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ).(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.αCB DA CB D A A DB C 17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形：；蝶形：；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；A B C I ABCDIIIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C A3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为，∠BQC 的度数为；（2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.A B CD EBA MECD OD BCEADBCF E A例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.CBDAFE第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE平分∠CAF交DF于E点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF=100°，则∠BMD为．O 2O 1A BC 图1CB A 图2图3OO 1O 2O n-111．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. FED C BAMEDBAFNME DCBA EDCBA例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ). (A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= . NME D CBA NMPEDCBANMFEDCBAN M FED C B AA DCMBBD A ECDB AC E F4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ). (A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ). (A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ). (A)45° (B)55° (C)65° (D)75°m n ，β∠7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC ，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数.北南ABC第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十一讲专题三全等三角形知识点扩充训练(无答案)新人教版(2021

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第十一讲：专题三：全等三角形知识点扩充训练;1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

2。

如图,在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥,垂足为D .求证:21C ∠=∠+∠.3。

如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=.F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

4。

如图，AB //CD ，AD //BC ,求证：AB CD =。

5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P .求证：BP 为MBN ∠的平分线。

6.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =,ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =.7.如图，在ABC ∆中,AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． (1）若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题:①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BEAF -（填“>”，“<”或“=”号)； ②如图2，若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．9。

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此文档下载后即可编辑梦想教育八年级数学超越自我实现梦想目录八年级数学上册课时分布第一讲与三角形有关的线段第二讲与三角形有关的角第三讲多边形及其内角和第四讲全等三角形第五讲全等三角形的判定(一)第六讲全等三角形的判定(二)第七讲全等三角形的判定(三）第八讲全等三角形的判定（四）第九讲全等三角形的判定综合第十讲角的平分线的性质第十一讲全等三角形复习测试题第十二讲轴对称第十三讲等腰三角形第十四讲等边三角形第十五讲如何做几何证明题(1)第十六讲如何做几何证明题(2)第十七讲如何做几何证明题(3)第十八讲如何做几何证明题(4)第十九讲测试第二十讲试卷评讲及复习梦想教育八年级数学超越自我实现梦想八年级（上）（62）第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1 三角形的内角7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和数学活动小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动。

2018年七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十讲专题二全等三角形题型训练新人教版【精选】.doc

第十讲：专题二：全等三角形题型训练；【知识要点】1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL；需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS”、“SSS”、“ASA”、“AAS”、“HL”五种基本方法的综合运用.【例题精讲】例1.判断下列命题：1．（1）全等三角形的对应边、对应角、对应边上的中线、角平分线、高线分别相等.（）（2）全等三角形的周长、面积分别相等. （）2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. （）（2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （）（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. （）（4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （）（5）三边对应相等的两个三角形全等. （）（6）三个角对应相等的两个三角形全等. （）（7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （）（8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.（）（9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. （）（10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （）（11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （）（12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （）（13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （）（14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （）（15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （）（16）底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）例2.如图1，方格中有△ABC 和111A B C △，且它们可以仅通过平移完全重合，我们称△ABC 和111A B C △为“同一方位”全等三角形.（1）如图2，方格中有一个△ABC ，请你在方格内，画出一个与△ABC 不是“同一方位”的全等三角形△DEF ，并且满足条件：DE=AB ，∠A=∠D ，AC=DF ；（2）你能够画出多少种不同的△DEF ？（“同一方位”全等三角形算为一种）BACA 1B 1DC 1D 1B A CA 1B 1DC 1D 1例3.两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等.如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC和△A 1B 1C 1的中线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.例4.两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等.两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等.如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠ABC=∠A 1B 1C 1，∠ACB=∠A 1C 1B 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.B ACA1B1D C1D1B ACA1B1D C1D1B ACA1B1D C1D1例5.两边及其第三边上的高对应相等的两个锐角三角形．．．．．全等.如图，在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD、A1D1分别为△ABC和△A1B1C1的高线，AD=A1D1，求证：△ABC≌△A1B1C1.例6.两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形．．．．．全等.如图，在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，BC=B1C1，AD、A1D1分别为△ABC和△A1B1C1的高线，AD=A1D1，求证：△ABC≌△A1B1C1.例7.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.如图，在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD、A1D1分别为△ABC 和△A1B1C1的中线，AD=A1D1，求证：△ABC≌△A1B1C1.练习:1.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条高线，在BD 上取一点F ，使BF=AC ，在CE 的延长线上取一点G ，使CG=AB ，求证：(1)AG=AF ；（2）AG ⊥AF.2.如图，已知A 点的坐标为（4，4），将直角的顶点放在点A ，两直角边分别交两坐标轴的正半轴于P 、Q 两点.. （1）求证：AP=AQ ；（2）当直角绕A 点旋转时（始终保持P 、Q 两点在两坐标轴的正半轴），求OP+OQ 的值；（3）如图，继续旋转这个直角，使得点P 在y 轴负半轴，点Q 在x 轴正半轴，求OQ-OP 的值.ABCDEFGABDC MNAOCBDA 'O 'C 'B ' D '【课后作业】1．如图，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，则∠E 的度数为( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°2．如图，OA=OB ，OC=OD ，∠1=∠2，则图中的全等三角形有( ). （A ）5对（B ）4对（C ）3对（D ）2对 3．已知：如图，∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ，其中能使△ABC ≌△AED 的条件有( ). (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 4．如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件中不能．．判定 △ABM ≌△CDN 的是（）．(A)∠M=∠N (B)AB=CD (C)AM=CN (D)AM ∥CN 6．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，垂足分别为B ，C ，AB=BC ，E 为BC 的中点，且AE ⊥BD ，垂足为点F ，若CD=4㎝，则AB=( ). (A)8㎝ (B)6㎝ (C)4㎝ (D)2㎝ 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则利用三角形全等能说明A O B AOB '''=∠∠的依据是( ).21DC OEA（A ）SSS （B ）SAS （C ）ASA（D ）AAS7．如图，D 、E 是△ABC 的边AC 、BC 上的点，△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，下列结论：①AD=ED ；②BC=2AB ；③∠1=∠2=∠3；④∠4=∠5=∠6．其中正确的有（）.(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个二、填一填8．如图，A D AC DF ==∠∠，，则需要补充条件：（写出一个即可），才能使 ABC DEF △≌△．9．如图，一块三角形玻璃裂成甲、乙、丙三块，要去玻璃店配一块同样形状和大小的玻璃，可只带三块碎片中的块，所配的三角形玻璃与原来一样的几何原理是 .10．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个论断：①AB=AC ；②AD=AE ；③∠B=∠C ；④BD=CE ，请以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题是，（用序号⊗⇒⊗⊗⊗的形式写出.）11．如图，要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90°沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 两点与点E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为___________米.丙乙甲ABCDEFBCDA EFG三、解答题12．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线，请说明理由.13．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 边的中点，连接BE 交AD 于点F ，过点E 作BE 的第一线交BC 于点G ，求证：AF=CG .。

2018暑假初一升初二数学

复习专题一重点解答题型:1、方程〔k2-4〕x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x、y的方程，那么当k为何值时，方程为一元一次方程？当k为何值时，方程为二元一次方程？3、a取何值时，关于x的方程x＝a＋1与2〔x－1〕＝5a－6的解一样．4、x＝2时代数式2x2＋5x＋c的值是14，求x＝－2时代数式的值．5、21xy=⎧⎨=⎩是方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，求a b-的值。

6、方程组2,3x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解为2,.xy=⎧⎪⎨=⎪⎩那么被遮盖的两个数分别为多少？7、方程组⎩⎨⎧=+=-64byaxbyax与方程组⎩⎨⎧=-=-17453yxyx的解一样，求a，b的值8、假设2|327|(521)0a b a b +++-+=，那么a b +的值为多少？9、方程组⎩⎨⎧=-+-=+-166312z y x z y x ，那么y x +为多少？10、4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，且0xyz ≠，那么::x y z 的值为多少？*11、当正整数a 为何值时,方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x 有正整数解"并求出正整数解.复习专题二不等式〔组〕与方程〔组〕综合运用1. 关于x 的方程4)3(2-=-a x 的解不小于方程132+=-x a x 的解，那么a 的取值围是。

2.关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x my x 13213，〔1〕假设x+y<0，那么k 的取值围是。

〔2〕如果x>y ，那么k 的取值围是。

3. 假设不等式22≥+-a x 的解集是1-≤x ，那么a 值是_______________4.假设不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，那么a b的值是__________5. 假设不等式组⎩⎨⎧<->+0421x ax 有解，那么a 的取值围是____________6. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x xx 的解集为x<-a ，那么a 的取值围是7. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=-a y x a y x 523的解满足x>y>0，化简a a -+3=_____________8.⎩⎨⎧-=-+=+1341323k y x k y x 且y x >，那么k 的取值围是 9.不等式组132163+>>-m x m x 的解集是32mx +>，那么m 的取值围是 10. 假设方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，那么a 的值为______________11. 关于x 的方程x kx -=6的解集为正整数，那么k 的值为。

初一升初二暑假辅导讲义(终结编)

初一升初二暑假辅导讲义（终结编）一、分式及分式方程1. 计算x x ----21442的结果是( ) A ．21+-x B ．21--x C ．21+x D ．462---x x2. 计算的结果为（）A ．1B ．x+1C ．D ．3. 已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 A ．6 B ．－6 Ｃ．215 D ．27-4. A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（）A ．9448448=-++x x B ． 9496496=-++x x C ． 9448=+xD ． 9448448=-++x x 5. 计算()2xyxy xx y-⋅=- . 6. 如果方程3)1(2=-x a 的解是5x =，则a = .7. 先化简，再求值：232(1)39x xx x -+÷+-，其中4x =.8. 已知3x =22319()369x x x x x x x x+---÷--+的值．第2题图9. 6x y +=，2xy =-，则2211yx +的值． 10. 已知1m >, 关于x 的方程(1)25m x m -+=有正整数解, 求整数m 的值.二、代数式,整式,分式1. 若21m n =+，则2244m mn n -+的值是________.2. 已知多项式(221)(37)(37)(13)x x x x -----可分解因式为(3)()x a x b ++，其中,a b 均为整数，则3a b += ，ab = ．3. 已知62=-m m ，则.____________2212=+-m m ．4. 若6,422=+=+y x y x 则=xy _ __.5. 分解因式：________________)()(232=---x y b y x a ．6. 先化简，再求值：2(2)(21)(21)4(1)x x x x x +++--+，其中x =7. 如图所示，在长和宽分别是a 、b 的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1) 用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；(2) 当a =6，b =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．8．已知a 、b 为实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，试判断M 、N 的大小关系.测试题一、选择题1．下列各式中，分式的个数为……………………………………………………（）3x y -，21a x -，1x π+，3a b -，12x y +，12x y +，2123x x =-+；A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．下列各式正确的是………………………………………………………………（）A ．c c a b a b =---- B ．c ca b a b =---+C ．c c a b a b =--++D ．c ca b a b-=----3.下列运算正确的是 ……………………………………………………………………（）A ．6332x x x =+B ．326x x x =÷ C ．()62333x x =- D ．523x x x =∙4.如果942+-ax x 是一个完全平方式，则a 的值是…………………………………（） A ．±6 C ． 6 C ．12 D ． ±125.若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为……………………………………（） A ．－15 B ．－2 C ．8 D ．26.下列各式中，不能用平方差公式的是…………………………………………………（） A ．)34)(34(y x y x ++- B ．)43)(34(x y y x -- C ．)34)(34(y x y x --+- D ．)34)(34(y x y x -+7．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为……（） A ．57.710-⨯米 B ．67710-⨯米 C ．57710-⨯米 D ．67.710-⨯米4．下列分式是最简分式的是………………………………………………………………（） A ．11m m --； B ．3xy y xy-； C ．22x yx y -+； D ．6132m m -；8．将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值………………（）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．保持不变D ．无法确定9. 下列各式是最简分式的是……………………………………………………………（）A.a 84B.a b a 2C.yx -1 D.22a b a b --10. 不改变分式52223x y x y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是……（） A ．2154x y x y -+ B ．4523x y x y -+ C ．61542x y x y -+ D ．121546x y x y-+二．填空题11．若分式33x x --的值为零，则x = ．12．分式2x y xy +，23y x ，26x y xy-的最简公分母为． 13.计算：（x +1）（x -1）（x 2-1）= ． 14.=+==+22,65b aab b a 则，若．15.计算：1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭＝ .三、解答题 16.计算（1）211x x x ---；（2）22221106532xy x y y x ÷⋅(3)（2a ＋1）2－(2a ＋1)(－1＋2a ) (4)344321044)(52)2(2)2(x x x x x -⋅--⋅+-（5）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x xx17．解方程（1）22121--=--xx x （2）1412112-=-++x x x18.把下列各式分解因式1．c ab ab abc 249714+-- 2．()()x y y y x x ---3．()()22169b a b a +-- 4.22312123xy y x x +-19.某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？20.已知222244,5A x xy y B x xy y =-+=+-，求3A －B ．21.观察下列各式：111122⨯=-；1112323=-⨯；1113434=-⨯；，（1）猜想它的规律，把1(1)n n +表示出来；（2）用你得到的规律，计算：11112612(1)n n +++++ ，并求出当24n =时代数式的值．。

2018初一升初二数学暑假补习专用资料

2013年07月第一讲平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2013年初一升初二暑期补习教材（数学）2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a【典型例题】例1、求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1 （4）0 （5）94（6）7 例2、计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5（6）例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3+（4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）（3）0和负数没有平方根（）（4）4是2的算术平方根（）（5）9的平方根是±3 （）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41（）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（） A.a 2=±m B.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（） A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+ 【记一记】100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第二讲立方根【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

初一升初二暑期衔接资料

第一讲勾股定理［情景引入］【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222cba=+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222a b c+=那么这个三角形是直角三角形。

【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

=AS=BS=CS=DS例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.8米9.6米例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。

CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？例 7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。

现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。

请你设计一种方案确定P 点的位置，并求这个最短距离。

例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方30米B 处，过了2秒后，测得小汽车C 与车速检测仪A 间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短的路程是多少?AEBDC11图2—5—4例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_______例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。

初一升初二数学暑期衔接教辅

初一升初二暑期数学辅导资料目录第一讲三角形总复习第二讲如何做几何证明题第三讲勾股定理第四讲平方根第五讲立方根第六讲实数第七讲非负数的性质及应用第八讲分母有理化第九讲二次根式的混合运算第十讲平行四边形的性质第十一讲平行四边形的判定第十二讲菱形第十三讲《勾股定理》质量检测第十四讲《实数》质量检测第十五讲《二次根式》质量检测第十六讲综合评估第一讲、三角形总复习【知识精读】1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

【分类解析】1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。

求证：∠>∠BED C说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

求证：()AM AB AC >-1说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。